Расстояние от точки до конуса в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октьябрь-декабрь, 1999, Том 1, Выпуск 4

УДК 517.982

РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО КОНУСА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В. Т. Худалов

В этой статье установлены явные формулы расстояния от точки до произвольного круглого конуса в гильбертовом пространстве [1]. В [2] эти формулы были получены лишь для частного случая регулярного круглого конуса в терминах метрически положительной и метрически отрицательной частей элемента. В качестве приложения дано решение одной экстремальной задачи в пространстве непрерывных функций.

1°. Пусть К(еі,а) — круглый конус в гильбертовом пространстве Н с оротонор-мированным базисом г і. г....где а - произвольное число, а Є (0,1), т. е.

К(еі,а) = = (хі,х2, • • • ,хп,...) : (ж, еЛ) > а||ж||| =

= їх Є Н : х\ ^ а( ^х], | > = < х Є Н : х\ 5= 0, х\ 5= а2 ^

^ к=1 ' ' ^ п=1

СЮ

2

а оо 2 і _

= < х = (хг,х2, • • • ,хп,...) : х

где (5 = а2. Согласно теореме 2.1.5

К*(еі, а) = К(еі, \/і — а2) = і х : х\ 5= —,

I Л

СЮ

2

п=2

Возьмем произвольный элемент X (г П.Х (Х1,Х2, ■ ■ ■) и ПОЛОЖИМ С = \/5^п = 2 Хп■ Если х € К(ег,а), то ясно, что й{х,К{е\,а)) = 0, и проекция х на К(ег,а) равна

Ж. р' /у» - /у»

• «АУ |Л/ •

Если х € —К(б1, а), то имеем: х = 0 + х, где 0 € К{е\, л/1 — а2), х € —К(в1, а) = -К*(еиу/1 — а2) (см. [3; теорема 3]) и по теореме Моро [3] получаем: проекция х на к(в1, \/Т — а2) равна 0 и

й(х./К(е 1, \/1 — а2)) = ||ж||.

Рассмотрим теперь основной случай. Пусть х ^ ±К(ег,а), тогда

1

Х\ < / —Х\ < —с. (1)

/3

© 1999 Худалов В. Т.

Будем искать представление вектора ж в виде: х = «+г>, («, г>) = 0, где и Є К(еі,а), V Є —К*(еі,а) = —К(еі, л/і — а2)- Положим

/ ж2 Хп \ (1 х2 Хп \

и = а І /З, — І, г; = , ——>•••)•

Имеем

( \ л Л ж2 + ж3 + ' ' ' + хп + • • • і п

(«, г>) = II-------------------------д------------ ] = 0,

і . п и А и А и

х = и + у = А/ > - .---------;г2. • • •,---------жп,

р с с

А/З - І = жь

А і ____________ с_

откуда получаем

Складывая уравнения, будем иметь

Л(,, + ^)-Х1 + ТУ

откуда

л х\/3 + с (3(ф — х 1)

/З2 +1 ’ 1Л = /З2 + 1 '

При этом в силу неравенств (1)

ж 1/0 + с > 0, с/3 — XI > 0,

т. е. А, ц € Ж+ и « € К{е\, а), V € —К(е 1, л/1 — а2). Следовательно, по теореме Моро имеем: проекция вектора х на К(ег,а) равна и, где

хф + с( Х2 Хп \ С + Ж1/3

«- ^2 + 1 (/з, с с(/32 + 1)(с/3,ж2,...,жп,...) -

(с + хф){ф — Х\) С + Х1/0

= с(/32 + 1) 61 + с(/32 + 1)Ж"

Тогда

/3(с/3 - Ж1)а/1 +/32 ф — XI а{х, К{е1,а) = ||г>|| = - —

Ж/З2 + 1) ^1 + /3:

Учитывая, что

жі = (еі,ж); с = а/||ж||2 - (еьж)2,

получаем

(1(х, К(еі,а)) = р2 ^Иж112 ~ (еъж)2) - ^(еъж)^ •

Расстояние достигается на векторе

МИІ2 - (еі,ж)2 + (еі,х)Р)(Ру/\\х\\2 - (еьж)2 - (еьж))

и =

(1 +/32)а/||ж||2 - (еьж)2

+

+ 7ІМІ2 ~ (вьж)2 + /?(еьж)^ (1 + /32)а/||ж||2 - (еьж)2

Наконец, если ж ^ К{е\,а) и ж € —К(е\, л/1 — а2), то ж € —К*(е1,а) и ж = 0 + ж, проекция ж на К(ег,а) есть 0, а й(х,К(е1,а)) = ||ж||. Итак, получаем следующую формулу:

й(х, К(еі, а)) =

0,

ж

«(\/1И12 - (еі,ж)2

если ж Є К(еі,а);

если ж 0 К{еиа) и ж Є —і^(еі, \/і — а2); если ж ^ К(еі, а) и ж ^ (еі, л/1 — а2).

Замечание, При а = получаем формулу (4) из примера 2.1.2 в [4].

2°. Рассмотрим теперь произвольный круглый конус К (а, а), где а Є Н — произвольный вектор, ||а|| = 1 и а Є (0,1). Пусть иш — преобразование Хаусхолдера [5], переводящее вектор а в вектор е,\.

Тогда иш : Н —> Н, ш = а — еі, иш — унитарный оператор, т. е. Ц~1 = Л* = иш. Согласно утверждению 1.5.2 иш переводит конус К(а, а) в конус К(еі,а).

