CC BY
9
Владикавказский математический журнал Октьябрь-декабрь, 1999, Том 1, Выпуск 4
УДК 517.98
О НЕКОТОРЫХ КРОССНОРМАХ НА ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ УПОРЯДОЧЕННЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Лейла М. Энеева
Пусть Е — упорядоченное банахово пространство (УБП) с замкнутым конусом Е+ ([1]) и нормой, удовлетворяющей следующим двум условиям:
(1) Vх./у € Е из ±х ^ у следует ||ж|| ^ ||у||;
(2) Уж € Е и Ve > 0 Зу € Е+ такой, что ±х ^ у, и ||у|| ^ (1 + е) ||ж||,
В этом случае конус Е+ называют регулярным, а БП Е — регулярно упорядоченным (пишут (Е € (7Z)).
На тензорном произведении Е 0 X ([2]) произвольных УБП Е € (7Z) и БП X рассмотрим кросснорму
П П
kE(z) = inf II ^efc||xfc|| : z = 'Y^ek®xk, ek > 0, fc=l,nj,
k=1 k=1
связанную с порядком в пространстве Е. (Напомним, что, по Шаттену [2], кросснормой на тензорном произведении Е®Х нормированных пространств Е и F называется норма а, удовлетворяющая условию а(е®х) = ||е|| ||ж||.) Эта кросснорма исследовалась в ряде работ. Были изучены свойства тензорных конусов в тензорных произведениях с этой кросснормой ([3], [4]), В [5] для произвольных УБП /Л /•’ (г (7Z), F с аддитивной на конусе нормой и произвольного банахова пространства G получена новая характеристика этой кросснормы в терминах изометрии пространств операторов £t(E 0kE F, G) и Ci(E, £{F, G)). Эта характеристика существенно используется при доказательстве изометрии пространств 1-операторов Ct(E®kEF,G*) и £-е(Е, £i(F, G*)), а уже этот результат влечет ассоциативность тензорных произведений банаховых пространств с кросснормой кв [5],
В [6] при помощи кросснормы к% была построена кросснорма к, зависящая от порядка уже не в одном, а в обоих пространствах — сомножителях тензорного произведения, Сопряженное к тензорному произведению E®F двух УБП Е и F с кросснормой к пространство описывается классом £, т-операторов,
В этой работе будут получены: изометрия пространств £, т-операторов
C(.tm(E®kF,G*) и C(.<m(E, C(.<m(F,G*)), и ассоциативность тензорных произведений упорядоченных банаховых пространств с кросснормой к.
1°, Пусть /•;. /•’ е (TV).
Определение, Оператор Т : Е —>• F* назовем I, m-оператором, если Т : Е —>• F* и Т*\р : F —>• Е* являются одновременно т-операторами [7],
Положим
\\T\km =SUP{||T||m, ||T*||m}.
© 1999 Энеева Лейла М,
Предложение 1. Т : Е —>• і*1* является £, т-оператором тогда и только тогда, когда Т и Т* являются одновременно £-операторами ([7]), и
\\т\\1,т = 5чр{\\т\\1, \\т*\и}.
Пространство всех £, т-операторов и:: в /•’* с нормой ||.||^га обозначим
Предложение 2. £і^т(Е,Р*) = £^то (і*1, ).
При этом оператору Т из первого пространства поставим в соответствие ограничение на Е сопряженного ему оператора Т*, являющегося элементом пространства £,^т(Р, Е*). Аналогичная ситуация будет иметь место и для оператора II из -Сі,т(Р) Е*) ~ ограничение на Е сопряженного ему оператора II* будет £, т-оператором из И в /•’*.
2°, Рассмотрим кросснорму к на тензорном произведении двух регулярно упорядоченных пространств. Поскольку любой элемент г Є Е0Р можно представить в виде г = 21+^2, где = ^1к = 1 е*®Лс ек > 0, к = 1,ПЬ И 22 = Х)Г=1 аг®Ьг, Ьг ^ 0,і = 1,п2, то положим
к (г) = тї{кЕ(гі) + кР(г2) : г = гг + г2}.
