Концепция многоуровневой оптимизации в выборе вариантов конструктивных решений металлических сооружений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

КОНЦЕПЦИЯ МНОГОУРОВНЕВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ВЫБОРЕ ВАРИАНТОВ КОНСТРУКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ СООРУЖЕНИЙ

Т.Л.Дмитриева1, В.И.Соболев2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрены подходы к решению задачи оптимизации механических систем. Показано, что при решении задач оптимального проектирования конструкций наибольшей эффективностью обладают методы модифицированных функций Лагранжа. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: оптимальное проектирование; нелинейное математическое программирование; метод конечных элементов; методы штрафных функций; методы модифицированных функций Лагранжа.

THE CONCEPT OF MULTILEVEL OPTIMIZATION IN CHOOSING OPTIONS OF METAL STRUCTURE CONSTRUCTIVE DESIGNS T. L. Dmitrieva, V.I. Sobolev

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The approaches to solving the problem of mechanical systems optimization are considered. It is shown that when solving the problems of optimal structure designing, the methods of modified Lagrange functions are the most efficient. 10 sources.

Key words: optimal designing; nonlinear mathematical programming; finite element method; penalty function methods; methods of modified Lagrange functions.

Численные методы инженерного анализа находят все более широкое применение в практике конструирования технических объектов различного назначения. При этом конструктивные решения, обоснованные формализованными процедурами оптимизации согласно заданным критериям, способны обеспечить наилучшие функциональные свойства проектируемых объектов. Однако существует ряд факторов, затрудняющих практическое внедрение подобных процедур. А именно:

а) критерии функционирования инженерных систем достаточно многочисленны, а в ряде случаев противоречивы;

б) подобные системы включают, как правило, геометрически и физически разнородные конструктивные элементы с различного вида граничными условиями и нерегулярными границами расчетных областей;

в) требования, накладываемые на выбор оптимальных решений, представляют собой сложную систему ограничений, не всегда определяемых за пределами допустимых областей.

Для сравнительного анализа применимости в практике конструирования технических объектов рассмотрим существующие методы параметрической оптимизации с учетом их удовлетворения перечисленным требованиям.

Впервые наиболее общий подход к решению задач оптимального проектирования сооружений применительно к широкому классу конструкций был сформулирован Л. Шмитом [1]. Проблема оптимизации была поставлена в форме задачи нелинейного математического программирования (НМП) в пространстве переменных проектирования с использованием дискретной математической (конечно-элементной) модели сооружения.

Найти min f(x), xeE", (1)

при ограничениях

g(х) <0, j = 1,2...m, (2) hj (х) = 0, j = 1,2... m. (3) Здесь {X} - вектор варьируемых параметров на интервале {XL}-[XU}. Ограничения-равенства h.(х) представляют собой уравнения состояния системы.

В дальнейшем методы НМП нашли широкое развитие в многочисленных работах различных авторов и были успешно применены для решения широкого класса задач оптимизаций конструкций.

Выбор того или иного метода во многом определялся типом задачи. Для сравнения эффективности методов, заложенных в алгоритмы, обычно использовались такие критерии, как среднее количество итера-

1Дмитриева Татьяна Львовна, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, кандидат технических наук, тел.: (3952) 405044, e-mail: dmital@istu.edu

Dmitrieva Tatyana, Associate Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, Candidate of technical sciences, tel.: (3952) 405044, e-mail: dmital@istu.edu

2Соболев Владимир Иванович, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, доктор технических наук, тел.: (3952) 405044, e-mail: dmital@istu.edu

Sobolev Vladimir, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, Doctor of technical sciences, tel.: (3952) 405044, e-mail: dmital@istu.edu

ций, число решений задач КЭ анализа, общее время решения задачи на ЭВМ, время подготовки задачи для решения.

Почти все поисковые методы НМП основаны на использовании итерационных процедур, где значение переменных на каждой итерации определяется по выражению

+1 = г' + SA ',

где S' — нормированный вектор направления поиска,

а A'. - длина шага вдоль S'. Рассмотрим основные

подходы, определяющие направления поиска для задач условной минимизации (1)-(3).

