Алгоритм решения условно-экстремальных задач, использующий методы модифицированных функций Лагранжа первого и второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

УДК 64.8 Дмитриева Татьяна Львовна

канд. техн. наук, доцент, кафедра «сопротивления материалов и строительной механики»

ИрГТУ (г. Иркутск), тел. (83952) 424269, email: [email protected]

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УСЛОВНО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ МЕТОДЫ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКА

T.L. Dmitrieva

THE ALGORITHM OF THE DECISION OF THE CONDITIONALLY-EXTREME PROBLEMS, USING METHODS OF MODIFIED LAGRANGE FUNCTIONS OF FIRST AND SECOND ORDER

Аннотация. Представлен алгоритм оптимального проектирования, основанный на численных методах нелинейного математического программирования. Алгоритм включает в набор методов условной и безусловной минимизации различного класса, которые удачно дополняют друг друга на итерациях поискового процесса оптимизации. Предполагается автоматическая настройка алгоритма на наиболее эффективный метод на конкретном этапе поиска.

Ключевые слова: автоматизированное проектирование, оптимальное проектирование, нелинейное математическое программирование, модифицированные функции Лагранжа.

Abstract. The algorithm of the optimum designing, based on the numerical method of the nonlinear mathematical programming is presented. The Algorithm includes methods of conditional and unconditional minimization of different class, which complement each other on iteration of the search process of optimization aptly. Automatic adjusting of the algorithm on the most efficient method on concrete stage of search is expected.

Keywords: computer aided design, optimum designing, nonlinear mathematical programming, modified Lagrange functions.

Постановка задачи

Практика современного проектирования выдвигает задачу поиска наилучших (оптимальных) решений. Виды формализации таких задач могут быть различными. В данной работе предлагается

подход к решению проблемы оптимального проектирования в форме задачи или последовательности задач нелинейного математического программирования (НМП), где критерий оптимальности определяется функцией цели, а заданные требования представлены в виде функций ограничений.

Рассмотрим задачу НМП стандартного вида с ограничениями в форме равенств и неравенств.

Найти

min f(x), xeE" (1)

при ограничениях

g}(x) < 0, j = 1,2...m; (2)

X < x < xU, i = 1,2...n.

Почти все поисковые методы НМП основаны на использовании итерационных процедур, где значение переменных на каждой итерации определяется как

xT1 = x + s; -А, (3)

где S; - нормированный вектор, определяющий направление поиска, а А; - длина шага вдоль Sj.

Рассмотрим основные подходы, определяющие направления поиска для задач условной минимизации. Одним из наиболее эффективных является подход, сводящий задачу (1 -2) к задаче безусловной оптимизации. Здесь можно выделить две основные группы методов: методы штрафных функций и методы множителей Лагранжа. Одним из существенных недостатков методов множите-

иркутским государственный университет путей сообщения

Fp = kfFL + 0,5{g}T [S][ K ]{g} + +0,5kf {Y}T ([S]-[I]){AZ},

лей Лагранжа является то, что эти методы применимы к ограниченному классу задач сепарабель-ного программирования, где функция Лагранжа должна быть выпуклой по исходным переменным и допускает вычисление производных по двойственным переменным в явном виде. При попытке применения этих методов к решению задач более общего вида необходимо в структуру целевой функции вводить дополнительные фиктивные члены, которые приводят к отклонению решения оптимума. Для построения методов, обладающих широкой областью сходимости и применимых для отыскания локального экстремума в невыпуклых задачах, необходимо воспользоваться модифицированными функциями Лагранжа (МФЛ). Модификация функции Лагранжа достигается путем введения в нее штрафа за нарушение ограничений задачи. В результате этой модификации множество седловых точек функции Лагранжа остается неизменным, но улучшаются некоторые свойства самой функции. Так, например, обеспечивается сходимость методов, использующих МФЛ для более широкого класса задач и с большей скоростью. Модифицированные функции Лагранжа можно трактовать и как модификацию штрафных функций, когда в структуру штрафной функции вместо целевой функции f(x) вводится функция Лагранжа. В данной работе исследуются методы решения условно-экстремальных задач, оперирующие с двумя модифицированными функциями Лагранжа [1-5].

