CC BY
24
список литературы
1. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.
2. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.
3. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959.
УДК 517.55
о подвижных областях аналитичности оператора ТО
а ,Ь
А. В. ГУЛЯЕВ, Р. А. КАРМЕЕВ Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа
В работе изучаются свойства оператора Т в некоторых функциональных пространствах. В зависимости от расположения фиксированной точки т0 на комплексной плоскости определены области аналитичности этого оператора. Установлено, что область аналитичности зависит от расположения фиксированной точки т0 и точки т, в связи с
ГО
.
а ,Ь
§ 1. СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА Т®ъ В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Теорема 1.1. Пусть О+ круг радиуса Я с центром в точке / (т )е С2 (О+) , тогда имеет
место следующее интегральное представление
2т 0 \ V- и ™ о о и
£ = /Л + IV ; и = ТЪ2 + (1 -тъ) т0 =тъ (т - т0) + т0 , т0 е О+ = < Я |, т0 - фиксированная точка.
д *______д
^ (т )=(а + Ъ + 1)/ (т )+ ъО/ (т ), О1 =(т — т0 )дт + ( — т0)—
дт v дТ
у - граница области О+ , а, Ъ > 0.
Доказательство. Заметим, что если г е О+ , то и =
ть т + ^1 — тъ)т0| < тъ Т + ^1 — тъ)\г0 \ <тЯ + (1 -г)Я = Я ,
VI е [0Д] . Таким образом, |и| < Я , если т и е О+ и при любом фиксированном т е [0,1] и точка и е О+ .
Согласно формуле Помпейю
(ЛМ)^_1. «её / ^ (М)
2от' и 4~ и
Установим справедливость двух равенств
\та+ъ+1/(и, и)]' =( а + ъ + 1)га+ъ/(и, и ) + га+м (/\и\ + / '-и\) =
(а + ъ +1) та+ъ/(u, й) + та+м ( /' и ( г - т0) ътъ-х + /' и (т - т0) ътъ~1) =
= (а + ъ + \)та+Ь/(u,и ) + та+ь (/'и (т - т0)ътъ + Г- (г - т0)ътъ ) =
((а + ъ +1) / + ^ъ (Ги (т - т0) + /'и (т - т0))) (1.2)
= ( а
= та+ъ 1| а-
= Т
= г
та+ъ ■;а,ъ/и ) = 7“+ъ (а + ъ + 1) / и ) + ъ(( т - т0 )Гг (u, и ) + ( т - т0 )/'~т (u, и ))
(а + Ъ +1) / (u, и) + ъ ( г - г) Г и (u, и К + ъ (т - т0)А (u, и К
ъ (а + Ъ + 1) У и ) + Ъ?Ь ((т - т0 )/'и (u, и ) + (т - т0 )/'~и и )) . (1.3)
Из (1.2) и (1.3) следует
[т а+ъ+1/(и,и )]Т = т а+31ъ/(и,и ) ,1.4)
Умножая обе части равенства (1.1) на т а+ъ, а функцию / (г, г ) заменим на •/а,ъ/(%, %) и в итоге получим формулу ( * ).
В самом деле
}та+ъ31ь/(и,и )¿т = }(та+ъ+1/(и,и ))' ¿т =
= г
/ *ь (z-zo)+zo;^ (z-zo)+zo I = / (zz) •
Далее вместо / &т) будем писать просто /(т).
Заметим, что при г0 = 0 формула ( * ) совпадает с известным интегральным представлением Помпейю с параметром, введенным в свое время Гуляевым А. В. Интегральное представление ( * ) позволяет ввести в рассмотрение два интегральных оператора
Т,ь/ ( z) = -- j d^dv,
Ж1 A uT U
0 D+
% - u
TObf (z ) = ~2~ dv.
2m 0 77- u
Укажем на некоторые свойства оператора Т°ь/ в пространствах Са и Lp , 0 < а < 1.
(1.5)
(1.6)
§ 2. О ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ОПЕРАТОРА Т°ъ/ К ПРОСТРАНСТВУ Ьр Пусть Е комплексная плоскость. Выберем радиус г (0 < г < Я) таким способом |г| < г и |г0| < г , тогда \и\ < г при Vт е [0,1].
