Конусы в тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Январь-март, 1999, Том 1, Выпуск 1

УДК 517.98

КОНУСЫ В ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ УПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

В. Т. Худалов

Пусть ЕиР — упорядоченные банаховы пространства (УБП) с замкнутыми конусами Е-1_ и (при изложении вопросов теории конусов в нормированных пространствах мы будем в основном придерживаться терминологии книг Б. 3. Вулиха [1] и [2]).

Конус Ка в алгебраическом тензорном произведении Е®Е называется тензорным конусом [3], если х ® у € Ка для всех х € Е+, у € и х* ® у* € К* для всех х* € Е+, У* € Е*.

Проективный конус Кр определяется следующим образом:

Кр = ®Ук, <Е Е+, у к € к = 1,... ,п; п = 1,2,... | .

Инъектлюным, конусом называется конус

{гага ^

&=1 &=1 )

Ясно, что если Ка — тензорный конус, то Кр С Ка С В дальнейшем будем

предполагать, что I? — УБП с замкнутым, нормальным, воспроизводящим конусом Е+. Нормы пе и кв на Е®Х, где X — произвольное банахово пространство, связанные с порядком в Е, определяются по формулам:

га

для всякого г = V г/, :•; ;г/, (г /'.' :•; .V положим &=1

Г га

I к=1 )

для любого .г (г /'.' :•; .V положим

&=1

: 2 = ^^ о,г®Уг, Щ ^ О, г ^ г ^ т

к=1

Эти нормы были определены в [4] и являются аналогами нормы В. Л. Левина [5], введенной им для случая, когда УБП Е — банахова решетка.

© 1999 Худалов В. Т.

Нормы пе и кв являются кросснормами [6] тогда и только тогда, когда норма на Е регулярна [4], т. е.

1) Ух, у (г /'- пч ±х ^ у следует ||ж|| ^ ||у||;

2) Уж € Е и Уе > 0 Зу ^ 0, такой что ±ж ^ у и ||у|| ^ (1 + е)||ж||. Если Е — УБП с замкнутым конусом и регулярной нормой, то пишем Е € (7?.). Пространство Е ® X, наделенное нормой а, обозначаем ®а X, а его пополнение Е®аХ.

Данная работа состоит из двух частей. В первой части изучаются свойства тензорных конусов в произведении Е®Е, где /',' и /•' — УБП, такие как нормальность, несплющенность, оштукатуриваемость, телесность, правильность, полная правильность. Показано, что всякий тензорный конус в Е 0ПЕ -Р, где Е € (7?.), Е — УБП, является нормальным тогда и только тогда, когда конус в Е нормальный. В то же время всякий тензорный конус в Е ^ является несплющенным тогда и только тогда, когда конус в несплющенный. Таким образом каждая из норм пе и кв отвечает за наличие только одного из таких взаимно противоположных и взаимно дополняющих свойств, как нормальность и несплющенность произвольного тензорного конуса.

Во второй части изучаются тензорные произведения I- и Ьо-операторов [7]. Оказывается, что при подходящем выборе тензорного конуса в Е ® Е, где Е, € (7?.), тензорное произведение

5 ® Т : Е ®а Р X Г,

а и ¡3 — произвольные кросснормы, двух операторов .V : /',' —» .V и Г : /•' —» является ¿-оператором тогда и только тогда, когда 5* и Т ¿-операторы.

Аналогично, тензорное произведение

и ®У : X ®а¥ ^ Е®рЕ

{а и ¡3 — произвольные кросснормы) двух операторов : X —» /',' и V : ) —» /•' является Ьо-оператором, если и только если II и V — Ьо-операторы. При этом получены двусторонние оценки норм этих операторов.

1°. Пусть Е — УБП с замкнутым, нормальным, воспроизводящим конусом Е+, р — произвольное УБП с замкнутым конусом.

Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:

1) произвольный тензорный конус Ка нормален в Е ®ПЕ

2) существует тензорный конус Ка такой, что Ка является нормальным в Е®Пе

3) конус нормальный в Р.

Доказательство. Ясно, что из 1) следует 2). Докажем, что 2) влечет 3). Пусть Ка — нормальный тензорный конус в Е ®ПЕ Р, тогда норма пе полумонотонна на конусе Кр [1], так как Кр С Ка. Возьмем е € Е+, ||е|| = 1. Рассмотрим вложение ] : /•' —» /',' :•; /•'. определяемой по формуле:

]{х) = е ® х € Е ® Р, У ж € Р.

