CC BY
71
УДК 514.113 ББК 22.151
СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ИЗОБРАЗИТЕЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИХ НАВЫКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
I Л.Р. Юренкова
Аннотация. В статье на примере решения трех задач представлена методика преподавания стереометрии, направленная на развитие конструкторского мышления учащихся. Новизна предлагаемой методики заключается в сочетании трех вариантов решения одной задачи: традиционного геометрического, с использованием метода проекций и в среде компьютерной программы компании Autodesk Inventor. Завершается решение задачи созданием макета. Сорокалетний опыт преподавания начертательной геометрии в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана и параллельная в течение 20 лет работа в средней школе учителем геометрии подтвердила эффективность такого преподавания. Современная школа немыслима без внедрения современных информационных технологий и, прежде всего, это касается предмета «Стереометрия», в котором наглядность стоит на первом месте. Создание электронных моделей фигур позволяет повысить интерес к учебе, обеспечить методическую
и психологическую помощь в изучении стереометрии.
Ключевые слова: стереометрия, чертеж, метод проекций, информационные компьютерные технологии, электронная модель, макет.
IMPROVED GRAPHIC AND GRAPHIC SKILLS IN THE STUDY OF GEOMETRY
I L.R. Yurenkova
Abstract. The article on the solution of three problems presented methods of teaching of solid geometry, aimed at the development of design thinking. The novelty of the proposed methodology lies in the combination of the three options solve one problem: traditional, geometric, using the method of projections and computer software Autodesk Inventor. Completes the solution of the problem by creating a layout. Forty years of experience of teaching descriptive geometry in the MSTU. N. Uh. Bauman and parallel for 20 years working as a high school geometry teacher confirmed the effectiveness
of this teaching. The modern school is impossible without implementation of modern information technologies and, first of all, it concerns the subject of "Stereometry" in which the visibility is in the first place. Creating electronic models of the figures allows to increase the interest to study, to provide guidance and psychological assistance in the study of solid geometry.
Keywords: solid geometry, drawing, method of projections, information and computer technology, e-model, layout.
Подготовка «инженера будущего» — одна из приоритетных задач современного общества. В 2014 г. автор статьи участвовала в разработке и реализации Государственной программы города Москвы на 2012—2016 гг. «Развитие образования города Москвы» («Столичное образование»). Программа рассчитана на преподавателей учреждений среднего образования и направлена на снижение барьера школа — технический университет при применении программ AutoCAD и Inventor в изучении геоt метрии и черчения.
Творческое сотрудничество школы и Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана предоставляет учащимся возможность познакомиться с различными инженерными специальностями и направлениями научной деятельности. Привлечение учащихся к участию в научно-образовательном соревновании «Шаг в будущее, Москва» способствует повышению интереса к учебе и помогает в выборе будущей профессии.
«Стереометрия» — основной школьный предмет, формирующий творческое мышление, необходимое любому учащемуся. Кроме того, стереометрия составляет основу начертательной геометрии, формирующей, начиная с первого курса, инженерное мышление.
Трудности в изучении стереометрии объясняются двумя причинами. Первая причина заключается в том, что ни одна из школьных дисциплин не позволяет развить пространственное воображение настолько, чтобы по словесному описанию представлять формы и расположение фигур. Вторая причина — отсутствие устойчивых навыков в выполнении наглядных рисунков. По своей графической природе наглядный рисунок или макетный чертеж являются центральной проекцией фигуры. Центральное проецирование пространственного объекта ведет к искажению линейных и угловых характеристик. Поэтому в силу своего внутреннего несовершенства (из-за отсутствия правильных соотношений между оригиналом и его изображением, то есть его необратимости) рисунок при небрежном исполнении и неразвитом воображении не только не помогает, но и углубляет степень непонимания задачи.
Предлагаемая методика демонстрируется при решении трех стереометрических задач. Показано, как использование метода проекций [1] и [2], средств компьютерного моделирования и создание макетов способствует развитию творческого мышления и прививает интерес к инженерной профессии.
199
Л3 и В^ В2, В3, В,В2=& В,ВГ
200
Задача 1, рассматриваемая ниже, взята из учебника [3]. Задача 1
На двух скрещивающихся прямых отмечены по три точки: Л1, Л2, причем АлА=к Л1Л3, Доказать, что прямые Л1В1, Л2В2, Л3В3 параллельны некоторой плоскости (см. рис. 1). Решение
1. Введем обозначения: А1В1 = х ; А3 В3 = у ; А2 В2 = z.