Нетрудно проверить, что к ■■■■■■■■■■ кросснорма на Е 0 Р.
Справедлива
Теорема 1. (ЕфкР)* изометрично £і.т(Е, Р*).
<1 Пусть д Є {Е®кР)*, Построим оператор Тд \ Е ^ Р* по правилу
Тд(е)(Л=д(е®Л, <■ (г Е../' (г /•’.
Покажем, что Тд является £, т-оператором. Достаточно показать, что операторы Тд : Е —>• Р* и Т* : Р —>• Е* являются одновременно 1-операторами (см, предложение 1), Пусть еье2,...,ега Є Е+ и /ь/2,...,/га є -Р1+-Имеем
\\Тд(ек)\\р* = йир
к=і ІІЛІІО
к=1,п
= вир ИЛЦО
к=1уп
^{Тд(ек),/к)
к=1
= вир ИЛЦО
к=1,п
^д(ек®Ік)
к=1
0/*
&=1
^ вир ґкк\\д\\кЕ( ^ек 0 Д 1 ^ ІІЛІК1
А?=1
/с=1,те
< йир 1Ы1 ІІЛІІО *=і
/с=1,те
к=1
Аналогично для Т* получаем
Ё11г»”(Л)ь- <и|||Ёл
*=і
і=і
О некоторых кросснормах на тензорных произведениях
4-57
откуда Тд : Е —>• F* - £, т-оператор.
Обратно, пусть Т Є С(.<т(Е, Е*). Это означает, по определению, что операторы Т : Е —ї Е* и Т*| : Е —>• Е* являются одновременно £- и т-операторами. Покажем,
что порождаемый оператором Т линейный функционал д на Е 0 Е, такой, что
9{J2ek ®fk) = Е<Те*’/*>
k=1 fc=l
непрерывен. Действительно,
п
\Ф)\ = g{Y^ek®fk
к=1
Пі 712 Пі
= ^(Е^ 0 + E°*0 ^ ^(E^0^) + з(Ёа*0Ь*)
fc=i
*=i
k =1
*=1
Пі = E<Te*’/fc> П2 + (Ї1 aj, bj) Пі 712 ^ E (Tek;fk) + E
fc=l і =1 k=l =i
/11 <Еііг«ііііліі + Е 1кНГ*М n 1 = E»r< Sfcll/fcll)ll + ТІ 2 Е
fc=i i = 1 fc=i *=і
П\ ^^efcll/fcll + ПІІ 712 Eb*iia*n
fc=i г=1
^ sup{ T ГІІ Iinit}{ ЕЫ1Л11 fc = l ТІ 2 + ЕЬ*І *=i а*
Переходя к инфимуму по всем представлениям г\ и гг, получим
Ь(^)| ^ \\Т\\і,т{кЕ{гі) + кР(г2)).
Взяв инфимум по всем разбиениям г на сумму г і и ^2 указанным выше способом, получаем
\Ф)\ < \\Т\\(,,тк(г).
Теорема доказана, >
3°, Согласно теореме 1 для пространств /Л /•’. С (г (ТІ), Е и О с аддитивной на конусе нормой справедливы изометрии:
1.
(Е 0fc F) 0fc G Е 0fc (F 0fc G)
— £e,m(E 0fc F, G*), ^ra(F,£^ra(F,G*)).
Теорема 2. £.£>m(E F, G*) изометрично £t>m(E, £^jTO(F, G*)).
<1 Пусть T € £,.„,( F 0fc F,G*). Он порождает оператор T : F ^ £( /•’. G*), действующий по формуле
f (e) (/) = T(e 0 /) Ve € F, / € F.
