CC BY
32
Теорема 2. Метрический тензор минимально подвижных пространств g у четвертой лакунарности основ-
ного случая необходимо имеет следующую инвариантную структуру:
m m 1 m _
gj (x,y) = 2" 4,4 j +^22B2_ BiBj +
m_i m i m
+y33C2 C .,C ., + у44D2 D,,D., +\V55D 2 D.,., +
j
+У124(AB)m_2 (A,B.j + 4 jBi ) +У134(AC)m_2 (A.C.j + 4. jC„) +У144(4D)m_2 (A.,D.j + A.jD.,) +У234(BC J'2 (B.,C.j + B.jC.,) +У244(BD)m_2 (B.,D.j + B.jD.,) +У344(CD)m_2 (C.,Dj + C.jD.,)
+ + + +
(6)
где Vpq =Vpq (x1,x2,x3,Ai,Bi,Ci) (p,q = 1,2,3,4); ypq =
det
g ,, (x; У)
Ф 0 (i, j = 1,2,...,n).
(7)
теорема 3. Метрический тензор минимально подвижных метрических пространств gn,y четвертой лакунарности основного случая необходимо имеет следующую структуру:
н
g ij (xУ)=Ф11 AiAj +Ф22B.iB.j +933C,C . j +ф44 D. iD. j + < +Ф55 D.i. j +Ф12 (A.iB. j + A. jB.i )+ф13 (AC. j + A. jC.i)+ +Ф14 (AiD. j + A. jD.i)+ Ф23 (B.C. j + B. jC.i)+ +Ф24 (B.iD.j + B.jD.i)+Ф34 (C.iD.j + C.jD.i),
где (Ppq= Фpq(x1;x2;x3;A;B;C;D), <Vpq = ^qp.
0 m н
Предполагается, что рассматриваемые выше пространства gny, gny, gny имеют положительно определенную метрику присоединенного пространства [1]. Конкретизируя здесь выбор значений функций
0 m н
ypq,fpq,Фщ (P,q = 1,2,3,4), получим пространства gn , gn , gn с полными группами движений Gr порядка
{r) =(n _ 2 )(n _ 3)< r <(n _ 2 )(n _ 3) + 6 = (r)
V /min 2 о ^ 'max 5
2
т.е. все пространства четвертой лакунарности «основного случая».
список литературы
1. Егоров А. И., Егоров И. П., Егорова Л. И. Приводимые и полуприводимые метрические пространства линейных элементов и их место в теории движений. Межвузовский сб. науч. трудов, Пенза, 1991, с. 38-62.
УДК 517.9+371.67
ковариантно постоянные тензоры в пространстве аффинной связности
А. Т. КОНДРАТЬЕВ*, Г. А. ФЕВРАЛЕВА** *Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа ** средняя школа № 60 г. Пензы
В статье изучаются двумерные пространства аффинной связности, допускающие группы аффинных движений четвертого порядка с точки зрения существования в них ковариантно постоянных тензоров. Таких пространств
три типа. В каждом из них найдены искомые тензоры - одновалентные (контрвариантные) и двухвалентные смешанные тензоры.
Рассмотрим только двумерные пространства аффинной связности, не сводимые к обычным аффинным пространствам, допускающие максимальную группу аффинных движений.
Как показал И. П. Егоров [1], таких пространств три типа. Они определяются следующими объектами аффинной связности:
I
Г 2а +1 0
г 1о
и Г 2=I 0 а I, г, ] = 1,2; а = const 0) " \ а 01 7
( 2 (с - х) 0 > Г 0 с - X ^
II Г1= 1 + х2 2= с — X 1 + X2 , с = const
10 0 у 11 + X 2 0 у
III
Г1= [ 2а 0 г {0 0
Г,2 I 0 «1
Г 2 = I I, а = const ф 0
" \ а 0)
Исследуем сначала эти пространства с точки зрения существования в них контрвариантных векторов, исходя
дА'
из системы дифференциальных уравнений в частных производных вида: Хц = -— + = 0, ', ^ , а = 1, 2
Применительно к пространству типа I эта система будет иметь следующий вид:
дХ 1
^ + (2а + 1)Х = 0 ,
дх
дХ2 . 2 . —- + аХ2 = 0 ,
= 0 ,
дх1
дХ1
дх2 '
дХ2 + 1 = —- + аХ1 = 0 .
дх 2
Здесь х = х , у = х
Из того, что пространство типа I не аффинное, имеем а Ф - 1; Из системы (*) видно, что решением её является и нулевой вектор, который мы рассматривать не будем, так что
(Х1)2 + (Х2)2 ф 0.
