CC BY
16
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 124
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-805-812 УДК 517.911, 517.968
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ
s О. В. Филиппова1^, А. И Шиндяпин2'
ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: phi lip рота, olga@rambler.ru 2'' Университет имени Эдуардо Мондлане 3453. Мозамбик, г. Мапуто, ул. Джулиуса Нейрере El-mail: aiidrei.olga@tvcabo.co.mz
Аннотация. Исследуется функционально-дифференциальное включение с воль-терровым многозначным отображением. Предполагается, что в заданные моменты времени решение терпит разрыв, величина которого принадлежит значению заданного многозначного отображения. Получены оценки отклонения в пространстве кусочно-не прерывных функций множества решений задачи Коши от заданной функции. Получены условия непрерывной зависимости от начальных условий множества решений.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; задача Коши; многозначные импульсные воздействия; априорная ограниченность
Введение
В работе исследуется функционально-дифференциальное включение с многозначными импульсными воздействиями. Показано, что если множество всех локальных решений задачи Коши для такого включения априорно ограничено, то множество решений этой задачи почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений. На основе этого утверждения получены эффективные оценки решений задачи Коши. Изучен вопрос о непрерывной зависимости множества решений задачи Коши от начальных условий.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-31-00227; № 17-41-680975р_а; № 16-01-00677А).
806
О. В. Филиппова
1. Основные понятия
Обозначим через К" п -мерное пространство вектор-столбцов с евклидовой нормой 1101 И сотр —множество его непустых компактных подмножеств; рх]ж=Е/' -расстояние от точки х / X до множества II —> X в метрическом пространстве X;
^ 1К5 рх\х, И' - полуотклонение по Хаусдорфу множества 111 —> X от ипотек
жества II в пространстве Х\ кх] £-Г1 =Н' [ ос }/г11\ =11' и =И\' - расстояние по
Хаусдорфу между множествами С^ и II в пространстве X; Вх)х, <Н—открытый шар
с центром в точке х / X радиусом 5 > 1. Для измеримого по Лебегу множества { ,
мера которого +< е , обозначаем Ь"){ +- пространство суммируемых по Лебегу
функций х ; { оо К™ с нормой х [^(М) [ [ КФ^/а ; -|— конус нсотрицатель-
и
ных функций пространства Ь1){ +; -Н— множество всех непустых замкнутых и
ограниченных суммируемыми функциями подмножеств пространства Ь") { +
Пусть tk / ]а7Ь', к [ 2,3,... )а < < ... < tm < Ь+— конечный набор точек. Обозначим через С ]а,Ь' пространство всех непрерывных на каждом из промежутков ¿2 > ■■■! функций х ; ]а, Ъ' оо М™, имеющих пределы справа в точ-
ках tk, к [ 2,3,...,тп, с нормой х ¿"[аь] [ 11X8 } И'ОМ! > ^ / ! С+]а, 6" - конус
неотрицательных функций пространства С ]а,Ь'.
Пусть заданы непрерывные по Хаусдорфу отображения ( ; С ]а,Ь' оо <5)ГЛ]а, ¿> 1к ; К" оо сотр ]МП", к [ 2,3,...т, и вектор х / М". Будем предполагать, что отображение ( вольтеррово. Рассмотрим следующую задачу Коши для функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями:
®/(Иг (1-1)
1)^0 1+ х)1к+/1к)х)ЬЪ к[ 2,..., ™, (1.2)
ж)а+[ х0. (1.3)
Определение 1.1. Под решением задачи (1.1)—(1.3) будем понимать функцию х / С ]а, Ъ', для которой существуют такие Ф*. / к [ 2,3,...,™, и / { что при всех í / ]а, Ь' имеет место представление
~ т
х0 0 / д)з-ЫзО ^Х^д)*"**, */]«,&' (1.4)
{
(здесь символом Х(^,ь] обозначена характеристическая функция интервала Ь ). Пусть т / )а,Ь'. Определим линейный ограниченный оператор
К;С>,гооС>,Ь\ (*>*+ ССЛИ У.^Г
{ х)т-V если с / )т, о .
Обозначим ЛГГ [ }к ; /]а,т"| .
Определение 1.2. Будем говорить, что функция х / С™] а, т" является решением задачи (1.1)—(1.3) на отрезке ]а, г", т / )а, 6 , если существуют такие
/ к / МТ, и }/)( )^г.х-Н)^-, что функция х представима в виде
г
а
Множество всех решений на ]а, т обозначим Н)х$1 т-^ а )Н)хо1 Ь-НЦг - множество сужений на ]а, т всех функций из Н)х0, Ь-\т
Определение 1.3. Будем говорить, что множество решений задачи (1.1)— (1.3) априорно ограничено, если найдется такое г > 1, что для любого т / )а7Ь' не существует решения х этой задачи на ]а, т* такого, что ||М1Ь"[ат] ^ г-
Замечание 1.1. Если для заданного х0 / М" множество решений задачи (1.1)—(1.3) априорно ограничено, то оно будет априорно ограничено при всех начальных значениях из некоторой окрестности точки х0.
