CC BY
7
УДК 681.518
МОДЕЛИ ПРОЕКЦИОННЫХ ОТНОШЕНИЙ В ДИАЛОГОВЫХ ОБУЧАЮЩИХ ПРОГРАММАХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
БОЙКОВ А.А. -инженер, МИЛОСЕРДОВ Е.П., канд. техн. .наук, ФЕДОТОВ А.М. , канд. техн. наук,
Определена модель проекционных отношений для комплексного двухкартинного чертежа (эпюра Монжа) с возможностью построения некоторого числа дополнительных проекций , рассмотрены операции с объектами этой модели и алгоритмы их реализации методами и средствами компьютерной графики.
Алгоритмические модели, в рамках которых будут разрабатываться диалоговые обучающие программы, должны адекватно описывать предметную область для создания и преобразования графических объектов, а также иметь возможность построения алгоритмов, позволяющих идентифицировать и оценить не только конечные результаты, но и сам процесс решения задач. Учитывая специфику и разнообразие графических задач, совокупность алгоритмических моделей следует рассматривать как иерархию, в которой на верхнем уровне определяются модели для отображения наиболее общих свойств и закономерностей предметной области, а на нижних уровнях модели, описывающие различные классы задач. Модели верхнего уровня в этом случае будут определять характер диалоговой среды: принципы описания задач, интерфейсы пользователя и протоколы обмена данными. Система требований к моделям верхнего уровня и общий подход к их разработке сформулированы в [1].
Ключевым звеном, определяющим вид моделей верхнего уровня и набор алгоритмических моделей для различных классов задач начертательной геометрии, является модель проекционных отношений, определяющая закономерности связей между геометрическими объектами, расположенными в пространстве, и их отображениями на плоскости. Существующие классы моделей проекционных отношений - модели центрального (перспективного) проецирования, аксонометрические проекции, модели проекций с числовыми отметками, модели ортогонального проецирования одновременно на несколько плоскостей проекций (комплексный чертеж) были разработаны гораздо раньше появления алгоритмов и средств компьютерной графики и не могут без дополнительной адаптации быть эффективно использованы для решения её задач. Принципы адаптации проекционных моделей для задач компьютерной графики определились требованиями стандартов (алгоритмическими и аппаратными) к системам компьютерной графики, которые были разработаны и согласованы в 70-е годы прошлого века [2, 3]. В соответствии с этими принципами рассмотрим модель проекционных отношений для комплексного двухкартинного чертежа (эпюра Монжа) с возможностью построения некоторого числа дополнительных проекций. Для каждого геометрического объекта, находящегося в трехмерном пространстве, модель позволяет получить плоское отображение в виде определенным образом связанных между собой ортогональных проекций объекта на заданную систему плоскостей проекций.
В качестве объектов этой модели традиционно рассматриваются точки, прямые, плоскости, а
также объекты, однозначно определяющие механизм проецирования: плоскости проекций, оси проекций, точки отсчета.
Точка в модели представляется своими проекциями и координатами. Число проекций точки равно числу выбранных в модели плоскостей проекций, включая дополнительные. Для проекций точек используются традиционные обозначения в виде прописных латинских букв или цифр с указанием индексов, соответствующих плоскостям проекций.
Для различных видов систем координат, связанных с геометрическими объектами, расположенными в пространстве (мировые координаты), необходимо получить соотношения для преобразования значений координат в систему координат модели. В качестве мировых координат могут быть выбраны любые системы координат, однозначно определяющие положение точки в пространстве, например: 3-х компонентные декартовы, цилиндрические, сферические, специальные криволинейные и др.
Общие случаи проективных преобразований требуют дополнения так называемого «евклидова» пространства, множество точек которого удалены от точки отсчета на конечные, хотя и потенциально сколько угодно большие расстояния («потенциально бесконечные точки»), элементами с особыми свойствами: точками, удаленными от множества точек, а также от точки отсчета на бесконечное расстояние («актуально бесконечные точки»). В соответствии с [4] такое расширенное множество определено как «проективное пространство», в этом пространстве каждая прямая имеет одну особую точку, плоскость имеет одну особую прямую, а трехмерное («евклидово») пространство имеет одну особую плоскость: такие объекты множества определены как «несобственные» элементы проективного пространства. Известно, что исчерпывающее однозначное описание всех элементов проективного пространства возможно в рамках так называемой «однородной системы координат», которая каждой точке пространства ставит в соответствие вектор [х, У, ^], компоненты которого не могут одновременно иметь нулевые значения, причем точки «евклидова» пространства представлены векторами, имеющими компоненту t, не равную 0, а «несобственные» точки - с компонентами t, равными 0 .