Пусть е Є Е+, ||е|| = 1, и Б = Те. В силу теоремы 2 из [5] заключаем, что операторы 5 и Те являются 1-операторами,
Остается показать, что .Vі и Т*\Е^а будут также 1-операторами, Сначала покажем, что 8*\о : (>' * * —>• /•’* является 1-оператором, Пусть ді,д2, ■ ■ ■ ,дп Є Є+. Получим
Е = йир
ИЛЦО
к=1,п
к=1
к=1
= вир IIЛІІО
к=1,п
&=1
<
< вир ^іі^іі \\sfkW = вир ІІЛІІ«і*=і 11ЛН«1*=1
к=1уп
к=1.п
^ вир ||5*||* Е^ьн <№ вир Е ІІЛІК1 к=1 НЛН<1Л=1
<
№І|Х>
к=1
к=1уп
к=1.п
откуда 5* — 1-оператор, и ||5*||^ ^ ||5'||^,
Пусть теперь , г2,..., гп € Кр Є Е 0 О, и Х)&=і ^ 1- Тогда
Ен^)ь*= йир
ИЛЦО
/с=1,те
А?=1
Е у'* вк
к=1
= вир II ЛУО
&=1,п
к=1
<
^ вир Е &(•£&) ||ТЄ*|| вир ^ ^ ||/Г(ЄД;&(2'Д;)) || 5^ 11Л1Ки=1 11Л1Ки=1
к=1уп
к=1.п
^ ЦТ||^ вир П^екк^к) ^ ЦТЦ^ вир ^ Це/гІІ А:(^) ^ ||Т||^(
IIЛІЮ к=1 ||ЛНО/г=1 &=1
/с=1,те
/с=1,те
Заметим, что из аддитивности норм на конусах Е+ и в пространствах І-] и /•’ следует аддитивность нормы А: на конусе Кр в силу утверждения 3,2,2 из [4], Таким образом, показали включение Сі^т(Е 0*. Е, Є*) С С£>т(Е, Сі,т(Е, Є*)).
Покажем обратное включение. Пусть Т Є С(.<т(Е, £і^т(Е,0*)). Он порождает оператор Т : Е 0 Е —>• О*, действующий по формуле
П П
Т(ЕЄ*®/*) =Е^ТеьД); екєЕ,/кєЕ,к = ї^і. к=1 &=1
Покажем, что Т — I, т-оператор, для чего достаточно показать, что Т*|с< — I-оператор, так как в силу теоремы 2 из [5] Т является 1-оператором из Е 0 і*1 в О*.
Граничная задача линейного сопряжения со сдвигом
4-59
Имеем для gi,g2,-■■ ,9п ^ G , с
ЕП
к=1 9к
Е \\Т*9к\\(Е(8)кР)* - SUP к=1 \\fk\K}
к=1уп
Т,(т
к=1
к=1
<
< sup Е ^ sup H^fcll ^ Ill'll ^ ІІ^ІИ
ll/fc II<1 k=1 fc=l H/fcllO fc=l fc=l
fc=l,n fc=l,n
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть Е, F, G € (7?). /•’. G
Тогда
(Е ®k F) ®k G — Е 0fc (F 0fc G)
с аддитивной на конусе нормой.
Действительно, указанные пространства алгебраически изоморфны, так как мож-
но установить соответствие, сопоставляя элементу I = ^2^=1 1 е? ® Л ^ ®9к первого пространства элемент I = 1 е? ® ®9к) второго пространства, А так как
(теорема 2) сопряженные к этим пространствам совпадают, то данные пространства совпадают и топологически.
Литература
1. Вулих Б. 3. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах.—Калинин. Изд-во КГУ, 1977.—84 с.
2. Schatten R. A theory of cross-spaces.—Princeton, 1950.
3. Худалов В. Т. Кросснормы на тензорном произведении, связанные с порядком // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений.—Ярославль.—1980.—С. 145-156.
4. Худалов В. Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения.—Владикавказ: Ирис-тон, 1999.—200 с.
5. Худалов В. Т., Энеева Лейла М. Ассоциативность тензорных произведений нормированных пространств // Докл. АМАН.—1998.—Т. 3, № 2.
6. Энеева Л. М. О некоторых кросснормах на тензорных произведениях нормированных пространств // Докл. АМАН.—1999.—Т. 4, № 1,—С. 45-49.
7. Левин В. Л. О двух классах линейных отображений, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками // Сиб. мат. журнал.—1969.—Т. 10, № 4.—С. 903-909.