Тогда является подпространством в Е ®ПЕ Р с конусом Кр, и порядок в индуцируется из Е ® Р, значит /•'( — нормальный.

3)=^2). Так как — нормальный конус, то клин — несплющенный. Покажем, что конус /\, — нормальный, тогда каждый тензорный конус Ка С /\, также будет

нормальным. Пусть

га гп

^ Г/, :•; ;г/, ел.'!' ^ и - х-, е К,.

к=1 г=1

Для каждого ж* € /•'имеем:

га

а) Е ек{хк./х*) € Е+; к=1

т

б) Е Щ{Уг,х*) € Я+;

г=1

га т

в) Е ек(хк,х*) > Е а-г{Уг,х*).

к=1 г=1

Так как — несплющенный клин, то

пе{%) = ш£ < ||гб|| : и у^ ек(хк,х*), Ух* € ||ж*|| ^ 1 >

I ¿=1 )

= ш£ < ||гб|| : и > ^ ек{хк, х*), ¥;г'" (г /•']'. ||ж*|| ^ 1 > .

I /г=1 ;

С другой стороны, найдется константа С, не зависящая от и такая, что

пв(^г) = Сш£ ||Н| : и > ¥;г'" е /-"¡'. ||ж*|| ^ ^ .

Тогда из в) следует, что пе(г 1) йпв^г), где константа к не зависит от ш откуда следует нормальность конуса К^, а значит, и произвольного тензорного конуса Ка.

Замечание. Если предположить, что /','. /•' (г {'К), то нетрудно видеть, что из ± 7,2 € Ка, где 21, ^2 € -Е ® будет следовать, что пе(;?1) «^(^г)-Приведем пример, показывающий, что из несплющенности конуса в ^ не следует, вообще говоря, несплющенность конуса К^ в Е®Пе (а следовательно, не следует несплющенность произвольного тензорного конуса Ка).

Пример 1. Пусть Е = 12 с конусом

К\ = 1х = {х\,

\

оо

;г»

Можно показать, что I? € (7?.), конус /1] — телесный и оштукатуриваемый и = К. Положим = ¿1 с естественным порядком. Так как — банахова решетка, то конус р+ — несплющенный.

Рассмотрим тензорное произведение Е ®ПЕ Тогда, так как в силу телесности конуса К\ норма пе эквивалентна норме е [4], пространство Е®ПеЕ изоморфно вкладывается в пространство С{Е*,Е) с операторной нормой. Рассмотрим элементы

Е Е ® Р, гп = ^ е/г ® ж/г, где ^{¿¿й}?^ = ж^; — символ Кронекера. Тогда к=1

элементы ;гга определяют операторы Тп : Е* —> Р, действующие по формуле:

Тга («1,... ,ап, ап+1,...) = ( а.\. —^----, —, 0,... ) .

V 2 п /

Так как операторы Тп сходятся по операторной норме к оператору Т : Е* Р, где Т определяется формулой:

гр, Ч _ / «га Ога+1

1 (,ск1,... , ап, ап+1,...) — I ск1, -—. • • • , , ■ • •

\ 2 п п + 1

то Т можно рассматривать как элемент Е®ПеЕ.

Но оператор Т нельзя представить в виде разности положительных операторов (Е С{Е,Р)) [8], а следовательно, и в виде разности положительных (в смысле конуса К) элементов из Е®ПеЕ. Значит, замыкание К, в пополнении Е®ПеЕ не является воспроизводящим конусом, следовательно, К^ не является несплющенный конусом в Е®Пе Р [1].

Теорема 2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) произвольный тензорный конус Ка является несплющенный в Е Р;

2) существует тензорный конус Ка такой, что Ка является несплющенный в Е®кв

Р;

3) конус Р+ несплющен в Р.

Доказательство. Очевидно, что 1)=>-2). Докажем импликацию 2)=>-3). Пусть конус Ка несплющен в Е®^е Р. Тогда инъективный конус К, также будет несплющен в Е • Возьмем элемент е Е Е+, ||е|| = 1 и рассмотрим вложение ] : Р —> Е ® Р,

]{х) = е ® ж для ж Е Р. Пусть / Е Е+ такой, что /(е) = 1. Определим проектор I': /'.' :•; /•' —» ¿(Р) по формуле

(га \ га

ек ® хк ) Кек)хк € ,?'(Р).