В [1-6] для случая выпуклого по переключению многозначного отображения ( доказано, что если множество решений задачи (1.1)—(1.3) априорно ограничено, то Н)х0,Ь+\А 0 и существует такой выпуклый компакт К > С ]а, Ь\ что справедливо Н)х0,Ь-\—>К, и для любого т / )а, Ь+ выполнено Н)х0, т+[
Определение 1.4. Будем говорить, что множество решений задачи (1.1)— (1.3) почти реализует расстояние до произвольной суммируемой функции, если для любого V / Ь"]а, Ь' и любого £ > 1 существует такое решение х / С ]а, Ь' задачи (1.1)—(1.3), что для любого измеримого множества { —>]а, Ь' выполняется неравенство
Я V ^ №*(м)К ( )ж+0 £р.){ (1.5)
где функция д / ( )х+удовлетворяет равенству (1.4).
В 11-6] показано, что при условиях выпуклости по переключению отображения ( и априорной ограниченности множества всех локальных решений задачи (1.1)—(1.3), множество ее решений почти реализует расстояние до произвольной суммируемой функции.
Определение 1.5. Будем говорить, что многозначные импульсные воздействия - отображения Д. ; М" оо сотр ]К"'. к [ 2,3, ...,т, обладают свойством Ы, если для каждого к [ 2,3, ...,т найдется непрерывная неубывающая функция 1к ; оо М", удовлетворяющая соотношениям
4)1+[ 1, у|Нг —п
Определим отображение % ; С ]а,Ь' ос Ъ' равенством )Zx-s¡)t-\-[ |[е)£-|]|. Пусть заданы функция и / Ь"]а, Ъ и числа е, г/ ^ 1.
808
O.B. Филиппова
Определение 1.6. Будем говорить, что отображения ( ;С ]а, b' ocQ)L"]a, Ь' + и ; К" оо comp ]R"", к [ 2,3 обладают свойством ) ">е>1/, /fc, /г [ 2,3,т-^ ес-
ли отображения Д, обладают свойством U, и если найдется такой изотопный непрерывный вольтерров оператор ; С+]а, Ь' оо Ьц_]а,Ь", удовлетворяющий условию )1+[ 1, что для любых функций х1 у / С ]а, Ь' и любого измеримого множества { —>]о,Ь" выполняется неравенство
^"И )Z)X V-Н-Ь 1(Ы),
а множество всех локальных решений задачи
ä[ иО г0 )z-\ z)tk 0 1+ z)ifc+[ Tk)z)tt-Hf 2,3,...,m, z)a+[ v (1.6) априорно ограничено.
2. Основные результаты
Следующая теорема позволяет получить оценки нормы разности решения задачи (1.1)—(1.3) и заданной кусочно-непрерывной функции.
Теорема 2.1. Пусть для функции у / сГ]а,Ь' существуют такие / 1к)у)Ък~Нг к [ 2, 3,..., т, д / Ь' и к / 6", что ил!ееш место представление
~ т
а ^
и для каждого измеримого множества { Ь' справедливо керавекешео
№■00154 ^ J х)яЫв.
и
Далее, пусть существует такое £ > 1, что отображения ( ; (Т]а,Ь' оо С^)Ьп]а,Ь'-\-и 1к ; К" оо про з к [ 2, 3,..., т, обладают свойством ) и>е>1/) А; [ 2, 3,..., т+ при
значениях и [ х, Це0 Тогда для любого решения х / (Г\а,Ъ' задачи )2.2+
)2.5+ удовлетворяющего для любого измеримого множества { —> ]а, Ь' неравенству )2.6+ с функцией V [ имеет место оценка
УМ^ОН t/]a,Ь\
и почти всюду на ]а7Ь' справедливо неравенство
11?)*+ ) )£-н)н
где £ / Ср]а,Ь' верхнее решение задачи )2.: +
Замечание 2.2. Теорема 2.1 не устанавливает факт существования решения, удовлетворяющего оценке )2.6+ Условия существования такого решения получены в теоремах 1-3 (см. |1-6]).
Впервые вопрос об оценке нормы разности решения задачи Коши обыкновенного дифференциального включения с выпуклой правой частью и заданной абсолютно непрерывной функцией был исследован А. Плисом (см. [7]). Решение этой задачи для обыкновенного дифференциального включения с невыпуклой правой частью, удовлетворяющей условию Липшица по второму аргументу, получено А.Ф. Филипповым (см. [8]). Впоследствии установлению более общих оценок были посвящены работы A.A. Толстоногова, П.И. Чугунова, В.И. Благодатских, Е.С. Половинкина, В.В. Обу-ховского и других авторов (см. [9]).