Рассмотрим интегральный оператор
1 1 / (п) _
(2.1)
Кь/( z )= 2- }^a+bd^J'J-/<^ dT?
2ОТ 77- u
f (n )e Lp (Y ), Y |z| < ^ p > 2
теорема 2.1. Пусть /(n )e Lp (y ), тогда Т®ь/(z) = ф (z) удовлетворяет условию |ф (z) <M • Lp (/,Y ),
z, z0 e E .
Доказательство. Произведем оценку (2.1)
Wz )l = ^77
2 от
1 , 2i 7R • e7^/ (R • e7'^)
i za dz f , V----------------r1 dp
0 0 (R • e7^-u)
(2.2)
Применим к (2.2) неравенство Гельдера
~2п
Л / (Я ■ е*)| '¿у
0
1г{а+ъ)чс1т\
^1—Я—[|—
0 |Я •е<р -и| 0 Я ~{гь г + ^1 -гъ)г01
Яг
Так как
г < Я < г
г0 < г < Я
, то |и| = тЬт + (1 —тЪ )т0| < г, Vт е[0,1].
0 |Я • в,<р- и
-йф
(2.3)
(2.4)
2п я? 2п
Поэтому I --------- йф < I -
Я- -йф = 2п Г Я
0 (Я — |и|)' 0 (Я — г)- ' IЯ — г
Из равенств (2.3) - (2.5) следует нужная оценка
*
1 1 1
|®(г)|<— Ь (* ), ------- ----(2п )-
1 У П 2л ' (а + Ъ)- + Л }
(а + Ъ )-
Я тг т 1
Пусть Я = тг , т > 1, тогда-------------=----------=---------= 1 + .
Я — г тг — г т — 1 т — 1
Из (2.6) и (2.7) следует к(т )Н м • Ь (/)
Я
Я—г
(2.5)
(2.6) (2.7)
1 Г1 + - 1
2п ) (а + Ъ )г+1 I т — 1
(2.8)
Я
Здесь Ьр (/) норма элемента множества Ьр (у ), и для всех областей О+ , у которых — = т > 1 ( т - фиксированное число).
Теорема 2.2. Пусть г1 и г2 е Е (г1 Ф г2), Е - комплексная плоскость, радиус Я > 1, г1, г2 е ЕЯ = < Я |,
У (п )е Ьр (у ), р > 2 , тогда имеет место неравенство
|т„0ъ [ / (г)]—Т0ъ [ / (т2 )]| < Ьр (/, у )м т—т2 а = -—- , 0 < а < 1, иу = тъ (гу — г0)+ г0, у = 1,2
Доказательство. Пусть Т°ъ [/(г)] = ф (г),
_1_
2л
И г1)-?( г2 )|=^
2л
( т1 - т2) (пйП
11
Г] — и1 Т] — и2
{р-и1 ){р-и2 ) Применим к (2.9) неравенство Гельдера
2л
1|га*=ьйг|
: Я1е‘9 / (Я • е‘9) йр
(Я • е1<р -и1 )(Я • е1<р -и2) '
(2.9)
\ф{т1 )“^(т2 )|^
1
2^т1 _тг\Ьр (/,^)|т(а+2Ъ)-йт! I
Я-йф
(2.10)
|Я • е'*- и^ [Я • е‘9- и2
Пусть г1, г2, г0 е Ег = {г| < г < Я |, тогда точки и1, и2 е Ег, поэтому |ик| < г , к = 1,2 при Vт е [0,1], следовательно: Я • е'ф — и\ > Я — г , к = 1,2 (2.11)
р
21- т2
Так как - < 2 , то Я- < Я2 Я > 1.