к=1 / к=1

Так как этот проектор является положительным, то несплющенность (Е насле-

дуется подпространством ^(Р), значит, конус в Р — несплющенный.

3)=>-1): Покажем, что конус Кр несплющен, отсюда будет следовать несплющен-

га

ность любого тензорного конуса Ка. Пусть г = Е ек ® хк — произвольный элемент

к=1

га

из Е ® Р. Возьмем е > 0. Тогда существует представление 2 = ^ аг® Уг элемента 2

=1

такое, что щ ^ 0 для 1 ^ г ^ т и

^ е. Так как Р+ — несплющен-

Е аг\\Уг

г=1

ный конус, то каждый элемент 1 ^ г ^ т, можно представить в виде у^ = у\ — %Д, где у\, %Д Е Р+ и |||| + \\yfW ^ СЦу-гЦ, С — константа несплющенности конуса Р+ [1].

т т т т

I 1 ТЖ \ 1 1-1 . 12 Г Р< 1 I ' ТТ ■ I \ 1 11 . IV I 1 \ 1 11 . IV 12

Рассмотрим элементы ^ а^ ® уг и ^ щ ® у%. Тогда ^ щ ® у}, ^ щ ® Е и

г=1 г=1 г=1 г=1

Я = £>» ® У •

4=1

Е аг

4=1

Имеем:

(тп \ / т

53 а% ® у\ I + кЕ I аг ® у\

^ 2(7

^ 2СкЕ(г) + 2С ■ е,

то есть Кр — несплющенный конус в Е /•'.

Замечание. Если /','. /•' (г (7\.). то из доказательства теоремы 2 видно, что для каждого .г (г /'.' /-'и любого е > 0 существует элемент € Ка (где Ка — произвольный тензорный конус в Е ® Е) такой, что ± г; € Ка и 1) ^ (1 + е)кЕ{х).

Если конус в нормальный, то отсюда, вообще говоря, не следует нормальность конуса Кр (а значит, и произвольного тензорного конуса Ка) в Е

Пример 2. Пусть Е = 12 с конусом = сц с обычным конусом. Ясно, что

конус в со нормальный, однако Кр не является нормальным в Е так как в

противном случае конус положительных операторов в Сг{Е, [9] был бы несплю-щенным. В нашем случае С[(Е, изоморфно пространству С{12,1\), так как конус К\ в ¿2 оштукатуриваемый [9]. В то же время оператор Т из примера 1 нельзя представить в виде разности положительных операторов.

Выясним, при каких условиях тензорный конус является оштукатуриваемым (телесным) в пространстве Е ®а где а — произвольная кросснорма.

Теорема 3. Для того чтобы конус Кр был оштукатуриваемым в Е ®а необходимо и достаточно, чтобы Е+ и ¡-\ были бы оштукатуриваемыми конусами п /',' н /•' соответственно.

Доказательство. Необходимость. Пусть Кр — оштукатуриваемый конус в

Е ®а Е. Возьмем х\, е ® хп € Кр. Тогда

€ /•') . е € /',' | . ||е|| = 1 и рассмотрим элементы е ® х\,

вир < ^^ а(е ® Хг)

4=1

. Х\,... , хп G

I

г=1

Е

Х4

■Х1.....Х„ (г /•') > < X..

откуда следует, что константы нормальности конуса ограничены в совокупности, следовательно, конус /•'( оштукатуриваемый [2]. Аналогично доказывается оштукату-риваемость конуса Е+.

Достаточность. Пусть / — равномерно положительный функционал на Е, д — равномерно положительный функционал на Тогда / ® д — равномерно положи-

п

тельный функционал на (Е ®а Е,КР). Действительно, пусть 2; = Е ек ® хк € Кр, тогда

к=1

(/® <?)(*) = ¿/Ы^Ы > к^\Ы\ 1Ы1 > кж{х) > ка{х),

к=1

к=1

где к

константа.

Теорема 4. Для того чтобы конус был телесным в Е®а /•'. где а — любая крос-снорма такая, что а ) необходимо и достаточно, чтобы Е+ был телесным конусом в Е и /•'( — телесным конусом в Р.

Доказательство. Необходимость. Покажем, что /-'( — телесный конус.

