К основной проблеме профессора И. П. Егорова в теории движений для финслеровых пространств и их обобщений Текст научной статьи по специальности «Математика»

т0 1

3. T'J = Jт-‘Т (u)dT +Jт-*7• (u)dT , если z е д., ^ е D-.

0 То

Т0 1 Т1

4. T'J = J т "“/-(и )Л +J т-‘hf-(u )Л +J т "'/-(u )Л , если z е E',, z0 е D".

0 X! Хо

1

5. TJ = Jт f (и)dx , если z е D0 = D \ E '1, z0 е D .

0

Вывод: из 1 и 5 ^ Т°ь = Ю (z ) - аналитическая в областях z е D+ , z0 е D+ ; z е D0 , z0 е D , а в остальных областях будет обобщенно аналитическая.

список литературы

1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 510 с.

2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.

3. Гуляев А. В. Об одном классе обобщенных аналитических функций. Интегральт перетворення та ix застосування до крайових задач: Зб. Наук. Пр. Ктв: 1т-т математики АН Украши, 1995. Вип. 8. С. 68 - 77.

4. Гуляев А. В. Оператор ТаЬ в пространстве Lp |E j . Обобщенные производные оператора J— b. Интегральт перетворення та ix застосування до крайових задач: Зб. Наук. Пр. - Ктв: 1т-т математики АН Украши, 1996. - Вип. 11. -С. 23 - 32.

(г) . = ------------—---------------, где n > 11.

V /min о

УДК 514.76

к основной проблеме профессора и. п. Егорова в теории движений для финслеровых пространств и их обобщений

А. и. ЕГОРОВ

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа

Рассматриваются минимально подвижные финслеровы пространства и их обобщения четвертой лакунарности основного случая, т.е. пространства с группой движений Сг порядка

(п - 2)(п - 3)

2

В работе используются обозначения и понятия, введенные в работе [1]. Если метрическая функция ^ (х,у)

пространства необязательно однородная второй степени относительно координат опорного объекта уа , то полу-

н

чаемые таким образом пространства условимся обозначать символом Рп у . Пространства, метрическая функция которых ^ (х,у) однородная относительно координат уа и имеет степень однородности т, будем обозначать

т 2

символом ^п,у. Финслеровы пространства будем обозначать символом Еп,у. Исследования ведутся в локальном

2 т н

аспекте. Рассматриваемые в этой статье пространства Еп,у, ¥ п,у, ¥п,у с положительно определенной метрикой. Группы движений Ог всех рассматриваемых нами пространств четвертой лакунарности с определенно положительной метрикой в основном случае являются группами движений собственно римановых пространств ¥п той

ч (п - 2)(п -3)

же лакунарности. Операторы группы движений иг порядка (г)^п = -------------------------------------------^- , в рассматриваемом нами ос-

новном случае приводятся к виду [1]:

^ ^ Рц- ^ р(^ ц = 4,5,■■■, п)

*и = -2 p^+f1 -k а I p^>

.2 52 2

, где а = x + x +... + xn ; k е R.

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ►►►►►

Интегрируя уравнение инвариантности метрических функций пространств ¥ п,у, ¥ п,у, ¥ п,у, получим их необходимые выражения в случае минимально подвижных пространств четвертой лакунарности основного случая:

-р(х,у) = 4АБСО ф1 (х1,х2,х3, А1,В1,С1 ),

£(х,у) = */{ЛБСО)т н/1 (х ,х2,хс3,^1,Б1,С1\ -р(х, у) = /1 (х1, х2, х3 ,Л,Б,С, _С>),

(1)

(2)

(3)

р -г-, (x, у)

р-г., (x, у)

Ф 0, ёе

,2 02 ,2

А = у1 ,В = у2 ,С = у3 , В =-

у + у + ■■■ + у

к ( 42 , ,,52

А С В

Ф 0, (г, ,■ = 1,2,^,п), А, = —; С, = —; В, = —;

4 ’ 1 в в в

к е Я.

1 Н----1 X + X + ■■■Х

4

2тн

теорема 1. Метрические функции пространств ¥ п,у, ¥п,у, ¥п,у с определенно положительной метрикой четвертой лакунарности в основном случае выражаются соответственно формулами (1), (2), (3). Размерность здесь группы движений зависит от конкретных значений функций Ф1, Ч1, А и может меняться в пределах

(г) . < г <(г) ,

V /шт V /тах

где (г ) =(п - 2)(п - 3) + 6, (г). =(п - 2)(п - 3), (п > 10).