К первой группе методов можно отнести методы линейной либо квадратичной аппроксимации. Задача НМП аппроксимируется задачей линейного программирования, для решения которой используются хорошо разработанные алгоритмы. Аппроксимация может быть достигнута путем разложения функций в ряд Тейлора в окрестности точки {X}. При этом для обеспечения сходимости методов на функции f(x), g(x), h(x) накладываются условия непрерывности, выпуклости, дифференцируемости.

Одним из часто используемых является подход, сводящий задачу (1)-(3) к задаче безусловной оптимизации. Здесь можно выделить две основные группы методов: методы штрафных функций и методы множителей Лагранжа.

Методы штрафных функций могут быть представлены в разных вариантах. В общем виде штрафную функцию можно представить как сумму:

P( x, к) = f (x)+T (x, к), (4)

где T(x,k) - штрафная добавка ("штраф" за невыполнение условий (1)—(3); k - штрафной коэффициент. Тогда решение задачи НМП ищется итерационным путем из условия

{x}= Arg min P(x, к). (5)

xgE"

Методы штрафных функций получили широкую популярность благодаря их простоте. Однако они имеют один существенный недостаток: для получения точного решения задачи необходимо увеличивать штрафной коэффициент, что делает эти методы очень неустойчивыми при численной реализации [2—4].

Область применения методов множителей Лагранжа ограничивается задачами выпуклого программирования. В этом случае решение задачи (1)—(3) совпадает с седловой точкой функции Лагранжа FL:

"'1 ш

Fl = f(x) + Х Yjgj + ^Yjhj , (6)

j=i

j=ш1

+i

где у - двойственные переменные задачи (или множители Лагранжа). Для определения седловой точки функции используются условия ее стационарности по х и У:

8x,

8Y,

= 0, j = 1,2...ш. (8)

= 0, i = 1,2...n,

(7)

Эти условия были выведены для задачи выпуклого программирования Куном и Таккером [5] и могут служить проверкой для надежного оптимума.

Задача (5) может быть исследована с помощью широкого набора методов безусловной минимизации различных классов. Методы прямого поиска, которые не используют производных, удобны тем, что устойчивы в работе, не накладывают на функции f(x), g(x), h(x) никаких дополнительных условий, кроме непрерывности. Однако сходимость этих методов к строгому оптимальному решению чаще всего не имеет строгих доказательств. Одним из наиболее часто используемых в этом ряду можно назвать метод случайного поиска - задача безусловной минимизации решается путем случайного перебора значений переменных проектирования, принадлежащих допустимой области.

Наряду с методами математического программирования, в основе которых лежит итерационный пересчет, выделилась еще одна группа методов, используемых при решении задач ОПК и известных в литературе как "методы критериев оптимальности". Эти методы можно разделить на две группы.

1) Методы "физических критериев оптимальности". Общепринятыми считаются следующие критерии: равнопрочность конструкции, равноустойчи-вость, равная плотность энергии деформации в элементах конструкции и др. Тогда для задачи оптимизации можно дать следующую математическую формулировку:

f(X) = f(xi) = ■■■ = f(xn) = const (9) при условии gj(x) < 0, j = 1,2.„m; (10)

h. (x) = 0, j = 1,2.. .m. (11)

Наиболее широко используемый из этих методов - метод полностью напряженного проекта, согласно которому конструкция считается оптимальной, если каждый элемент ее полностью напряжен по крайней мере при одном нагружении. Этот критерий дает простую итерационную расчетную формулу, которая может быть эффективно применена к большим конструкциям. Метод можно рассматривать как часть концепции одновременного разрушения всех ее элементов. Однако в работе Шмита [1] показано, что полностью напряженный проект может не быть проектом минимального веса и при некоторых условиях нагружения может привести к неэффективному решению. Тем не менее, в случае оптимизации статически определимых систем и одного варианта нагружения метод является точным. В [6] дается анализ метода и рассмотрены случаи, когда равнонапряженная конструкция является конструкцией минимального веса.

2) Методы "математических критериев оптимальности". Используемый здесь критерий оптимальности основан на необходимых условиях Куна-Таккера (7), (8). Запишем эти условия в развернутом виде:

"1 m V/(x) + £ Y^gj (x) + X YjVhj (x) = 0, (12)

j=i

j=m+i

Yjgj(x) = 0, j = 1,2...m, Y'.h.(x) = 0, j = m +1...m,

(13)

(14)

где V - оператор взятия градиента.