га

Пусть г = Е ек ® — внутренняя точка конуса К^ в Е ®а Р, то есть В{г,г) С К^, к=1

где В{г,г) — замкнутый шар радиуса г > 0 с центром в точке г в Е ®а Р. Возьмем е € -Е+, ||е|| = 1. Тогда существует функционал Жу € ||жу|| = 1 и (е, Жу) = 1.

га

Покажем, что _В(жу,г) С Р+, где жу € Р, жу = ^ {ек,х'о)хк. Пусть у0 € Р, ||уо ^ г. Положим ;?у = е ® уо- Тогда а(;?о) ^ ||уу|| ^ г, отсюда г; + го € следовательно

га

2_^{ек,х1)хк + (е,жу)уу € Р+, к=1

т, е. жо + уо € Р+, значит, В(хо,г) С Р+.

Аналогично доказывается телесность конуса

Достаточность. Пусть и € /',' ( — внутренняя точка конуса Е+, V € Р+ — внутренняя точка конуса Р+. Тогда го = и® V является внутренней точкой конуса К^. Действительно, пусть шар В{и,р\) С Е+, шар В(у,р2) С Р+. Возьмем произвольный

га

элемент г; = ек®хк ^ такой, что а(г^ го) ^ р\р2■ Для любого / € Е*+ имеем:

к=1

к=1

так как ||/|| ^ 1(и,/} (см. [1, с. 29]). Поэтому

^2(ек,1}хк = (и,/)

к=1

^=1

€ (и,/)В(у,р2) С Р4

а это значит, что г; = ек ® хк £ Теорема доказана.

к=1

Приведем примеры, показывающие, что из того, что конуса Е+ и Р+ являются правильными (вполне правильными), вообще говоря, не следует, что произвольный тензорный конус в Е ®ПЕ Р (Е ®кв Р) является правильным (вполне правильным). Следует подчеркнуть, что в нашем более общем случае, когда Е является произвольным УБП, принадлежащем классу {'К), в отличие от случая, когда Е — банахова решетка, в основном получаются отрицательные результаты, то есть здесь возникает существенно новая ситуация.

Пример 3. Пусть Е = 12 с конусом Е+ = К\, таким же, как в примере 1, Р = 12 с естественным конусом. Конус Е+ является оштукатуриваемым, следовательно, вполне правильным (см. [2, с. 9]). Конус Р+ также вполне правильный, значит, правильный. Покажем, что, тем не менее, конус Кр в Е®кв Р не является правильным, следовательно, Кр не является вполне правильным в Е ®кв Р. Рассмотрим последовательность

элементов гп (г /'- :•; /•'. п 1.2.....определяемую следующим образом:

гп = гп-1 + (¿,0,... ,0,^,0,... ) ® Го,... ,0,^,0,... Ь ..

Ясно, что последовательность гп возрастает. Кроме того, нетрудно видеть, что все гп ограничены элементом (1,0,...) ® ^1, ... , ...^. Однако последовательность хп не является фундаментальной в Е Действительно, рассмотрим разность

32П -Яп = (^,0,... ,^,0,...^ ® ^0,... + ...

га+1 п+1

2 га 2 га

Оценим норму кв{х2п — %п) снизу, воспользовавшись тем, что сопряженное {Е®кв Е)* канонически изометрично С^Е, _Р*). Так как конус в Е оштукатуриваемый, то всякий непрерывный оператор Г : /',' —» /•"" является ¿-оператором. Пусть Г : —» /•_>. I (г £(¿2,^2) — тождественный оператор. Нетрудно видеть, что ||Т||г ^ у/2. Тогда

^ 2га ^

ы*Е I

к=п+1

то есть последовательность гп не фундаментальна; следовательно, Кр не является правильным в Е

Пример 4. Пусть ¿2 упорядочено конусом

Г °° 2 2\

К = = (х\,... ,жга,...) : хп ^ 0, \/п, ^ ^ х2п ^ .

I га=2 ]

Положим = ¿2 с сопряженным конусом /\'1. тогда К* — замкнутый, нормальный, телесный, вполне правильный конус [2].

1) Возьмем Е = 12 с естественным конусом. Покажем, что проективный конус Кр не является вполне правильным в Е ®ПЕ Рассмотрим последовательность хп элементов из Кр:

= (1,0,...)® (1,0,...), гп = гп-1 + (0,... ,0,1,0,...)® (0,0,... ,0,1,0,...).