Пусть ж Є Н — произвольный вектор. Имеем иш(а) = еі, иш(еі) = а,

, , жі —(а, ж) жі —(а, ж)

иш(х) = х + л а-----к ’ ві-

1 — О-і 1 — Оі

Так как иш — изометрия, то

й(х,К(а,а)) = й(иш(х), К(е<, а)).

Если ж Є К(а, а), то й(х,К(а,а)) = 0. Если ж £ К(а, а) и ж Є —К(а, л/1 — а2), то

иш(х) ^ К(еі, а) и ж Є ^К{е\, л/1 — а2) и, значит, в этом случае

й(х ,К(а,а)) = ||ї7ш(ж)|| = ||ж||.

Если же ж ^ К (а, а) и ж ^ —К (а, л/1 — а2), то £7ш(ж) ^ і^(еі, а) и 1/ш(х) ^

-К(еі, л/Г — а2), следовательно, в силу предыдущего пункта, имеем

7/ ч ч ,( жі —(а, ж) жі —(а, ж) Д

а(ж, А (а, а)) = а ж Н-----------а-------------е\, К (еі, а) =

1 — аі

1 — аі

= ал ж

(еьж) +

(жі — (а,ж))(аі — 1)

1 — аі

= а\/||ж||2 — (а, ж)2 — \/і — а2(а, ж).

\/1 — а2(а, ж) =

Найдем проекцию вектора ж на конус К (а, а). Имеем

й(х,К(а,а)) = й(иш(х), К(е<, а)), т. е. проекция х ка, К (а, а) равна образу проекции вектора

, , х\ — (а, ж) х\ — (а, ж)

иш(х) = ж + Л а-----К ’ ег

1 — 0-1 1 — Оі

на К{е\,а) при отображении 11ш. Согласно предыдущему пункту, получим

ММІ2 - (а>х)2 + (а^)тї=ї)(7ї=ї 7ІІжІІ2 - (а>х)2 - (а>хУ)

Рх =----------------------, ^ ^ ------------------а+

13^2 71И|2 - (а, ж)2

, \/М (а,ж) + ^_^а,ж) Жі-(а,ж) хі — (а,ж)

+---------ї----у,, ц9 , ^-----иш[х + —------------а--------------еі) =

13^2 \/|М|2 “ (а?х) 1-а! 1-а!

(л/1 — а2\/1М|2 — (а,ж)2 + а(а, ж))(а^/||ж||2 — (а, ж)2 — л/1 — а2(а, ж))

л/Цж||2 - (а,ж):

о+

(1 — а2) л/||ж||2 — (а, ж)2 + ал/1 — а2(а, ж)

Н--------------^-------...... . _------------------ж.

л/Цж||2 - (а,ж)2 Итак, получаем следующую формулу:

й(х,К(а, а)) =

( 0, если ж Є К (а, а);

||ж||, если ж ^ К (а, а) и ж Є —К (а, л/1 — а2);

а^/||ж||2 — (а, ж)2 — л/1 — а2(а, ж),

если ж £ К (а, а), х $ —К(а, л/1 — а2) •

(2)

3°. Пусть ф — непрерывная на отрезке [а, Ь\ функция действительного переменного такая, что / ф2(х)сІ,х = 1, а — произвольное число из (0,1). Обозначим через М{ф,а) следующее множество

М(ф, а) = < д Є Сіам : / д{х)ф{х)йх ^ а

і

\

д2(х)с1х

Рассмотрим следующую экстремальную задачу: для любой функции / € С>ад найти

df = іп£ ■

\

(/(ж) — д(х))2йх : дЄМ(ф,а)

Результаты пункта 2° позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема 2.4.1. Для любой функции / € С{ад существует единственная непрерывная функция € С[ад, которая доставляет инфимум в задаче (3). При этом

Г о,

если / € М(ф,а);

df = <

если / 0 М(ф, а) и / € -М(ф,у/\- а2); а{$1 /2{х^х - f(x)ф(x)dx)2)2 - л/1 - а2 /“ f(x)ф(x)dx,

если / ^ М(ф,а) и / ^ —М(ф, VI - а2).

Функция равна /, если / € М(ф,а); равна 0, если / ^ М(ф,а) и / € ; если же / ^ М(ф, а) и / ^ —М(ф, л/1 — а2), то

- а2 ( [а f2(x)dx - (/о /(х)ф(х^х)2 )' + а /а /(х)ф(х^х Л/ =---------^----:-----------------------^-----,------------х

1аР(Фх - (/*/{х)ф{х^х)2

( (

2\ 2

\

а

V V

f2(x)dx

f(x)ф(x)dx

х/Т^-а2 /{х)ф{х^х

Ф+

(1 — а2) ^/аЬ f2(x)dx — (/о6/(ж)^(ж)б?ж)2^ "+ал/Г^а2 §^$(х)ф(х^х

1а /2(фх - (/аЬ/{х)ф{хЦх)2

Литература

1. Худалов В. Т. Регулярные конусы в гильбертовом пространстве // Сиб. мат. журн.—1996.— Т. 37, № 1.—С. 193-196.

2. Худалов В. Т. Аппроксимативные свойства положительной и отрицательной частей элемента в упорядоченных банаховых пространствах // Мат. заметки.—1996.—Вып. 5.—С. 793-798.

3. Худалов В. Т. В гильбертовом пространстве регулярность конуса равносильна самосопряженности // Матем. заметки.

4. Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.—Владикавказ, 1999.— 200 с.

5. Хорн Р., Джонстон Ч. Матричный анализ.—М.: Мир, 1989.—655 с.