Координатная ломаная Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА, НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Л. К. КУЛИКОВ

Омский государственный технический университет

УДК 514.114

КООРДИНАТНАЯ ЛОМАНАЯ

РАССМОТРЕНЫ КОМБИНАТОРНЫЕ И ПРОЕКЦИОННЫЕ СВОЙСТВА НАПРАВЛЕННОЙ КООРДИНАТНОЙ ЛОМАНОЙ ТОЧКИ МНОГОМЕРНОГО ЕВКЛИДОВА ПРОСТРАНСТВА. НА ИХ ОСНОВЕ СФОРМУЛИРОВАНО ПРАВИЛО ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ. ПОКАЗАНА ВОЗМОЖНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КООРДИНАТНОЙ ЛОМАНОЙ ПРИ ПОЛУЧЕНИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧЕРТЕЖЕЙ.

В евклидовом пространстве Еп зададим декартову систему координат Ое,е2...еп. Для лйбой точки Ае Еп имеет место равенство

ОА

(1)

:Х1е1 + *2е2+"- +Хпвп ■

где ОА - радиус-вектор точки А; х,, х2.....хп - декартовы

координаты точки А [1].

Под координатной ломаной точки А будем понимать направленную координатную ломаную [3], звеньями которой являются направленные отрезки - представители векторов (х^), введенные в координатную ломаную в последовательности, принятой в записи (1). Тогда вершиной Ак координатной ломаной, соответствующей сумме (1), является точка, для которой ОА„ = х,е, + х2е2 + ... + хкек. Меняя порядок слагаемых в (1), будем получать различные координатные ломаные. Действительно, если для разных порядков слагаемых получим одинаковые координатные ломаные, то все их вершины совпадают и ОА,^ при последовательных численных значениях к, начиная с 1, будут одинаковы. Это ведет к совпадению порядков слагаемых, что не соответствует действительности, и, значит, координатные ломаные с различным порядком слагаемых в (1) отличаются хотя бы одной вершиной.

Число координатных ломаных равно числу перестановок множества слагаемых в (1), которое содержит п элементов. Таким образом, для любой точки в данной системе координат может быть построено п! различных координатных ломаных. Координатную ломаную, соот-

ветствующую порядку слагаемых, принятому в (1), назовем основной. Каждая координатная ломаная содержит (п +1) вершину, п звеньев и соединяет начало координат О с точкой А. Через вершину Ак основной координатной ломаной проходит к!(п - к)! координатных ломаных, включая основную. Это число представляет собой произведение числа координатных ломаных, соединяющих О и Ак, которое равно к!, на число координатных ломаных, соединяющих Ак и А, которое равно (п - к)!. Через звено АД+, проходит к!(п — к — 1)! координатных ломаных. Число координатных ломаных, имеющих общими вершины Ак, Ак+1 ...,Ак+рравнок!(п-к-р)!.

Число различных вершин всех координатных ломаных равно 2". Действительно, откладывая от точки О один направленный отрезок, являющийся представителем любого из слагаемых в (1) получим С п вершин (число сочетаний изп элементов по 1). Откладывая отточки О направленный отрезок, являющийся представителем суммы двух любых слагаемых из (1), получим С п вершин. Продолжая эту операцию получим с учетом точки О, сумму С°п + С^ +... + Спп, которая равна 2" [2]. При подсчете были учтены все вершины, согласно определению вершины, как точки, радиус - вектор которой является линейной комбинацией любого количества слагаемых из (1), при этом порядок слагаемых не играет роли. Каждая вершина считалась только один раз, так как если вершина учтена и в СРП и в Стл при р * т, то из записи ее радиус-вектора двумя различными способами получим, что базисные

векторы войдут в нетривиальную линейную комбинацию равную нулю, т.е. станут линейно зависимыми. Вершины определенной координатной ломаной являются линейно независимыми точками, поскольку запись радиус-вектора какой-либо вершины как линейной комбинации радиус-векторов других вершин приводит к линейной зависимости базисных векторов. Тогда ни одна вершина координатной ломаной не принадлежит плоскостям минимальной размерности, проходящим через любое количество других вершин [4]. Под координатной плоскостью будем понимать плоскость, проходящую через начало координат и имеющую в качестве направляющих любое количество базисных векторов. Например, плоскость (О; е,, е3 е4 е6)-это четырехмерная координатная плоскость с направляющими векторами ег е3 е„ ев. Ортогональной

проекцией точки А(х1, х^.....хп) на координатную р-мерную

плоскость П(0; е^ е,.....ет), где \ <] < ...< т, является

вершина координатной ломаной Ат, радиус-вектор которой ОАт = х[е| + х^ + ... + хтет и представляет собой часть записи (1). Известно, что в Еп данная точка ортогонально проецируется в точку на р-мерную плоскость проекций плоскостью, проходящей через данную точку и имеющей размерность (п - р) [5]. В рассматриваемой ситуации плоскость, проходящая через точку А с направляющими векторами из числа базисных и не входящих в число направляющих векторов плоскости П является (п - р)-мер-ной проецирующей плоскостью (она проходит через А и ее направляющие векторы ортогональны направляющим векторам плоскости проекций П). Так как ААт = ОАт - ОА, то вектор ААт является линейной комбинацией направляющих векторов проецирующей плоскости, и точка Ат принадлежит проецирующей плоскости. Кроме того, Ат е П. Таким образом, Ат - точка общая для П и проецирующей плоскости, т.е. Ат - ортогональная проекция точки А на плоскость П. Точка Ат - единственная, так как если появится еще одна точка В-общая для П и проецирующей плоскости, то вектор АтВ будет линейной комбинацией направляющих векторов плоскости П и проецирующей плоскости. Это ведет к линейной зависимости базисных векторов.