Ясно, что последовательность хп возрастает. Тем же методом, что и в примере 10 (см. [10, с. 231]) можно показать, что пв{гп) ^ л/2 для п = 1,2,... . Тем не менее, последовательность гп не фундаментальна, так как пе{%п+1 — %п) = 1, то есть Кр не является вполне правильным в Е ®ПЕ Р.

2) Возьмем Р = ¿2 с конусом К*. Так как К* — телесный конус, то по теореме 4 инъективный конус /\, С Е ® Р будет телесным конусом в Е ®ПЕ Р. Покажем, что конус Кг не является правильным в Е ®ПЕ Р. Рассмотрим последовательность гп, определенную в пункте 1 настоящего примера. Тогда гп € /\п = 1,2,..., последовательность хп возрастает в смысле конуса К,. пе^п) ^ л/2 для п = 1,2,... и не является фундаментальной. Следовательно, конус К^ в Е ®ПЕ Р не является вполне правильным. Тогда К^ не является правильным конусом в Е ®ПЕ Р, так как правильность и телесность конуса влекут полную правильность конуса (см. [2, с. 10]).

2°) Пусть Е € (72-), X — произвольное БП. Линейный оператор Т : Е ^ X называется I-оператором, если конечна ¿-норма:

\П =§иР

Е

к=1

ек

^ 1 ,п = 1,2,,

Пространство всех ¿-операторов из Е в X с I-нормой обозначим через С1(Е,Х).

Линейный оператор II : X —> Е называется Ьо- оператором, если он переводит единичный шар пространства X в порядково ограниченное множество в Е. Пространство всех Ьо-операторов из X в Е с Ьо-нормой

||г7||ьо = ш£{||е|| : 11х ^ е, Vх <Е X, ||ж|| ^ 1}

обозначим Съо (-Х", Е).

Теорема 5. Пусть /','. /•' (г (Щ, Х,У — произвольные БП, Б € С(Е,Х), Б ф 0, Т € £(Р, У), Т ф 0. Тогда для любых кросснорм а и ¡3 оператор

Б®Т: (Е®а,Кр)

является ¿-оператором тогда и только тогда, когда Б иТ суть ¿-операторы. При этом

Доказательство. Пусть Б : Е ^ X — ¿-оператор. Это эквивалентно существованию функционала е* € Е+, ||е*|| ^ 1 такого, что

||5еК ||5||г(е*,е), Vе (Е Е+;

аналогично, если Г : /•' —» — ¿-оператор, то найдется /* € /•"{'. ||/*|| ^ 1, такой что ||Т/|| ^ ||Т||г(/,/*), V/ € Р+. Тогда е* <В> /* — положительный непрерывный

функционал, е* ® /* € К*. Пусть г = £ ek®fkeKp, тогда

к=1

/3

^ тг ( Ё 5efc ® Tfk

\к=1

fc=i

га

^||Sefc||||T/fc|| = ^||S(efc||T/fc||)||

fc=i fc=i

га га

^ ||S||^(efc,e*)||T/fc|| =

fc=i fc=i га /га

fc=i

U=i

Следовательно, — ¿-оператор и ||5® Т||г ^ ||5||/||Т||/.

Обратно, пусть 5* ® Т : (Е ®а Е,КР) ^ X ^^ У — ¿-оператор. Покажем, что 5* и Т — ¿-операторы. Пусть в1,... ,ега € 1?+. Возьмем / € ф 0. Тогда

ех ® /,... , ега ® / € Кр. Поскольку 5* ® Т — ¿-оператор, то

га га

г/11 е над = Еда ® ® я],

к=1

fc=l

||5®Т||га(ЁеЛ®/) =||5®Т||г

4fc = l

Eefc fc=i

Значит, S — ¿-оператор и ||S||/ ^ \\S ® ^НгН/НС^/Н 1). Отсюда, так как последнее неравенство верно V/ € F+, ||/|| = 1, то ||5||г ^ ||5®Т||г ■ ||Т||-1, откуда ||5®Т||г ^ \\S\\i\\T\\.

Аналогично получаем, что ||Т||/ ^ ||5 ® T\\i ■ ||5|| 1 и ||5 ® T\\i J; ||Т||г||5||. Итак,

Теорема полностью доказана.