2. Сложим векторы по правилу треугольника:
х + В1 В3 = А1А3 + у (1) у + В1 В2 = А3А2+ z (2)
3. Так как по условию
А1А2 = k А1А3 ; В1 В 2 = k В1В3, то 1 ^А.3 + ^А.3 ^А. 2 = -А. 1 ^А. 2 = k ^А. 1 -А-з . Отсюда:
А3 А2 = А1А3 (k - 1), аналогично: (3) В1В з + В з В 2 = В1 В 2 = k В1В3
Вз В 2 = В1В 3 (&-1) (4)
4. Подставим (3) и (4) в (1) и (2): у + В1В 3 (k - 1) = А1А3 (k - 1) + z (5)
5. Из (1): В1В3 - А1 А3 = у - х. Упростим (5):
у + k В1В 3 - В1В 3 = А1А3 k - А1А3 + z; у + & (В 1В3 - А1А3) = (В1В3 - А1А33 + z;
k у - = - х + z; х( & - 1) - & у + z = 0 или
z = - х(& - 1) = + (1 - &)х, что соответствует признаку компланарности векторов х, у, z, то есть векторы А1В1 = х ; А3 В3 = у ; А2 В2 = z парал-
Рис.2. Линейчатый каркас гиперболического параболоида
лельны некоторой плоскости — что требовалось доказать.
Иллюстрацией к этой задаче является поверхность, известная в начертательной геометрии как гиперболический параболоид [4] (см. рис. 2). При практическом применении, например, в строительстве, эту поверхность часто называют косая плоскость. Привлечение на уроках стереометрии некоторых сведений из начертательной геометрии позволяет усилить мотивационную составляющую в учебе.
Скрещивающиеся прямые Л1Л2 и В1В2 являются направляющими гиперболического параболоида, а скрещивающиеся прямые Л1В1; Л2В2; Л3В3 — образующими. Образующая этой поверхности скользит по направля-
Парабола 1
Рис.1. Иллюстрация к условию задачи 1
Рис. 3. Каркас поверхности из парабол
Преподаватель _
ВЕК
4 / 2015
Рис.4. Ортогональные проекции гиперболического параболоида
ющим, оставаясь параллельной плоскости, которая называется плоскостью параллелизма, что в рассмотренной задаче подтверждается компланарностью векторов. На рис. 2 показано, что направляющие и образующие прямые, пересекаясь между собой, образуют каркас поверхности, который в начертательной геометрии называется линейчатым каркасом. Это свойство поверхности нашло применение в строительстве. Для этой поверхности можно создать другой каркас (см. рис. 3): по параболе 1 с помощью параллельного переноса перемещается парабола 2. Следует заметить, что точно такой каркас получится, если по параболе 2 будет перемещаться парабола 1. То же относится к образованию поверхности с помощью скрещивающихся прямых. Ортогональные проекции гиперболического параболоида показаны на рис. 4.
Этапы построения 30- модели [5]
Этап 1 — построение параболы 1 выполняется в режиме «эскиз» (см. рис. 5).
Этап 2 - парабола 2 получена так же, как и парабола 1, но в плоскости, перпендикулярной плоскости параболы 1 (см. рис. 6).
Этап 3 - с помощью «рабочих плоскостей», параллельных плоскости параболы 2, осуществляется ее перемещение по параболе 1, которая выполняет функцию направляющей линии (см. рис. 7). несколько положений параболы 2 получены с помощью режима «проецирующая геометрия» и операции «сдвиг» (см. рис. 8).
Этап 4
Рис.5. Построение параболы 1 в режиме «эскиз»
201
Рис.6. Построение параболы 2 в режиме «эскиз»
202
Рис.7. Задание «рабочих
плоскостей» для перемещения параболы 2 по параболе 1
Рис.8. Перемещение параболы 2 по параболе 1 в режиме «модель»
Рис.9. Макет гиперболического параболоида
На научном соревновании «Шаг в будущее, Москва» была представлена работа учащихся 11 класса, посвященная гиперболическому гиперболоиду. Два изготовленные макеты, иллюстрирующие различные способы образования поверхности, используются как на уроках стереометрии в школе, так на занятиях по начертательной геометрии в университете. На макете (см. рис. 9) можно увидеть как скрещивающиеся прямые, так и параболы. Демонстрация второго макета даже в студенческой аудитории вызывает возглас удивления: преподаватель открывает папку и возникает объемная модель гиперболического параболоида, созданная из резинок круглого сечения. Учебник по стереометрии содержат немало задач, для иллюстрации которых можно создавать макеты.
Следующая задача взята из журнала «Квант» № 2 за 1985 год.
Задача 2
В основании пирамиды лежит ромб с диагоналями 8 см и 6 см. Вершина пирамиды ортогонально проецируется в точку пересечения диагоналей ромба. Высота пирамиды равна 10 см. В пирамиду вписан конус.