Пусть ГЦ и ГЦ - координатные г-мерная и д-мерная плоскости, причем Пг принадлежит ГЦ. Сменим номера базисных векторов так, чтобы Пгбыла координатной плоскостью (О; е1, е2, ...,ег), а ГЦ плоскостью (О; е1, е2.....

ег,..., еч). Проекцией точки А на Пг будет точка Аг, радиус-вектор которой ОАг = х,е, + х2е2 + ... + хгег. Проекцией точки А на будет точка Ач, радиус-вектор которой ОАч= = х^, + х2е2 + ... + хгег + ... + хчеч. Рассматривая Ач как точку Еп, у которой = 0 при I > д, получим, что проекцией Ач является точка Аг. Для получения проекции Аг точки А можно спроецировать А на ГЦ, получить Ад, а затем Ац спроецировать на Пг и получить Аг. Это позволяет, вводя должным образом систему координат, доказать для орто-

гонального проецирования правило последовательного проецирования. Если плоскости проекций Пг, ГЦ,..., ГЦ, Пт расположены так, что ГЦ с ГЦ С ... с ГЦ С Пт, то проекция точки А на ГЦ представляет собой результат последовательного проецирования точкиАна Пт (полученаАт), точки Ат на ГЦ (получена Ак) и т.д. до точки Аг (проекция А, на Пг).

Использование координатной ломаной при получении комплексных чертежей дает дополнительные сведения об этих чертежах [6]. При построении модели точки пространства Еп на плоскости чертежа (Е2) необходимо, чтобы на этой плоскости присутствовали все координатные отрезки точки, а значит, и все оси декартовой системы координат. Выполняя проецирование точки на координатные 2-плоскости, и совмещая их с 2-плоскостью чертежа, получим связанные пары осей и проекций. При построении чертежа Монжа для точки A (OA = х^, + Xje2 + + х3е3) рассматриваются проекции, для которых OA 2 = =х,е, + х2е2, OA 2 = + х3е3, и которые являются вершинами двух различных координатных ломаных. При построении чертежа Радищева для точки A (OA = x,e, + х2е^ + ... + хпеп) рассматриваются проекции^ для которых

OA 2 = х1е1 + Xje2, ОА22 = хге, + х3е3.....OAn~ 2 = x,e, + xnen,

и которые являются вершинами различных координатных ломаных, имеющих общую вершину A, (OA, = х1е1), которая тоже присутствует на чертеже. Два звена координатной ломаной, определяющие положение проекции точки на 2-плоскости проекций являются проекцией координатной ломаной точки на эту плоскость. Линии проекционной связи состоят из звеньев различных координатных ломаных данной точки.

Литература

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия.-М.: Наука, 1990.-672 с.

2. ВиленкинН.Я. Индукция. Комбинаторика.-М.: Просвещение, 1976.-48 с.

3. Котов И.И. Начертательная геометрия. -М.: Высшая школа, 1970.-348 с.

4. Куликов Л.К. Линейно независимые точки //Прикл. геометр1ята ¡нж. графжа. -К.: КДТУБА, 1999.-Вип. 65,-с. 131-133.

5. Первикова В.Н. Основы многомерной начертательной геометрии, ч.1. Краткое введение в многомерную начертательную геометрию. - М.: МАИ, 1976. - 34 с.

6. Kulikov L., Panchuk К., LiashkovA., Volkov V. Aspects of qeometrical simulation of space and its properties. Proceeding of 10 th ICGG, v. 1, Kyiv, Ukraine, 2002. - p. 99 -103.

КУЛИКОВ Леонид Константинович, кандидат технических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики.

Защита диссертаций

В диссертационном совете Д 212.178.07 ОмГТУ защищена кандидатская диссертация Чигрик Надежды Николаевны на тему «Геометрическое моделирование многопараметрических процессов сколиотических деформаций позвоночника с целью создания системы диагностики и прогнозирования» по специальности 05.01.01 - инженерная геометрия и компьютерная графика.

Автором разработан метод конструирования многомерной квазинепрерывной поверхности и доказана ее применимость в качестве модели при исследовании сложных систем в инженерной геометрии. Методики диагностирование и прогнозирования сколиотического заболевания позволяют повысить эффективность его лечения. Методики и рекомендации, программное обеспечение, позволяющее вести банк данных и хранить статистическую отчетность, рекомендуются к использованию в научно-исследовательских медицинских институтах, больницах, клиниках, реабилитационных центрах.