О регулярных конусах Демарра - Красносельского Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2006, Том В, Выпуск 2

УДК 517.98

О РЕГУЛЯРНЫХ КОНУСАХ ДЕМАРРА — КРАСНОСЕЛЬСКОГО К. В. Коробова, В. Т. Худалов

Рассмотрен класс конусов Демарра — Красносельского специального вида. Получено описание всех

регулярных конусов Демарра — Красносельского в пространствах l^, n > 1, и в гильбертовом пространстве. Описано множество элементов наилучшего приближения. Для произвольного элемента

указано его разложение в виде ортогональных по Роберу элементов конуса.

1. В монографии Б. З. Вулиха [1] рассматривается следующий способ построения конуса в векторном пространстве. Пусть X — векторное пространство над полем действительных чисел, F С X — выпуклое множество, не содержащее нуля (О Є F). Составим множество

K(F) = aF = {x Є X : (3z Є F)(3a ^ О) x = az}.

Нетрудно показать, что K(F) — конус.

2. Пусть X — банахово пространство над R. Одним из наиболее общих методов построения конуса в произвольном банаховом пространстве, обладающего свойствами нормальности, несплющенности [1], а также телесности, оштукатуриваемости [2], является следующий: если f Є X* — произвольный непрерывный линейный функционал на X такой, что ||f У =1 и a Є (0,1], то положим

K[f, a] := {x Є X : f (x) ^ a||x||}.

В монографии [б] показано, что K[f, a] — замкнутый, нормальный и несплющенный конус при a Є (0,1). Конус K[f, a] назовем круглым конусом, определяемым f и a.

3. Приведем известные результаты о круглых конусах. Напомним, что замкнутый конус E+ в банаховом пространстве E называется регулярным, если:

(1) ±x ^ y ^ ||x|| ^ ||y|| для любых x,y Є E;

(2) для любого x Є E существует y Є E+ такой, что ±x ^ y и ||y|| = ||x|.

В монографии [б] получено описание всех круглых регулярных конусов в гильбертовом пространстве. Оказывается, что для любого функционала a Є H*, ||a|| = 1, конус K[a, a] регулярен в H тогда и только тогда, когда a = 1/л/2 (при dim H > 1).

Кроме того, в [б] доказано, что сопряженным к круглому конусу в гильбертовом пространстве является круглый конус, т. е.

K*[a, a] = K [a, у/1 — a2].

Заметим, что круглый конус в гильбертовом пространстве является самосопряженным, т. е. K*[a,a] = K[a, a], тогда и только тогда, когда a = 1/л/2, а значит, конус K[a, a] является регулярным.

© 2006 Коробова К. В., Худалов В. Т.

Описание всех регулярных круглых конусов в пространстве 1^, п > 1, получено в [6], где доказано, что нерешеточный круглый конус является регулярным только при а = 1/2, при этом одна координата вектора / = (/і, /2,..., /п) равна ±1, а все остальные — нули. Таким образом, при /^ =1, / = 0, к = ] получаем

К[/, 1/2]= К3 = |ж = (жі,ж2,...,ж„): ^ ^ |ж^||.

k=1,k=j

4. Пусть X — банахово пространство, а Є X, ||а|| =1 и г Є (0,1). Обозначим через В [а, г] замкнутый шар с центром в а радиуса г:

В [а, г] = {ж Є X : ||а — ж|| ^ г}.

Пусть Соп[а,г] = К (В [а, г]) = и^>о -В[а,г] — конус Демарра — Красносельского специального вида. Опишем конус, сопряженный к Соп[а,г].

Теорема 1. Имеет место следующее равенство:

Сои* [а, г] = К [а, г] = {/ Є X * : / (а) ^ г||/1|}.

< Рассмотрим произвольный элемент / Є Соп*[а,г]. Тогда /(ж) ^ 0 для любого ж Є Соп[а,г]. Пусть г Є X, ||г|| ^ г. Положим ж = а ± г. Тогда ж Є Соп[а,г], так как ж Є В[а,г]. Отсюда получаем /(ж) = /(а) ± /(г) ^ 0 для любого г такого, что ||г|| ^ г. Значит, /(а) ^ |/(г)| для всех таких г, что ||г|| ^ г. Следовательно,

/(а) ^ йир{|/(г)| : ||г| ^ г} = яир < г

г г

/ ""

г г

< 1 > = г

т. е. f £ К [а, г]. Следовательно, Соп*[а,г] С К [а, г].

Обратно, пусть f £ К [а, г], т. е. f (а) ^ г|^ ||. Возьмем произвольный элемент ж £

Соп[а,г]. Если ж = 0, то f (0) = 0. Если ж = 0, то существует ^ > 0 такое, что ^ £ В[а,г],

значит, ||а — ж/^|| ^ г. Имеем:

f (ж) = ^ (ж/^) = ^ (а) + f (ж/^ — а));

^(ж/^ — а)| ^ У ||ж/^ — а| .