Методы модифицированных функций Лагранжа первого порядка

Функцию Лагранжа для задачи (1-2) запишем в виде

Fl = f(x) + {Y Г [%} (4)

Здесь {Y} - вектор множителей Лагранжа, [S] - диагональная матрица булевых переменных, элементы которой S-- =1, если j е МПА, в противном случае S-- =0, где МПА - множество потенциально активных ограничений. Множители Лагранжа, соответствующие пассивным ограничениям, принимаются равными нулю, поэтому поиск двойственных переменных осуществляется в редуцированном пространстве потенциально активных ограничений.

Обозначим оси невязок ограничений AAZ и введем две модифицированные функции Лагран-жа:

Fu = kfFJl - т) - 0,5т

dFL dx

F

dx

(6)

В выражении (5) [I] - единичная матрица, [К] - диагональная матрица штрафных коэффициентов, к/ - нормирующий множитель, введенный для повышения устойчивости вычислений. Элементы матрицы [8] определяются из условия

Если ^ > 0, 3 = 1 иначе = 0. (7)

В (6) т - некоторая положительная константа.

Рассмотрим свойства функций (5), (6). Функцию Fр можно трактовать как сумму, состоящую из функции Лагранжа и штрафа за нарушение ограничений. Третье слагаемое введено для того, чтобы Fр совпадала с к//(х), когда активные ограничения выполняются со знаком равенства. Множители Лагранжа должны быть связаны с параметрами функции Fp следующим образом:

к'

yj = kj AZj. kf

(8)

Fр - непрерывная выпуклая функция, даже если функция Лагранжа FL невыпукла. Выпуклость Fр обеспечивается соответствующим выбором коэффициентов к/ и кц. В силу соотношения (8) для Л выполняются следующие равенства: 0,5 Лf = 0.5^ {Т}г [ё]^ }=

0,5ktf ^ \ё][К ]{Л^ }= 0,5ktf {ТГ [ё]& (9)

Функция FM представляет собой сумму функции Лагранжа и штрафа за невыполнение условий стационарности в точке X. Пусть X* , У* -решение задачи (1-3), тогда справедливо соотношение

I __А __АЛ [ __А

,Т) < ?Ь(Х ,Т ) <—Гр(Х,У ). (10)

Причем знак равенства в (10) возможен только при Х=Х , У=У*, так как при этом обращаются в ноль штрафные добавки.

Итерационный алгоритм решения задачи (1-2), оперирующий с функциями (5, 6), включает в себя попеременно две основных процедуры: определения вектора двойственных переменных (Х*+1} и определение вектора двойственных переменных (или множителей Лагранжа) (У+1}. Критерием окончания итерационного процесса является проверка

\Х'+' -X'\<s ]Х'\, g <s

(11)

(5)

т

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

где g - множество потенциально активных ограничений, sx, sg - заданная точность вычислений, t - номер итерации.

Остановимся на методах НМП, использующих функцию Ер [1-4]. В этом случае на каждом шаге итерационного процесса решается задача

найти min f(x), xeEn (12)

(13)

при ограничениях

х)}<{& } ^ е Ет, Ж е Ет.

Численный метод определения прямых переменных основан на минимизации функции Ер по X и заключается в следующем. При определенных {X}, {У*} решается задача на безусловный экстремум на интервале {X1}, {Xй}. В результате находим {Х+1}:

\хш}е Л^ттЕр(Х'^)

X }<Х }<Хи} (14)

Выражение для множителей Лагранжа получим из сравнения условий стационарности функции Лагранжа и функции Ер

dx 5Fр_ dx

+

dg dx

=

+

[ö]{y; 1} [S]x

dg dx

x(kf {Y;-} + [*]{g}),

kl

тогда yj1 = max 0, yj + ^jj-g(xM) j j k.

(15)

(16)

(17)

v V )

Коэффициенты штрафа в этом выражении назначаются из условий

k; = kjj =

kt+1vt+1 kf yj

+ k„

(18)

рядка, либо прямые поисковые методы, такие как метод случайного поиска или метод деформируемого многогранника. В целом нужно отметить большую устойчивость прямых методов по сравнению с градиентными.

Двойственным по отношению к методу (14), (17) является итерационный процесс, основанный на максимизации по У функции Ем [3]. При фиксированном векторе X решается вспомогательная задача:

{ Y;+1} е Arg max FM (X; Y),

(19)

Y е Em

после чего определяется новое приближение для X

t+1 t * dFL xt+1 = x; + - L

AZmax

лгу max 7

где AZ , kmin - заданные константы.