Теорема 6. Пусть E,F{1Z), X. У суть произвольные БП, U € С(Х,Е), U ф 0, V € C(Y, F), V ф 0. Тогда для любых кросснорм a ^ е и (5 ^ е оператор

U <8>V : X <8>aY (Е <8>р F, Щ)

является Ьо-операторов тогда и только тогда, когда U nV — Ъо-операторы. При этом

VrilbomiboVCTW<r®^llbo < niboll^llbo.

Доказательство. Пусть U : X ^ Е и V : Y ' F — Ьо-операторы. Тогда найдутся элементы е € Е+ и / € F+ такие, что

±Ux^e, Ух (EX, ||ж|| ^ 1; ||f7||bo = inf{||e||}; ±Vy^f, У у € Y, ||уК1; \\V\\bo = inf{||/||}.

Покажем, что оператор II ®У : X ®а У —> (Е Е,К^) является Ьо-оператором при

га

а = е (а значит, при любом а е). Пусть .г (г .V :•; У. .г ^ хк ® ук и е(г) ^ 1.

к=1

Докажем, что ±[7 ® ^ е ® / в смысле конуса Л',-. т. е.

Уе* € V/* € ^

При этом достаточно считать, что У*/* 0. Имеем:

^{ихк,е*){УУк,П = (и ( ) ,е* \

&=1

^ (е,е*)

^=1

га

к=1

= (е, е*) вир

^¿{хк,х*){Уук,П

к=1

Кроме того,

(УукЛ = (ук,У*П = (ук

■у* у*

рттр

1ЫК1 1ЫК1

Далее получаем:

(е,е*) вир

^¿{хк,х*){Уук,П

к=1

= (е, е*) вир

||ж* 11^1

га

*}{Ук,У*}

к=1

^2{хк,х*)(ук

к=1

|ж*|| < 1,

11^7*1

'*Н 5С 1

11^7*

= ф)<е,011ПГК<е,0</,Л-

Итак, ||17 ® УЦьо ^ т£{||е|| ||/||} ^ ||£/||ь0 ||^||Ьо.

Обратно, пусть и ®У : X ®а У —> — Ьо-оператор. Покажем, что

и : X ^ Е также является Ьо-оператором. Возьмем / € ||/*|| = 1. Пусть ж € X, ||ж|| ^ 1 п у € У такой, что ||у|| = 1 и {Уу,/*) > 0. Тогда найдется элемент 2; € /\,.

га

2; = Е ек <8> /к такой, что Их ® Уу ^ 2: в смысле конуса Щ. Отсюда

к=1

их(Уу,Г) ^ < —1—^ Г).

Тогда

П1ьо ^

1

(Уу,П

11/*11<1

&=1

= ф) ^

Переходя к супремуму по всем у € Y, ||у|| = 1 и всем /* € F+, ||/*|| = 1, получим:

\\У\\\\и\\Ъо ^ \\и®V||bo-

Аналогично доказывается, что ||f7|| ||V||bo ^ \\U ® V||bo? т- е.

\\и ® VWbo > V\\u\U\v\\boVWW\\-

Теорема полностью доказана.

Литература

1. Вулих Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.—Калинин: Изд-во КГУ, 1977.

2. Вулих Б. 3. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.— Калинин: Изд-во КГУ, 1978.

3. Wittstock G. Ordered normed tensor products. Lecture Note in Phisics.—1974.—V. 29.—P. 67-84.

4. Худалов В. Т. О тензорном произведении упорядоченного и произвольного банаховых пространств // Вестник ЛГУ.—1979.—№ 19—С. 114-116.

5. Левин В. Л. Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемые КВ-линеалами. Труды Моск. мат. о-ва.—1969.—Т. 20.—С. 43-82.

6. Schatten R. A theory of cross-spaces.—Princeton, 1950.

7. Schaefer H. H. Banach lattices and positive operators. Springer-Verlag, 1974.

8. Walsh B. Ordered vector sequence spaces and related classes of linear operators. Math. Ann.— 1973.—у. 206, No. 4.—P. 89-138.

9. Худалов В. Т. Кросснормы на тензорном произведении, связанные с порядком. Веб.: Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений.—Ярославль, 1980.—С. 145— 156.

10. Худалов В. Т. Двойственность кросснорм, порождаемых некоторыми классами линейных операторов // Нелокальные краевые задачи для нагруженных уравнений смешанного типа и родственные проблемы непрерывного анализа.—Нальчик, 1982.—С. 225-236.