Учитывая необходимость проективных преобразований, в качестве систем координат, связанных с объектами и координатами модели, выбираются соответственно четырехкомпонентные и трехкомпо-нентные однородные системы координат. В общем случае для преобразования координат точек в рамках выбранной модели необходимо определить
квадратную матрицу преобразования 4-го порядка, умножая вектор координат точки объекта на матрицу преобразования, получаем вектор преобразованных координат точки, некоторые компоненты которого могут при преобразовании получить нулевые значения [2]. Все операции проецирования являются операциями вырожденного преобразования, т.е. операциями умножения на матрицу, детерминант которой равен 0. Они ставят в соответствие множеству точек объекта, расположенного в пространстве, множество точек образа (модели) объекта, расположенных на заданной плоскости проекций.
Определим модель ортогонального проецирования на произвольные плоскости проекций следующим образом.
Пусть в заданной системе декартовых координат пространства определены плоскости:
Ах + ВУ + С2 + А = 0 (плоскость Пг-)
Л^х + В]У + С¡2 + А = 0 ( плоскость Пу) (1)
Предполагается, что плоскости не параллельны, т.е. не имеют общей несобственной прямой. В соответствии с известными соотношениями [4] в этом случае равенство Л : Л] = В, : В] = С, : С, не имеет места
по крайней мере в одной из своих частей и плоскости пересекаются по прямой, все точки которой удовлетворяют системе линейных уравнений, определяющих плоскости. Точка, принадлежащая этой прямой ( по традиции такая прямая называется осью проекций и обозначается как х^), может быть найдена из условия пересечения прямой с какой-либо координатной плоскостью, например с плоскостью X = 0 , откуда:
вгу + С2 + = - ц
В]У + С ¡2+ = — А (2)
Обозначая точку пересечения оси проекций с координатной плоскостью как точку Q и учитывая , что
Хд = 0 , по правилу Крамера определяются ее координаты:
х - Хд У - Уд 2 -
(3)
У -ц с\>+цС •
д ВС -ВС
- Р]В1 + АВ д ВС - В]С
Если ось проекций параллельна или совпадает с выбранной координатной плоскостью, то следует найти по аналогичным соотношениям координаты точки пересечения оси с другой координатной плоскостью (прямая не может быть параллельна одновременно трем координатным плоскостям).
В соответствии с [4], угловые коэффициенты линии пересечения плоскостей, заданной уравнениями плоскостей вида (1), находятся как определители матриц:
] ] ]
Однако для охвата всех частных случаев, когда один или два из угловых коэффициентов прямой равны 0, в модели целесообразно представить уравнение прямой, являющейся линией пересечения заданных плоскостей проекций, в параметрической форме:
х = Хд + У = Уд + 2 = 2д + V (5)
Если в пространстве задана точка Т с декартовыми координатами ХТ,УТ,2Т , то координаты точек, являющихся ортогональными проекциями на плоскости Пг- и П ■, могут быть определены как ре-
шение системы уравнений:
х = ХТ + Л1 У = Ут +
(6)
2 = 2Т + С^
Лг (ХТ + Л1) + Вг (УТ + Вгг) + С (2Т + С1) + ц = 0
Отсюда координаты точки Т, являющейся ортогональной проекцией точки Т на плоскость П,, определяются следующим образом:
ХЯ = Хт + Л (ЛХТ + ВУ + С^2 + А)
Т Т Л + В2+С2
т, т, „ ЛХТ + ВУ + 0,1, + А, У = Ут + В, С Т 2 2 ' 2-~) (7)
Т Т г Л + В2 + С,2
„ ^ ЛХТ + ВУ + С,1, + А ч
= 1Т + С, С Т 2 1 12 '2—4 Т Т , Л2 + вг 2 + С2
По этим же соотношениям определяются координаты точки Т] .