Оценим (2.10) с учетом последнего неравенства
Г V 1
Я-йф
0
Я • е'ф — и1 \-\Я • е'ф — и2 -
<
4 1 4 1 "I /
V
Я йф
0
Я — г-Я — г-
Рассмотрим два случая:
Пусть г = > — , Я = 2г > 1, тогда
1 1
= (2л )--^-------------------------------------------------------------^ . (2.12)
я ! {1 —г
Я
112
= 22 = 4 (2.13)
1—Я) ('—Я
Так как г1 и г2 е Ег, г < Я , то |г1 — г2| < 2Я. (2.14)
Из (2.13) и (2.14) следует
2-—2
2-—2 2-—2 2-—2
Я - > К—т21 ! ;-------2_!---------------------------------------------------------------------< 2 - •4 <-8-. (2.15)
2-—2 2-—2 / \2 , .2-—2 , 2-—2
2 ! Я ! I 1 —г
I Я
Пусть теперь г = |г| < — , Я > 1.
В этом случае |г1 — г2\ < 2,_______1___<________1_____, (2.16)
1 2 2-—2 2-—2
2
11
--^ ^ < 4, (2.17)
1 —
Я
г ) (1 — г)
2-—2
1 2 ! • 4 8 (918)
<—^-^< . (2.18)
2-—2 / \ 2 2-—2 2-—2
Я-11—г | 2^ '
Из неравенств (2.10) - (2.18) следует
Ит1 )-^(т2 Ьр (/,г) 1 ¿2 ^ 8Ьр (/,г)\т1 - ^ ! =
|т1 _ 2'\ !
= М ■ Ьр (/,/) 1^1 - г21“, 0 <«< 1,
1 о 111
так как 1 < - < 2, —I— = 1.
р-
Константа М = у зависит от р , но не зависит от Я .
Вывод: Т^ъ - линейный вполне непрерывный оператор в пространстве Ьр (/,у ), отображающий это пространство на пространство Са (/,у ), а = —-, р > 2 .
р
т1 — т2 !
§ 3. СВОЙСТВО МОДУЛЯ \и\ = тЪ (т — го)+ го ПРИ РАЗЛИЧНЫХ РАСПОЛОЖЕНИЯХ ТОЧЕК г
И ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКИ го = хо +'уо
и = т (z-z )+ z .
I 12 2
Непосредственными вычислениями устанавливаем значения параметра т , при которых и = R .
1иГ=Y (z _ z°)+z°| =(гЬ (z _ z°)+z° И7* (z _ z°)+z° )=
= т2Ь (| z 12 - 2-| z|-| z„| ■ cos a + |zo |2 )+гЬ ( z • zo - |z„ |2 + zo • z-| zo |2) + |z„ |2 = R2
z2b\z - zo |2 + 2 -тЬ z| • |zo | ■ cos a- |zo |2 j + |zo |2 = R2,
т2Ь \z-zo|2 -2тЬ • \zo\-(Izo|-|z|cos«) + |z„12 -R2 = 0,
« = I arg z - arg z\ .
Отметим, что разность |zo | — | z| cos а может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Выясним условия, при которых разность |z,| — |z| cos а < 0 , (|z,| — |z| cos а > 0 ). Предварительно введем в рассмотрение ряд областей.
Рис. 1
а) Пусть го = (хо, уо) принадлежит первой четверти, тогда уравнение простой прямой у = —кх + Ъ ;
б) Если го = (хо, уо) принадлежит второй четверти, то у = кх + Ъ ;
в) Если го = (хо, уо) принадлежит третьей четверти, то у = —кх — Ъ ;
г) Если го = (хо, уо) принадлежит четвертой четверти, то у = кх — Ъ ;
где к = — ; Ь = — .
У, У,
Область расположенную выше 11 (первая четверть) обозначим через Е1, Е1 = {х, у : —кх + Ъ > 0}. Область расположенную выше 12 (вторая четверть) обозначим - Е2, Е2 = {х, у : кх + Ъ > 0}.
2
Область расположенную ниже l3 (третья четверть) обозначим - E3, E3 = {x, y : —kx — b < 0}.
Область расположенную ниже l4 (четвертая четверть) обозначим - E4, E4 = {x, y : kx — b < 0}.
Рассмотрим первый случай:
Пусть z0 е D+={|z| < RJ, z e D~={|z| > R . l ^ Oz0, |Oz0| = |z0|; |Oz| = |z| |OP| = |Oz| cosa или
\OP\ = |z| cos a > \Oz0 ^ |z0| < |z| cos a ^ |z0| — |z| cos a < 0 , если точки лежат выше прямой lx, т. е.
z е E0 = {z: E, \D+}.
