CC BY
16
Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа; Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
UDC 517.911, 517.968
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2062-2067
BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL INCLUSIONS WITH THE IMPULSES INFLUENCES DEPENDING ON CONDITION OF PHASE TRAJECTORY
© O.V. Filippova
Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 The Peoples' Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]
The boundary value problems for one type of impulse functional-differential inclusions which multiple-valued map not necessarily convex-valued with respect to switching in space of summable functions and with the impulses influences depending on a state phase trajectory at the time of puls is considered. Concepts of the generalized solution of such task is entered. Living conditions of the generalized solution of a boundary value problems are found. The way of finding of the approximate generalized solution and function which gives an assessment to an error of the approximate generalized solution is offered. Key words: impulse functional-differential inclusion; boundary value problems; convex-valued with respect to switching
REFERENCES
1. Filippova O.V. Kraevaya zadacha dlya odnogo vida impul'snyh funktsional'no-differentsial'nyh vklyuchenij // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016. V. 21. Iss. 2. P. 435-443.
2. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Funktsional'no-differentsial'nye vklyucheniya s impul'snymi vozdejstviyami. CHasti 1-6 // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2009. V. 14. Iss. 6. P. 1275-1313.
3. CHugunov P.I. Svojstva reshenij differentsial'nyh vklyuchenij i upravlyaemye sistemy // Prikl. matematika i pakety prikl. programm. Irkutsk: Izd-vo SEISO AN SSSR, 1980. S. 155-179.
4. Bulgakov A.I., Polyanskij A.I. Obobshchennye resheniya kvazilinejnyh kraevyh zadach dlya funktsional'no-diffrentsial'nyh vklyuchenij // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2007. V. 12. Iss. 1. P. 52-54.
2066
ACKNOWLEDGEMENTS: The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects №№ 14-01-00877, 16-31-50040) and by the grant of the Russian Federation President for the state support of leading scientific schools № NSh-8215.2016.1.
Received 11 October 2016
Filippova Olga Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department; Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]
Информация для цитирования:
Филиппова О.В. Краевая задача для функционально-дифференциального включения с импульсными воздействиями, зависящими от состояния фазовой траектории // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 2062-2067. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2062-2067
Filippova O.V. Kraevaya zadacha dlya funkcional'no-differencial'nogo vklyucheniya s impul'snymi vozdejstviyami, zavisyashchimi ot sostoyaniya fazovoj traektorii [Boundary value problems for functional-differential inclusions with the impulses influences depending on condition of phase trajectory]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 2062-2067. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2062-2067 (In Russian)
2067
УДК 514.7
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-2068-2084
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РИМАНОВЫХ ИНВАРИАНТОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ВОССТАНОВЛЕНИИ ПОВЕРХНОСТИ ПО ЗАДАННОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЕ
© Ю. Г. Фомичева, А. А. Рудиченко
Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: [email protected]
В данной работе рассматривается вопрос о возможности восстановления в трехмерном евклидовом пространстве С - регулярной поверхности, заданной явным уравнением г = г (х, у) на всей плоскости К2 по ее заданной отрицательной гауссовой кривизне. Решение этой задачи сводится к доказательству существования и единственности на К2 классического решения дифференциального уравнения Монжа-Ампера гиперболического типа. Сформулированы условия, обеспечивающие существование такого решения в целом.
Ключевые слова: восстановление поверхности; гауссова кривизна; гиперболическое уравнение Монжа-Ампера; задача Коши; римановы инварианты
Пусть на К2 задана дифференцируемая функция f = (х,у) < 0. Докажем, что в пространстве Е3 существует С3 - регулярная поверхность Ф, заданная явным уравнением г = г (х,у), (х,у) 2, гауссова кривизна К (х,у) которой совпадает с функцией f=f (х,у) < 0.