Уравнение плоскости, перпендикулярной линии пересечения плоскостей проекций и проходящей через точку Т (обозначим её как т), может быть определено по угловым коэффициентам вектора нормали, которым в данном случае является ось проекций:
а] (х - Хт ) + Ь] (у - Ут ) + С] (2 - 2т ) = 0 (8)
Поскольку плоскость т перпендикулярна прямой, принадлежащей обеим плоскостям проекций П,- и П], то в соответствии с признаком взаимной
перпендикулярности плоскостей она будет перпендикулярна каждой плоскости и следовательно, ей будут принадлежать проецирующие прямые к этим плоскостям, проведенные через точку Т, и соответственно также и проекции точек Т и Т]
Координаты точки пересечения плоскости т и оси проекций X] ( обозначим точку как Ту ) могут
быть найдены так же, как координаты проекции точки д на плоскость т:
В, Сг * = В] С]
С, Л
Л в,
с = (4)
С Л] ,] Л] В], ()
и прямая, в общем случае, может быть описана каноническим уравнением
Х Х (а,]Хд + Ь,]уд + с,]2д + ач)
ХТ,] = Хд + а,]( 1 * 2 2 2--)
а,] 2 + Ьг1 + С,] 2
V V и Л^б + ^ + CilZQ + ^ л
^ = ^ + Ьу ( 2 2 2-(9)
а,,2 + ЬУ2 + с^2
имеет место, когда для уравнении плоскостей проекций вида (1) выполняется соотношение
V V + ЬИТб + CilZQ + ^ л 2ти = ZQ + си ( 1 Q 2 1 Г 2 ' ^-1),
а,2 + ЬУ2 + Су2
ит =Ту - б! о ио
Ут =! Ту - Т
о Уо
(10)
М, + ВВ, + СС, = о
(11)
где значения а,, Ь, , с, и dij определяются соотношением (2).
Для построения обобщенной модели двух-картинного комплексного чертежа точка б принимается за начало координат и с ней связывается в
общем случае косоугольный репер ио , Уо , ^о, компоненты которого задают метрику и направления
осей координат модели, при этом ио направлен
вдоль оси х, , а Уо и ^о расположены соответственно в плоскостях П и П, перпендикулярно оси
По значениям координат точек б, Т и Т, а также Ту в исходной декартовой системе координат
определяются значения координат точек проекций в обобщенной модели комплексного чертежа :
ц =!Ту - Ту ! о ^о
где инвариантные значения модулей расстояний между точками определяются в исходной декартовой системе координат, а знаки координат модели определяются соответствием векторов расстояний выбранным направлениям единичных векторов базиса. Как правило, используется правосторонняя система координат, т.е. при построении обобщенного комплексного чертежа на совмещенной плоскости изображения ось и от начала координат направлена влево, ось у - вниз а ось ^ - вверх. На комплексном чертеже каждая точка представлена двумя проекциями, соединенными с осью проекций линией связи. Поскольку ось проекций перпендикулярна плоскости т, в которой расположены отрезки, соединяющие проекции точек с осью проекций (линией связи), то эти отрезки также перпендикулярны оси проекций. Полученная модель дает взаимно-однозначное соответствие между точками комплексного чертежа и точками пространства для любого значения угла между плоскостями, отличного от п о п , где п - целое число. Широко известный случай ортогонального расположения плоскостей проекций (чертеж Монжа)
1 - 1 - 1
В этом случае в плоскости т перпендикуляры к плоскостям проекций и линии связи между проекциями точек образуют правильный четырехугольник (квадрат), из чего следует равенство значений координат модели и расстояний до соответствующих плоскостей проекций.
Таким образом, для реализации модели двух-картинного комплексного чертежа с несколькими дополнительными проекциями, отображаемыми на одной плоскости изображения необходимо выполнить следующее:
1. Определить в пространстве однородную либо трехмерную декартову систему координат. Координатные плоскости этой системы следует рассматривать как плоскости проекций, за которыми зарезервированы названия П1;П2,П3. Описать в этой координатной системе отдельные точки и элементы геометрических объектов.
2. Задать дополнительные плоскости проекций П-,Пу,Пк... в трехмерной декартовой системе
координат. Каждая плоскость задается набором коэффициентов А,В,С,Б , однозначно определяющих уравнение вида (1).
3. Определить угловые коэффициенты и выбрать точки отсчета дополнительных осей проекций. В качестве точек отсчета рекомендуется выбрать точки пересечения дополнительных осей проекций с плоскостями координат.
4. Сформировать матрицу преобразования координат точек геометрических объектов в координаты проекций точек. В общем случае эта квадратная матрица 4-го порядка и компоненты этой матрицы определяются по соотношениям (7).
5. Построить на общей плоскости изображения отображения проекций точек геометрических объектов и дополнительных осей проекций, использовав соотношения (9) и (10).
Список литературы
1. Бойков А.А., Милосердов Е.П., Федотов А.М. Разработка диалоговых обучающих программ по задачам начертательной геометрии для комплекса дистанционного обучения // Вестник ИГЭУ. - 2004. - Вып. 3.
2. Роджерс Д., Адамс Д. Математические основы машинной графики. - М.: Машиностроение, 1980.
3. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. - М.: Мир, 1989.
4. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. - М.: Наука, 1968.
х