Рассмотрим ряд алгоритмов, использующих условие (12)—(14) в качестве критерия оптимальности. Для нахождения прямых и двойственных переменных формируется система нелинейных уравнений, порядок которой равен m+n. При этом используются условия (12)—(14). Предлагается несколько способов решения этой системы. В первом случае поиск двойственных переменных осуществляется с помощью метода Ньютона:

Y+1}={Yi}

П

d 2 Fl dY2

dFL

dY

(15)

Так как задача ОПК поставлена в явном виде, авторы получают явные выражения для вектора первых и матрицы вторых производных функции Fl. Вектор прямых переменных определяется из условия

{x}= Arg min F (x, k), (16)

xgE"

которое также записывается в явном виде.

Другой вариант решения предполагает итерационный пересчет прямых переменных при помощи выражения

xt+1 = xt

/ ч1/b

v dx, J

i = 1,2...n, (17)

а вектор множителей Лагранжа определяется при помощи соотношения

Yj = Yj

g Уp, j = 1,2...m, (18)

где параметры п, Ь, р определяют величину шага на итерации. При этом для сокращения объема вычислений на каждом шаге итерационного процесса производится отбор активных ограничений. Примеры, приведенные в [7], демонстрируют особую надежность способа (15), (16), тогда как скорость сходимости методов, использующих рекуррентные соотношения (17), (18), зависит от выбора величин Ь и р, которые могут меняться на итерациях.

Подход (15), (16) получил свое развитие в работах Л. Шмита [8]. Здесь задача (1)-(3) имеет вид

n

(19)

n _

gj (x) = Xaj xi ~ Bj < 0 j = 1,2...m; (20)

i=i

— \min — (— \max

xi) < x, <|xi) , i = 1,2...n, (21)

и обладает свойствами выпуклости и сепарабельности.

При постановке задачи ОПК в общем виде (1)—(3) с определением множителей Лагранжа при помощи вспомогательной функции

n

g., ( x) = X

^2 v5xi J

(22)

экстремум определяется путем решения системы линейных уравнений относительно Y . Для определения исходных переменных используется зависимость (16), где Ь=2. Метод эффективен в случае, если число проектных переменных намного превышает число активных ограничений. Отмечено, что алгоритм имеет быструю сходимость, если стабилизировалось число активных ограничений и задача имеет хорошее начальное приближение по х.

Одним из существенных недостатков методов множителей Лагранжа является то, что эти методы применимы к ограниченному классу задач сепара-бельного программирования, где функция Лагранжа должна быть выпуклой по исходным переменным и допускает вычисление производных по двойственным переменным в явном виде. Для построения методов, обладающих более широкой областью сходимости и применимых для отыскания локального экстремума в невыпуклых задачах, целесообразно воспользоваться модифицированными функциями Лагранжа (МФЛ) [9].

Модификация функции Лагранжа достигается путем введения в нее штрафа за нарушение ограничений задачи, в результате чего множество седловых точек функции Лагранжа остается неизменным, но улучшаются некоторые свойства самой функции.

Вышеизложенное позволяет утверждать, что эффективность (а иногда и возможность) применения методов решения многомерных задач оптимизации зависит от параметров модели и состояния самого вычислительного процесса оптимизации. Для задач большой размерности, свойственных реальным механическим системам, в большинстве случаев более эффективными могут оказаться гибридные схемы, в которых сочетаются различные методы оптимизации.

Таким образом, востребованной задачей является разработка адаптивных методов оптимизации, а также их алгоритмическая и программная реализация на основе дискретных математических моделей, гибко аппроксимирующих разнообразие механических систем.