Выражения (14), (17) фактически дают решение для задачи (12), (13). Однако по мере сходимости процесса /SZt ^ 0 , поэтому Yt+1 ^ Y*.

Трудоемкость метода определяется трудоемкостью решения вспомогательной задачи (14), которая должна быть решена относительно точно. При этом необходимо, чтобы точность вычисления исходных переменных {Xt+1} соответствовала точности вычислений двойственных переменных {f+1}. Тогда, учитывая, что соотношение (17) дает линейную скорость сходимости по двойственным переменным, для решения задачи (14) целесообразно использовать любые известные методы безусловной минимизации [6] не выше первого порядка. Это либо градиентные методы первого по-

1 -г * (20)

Основную трудность метода (19), (20) составляет решение вспомогательной задачи (19),

^ *

размерность которой т определяется множеством потенциально активных ограничений МПА, что должно делать этот метод очень эффективным в случае большого числа варьируемых параметров и малого числа активных ограничений. Однако тестовые примеры показали ненадежность работы этого метода в случае, если п Ф т. Этот факт практически исключает использование метода (19), (20) для решения реальных задач оптимального проектирования конструкций.

Рассмотрим теперь комбинированную схему, основанную на выражениях (14), (19):

1. Задаемся вектором {Г} и решаем вспомогательную задачу (14). В результате находим вектор х-}.

2. По (17) определяем новые оценки множителей Лагранжа

3. Находим множество потенциально активных ограничений

8 = 1 при > 0, иначе 8 = 0. (21)

Решаем вспомогательную задачу (19) и находим вектор }. При этом в качестве начального приближения используем лучшую из точек {г }или {г"1}.

Задача (19) решается в редуцированном пространстве двойственных переменных, соответствующих МПА, выявленному на шаге 3.

Принимаем

^ }={т'+2}

и переходим к этапу 1. При этом в качестве начального приближения используется вектор {х'+1}.

иркутский государственный университет путей сообщения

Отметим некоторые положительные стороны комбинированного метода:

область его сходимости такая же, как у метода (14), (17);

при решении вспомогательной задачи (14) требование точности не является обязательным;

в выпуклых сепарабельных задачах можно принять [К] = 0. Тогда матрица вторых производных Fр диагональна, что значительно упрощает поиск минимума этой функции.

Кроме того, метод очень удобен в случае, если известно хорошее начальное приближение по X и нет никаких рекомендаций по назначению двойственных переменных. Тогда на первых итерациях учение {т*+1} может быть получено из условия стационарности функции FM .

Запишем эти условия в развернутом виде:

d F Id F

dFu=a-r) Sjj gj-.|d f

_^ gj

d X fid X

. (22)

Так как функция FM квадратична, выражение (22) приводит к симметричной системе линейных алгебраических уравнений относительно У

V ]{Т}={Р}, (23)

где [V] - матрица, размерность которой опреде-

(* * \ т х т

{Т} - редуцированный вектор двойственных переменных. Каждый элемент матрицы есть скалярное произведение градиентов соответствующих ограничений

г — > Т Г —

5ёЛ 15ё,

W = • IJ I dX I I dX

(24)

Знак надчерка указывает на то, что производные берутся только по активным ограничениям. 7-й элемент вектора g формируется по выражению

P =4^ Г I-df 1 + g,.

d X I d X

r

(25)

В связи с этим изложим еще один метод определения двойственных переменных, Этот метод подробно исследован в монографии [7]. Алгоритм вычисления двойственных переменных здесь аналогичен выражениям (23-25).

Предполагается, что вектор двойственных переменных, определяемый на ¿-й итерации, можно представить как сумму двух векторов

{т*+1 }={Т 1+1}+{Т2+1 }, (26)

I^+11

где вектор {Т1 } находится решением системы уравнений

d g т d g Y? }=- d g

d X d X d X

d X

(27)

Элементы вектора {у^' } вычисляются решением той же системы уравнений, но с другой правой частью:

d g T d g

d X d X

Y?}

= r{g}

7 = -

а

(28)

(29)

(2C • f(x))/100 где С - заданный процент уменьшения целевой функции на итерации (принимаемый обычно 5-15 %), а коэффициент а определяется по выражению

(

а =

d g d X

{Yf}+

f d X

,V

f d X

(30)

Здесь так же, как и в методе (23-25) вычис-- & *+1} -ляется редуцированный вектор Т2 |, имеющий

размерность m* . Следовательно, векторы {2 }, {g} также редуцированы. Размерность мат-d g

рицы

d X

nxm

\ 5 ёг I 1

Векторы 1 г, 1 г имеют размерность

п1, которая определяется количеством х7, входящих в допустимую область {х^ < х, < хи ). Таким образом, все х7 , вышедшие за пределы допустимой области, считаются фиксированными.