Отсюда следует, что

ж

а

-

ж

а

-

или

/(ж) ^ -г|/II —

-

а

г

-

а

следовательно, f (ж) ^ 0 для любого ж £ Соп[а, г], т. е. f £ Соп*[а, г]. Тем самым, К [а, г] С Сои*[а, г], и теорема доказана. >

Теорема 2. Пусть Н — гильбертово пространство, а £ Н, ||а|| = 1 и г £ (0,1], тогда

1) К [а, г] = Соп[а, л/1 — г2];

2) Сои*[а,г] = Соп[а, /1 — г2].

ж

ж

< Действительно, имеем

K [a, r] = K * [a, \/1 - r2 ] = (Con*[a,\/1 - r2])* = Con[aV 1 - r2 ]

и Con*[a,r] = K[a, r] = Con[a, /1 — r2]. >

Теорема 3. Пусть X — рефлексивное банахово пространство, тогда K*[a,r] = Con[a, r].

Используя описание всех регулярных круглых конусов в гильбертовом пространстве и в пространствах ІП, n > 1, и теоремы 2 и 3, получаем описание всех регулярных конусов Демарра — Красносельского специального вида в гильбертовом пространстве и пространствах ІП, n > 1.

Теорема 4. Пусть H — гильбертово пространство, dimH > 1, a Є H, ||a|| = 1 и r Є (0,1]. Конус Con[a, r] является регулярным тогда и только тогда, когда r = , т. е.

когда конус Con[a, r] самосопряжен.

Теорема 5. Пусть f = (fi, f2,..., fn) Є ІП и ||f || = 1. Конус Con[a,r] является регулярным в ІП, n > 1, только при двух значениях r Є (0,1] :

1) r = 1; в этом случае каждая координата вектора f = (fi, f2,..., fn) равна 1 или —1; при этом получаем 2n конусов, которые порождают порядково изоморфные и изометрич-ные между собой упорядоченные банаховы пространства (порядково изоморфные и изо-метричные банаховой решетке ІП с естественным конусом положительных элементов);

2) r = 1/2; в этом случае одна координата вектора f = (fi, f2,..., fn) равна ±1, а все остальные — нули; получаем 2n конусов, порождающих порядково изоморфные и изо-метричные между собой упорядоченные банаховы пространства (порядково изоморфные и изометричные пространству ІП с конусом

< Действительно, Соп[^ г] = К*[^ г] является регулярным тогда и только тогда, когда К*[^ г] регулярен, что равносильно регулярности конуса К[^ г] в 1”. Остается использовать описание регулярных круглых конусов в пространстве 1” и показать, что К*[^ 1/2] = К[^ 1] в 1”. Действительно, пусть функционал f имеет вид f = (1, 0,..., 0) и у = (у1,... ,уп) £ К[/, 1] С 1^, тогда у1 ^ ||у|| = вирЦу^|}. Для любого ж = (жь... ,ж„) £ К[^ 1/2] С 1” покажем, что у(ж) ^ 0. Рассмотрим

Kj = {x = (xi, x2,..., xn) : xj ^ sup{IxkI : k = j, k = 1,..., n}}).

k>2

Так как x Є K[f, 1/2], то xi ^ ^k>2 IxkI и

± £ xk yk ^ I ^ xk ykl ^ ^ Ixk yk I ^ yi Ixk I ^ xiyi.

k>2

k>2

k>2

k>2

Таким образом, xiyi + k>2 xk yk = y(x) ^ 0.

Обратно, пусть y £ K*[/, 1/2], т. е. y(x) ^ 0 для любого x £ K[/, 1/2]. Покажем, что yi ^ sup{|yk| : к ^ 2}. Пусть sup{|yk|} = A, тогда для любого е > 0 найдется n такой, что |yn| > A — е. В качестве x возьмем элемент такой, что xi = 1, xn = — signyn, xk = 0 (k = n). Очевидно, что x £ K[/, 1/2]. Тогда имеем

y(x) = yi — sign(y„)y„ ^ 0, |yra| > A — e.

Таким образом, yi > A — e. При e ^ 0 получим yi ^ A. >

5. Напомним, что если пространство E упорядочено строго регулярным конусом E+, т. е. (E, E+) £ (R), то для любого элемента x £ E можно определить множество |Х|

элементов y £ E таких, что ±x ^ y и ||x|| = ||y||. Множество |X| называют множеством

метрических модулей элемента x.

Положим

X+ = 2x +2 |X|, X- = — 2x +2|X|.

Множества X+ и X- называются множествами положительных (соответственно отрицательных) частей элемента x.

Строго регулярный конус E+ называется простым, если для любого x £ E множество |X| состоит из одного элемента. Примером пространства с простым конусом является (H, H+), где H — гильбертово пространство [5]. Метрические характеристики элемента пространства 1” получены и изучены в статьях [3-4].

Множество метрических модулей элемента пространства 1” описывает следующая теорема.

Теорема 6. Пусть пространство 1” упорядочено круглым регулярным конусом Kj, тогда для произвольного элемента x = (xi,..., xn) £ ±Kj метрический модуль представляет собой следующее множество:

|Х| = {у Є С : у- = ||ж||, -||ж|| + |ж- + жк| ^ ук ^ ||ж|| - |ж- - жк|}.