Рис. 2
Пусть Г \\ lr и z е D ~ принадлежит полосе, ограниченной прямыми lj и l 'j, то очевидно, что |z0| > |z| cos a или | z01 — | z| cos a > 0 . Если же точка z е D и лежит ниже l', то угол a тупой и следовательно - cos a > 0, а это значит, что |z0| — |z| cos a > 0.
Вывод: |z0| — | z| cos a < 0 , если z е Ej и |z0| — | z| cos a > 0 , при Vz е D \ Ej, т.е. для всех точек z е D и лежащих ниже lj.
В остальных четвертях знак |zo | — | z| cos a определяется аналогично.
Решим уравнение |и|2 = R2 относительно Тb.
т2Ь |z-z0|2 -2|z0|(|z0|-|z|cosa)rb + |z0|2 -R2 = 0,
rb = ■
I2 Л 1 2 (
z0| (1 z0| - z cosaj - z - z0 1 z0
Заметим, что
(Iz0| - |z|cos«)2 = |zc|2 (|
z - zn
2 I |2 II |2 I |2 • 2
0, ,,z-z0 - z sin a
),
|z0|(Jz0\ -\z\cosa) = ±x¡|z0|" (|z -z0|2 -|z|2 sin2 aj = ±|z -z0|
2
z0 z
2 • 2 sin a
z - zn
= ± z-z0 V z0 -h
Из (1) и (2) следует, что
м
±z—— h ±z—z0
тb =■
R2 —
2 2 • 2
z0 z sin a
z—z
(3.1)
(3.2)
z — zn
i+ z0 2 -h2 ± VR2 — h2 z0 z sin a
N 1 z о , ± /J,C f V | z— -z0
2
2
0 \ “0
2
2
z0
2
2
2
Знак выражения ±д/|г0| - к2 , зависит от расположения точек г и г0.
т 0 =-
±v z0 2 -А2 - VЯ2 - А2 b ±^ z0 2 -А2 + VЯ2 - А2
z - z0 *1 N 1 z о
Пусть г0 принадлежит первой четверти круга. г0 < Я , г е О , г е Е^
Рис. 3
S - площадь aOzz, тогда 25 = z0 z sin а
Из (3.3) и (3.4)
2S = |z- z0| А А = OK , OK 1 zz0.
, А < Я .
z0 z sin а
А = J-----г1—1------:---
z - zn
Если z £ ¿0, то z0 — z cos а < 0 , поэтому
т 0 =-
z0 2 -А2 - VЯ2 - А2
z - z0
<0;xf =-
z0 2 А2 + VЯ2 - А2
z - z0
л/я2 - А2 = <J \OM\2 - |OK|2 =yj\OMf~-h2 = |KM|, \í
'|z0|2 - А2 = J|Oz0|2 - А2 = |Kz0 .
Из (3.5) и (3.6) |г0|2 - к2 + VЯ2 - к2 = |г0М| < |г0г| или |^0М| < \г - г01.
Таким образом
тf =-
- z0 2 А2 WЯ2 - А2
z - z0
< 1 (5), 0 <xf < 1.
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Введем обозначение.
Пусть р(т) = т2Ь\г — г0| — 2|г0|ть (|г0| — |г|cosa) + |г| — Я2 (*), Е* какая-либо область из Е - комплексной области.
Если р(т) > 0 при т е Т1 е [0,1] и У г е Е*, то |и| > Я , е Е *, VI е Т1. Если р(т) < 0 при VI е Т2 е [0,1],
г е Е**, \и\ < Я , Уг е Е**, Ут е Т2.
В случае z0 е D+ , z е Е0, т0 < 0, 0 <т < 1, имеем
< R, Vt е [0,т1) > R, Vt е (т1,1]
Пусть z0 е второй четверти, z е Е2.
Если z е Е02, то z0 — z0 z cos a < 0 и поэтому
т 0 =■
4 z0 2 h2 — Vr2 — h2
z — z0
тЬ =-
z0 2 h2 + VR2 — h2 — z0 K + \KM \Mz0\
z — z0 z- ~z0 z — z0
< 1, т.к. \MZ0\ < |z — z01 = |zz0
^ \ и
, мУ^/к > i
Рис. 4
Т. о. |u| < R, Vt е [0,т1),
|u| > R, Vt е (т1,1].