К недостаткам комбинированного метода можно отнести тот факт, что скорость его сходимости очень чувствительна к выбору параметра т.

Преимущество такого подхода состоит в том, что здесь имеют место четкие рекомендации по назначению коэффициентов у, а, С.

Методы модифицированных функций Лагранжа второго порядка

Рассмотрим еще один метод решения задачи НМП, использующий модифицированную функцию Лагранжа (5). Как уже отмечалось, одним из наиболее эффективных методов решения задачи НМП специального вида является метод, предложенный Флери и Шмитом [5]. Однако область его применения ограничивается задачами, обладающими свойством выпуклости и сепарабельности.

V

У

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

Сделаем обобщение этого метода на случай задач НМП произвольного вида. Для этого на каждом шаге итерационного процесса необходимо решить задачу на максимин:

найти ma* minx F Р(X ,Y )

(31)

Поиск максимума Ер по У будем производить методом Ньютона

-\-1

Y"' )= Y'}-

d2FP dY2

dFP dY

(32)

Задача (32) решается в редуцированном пространстве двойственных переменных {т' }е Ет, соответствующих ненулевым значениям д^ . Поэтому при записи выражений для производных

d2 Fp dY2

dFp dY

матрицу [ ô ] будем опус-

кать. В (31), (32) X считается неявной функцией от Y. Тогда

dFP

д FP

dX dY

dY J [дX В точке экстремума Fp по X

д FP dY

д FP д X

= 0.

Отсюда

д FP д Y

"kf fa*)}

Матрицу вторых производных

d2FD

dY2

делим дифференцированием (35) по У, в результате чего получим следующее выражение:

d2FD

dY2

д g

д X

dX д Y

Для определения матрицы

dX д Y

(36) будем ис-

пользовать условие (34), дифференцирование которого по Y дает

д2 FP д X2

dX д Y

д2 FP д X дY

= 0.

(37)

Второе слагаемое в (37) обусловлено тем,

что производная

dFP

dX

Y. Из (37) следует, что

в явном виде содержит

" dX ' д2 FP -i д2 FP д2 FP -1 д g

dY д X2 дХ дY д X2 дХ _

Окончательно получим

Y'+' }= Y' )-

_ _ T "д2FP ' -1 г __ Л

д g д g

дХ д X2 дХ

• kf (38)

|g)/kf. (39)

Отметим, что матрицы

д g д X

и вектор {g ) в

выражениях (38), (39) также редуцированы и име-

* * *

ют размерность соответственно n х m и m .

Для решения внутренней задачи (31) также используется метод Ньютона

d Fp

dX2

dFP "dX

(40)

Запишем выражения для матрицы вторых и вектора первых производных функции Ер, которые используются в задачах (39), (40):

д FP д X

д2 Fp

= k.

д X2 д g

f

д X

д2 f

(33)

(34)

(35) опре-

д X

[K ]

д X 2

д g д X

+ Z

j=i

д X д2 g j

д X

(kf {Y )+[k J{g}),

(kf {}+Kjgj)+

(41)

(42)

Задачи (39), (40) могут удачно дополнять друг друга. Перепишем их в следующем виде:

д2 F,

{-")=-{£} •

д X2

{ax'+') = { X'+')-{ X'1),

(43)

д g T "д2 FP ' -1 д g

д X д X2 д X

{ ay'+1} = { g }/ kf, (44)

|А7'+1} = {т'+1}-{т"},

Тогда алгоритм решения задачи (43), (44) на *-й итерации можно представить следующим образом.

Пусть на внутренних итерациях т методом Ньютона решена внутренняя задача (31) выражения (41-43) и найден вектор {х'+1}.

Используя треугольное разложение матрицы

5 2FD

д X2

, m раз решаем систему уравнений

д gj 1

д2 FP д X2

д X

Формируем матрицу [ w] по выражению

[W ] =

д g

д X

[ V ].