Решая систему (*), получим следующие постоянно ковариантные контрвариантные векторы Х:
д (А е-р-ч, - а А е-(2а+1)X2 + в е-""1),
где А и В — постоянные, удовлетворяющие условию ( а2 + а ) А = 0. отсюда возможны следующие случаи:
1)А = 0,а - лю бое, тогда Х ( 0; В е~ах');
2) А Ф 0, а = 0, ковариантно постоянный вектор будет вида Х ( А е; В);
3) А - любое , а = - 1 , тогда Х (А ех1; А еХ х2 + В еХ );
4) А = 0, а = 0, тогда Х (0, В).
Эти четыре поля контрвариантных векторов и являются искомыми.
Для пространства типа II система дифференциальных уравнений имеет вид:
ЗА1 + Я1 = 0 ,
+ Я1 = 0 .
дх2 1 + (х1)2
Решением этой системы будут следующие контрвариантные векторные поля:
дх1 1+(х1)
5Д2
_)2 1
+ с х „ Д2 = 0 ,
дх1 1+(х1)
дЯ_
~дх2
- = 0 ,
Я (о ;
—ГУ carctgx
+(х ) е
, А - const Ф 0, с - const из пространства типа II. Обратимся к пространству аффинной связности А третьего типа. Соответствующая система дифференциальных уравнений имеет вид:
+ 2aX_ = 0 ,
дх1
9X2 12 п —- + aX2 = 0 ,
дх1
9X1
дх2
9X2 п
—- + aX1 = 0 . дх 2
Это пространство допускает следующий вектор:
X (0; dе~а*1), d* 0, а * 0. Рассмотрим теперь на предмет ковариантного постоянства двухвалентные смешанные тензоры aj в тех же пространствах. В этом случае система дифференциальных уравнений будет гораздо сложнее и в общем виде записывается так:
= 0 ,
ZZL + Г' ка° - г £а1 = 0, i, j, k, ст =1, 2.
дхк L ^
Решением этой системы для пространства типа I является следующий тензор:
, С_ и С2 - const.
a =
(С, 0^
„ 0(а+1)х' С2е 0
Выпишем систему уравнений для пространства типа II:
'а1а11 = 0 ,
д,а\
1+(х1)2
-а\ = 0 ,
5 2 х с 2
,а, н--а, = 0 ,
1 1 1+(х1)2 1
д^2 = 0 ,
£ _ ^
д 2 aj--— а\ = 0 ,
2 1 1+(х1)2 2
д 2 а'2 = 0 ,
1
2
5 2 < + Т^Ь" («1 - = 0 ,
1+(х1)2
д 2 < + T^TITT а2 = 0 ■
1 + (X1)2
Заметим, что в системе искомыми функциями являются
а11( х1, х2), ( х1, х2), а2 ( х1, х2), а22 ( х1, х2).
Наша система состоит из восьми уравнений, которым выписанные функции должны удовлетворять. В большинстве случаев такие системы решений не имеют. В нашем же случае функции, определяющие ковариантно постоянный тензор, находятся. Они имеют вид:
Г С,
ai =
с^е
carctg x
Vi+(x1)2
0 ^
0
Найденное тензорное поле, как видно, зависит от двух произвольных параметров С1 и С . Наконец, рассмотрим пространство типа III . Соответствующая система дифференциальных уравнений имеет вид:
с^1 = 0 ,
д1а]2 + 2аа\ - а\ = 0 , 91а12 + aal - 2аа12 = 0 , д1а^ = 0 , д- аа\ = 0 ,
д 2а\ = 0 ,
д2а\ + аа\ - аа2, = 0 ,
дп al + аа\ = 0 .
^ v2
Здесь также надо найти функции а\ ( X1, X2) , удовлетворяющие этой системе. Они имеют вид:
ai
Cie
Здесь Сj и С - const, а Ф 0 - const пространства.
Таким образом, в пространствах аффинной связности А всех трех типов найдены ковариантно постоянные контрвекторы и смешанные тензоры второй валентности. Следует отметить, что при решении систем дифференциальных уравнений мы нередко применяем дифференцирование тождеств, и это облегчает нахождение решений, а также теорию обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробное решение указанных задач можно найти в [2].
список ЛИТЕРАТУРЫ
1. Егоров И. П. // Дисс. ... докт. ф-м. н. М.: МГУ, 1956.
2. Февралева Г. А. Абсолютная производная и её приложения // Дипломная работа. Пенза: ПГПУ, 1997.
0
i
i