Теорема 2.1 позволяет получить следующее утверждение о непрерывной зависимости от начальных условий множества решений задачи Коши для функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями.
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда при некотором 5 > 1 для любой последовательности аг / В^п)х0, i [ 2, 3,... , сходящейся (при г оо е ) в к ж о, выполняется:
1) для любого у / Н)х0,Ь+ найдется такая последовательность у} / Н)аг,Ь-^ г [ 2, 3,..., что уг оо у в пространстве Сп]а, Ь' при г оо Е ;
2) для любой последовательности у} / Н)аг, Ь-^ г [ 2,3,..., имеющей при г оо е предел у в пространстве С™] а, Ь', найдется такая последовательность % / Н)х0.
г [ 2, 3,..., что щ оо у в пространстве С™]а, Ь' при г оо Е .
Для обыкновенных дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений условия непрерывной зависимости решений от начальных условий и других параметров получены в работах J. Kurzweil, Z. Vorel, М.Ф. Бокштейна, H.H. Петрова, Е.С. Жуковского и многих других авторов (см., |10,11] и библиографию в этих работах). Задача о непрерывной зависимости от параметров решений дифференциальных включений и систем управления исследована В.И. Благодатским, А.Ф. Филипповым, А.И. Булгаковым (см., например, [12,13]).
Отметим, что теорема 2.2 может иметь приложения, связанные с корректностью математических моделей реальных процессов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 1 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов. 2009. Т. 14. Вып. 6-2. С. 1275-1283.
2. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 2 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов. 2009. Т. 14. Вып. 6-2. С. 1284-1288.
3. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 3 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов. 2009. Т. 14. Вып. 6-2. С. 1289-1298.
4. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 4 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов. 2009. Т. 14. Вып. 6-2. С. 1299-1304.
BIG
О. В. Филиппова
Б. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть Б // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6-2. С. 130Б-1312.
6. Булгаков А.И., Корчагина Е.В., Филиппова О.В. Функционально-дифференциальные включения с импульсными воздействиями. Часть 6 // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. Вып. 6-2. С. 1313-1318.
7. Plis A. On trajectories of orientor fields // Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. Math. 196Б. Vol. 13. № 8. P. Б71-Б73.
8. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 198Б. 224 c.
9. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных включений. М.: Книжный дом «Либроком», 2011. 226 с.
10. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О корректности дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1Б23-1Б37.
11. Жуковский Е.С. Непрерывная зависимость от параметров решений уравнений Воль-терра // Математический сборник. 2006. Т. 197. № 10. С. 33-Б6.
12. Благодатских В.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР. 198Б. Т. 169. С. 194-2Б2.
13. Булгаков А.И., Панасенко Е.А., Сергеева А.О. О непрерывной зависимости множеств фазовых траекторий системы с фазовыми ограничениями по управлению от параметров // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2011. Т. 16. № 1. С. ББ-Б7.
Поступила в редакцию 13 апреля 2018 г.
Прошла рецензирование 21 мая 2018 г.
Принята в печать 26 июня 2018 г.
Конфликт интересов отсутствует.
Филиппова Ольга Викторовна, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры функционального анализа, e-mail: philippova.olga@rambler.ru
Шиндяпин Андрей Игоревич, Университет имени Эдуардо Мондлане, г.Мапуту, Мозамбик, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и информатики, е-mail: andrei.olga@tvcabo.co.mz
Для цитирования: Филиппова О.В., Шиндяпин А.И. Некоторые свойства решений задачи Кошидля функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 805-812. Б01: 10.20310/1810-0198-2018-23-124805-812
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-805-812
SOME PROPERTIES OF THE GENERALIZED SOLUTIONS OF AN INITIAL VALUE PROBLEM FOR FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL INCLUSION WITH MULTIPLE-VALUED IMPULSES
O.V. Filippova1^, A.I. Shindiapin2)
1'1 Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov 392000, Russian Federation E-mail: phi lip рота, olga@rambler.ru 2- Eduardo Mondlane University Julius Nyerere Av., Maputo 3453, Mozambique El-mail: andxei.olgaQtvcabo. со. ни
Abstract. Deviation estimates in space of piecewise continuous functions of a set of the generalized decisions from beforehand given function are received. The continuous dependence of the generalized decisions on starting conditions is established. Keywords: functional-differential inclusion; multiple-valued impulses; a-priori boundedness
REFERENCES
1. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Funktsicmal1 no- di ffer entsi al1 nyy e vklyuche-niya s impuFsnymi vozdeystviyami. Chast1 1 [Functional-differential inclusions with impulses. Part 1]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye г tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2009, vol. 14, no. 6-2. pp. 1275-1283. (In Russian).
2. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Fun ktsi on al1 no-di ff er entsi al1 nyy e vklyuche-niya s impuFsnymi vozdeystviyami. Chast1 2 [Functional-differential inclusions with impulses. Part 2]. Vestnik Tambov skogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2009, vol. 14, no. 6-2. pp. 1284-1288. (In Russian).
3. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Fun ktsi on al1 no-di ff er entsi al1 nyy e vklyuche-niya s impuFsnymi vozdeystviyami. Chast1 3 [Functional-differential inclusions with impulses. Part 3]. Vestnik Tambov skogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2009, vol. 14, no. 6-2. pp. 1289-1298. (In Russian).
4. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Fun ktsi on al1 no-di ff er entsi al1 nyy e vklyuche-niya s impuFsnymi vozdeystviyami. Chast1 4 [Functional-differential inclusions with impulses. Part 4]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2009, vol. 14, no. 6-2. pp. 1299-1304. (In Russian).
5. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Fun ktsi on al1 no-di ff er entsi al1 nyy e vklyuche-niya s impuFsnymi vozdeystviyami. Chast1 5 [Functional-differential inclusions with impulses.
The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 18-31-00227; № 17-41-680975 p_a; № 16-01-00677A).
812
O.B. ®H^HnnoBa
Part 5]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences |, 2009, vol. 14, no. 6-2, pp. 1305-1312. (In Russian).
6. Bulgakov A.I., Korchagina E.V., Filippova O.V. Funktsional'no-differentsial'nyye vklyuche-niya s impul'snymi vozdeystviyami. Chast' 6 [Functional-differential inclusions with impulses. Part 6]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2009, vol. 14, no. 6-2, pp. 1313-1318. (In Russian).
7. Plis A. On trajectories of orientor fields. Bull. Acad. Polon. Sci, Ser. Math., 1965, vol. 13, no. 8, pp. 571-573.
8. Filippov A.F. Differentsial'nyye uravneniya s razryvnoy pravoy chast'yu [Differential Equations with an Discontinuous Right Part]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 224 p. (In Russian).
9. Borisovich J.G., Gelman B.D., Myshkis A.D., Obuhovskiy V.V. Vvedeniye v teoriyu mnogo-znachnykh otobrazheniy i differentsial'nykh vklyucheniy [Introduction to the Theory of Multivalued Reflection and Differential Inclusion]. Moscow, Book House "Librokom" Publ., 2011, 226 p. (In Russian).
10. Arutyunov A.V., Zhukovskii E.S., Zhukovskii S.E. On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative. Differential Equations, 2011, vol. 47, no. 11, pp. 1541-1555.
11. Zhukovskii E.S. Nepreryvnaya zavisimost' ot parametrov resheniy uravneniy Vol'terra [The continuous dependence on parameters of solutions of the equations of Voltaire]. Matematicheskiy sbornik - Sbornik: Mathematics, 2006, vol. 197, no. 10, pp. 33-56. (In Russian).
12. Blagodatskikh V.I., Filippov A.F. Differentsial'nyye vklyucheniya i optimal'noye upravleniye [Differential inclusions and optimal control]. Trudy Matematicheskogo instituta im. V.A. Steklova AN SSSR - Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 1985, vol. 169, pp. 194-252. (In Russian).
13. Bulgakov A.I., Panasenko E.A., Sergeyeva A.O. O nepreryvnoy zavisimosti mnozhestv fazovykh trayektoriy sistemy s fazovymi ogranicheniyami po upravleniyu ot parametrov [On continuous dependence of sets of phase trajectories to a system with constrains by control on parameters]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2011, vol. 16, no. 1, pp. 55-57. (In Russian).
Received 13 April 2018
Reviewed 21 May 2018
Accepted for press 26 June 2018
There is no conflict of interests.
Filippova Olga Viktorovna, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Functional Analysis Department, e-mail: philippova.olga@rambler.ru
Shindiapin Andrey Igorevich, Eduardo Mondlane University, Mozambique, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Mathematics and Computer Science, e-mail: andrei.olga@tvcabo.co.mz
For citation: Filippova O.V., Shindiapin A.I. Nekotoryie svoystva obobschennyih resheniy zadachi Koshi dlya funktsionalno-differentsialnogo vklyucheniya s mnogoznachnyimi impulsnyimi vozdeystviyami [Some properties of the generalized solutions of an initial value problem for functional-differential inclusion with multiple-valued impulses]. Vestnik Tambovskogo universiteta,. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 805-812. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-805-812 (In Russian, Abstr. in Engl.).