V /шах 2 ^ /шт о V /

2

Случай, когда размерность г группы движений Ог

(г ) =(п - 2 )(п - 3)

V /шах о

2

+6,

рассмотрен нами в работе [1], где выписаны метрические функции и метрические тензоры для финслеровых пространств и их обобщений.

0

В случае минимально подвижных метрических пространств gn у четвертой лакунарности основного случая имеем, что необходимо

gу (х,у)= /пА-1 А.,А.; + /22В^ВВ+^С-1С.,С., + +/44В-1В.гВ., + /55В., ., ++ /12 V (АВ )-1 (А,-В.у + АуВ.,)+

+/п^АС)

+А^(АВ)

+/23^(ВС)-

+/24^(ВВ)

+/3^>/(СВу

(А,С, + А. уС)+

(А,В у + А. В,)+ (ВС. у + В,С,)+ (В,В, + В.В )+ (С,д у + с. в)

(4)

где положено

/р, = /р, (х1, х2, х3, А, въ С), /р9 = /

А п В „ С \

А] =—;В] =—;С =—; (г, / = 1,2,^,п)

1 В В В ’

(5)

2

2

2

теорема 2. Метрический тензор минимально подвижных пространств g у четвертой лакунарности основ-

ного случая необходимо имеет следующую инвариантную структуру:

m m-1 m-1

gj (x У ) = V11A 2 A iA j + ^22B 2 B ,B'■ j +

m-1 m 1 m

+У33С 2 С. ¿С. j + V44D 2 D. ¿D. j + V55D 2 D.i. j +

j

+^(AB)m-2 (A,B. j + A. j.B,) +^134(AC )m-2 (A,.C.j + A. f,) +^(AD)m-2 (AD j + A.jD.i) +^23^(bc)m-2 (B,C.j. + B.yC,) +^24 4(BD)m-2 (B. Dj + B jD.i ) +^34 4(CD)m-2 (C,D.j. + C.jD.i)

+

+

+

+

(6)

гДе Vpq = Vpq (x1,x2,x3,AbB1,C1) (p,q = 1,2,3,4); ^ = ^,

det

gy ( x; У )

Ф 0 (i, j = 1,2,...,и).

(7)

теорема 3. Метрический тензор минимально подвижных метрических пространств gn y четвертой лакунарности основного случая необходимо имеет следующую структуру:

gу (ху)= Ф11 AiAj +Ф22B,Bj +Ф33С iC. j +Ф44D,Dj +

< +ф55Di. j +ф12 (A. iB. j + A. jB .i )+ф13 (AiC . j + A. jC .i)+

+ф14 (A iD j + A jD.i )+ф23 (B. iC. j + B. jC .i)+

+ф24 (B. iD. j + B jD.i )+ф34 (C. iD. j + C . jD.i)

где фpq= фpq(x1;x2;x3;A;B;C;D), Фpq =Фqp.

0 m н

Предполагается, что рассматриваемые выше пространства gny, gny, gny имеют положительно определенную метрику присоединенного пространства [1]. Конкретизируя здесь выбор значений функций

0 m н

Vpq,fpq,ф^ (p,q = 1,2,3,4), получим пространства gn , gn , gn с полными группами движений Gr порядка

, ч (n - 2)(n - 3) (n - 2)(n - 3) , ч

(r) = V----A------r <V---------A----------------J + 6 = (r) ,

V /min 2 о V /max

2

т.е. все пространства четвертой лакунарности «основного случая».

список литературы

1. Егоров А. И., Егоров И. П., Егорова Л. И. Приводимые и полуприводимые метрические пространства линейных элементов и их место в теории движений. Межвузовский сб. науч. трудов, Пенза, 1991, с. 38-62.

УДК 517.9+371.67

ковариантно постоянные тензоры в пространстве аффинной связности

А. Т. КОНДРАТЬЕВ*, Г. А. ФЕВРАЛЕВА**

*Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа ** средняя школа № 60 г. Пензы

В статье изучаются двумерные пространства аффинной связности, допускающие группы аффинных движений четвертого порядка с точки зрения существования в них ковариантно постоянных тензоров. Таких пространств