Известно [1], что для поверхности Ф: г = г (х,у) гауссова кривизна К (х,у) определяется формулой:
2
К (х,у) = ХххХуу - Хху
(1+ хХ + г2)2'
Поэтому рассматриваемая задача сводится к доказательству существования решения уравнения Монжа-Ампера
Хххгуу - гху2 - (1 + гХ + г2у) f (х, у) = 0, (1)
где f (х,у) - заданная функция, f (х,у) < 0, (х,у) е К2; г = г (х,у) - неизвестная регулярная функция класса С3; уравнение (1) х - гиперболично на решении г (х,у) , т. е.
А2 (х,у,г,гх,гу) = (х,у)(1 + гх + г2у)2 > 0, гуу = 0. (2)
Решение поставленной задачи сводится к доказательству существования решения уравнения (1) на всей плоскости 2. Получен следующий результат:
Теорема 1. Пусть на плоскости К2 задана функция (х,у) < 0, удовлетворяющая условиям:
1) функция f (х, у) - дважды непрерывно дифференцируема по переменным х,у и С1 -ограничена;
2) функция
А (х, у, х у х у
непрерывно дифференцируема по х,у,гх,гу;
A(x,y,zx,zy) = 2у/-f (x,y) (1 + z2x + z2) (3)
2068
|А|< Ci, А < С2,
д А
дш
< Ci п (x), (4)
где ш = x,y,zx,zy; 0 < C1 < |, C2 > 0, Ci, C2 = const; п (x) - некоторая положительная функция, удовлетворяющая условию
/5 е - е
П (x) dx <———; 0 < е < 5, ——j— < 1, е,5 = const, (5)
—<х
Ni = max |Ci, —CiC^ . (6)
Тогда в пространстве
Е3 существует единственная C3 - регулярная поверхность Ф, заданная явным уравнением z = z (x,y) , (x, y) € R2, с гауссовой кривизной K(x, y)=f (x, y) < 0. Для доказательства была использована техника, указанная в работе [2]. Прежде чем приступать к доказательству этой теоремы, докажем некоторые вспомогательные утверждения.
Для неизвестной функции z = z (x, y) зададим начальные условия на оси Oy :
z (0,y)= z° (y), zx (0,y)= p° (y), (7)
такие, что
z0 (y) € C3, p° (y) € C2, y €R, (8)
и на оси Oy выполняются условия x— гиперболичности:
А2 (0,y,z0(y),p0(y), (z°) (y)) > 0, (z°)" (y)=0,y €R. (9)
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1) с начальными данными (7):
zxx zyy zxy — (1 + zx + zy) f (x,y)=0,
z (0,y) = z° (y) ,zx (0,y)= p° (y), y € R,
(10)
Известно [3], что задача (10) сводится к задаче Коши для системы пяти уравнений в ри-мановых инвариантах, С1 - решению которой соответствует С3 - решение задачи (10):
/ ]х *х ] ] _ _ _ _
Гх + вТу = ] т - в - ]тв + т2 + \[—]рт2 -\/—]ят -у—]рте + яв
]х т I ]х ]у ]у / 7 2
Sx + rsy = — fr + 4fS + frs — s f — v—fps —V—fqr + V—fprs + V —fqs
А
Px + spy = s —
А
qx + rqy = — zx + rzy = p + rq
Искомыми функциями в этой системе являются функции
(11)
А — —zxy — А — —zxy z = z (x,y), p = zx, q = zy, r = ——--,s =-—--, zyy = 0 (12)
—zyy —zyy
(римановы инварианты).
2069
Характеристическое уравнение для уравнения (1) имеет вид:
гууУ + 2гхуX у + гххх = 0. (13)
Отсюда, с учетом (1), (3), получим:
У _ —zxy ^ \/гххгуу — гху2 _ —zxy ^ (1 + гX + гу) л/-!' у) _ -2Хху ± А
X Хуу Хуу 2Хуу
Принимая во внимание (12), имеем:
У _ -2гху - А _ у _ -2гху + А
. = 5; X = = (14)
X 2 гуу X 2 гуу
Из (14) видно, что функции г и 8 есть угловые коэффициенты характеристик уравнения (1): X = х(т)
; ; , где т - некоторый параметр. У = У(т)
Кроме того, уравнение (13) является дифференциальным уравнением асимптотических линий поверхности Ф: г = г ^,у) . Следовательно, характеристики уравнения (1) совпадают с асимптотическими линиями поверхности Ф. Поэтому г и есть угловые коэффициенты асимптотических линий поверхности Ф.