Как и в предыдущем случае, если z е D \ Е2, то |u| > R, Vt е [0,т0) ^ (т1,1]
U\ < R, Vt е (т0,т1).
Если z е D \ Е0, |z0| — Izl cos a > 0 и т 0 =-
yj\z0\2 — h2 — V R2 — h2 V|z0|2 — h2 +VR2 — h2
z — zn
, T1 =■
z — zn
>
г Л_Л-\ |1 \
V/“ \\А Ум ч^\
2
Рис. 5
В этом случае к =
|г0||г| 81Иа ь ^ г0
, Т о =■
^\г0\2 - к2 -VЯ2 - к2
г - г
< 1, т.к. ^\ОМх12 - к2 =л/Я2 - к2 = \М1К\
±\|г0| - к2 = |г0 К|, |М1К| > |г0 К| и |г0 К| <\2 - 20\,
ТЬ = * "0
- к2 +У Я2 - к2 = \г0М\
<1 .
г -
г -
Итак, 0 <Т0 <Т1 < 1.
\и\ > Я,Ут е [0,т0)(т1;1] , \и\ < Я,Ут е (т0,т1) , Если г е О \ Е10 (область О лежит ниже прямой 11).
Пусть г0 е третьей четверти, г е Е0 .
Рассмотрим случай, когда г0 е О , г е О .
Рис. 6
Из точки z0 проведем две касательные l1 и l2, M и N - точки касания.
Обозначим ZMz0l2 - I четверть,
Zl2z0lj - II четверть,
ZNz0l1 - III четверть,
ZMz0N - IV четверть, (z е D ).
Если z е I и III четвертям, то h > R , R2 — к2 < 0 и поэтому р(т) = 0 не имеет корней, при этом р(т) > 0 , Vt е [0д]> т.е. И >R при Vt е[°л].
Пусть теперь z е II четверти. Из hOzP , ZP = 90° ^ |OP| = |z| cos а ^ |z0| < |z| cos а или |z0| — | z| cos а < 0 . Если же z е IV четверти, то Op = z cos а < z0 или z0 — z cos а > 0 , z е IV четв. (z е D ). Итак, если
z е II четверти, то Т0 = -
■yj z0 2 — h2 —VR2 — h2 ^ z0 2 — h2 WR2 — h2
z — zn
, T1 = z — z0
= z cos а < z0 , z0\ — z cos а > 0 ;
yjz02 — h2 —-у/R2—h2 z0 2 — h2 + VR2 — h2
, T =
z 1 z о z 1 z о
Рис. 7
^|z0|2 — h2 = |Kz0| ; Vr2 — h2 = |KP|;
/;—¡2----2 /—2-----------------------------------------------------2. , , -J z0 2 — h2 + VR2 — h2
J z0 — h — \R — h = Kz0 — \KP\ = Pz0 > z — z0 , поэтому Tj = —-----------------------------------------;-;-> 1.
Iz — z0|
Итак, если z е IV четверти ( z е D~ ), то T0 и T1 > 1. Следовательно, |и| > R , Vt е [0,1].
Вывод: если z е I, II, III, IV четвертям, то |и| > R при Vt е [0,1].
Т0 =
Рис. 8
Пусть теперь z0 е D , z е D+ , z е I четверти круга, ^ |O^| = |z| cos а < |z0| или |z0| — | z| cos а > 0 . Следовательно,
Т.о. И > R , Vt е [0,t0], \u\ < R , Vt е [t0,1].
Если z е II или III четверти круга, то угол а - тупой и z0 — z cosа > 0 .
Рис. 10
V|zn Г — h2 = \KZn
-0|
VR2 — h2 = |KT|
^|z0|2 — h2 — VR2 — h2 = |Tz0| < |z —
0, - ,z — z0 , поэтому T0 < 1 ,
^|z0|2 — h2 + VR2 — h2 = |Kz0| + |TK| = \T1z0 \ > |z — z0| ^t1 > 1.
Остальные случаи анализируются аналогично.