В программном комплексе РОСК [10] реализованы авторские многометодные процедуры выбора методов оптимизации на основе эвристических алгоритмов. При этом в процессе оптимизации осуществляется анализ состояния необходимых параметров вычислительных процедур и производится выбор наиболее эффективного метода. Эффективность такого подхода помимо возможностей комплексной реализации в условиях реального проектирования заключается еще и в том, что позволяет решать рекурсивные задачи. Кроме того, каждый уровень разрабатывается независимо и может функционировать автономно._

x

При этом реализация алгоритмов в статической постановке была ориентирована, прежде всего, на строительные объекты, многие практические и верификационные примеры решены применительно к строительным конструкциям, а алгоритмы и программы оптимизации стальных конструкций разработаны наиболее комплексно, с включением нормативных требований, библиотеки стандартных типов сечений и т.д. Однако основные принципы и методы, заложенные в эти алгоритмы, могут быть успешно применены для оптимального проектирования механических систем произвольного вида, которые кроме кон-

структивных элементов строительных сооружений включают различные механические устройства - пружины, демпферы и др. Такие системы были исследованы в задачах оптимизации при нестационарных динамических воздействиях. Алгоритмы оптимизации подобных механических моделей могут быть реализованы, например, при проектировании многоэтажных сооружений в сейсмических районах, когда требуется установка специальных сейсмоизолирующих устройств, позволяющих снизить интенсивность сейсмического воздействия в два и более раза.

Библиографический список

1. Schmit L.A. Structural design by systematic synthesis. Proceedings of second ASCE Conference of Electronic Computation, 1960. P. 105-122.

2. Андерсон М.С., Арман Ж.-Л. и др. Новые направления оптимизации в строительном проектировании / под ред. Э. Атрека. М.: Стройиздат, 1989. 592 с.

3. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

4. Третьяков Н.В. Метод штрафных оценок для задач выпуклого программирования // Экономика и математические методы. 1973. Т. 9, № 3. С. 526-540.

5. Kuhn H.W., Tucker A.W. Nonlinear Programming. Proceedings of the Second Berkley Symp. on Math. Statistics and Probability, 1951. P. 481-492.

6. Разани Р. Поведение равнонапряжённой конструкции и её отношение к конструкции минимального веса // Ракетная

техника и космонавтика. 1965. Т. 3, №12. С. 115-124.

7. Хот Н., Берке Л., Венкайя В. Сравнение алгоритмов условий оптимальности, используемых при проектировании конструкций минимального веса // Ракетная техника и космонавтика. 1979. Т. 17, № 2. С. 69-80.

8. Шмит Л.А., Флери К. Применение двойственных методов для синтеза конструкций с дискретными и непрерывными множествами допустимых значений параметров // Ракетная техника и космонавтика. 1980. Т. 18, № 12. С. 133-144.

9. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа и методы оптимизации. М.: Наука, 1989. 400 с.

10. Свидетельство № 2011617407 от 23.09.2011 о государственной регистрации программы для ЭВМ «Расчет и оптимизация стальных конструкций (РОСК)». Автор: Дмитриева Т.Л.

УДК 69:658

АНАЛИЗ ТЕНДЕНЦИЙ РАЗВИТИЯ ЖИЛИЩНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА В ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ

Т.В.Добышева1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Рассмотрена динамика темпов жилищного строительства в Иркутской области и в г. Иркутске за 2008-2010 гг. Проведен анализ факторов, влияющих на темпы жилищного строительства, в том числе: разработка проектно-сметной документации, привлечение финансовых средств в строительство и отвод земель под строительство. Предложены основные направления выхода из дефицита финансирования строительства, меры по ликвидации недостатка земли под строительство и организационные подходы для снижения стоимости жилья и, как следствие, развития жилищного строительства. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: динамика развития жилищного строительства; темпы строительства; факторы, влияющие на снижение стоимости жилья.

ANALYSIS OF HOUSING CONSTRUCTION DEVELOPMENT TRENDS IN THE IRKUTSK REGION T.V. Dobysheva

National Research Irkutsk State Technical University, Institute of Architecture and Construction, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The dynamics of rates of house construction in the Irkutsk region and in Irkutsk in 2008-2010 is considered. The analysis of factors influencing the rates of housing construction is performed. It includes the development of construction docu-

1Добышева Татьяна Васильевна, кандидат экономических наук, доцент кафедры экспертизы и управления недвижимостью, тел.: (3952) 405412, 89501298772.

Dobysheva Tatyana, Candidate of Economics, Associate Professor of the Department of Real Estate Expertise and Management, tel.: (3952) 405412, 89501298772.