Задача о восстановлении поверхности Ф : г = г (X,у) по заданной отрицательной гауссовой кривизне будет решена, если будет найдено гладкое решение {г, в,р, д, г} системы (11), удовлетворяющее условию гуу = 0.
Система (11) представляет собой слабо-нелинейную систему квазилинейных уравнений. Б. Л. Рождественский [4] доказал, что для слабо-нелинейной системы квазилинейных уравнений задача Коши разрешима для любых начальных данных в любой конечной полосе, если априори известно, что система гиперболическая в узком смысле и ее решение ограничено.
Начальные условия для системы (11) следуют из соотношений (12) и начальных условий (7):
, А (0, У, г° (у) ,р0 (у) ,г°у (у)) - 2р°у (у) г (0,у)= г (у) =--у у
2z0y(y)
-A (Q.v.z0 (y)
s (0, y) = s0 (y) =
0 (y) = -A (0, y, z0 (y) ,p0 (y) ,z0 (y)) - 2py (y) (15)
2z0y (y) .
p (0, y) = p0 (y), q (0, y) = q0 (y)= z0 (y), z (0, y) = z0 (y).
Будем строить С1 - решение задачи (11), (15) в полуплоскости x > 0. Построение решения в полуплоскости x < 0 проводится аналогично.
Систему (11) перепишем в более компактной записи:
Гх + sry = Fr (x, y, r,s,p,q); Sx + rsy = Fs (x, y, r.s.p, q) ;
px + spy = Fp (x, y, s,p, q); (16)
qx + rqy = Fq (x, y,p, q); zx + rzy = Fz (x, y, r, p, q),
2070
где
Гг (х, у, т, в,р, \ !х !х 7 у ,2 7У 1 /-Т 2 д) = 4,т - 47е - 4,тв +т2 47 + ЫЧрт -\—Гдт -л/—!ртв + \—7дв;
Г. (х, у, т.в,р, д \ !х !х ,/у !у I-Т 2 1)=-7+ 7+ 47тв - в 7 -^рв -\—7дт + л/—]ртв + V-7дв
Гр (х, у, в,р, д) А = в—; 2 '
(17)
г* (х,у,р,д) = А; Г* (х, у, т,р,д) = р + тд.
Характеристиками системы (16) являются интегральные кривые дифференциальных урав-
(у (у , .
нений: — = т (х,у), — = в (х,у). (х (х
Проинтегрировав уравнения системы (16) вдоль характеристик с учетом начальных значений (15) получим систему интегральных уравнений:
х
т (х,у) = т°(д. (0,х,у))^У Гг (х,у,т,в,р,д) (т,д. (т,х,у)) (т;
х
в (х,у) = в0(дг (0,х,у))^У Га (х,у,т,в,р,д) (т,дг (т,х,у)) (т;
о
х
р (х, у) = р°(дз (0,х,у))^У ГР (х,у,в,р,д)(т,д. (т,х,у)) (т; (18)
о
х
д (х,у) = д°(дг (0,х,у))^ Г * (х,у,р, д) (т,дг (т,х,у)) (т;
о
х
г (х, у) = г°(дг (0, х,у)) ^ Г* (х, у, т, р, д) (т, дг (т, х, у)) (т,
где у = дг (т,х,у) - функция, являющаяся решением задачи Коши
/ дГ = т (т,дг (т,х,у)), { дг (х, х, у) = у,
т. е. одна из двух характеристик системы (16), проходящих через точку (х,у) € К2; у = д3 (т, х, у) - функция, являющаяся решением задачи Коши
/ д. =в (т,д. (т,х,у)),
{ д. (х,х,у)= у,
2071