§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА T
а,Ь
0
область A = z0 — z cos а т и
z е D+ z0 е D+ не зависит от знака A 0 <т < 1 u < R
z е D~ z0 е D+ A < 0, z е E0 A > 0, z е D~ \ E0 т е [0/T0) и < R
те (т 0,1] и > R
z е D~ z0 е D~ не зависит от знака A т е [0,1] и > R
z е E '1 z0 е D_ A > 0 T е[0,т0 Мт 1,1] и > R
т е(т0,т1 ) и < R
z е D~ \ E '1 = D0— z0 е D~ не зависит от знака A т е [0,1] и > R
z е D+ z0 е D_ A > 0 т е[0,Т0) и > R
те (т 0, 1] и < R
Используя приведенную таблицу, запишем интегральные представления оператора Т^ь .
Введем обозначения:
_±_ гЖ» л ={ / > )• И < я.
2п / - И [ /'(и ), И1 > Я
С учетом этих обозначений запишем интегральные представления оператора Т^ь в различных областях:
1. Т а,ь/ = |т / (и )^т , если г е Б+ , г0 е Б+;
О
T0
2. T°a,bf = jT a+bf + (u)dT + jT — (u)dT , если
z е D , z0 е D+;
т0 1
3. Т.,/ = /т "Т (и )л +/т "/• (и )Л , если г е д, 2о е д-.
0 То
Т0 1 Т1
4. Т.,/ = /т"“/-(и)Л +/т-*‘/-(и)Л + /т"Г (и)Л , если гЕ е',, г0 е с.
0 Т! То
1
5. и = /т Т (и)^т , если г е Д- = Д \ Е '1, г0 е Д .
0
Вывод: из 1 и 5 ^ Т°ь = Ю (г ) - аналитическая в областях г е Д+ , г0 е Д+ ; г е Д0 , г0 е Д , а в осталь-
ных областях будет обобщенно аналитическая.
список литературы
1. Векуа И. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 510 с.
2. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 542 с.
3. Гуляев А. В. Об одном классе обобщенных аналитических функций. Интегральт перетворення та ix застосування до крайових задач: Зб. Наук. Пр. Ктв: 1т-т математики АН Украши, 1995. Вип. 8. С. 68 - 77.
4. Гуляев А. В. Оператор ТаЬ в пространстве Ьр |Е |. Обобщенные производные оператора JаЬ. Интегральт перетворення та ix застосування до крайових задач: Зб. Наук. Пр. - Ктв: 1т-т математики АН Украши, 1996. - Вип. 11. -С. 23 - 32.
, ч 1И-2 НИ-3 I
(г) . = --------—-------где п > 11.
V /ш1П о
УДК 514.76
к основной проблеме профессора и. п. Егорова в теории движений для финслеровых пространств и их обобщений
А. И. ЕГОРОВ
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа
Рассматриваются минимально подвижные финслеровы пространства и их обобщения четвертой лакунарности основного случая, т.е. пространства с группой движений Сг порядка
(п - 2)(п - 3)
2
В работе используются обозначения и понятия, введенные в работе [1]. Если метрическая функция ^ (х,у)
пространства необязательно однородная второй степени относительно координат опорного объекта уа , то полу-
н
чаемые таким образом пространства условимся обозначать символом Рп у . Пространства, метрическая функция которых ^ (х,у) однородная относительно координат уа и имеет степень однородности т, будем обозначать
т 2
символом рп,у. Финслеровы пространства будем обозначать символом Рп, у. Исследования ведутся в локальном
2 т н
аспекте. Рассматриваемые в этой статье пространства Рп,у, ¥ п,у, ¥п,у с положительно определенной метрикой. Группы движений Ог всех рассматриваемых нами пространств четвертой лакунарности с определенно положительной метрикой в основном случае являются группами движений собственно римановых пространств ¥п той
ч (п - 2)(п -3)
же лакунарности. Операторы группы движений иг порядка (г^, в рассматриваемом нами основном случае приводятся к виду [1]:
= х^ Рц- хЦ р^ ц =п)
Хц= 2 хЦ х^ Рл+П - -4 а | Рц>
42 52 2
, где а = х + х +... + хп ; к е Я.