Определить радиус шарика, находящегося между пирамидой и конусом. Шарик касается плоскости
основания пирамиды, конической поверхности и смежных боковых граней пирамиды (см. рис. 10).
Первый вариант решения
Чертеж (рисунок), выполняемый учащимися карандашом, показан на рис. 11. Выполнены вспомогательные построения: отрезок КЬ, параллельный диагонали BD, проходит через точку M — точку пересечения диагонали AC и окружности основания конуса. Вследствие симметрии шарик будет касаться конической поверхности в точке, расположенной на образующей TM. Решение задачи сводится к определению радиуса шарика, вписанного в пирамиду ТАКЬ (см. рис. 4) по формуле (1). Для этого следует рассчитать площадь полной поверхности пирамиды и объем:
Рис. 10. Иллюстрация к условию задачи 2
Рис.11. Чертежи к решению задачи
у -is
TAKL ~ u полн.пов.
V = — S
v TAKL 3 й ñ
3
• h =
r.
впис. сф.
(1)
=1 •1 • 2,4 • 1,6 10 = 6,4 (см3) 3 2
r
впис. сф.
3 • 6,4 34,9
= 0.55 (см)
Ответ: радиус шарика равен 0,55 см.
Второй вариант решения
Ортогональное проецирование нередко используется при решении стереометрических задач. Построение изображений, воспроизводящих реальность в схематической форме, в данном случае ортогональные проекции, способствует развитию одного из видов символического мышления.
На рис. 12 приведены ортогональные проекции фигур, заданных в условии задачи, а также вспомогательные построения, необходимые для определения геометрических параметров этих фигур. Заметим, что от точности и аккуратности выполнения построений зависит результат, что не часто встречается на уроках геометрии. Работа над построениями вручную с помощью карандаша, циркуля и линейки способствует развитию зрительной и моторной памяти,
древнейшей, запрограммированной человеку генетически.
Для лучшего восприятия чертежа обозначения, принятые для ортогональных проекций точек, показаны не полностью. Геометрические параметры, необходимые для выполнения расчетов, получены измерениями с помощью линейки: КЬ=2,4 см; АК=2 см; МТ=10,3 см; АМ=1,6 см.
Затем были рассчитаны площади граней пирамиды ТАКЬ: &АКь = 1,92см2; &АКТ = =10,2см2;
^КЬТ = 12,4см2; 8полн.тАкь=34,72см.2
Объем пирамиды — VTAKL = 6,4см3. Теперь по формуле (1) рассчитаем радиус шарика:
3V
->' т,
r
впис. сф..
полн. пов.
3 • 6,4 34,72
= 0,55(см) (1)
Ответ: радиус шарика равен 0,55 см Третий вариант решения Создание 3Б-модели в среде пакета компании Autodesk Inventor позволяет наглядно представить взаимное положение фигур, заданных в условии задачи, а также по-
Рис.12. Ортогональные проекции фигур
203
1ЕК
Рис.13. Построение ромба - основания пирамиды
Рис. 14. 3D -модели заданных фигур
1
\
\\
J0 А
204
Рис. 15. Создание 3D-модели пирамиды ТА^
лучить ответ [6]. Решение подобных задач, а также создание макетов в наибольшей степени способствуют развитию пространственного мышления, необходимого в любой профессии.
Этапы построения 3Б- модели Этап 1 — построение ромба в режиме «эскиз» с помощью операции «отрезок» (см. рис. 13).
Этап 2 — создание объемной модели пирамиды и вписанного в нее конуса (см. рис. 14) в режиме «модель» с использованием «рабочих плоскостей» и операции «loft» («по сечениям»).
Этап 3 - создание 3D-модели пирамиды TAKL, в которую следует вписать шарик в соответствии с условием задачи (см. рис. 15).
Этап 4 - определение угла наклона боковой грани пирамиды TAKL к плоскости основания в режиме «проверка» для построения биссекторной полуплоскости, необходимой для определения центра шарика (см. рис. 16).
Этап 5 — построение BD-мо-дели шарика с центром в точке пересечения биссекторных полуплоскостей двугранных углов при основании пирамиды TAKL и определение диаметра шарика в режиме «проверка» операцией «расстояние» (см. рис. 17).