< Проведем доказательство для случая, когда пространство упорядочено конусом . Пусть ж = (жі,...,жп) Є • Най описывающая элемент у, имеет вид

n І”

Ki. Пусть x = (xi,... ,xn) Є І”. Найдем y Є Ki такой, что ±x ^ y, ||x|| = ||y|. Система,

yi ^ llyN>

| x| = | y| , или y ± x Є Ki;

yi = | x| ,

У1 - xi ^ ||y - x| kyi + xi ^ ||y + x|

Отсюда выводим

yi = | x| ,

— |x| + x1 + xk ^ yk ^ ||x| - x1 + xk,

, — NxN - xi - xk ^ yk ^ ||x|| + xi - xk.

Тогда для любого k = 1 имеем

max{-||x|| + x1 + xk, — |x| - (x1 + xk)} ^ yk ^ min{||x|| - (x1 - xk), ||x|| + (x1 - xk)},

что равносильно

— |x| + max{xi + xk, -(xi + xk)} ^ yk ^ ||x|| + min{-(xi - xk),xi - xk}

или

-||ж|| + |ж 1 + жк| ^ Ук ^ ||ж| - |ж1 - жк|.

Таким образом, множество метрических модулей для произвольного элемента ж пространства (1” ,К1) имеет вид

|Х| = {у £ С : У1 = ||ж|,-||ж|| + |ж1 + жк| ^ ук ^ ||ж| - |ж1 - жк|}.

В общем же случае, т. е. для (1”, К^), справедлива формула

|Х| = {у £ 1” : у,- = ||ж|, -||ж|| + |ж, + жк| ^ ук ^ ||ж| - |ж, - жк|}. >

Следствие. Для произвольного элемента x = (xi,..., X”) пространства (І”, Kj) справедливо представление x = x+ — x-, x+ Є X+, x- Є X-, где:

IX+I = { У Є l” : yj = |x| + Xj , 2 ( -||x|| + Ixj + xkI + xk) < yk < 2 (NxN-|xj - xkI + xk) j ; |X-| = {y Є l” : yj = |x|2 Xj, 1 (-IMI + Ixj+xkI— xk) < yk < 2(NxN-|xj-xkI— xk) j.

б. Конус E+ в упорядоченном банаховом пространстве (E, E+) называется достижимым, если для любого x Є E существует элемент Px Є E+, на котором реализуется минимум в формуле расстояния от x до E+, т. е. d(x, E+) = inf{||a—x|| : a Є E+} = ||Px—x||. Множество всех таких Px обозначается символом M(x) и называется множеством элементов наилучшего приближения.

Известно [5], что если пространство упорядочено регулярным конусом и норма аддитивна на конусе, тогда E+ — вполне достижимый конус, т. е. конус, для которого множества M(x) и X+ совпадают.

Нетрудно убедиться, что норма аддитивна на конусе K[f, 1], поэтому справедливо

Утверждение 1. Конус K [f, 1] вполне достижимый, т. е. для произвольного элемента пространства І” справедливо равенство

M (x) = X+.

7. В произвольных банаховых пространствах вводят различные аналоги понятия ортогональности. Рассмотрим, так называемую, ортогональность по Роберу: элементы ж, у £ Е+ называются ортогональными по Роберу (обозначается ж ± у), если ||ж + Ау|| =

||ж - Ау|| для любого А ^ 0.

Пусть (Е, Е+) £ (ЭТ). Конус Е+ называется вполне регулярным, если для любого ж £ Е и любых ж+, ж- таких, что ж = ж+ - ж- и ||ж+ - ж_|| = ||ж+ + ж_|| выполняется равенство ||ж+ - Аж_|| = ||ж+ + Аж_|| , т. е. они ортогональны по Роберу.

Известно [5], что любой вполне достижимый конус вполне регулярен. Тогда справедливо

Утверждение 2. Конус К[^ 1] в пространстве 1” вполне регулярен.

Литература

1. Вулих Б. З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.—Калинин.: Изд-во КГУ, 1977.-84 с.

2. Вулих Б. З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах.—Калинин.: Изд-во КГУ, 1978.—84 с.

3. Коробова К. В. О геометрии регулярных конусов в пространствах 1п и 11 // Владикавк. мат. журн.— 2003.—Т. 5, № 3.—С. 47-51.

4. Коробова К. В. Геометрические свойства регулярного круглого конуса в пространстве 1п // Тр. молодых ученых.—2005.—Вып.1—С. 11-24.

5. Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.—Владикавказ: Иристон, 1999.—200 с.

6. Вишняков Ю. Г., Худалов В. Т. Описание всех регулярных круглых конусов в I" // Вестник СОГУ. Естественные науки.—1999.—№ 1.—С. 5-6.

Статья поступила 17 апреля 2006 г.

КОРОБОВА КАРИНА ВАЛЕРЬЕВНА

Владикавказ, Владикавказский институт управления E-mail: [email protected]

ХУДАЛОВ ВЛАДИМИР ТЕМИРСОЛТАНОВИЧ, к. ф.-м. н.

Москва, Московский автомобильно-дорожный институт (ГТУ)