Завершается решение задачи созданием макета: пирамида изготовлена из прозрачного пластика, конус из бумаги, а шарик из пластилина. Задача 3
(в 50-е гг. XX века была предлок жена абитуриентам на вступитель-
Рис.16. Определение угла наклона боковой грани пирамиды ТА^ к плоскости основания
Рис.17. 3D-модель шарика
Рис. 18. Ортогональные проекции конуса
ПреподавательЖ_ ВЕК
4 / 2015
Рис.19. Построение треугольника в режиме «эскиз»
Рис.20. Операция «вращение» в режиме «модель»
Рис. 21. Выполнение операции «массив» и «угол» в режиме «проверка»
Рис. 22. Определение угла при вершине осевого сечения конуса в режиме «проверка»
Рис. 23. Макет к задаче 3
ном экзамене по математике мехмата МГУ им. М.И. Ломоносова)
На плоскости лежат шесть равных конусов с общей вершиной и касающихся друг друга по образующей. Определить зависимость угла между двумя общими образующими и угла при вершине осевого сечения.
Для решения задачи следует воспользоваться ортогональными проекциями одного из шести конусов (см. рис. 18).
Для построения горизонтальной проекции (вида сверху) конуса использована вспомогательная сфера, вписанная в коническую поверхность.
Рассмотрим прямоугольные треугольники В»О»Б» и В'О'Б ':
Б»А» = Б'О'; А»0» = КО'.
После простых алгебраических преобразований получим:
Ответ
а = )
205
Этапы построения 3Б-модели Этап 1 — в режиме эскиза был начерчен прямоугольный треугольник (см. рис. 19)
Этап 2 — после принятия эскиза в режиме «модель» с помощью команды «вращение» получен прямой круговой конус (см. рис. 20).
Этап 3 - в режиме модели с помощью рабочих плоскостей и операции массив было получено шесть равных касающихся конусов (рис. 21). Можно сравнить значения углов а и ф, выполнив
206
команду «угол» в режиме проверка (см. рис. 20 и рис. 22).
На рис. 23 представлен макет к задаче 3. Конусы, имеющие общую вершину и касающиеся друг друга по образующей, изготовлены из пластика. Конструкция расположена на основании из оргстекла. Общая вершина имеет возможность подниматься с помощью стержня, что наглядно демонстрирует разницу между значениями углов а и ф.
Конструирование электронных моделей требует хорошего знания стереометрии и основных приемов работы в программе Autodesk Inventor. Выполнение макетов прививает умения и навыки конструирования руками. Реализация приведенной методики показала повышение интереса учащихся к предмету. Это подтверждает успешное участие учащихся в Фестивале технического творчества в 2013 г. Дипломы получили почти все учащиеся класса. В 2014 и 2015 гг. на Научно-образовательном соревновании «Шаг в будущее, Москва» в Московском государственном техническом университете им. Н.Э. Баумана были представлены проекты, посвященные 3D моделированию в стереометрии, что позволило им стать студентами.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Юренкова, Л.Р. Решение стереометрических задач методом проекций [Текст] / Л.Р. Юренкова, В.В. Бурлай, А.К. Коваль-чук, А.Ю. Соколик. - М.: Радио и связь, 2001. - 38 с.
2. Юренкова, Л.Р. Учитесь чертить или первый шаг в машиностроительное черчение. Учебное пособие [Текст] / Л.Р. Юренкова, В.В. Бурлай. - М., 2008. - 187 с.
3. Атанасян, Л.С. Геометрия. Учебник для 10 - 11 классов [Текст] / Л.С. Атанасян. - М.: Просвещение, 2008. - 255 с.
4. Фролов, С.А. Начертательная геометрия. Учебник [Текст] / С.А. Фролов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2007. -286 с.
5. Журбенко, П.А. Autodesk Inventor 2012. Трехмерное моделирование деталей и создание чертежей [Текст] / П.А. Журбенко, В.Н. Гуз-ненков. - М.: ДМК-Пресс, 2012. - 120 с.
REFERENCES
1. Atanasyan L.S., Geometriya: Uchebnik dlya 10-11 klassov, Moscow, 2008, 255 р. (in Russian)
2. Frolov S.A., Nachertatelnaya geometriya: Uchebnik, Moscow, 2007, 286 р. (in Russian)
3. Yrenkova L.R., Burlaj V.V., Kovalchuk A.K., Sokolik A.Y., Reshenie stereometri-cheskih zadach metodom proekcij, Moscow, 2001, 38 р. (in Russian)
4. Yrenkova L.R., Burlaj V.V., Uchites chertit ili pervyj shag v mashinostroitelnoe cherch-enie: Uchebnoe posobie, Moscow, 2008, 187 р. (in Russian)
5. Zhurbenko P.A., Guznenkov V.N., Autodesk Inventor 2012. Trekhmer noe modelirovanie detalej i sozdanie chertezhej, Moscow, 2012, 120 р. (in Russian)
Юренкова Любовь Романовна, кандидат технических наук, доцент, кафедра инженерной графики, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, [email protected]
Yurenkova L.R., PhD, Associate Professor, Department of Engineering Graphics, N.E. Bauman Moscow State Technical University, [email protected]