Решаем систему уравнений порядка m*

[ w ] {aY'+' }={g }/kf.

1

+

+

T

+

T

+

T

1

\

y

иркутским государственный университет путей сообщения

В результате находим вектор приращений двойственных переменных {ДТ*+'}, а затем и вектор Т+1}.

Трудоемкость метода определяется форми-

рованием матрицы

5 X2

и решением двух сис-

тем уравнений системы (43) порядка п и системы (44) порядка т. Практические расчеты показали, что точность вычисления прямых и двойственных переменных методом Ньютона достаточно высока. При этом время счета намного меньше, чем при использовании прямых методов поиска {х*+1}. Однако устойчивая работа метода Ньютона имеет место лишь в том случае, если матрица вторых

производных

5 2 ¥„

5 X2

положительно определена,

(ё£ }= }-{х }< 0, {ё" }={х}- {хи }< 0.

т.е. фактически установилось множество потенциально активных ограничений.

Методы решения задач безусловной минимизации на гиперпараллелепипеде

При решении задач НМП параметрические ограничения удобнее учитывать отдельно. Это приводит к сокращению размерности вектора {g} и соответственно к уменьшению расчетов в пространстве двойственных переменных {У}. В случае, если задача (14) решается с использованием прямых методов безусловной минимизации, параметрические ограничения определяют область поиска и задаются в виде векторов и {£}.

Найти тт/(х) (45)

при ограничениях

* ~ [— {Л }< 0,

(46)

случайного поиска, затем в зависимости от типа задачи может быть использован метод деформируемого многогранника, метод покоординатного спуска либо метод Коши. Метод Ньютона дает устойчивую работу на последних итерациях, когда стабилизировалось множество потенциально активных ограничений.

Учет фиксированных параметров

Учет фиксированных параметров при использовании прямых методов безусловной минимизации, а также при покоординатном спуске не вызывает затруднений. Здесь поиск осуществляется только в пространстве варьируемых параметров. Остановимся на том, как учесть фиксированные параметры в методе Ньютона. В этом методе приращение вектора варьируемых параметров {дх }определяется по выражению (44). В случае если параметр х7 фиксирован, Лх7 = 0. Таким образом, задача сводится к решению системы уравнений (44) с нулевыми значениями вектора {дх}, соответствующими фиксированным значениям вектора {X}. Эта проблема решается путем замены диагонального элемента матрицы вторых

производных

а2¥Р ат2

соответствующего номеру

Здесь /(х) - функция, минимизируемая на гиперпараллелепипеде. Это может быть, например, модифицированная функция Лагранжа Fp.

Х}, Л} - соответственно нижние и верхние границы изменения параметров этого вектора{х}. Перечислим методы решения данной задачи:

Прямые методы: метод случайного поиска, метод деформируемого многогранника, метод покоординатного спуска.

Градиентные методы 1 порядка: метод

Коши.

Градиентные методы 2 порядка: метод Ньютона.

Методы безусловной минимизации могут удачно дополнять друг друга на различных этапах алгоритма оптимизации. На первых итерациях, когда отсутствует хорошее начальное приближение к оптимальному решению, используется метод

фиксированного х, на число большого порядка (например, 1018).

Общий алгоритм решения задачи НМП методами модифицированных функций Лагранжа

1. Назначаем параметры Кт7п, Л1ткх, ех, е9 ее.

2. Задаем начальное приближение для вектора {X}={Х}

3. Определяем начальное значение двойственных переменных {У}.

В случае если известны хорошие начальные приближения для {X}, {У} находим из условий стационарности функции Fm. Если же начальные приближения для (X} заданы произвольно, то

{У}=0.

4. Назначаем нормирующий коэффициент

к}.

5. По (18) вычисляем значения штрафных коэффициентов к^ ]=1,2 ... т.

6. Решаем вспомогательную задачу (12). При

этом:

6.1. На первой итерации уровня условной минимизации (¿=1), для нахождения вектора (Х+1} сначала используем метод случайного поиска, а затем метод деформируемого многогранника. После его переходим к пункту 7.

6.2. На последующих итерациях (*>1) делаем проверку; если множество активных ограниче-

5 2 ¥

р

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

ний на двух последних итерациях не совпадает, (Х+1} находим методом деформируемого многогранника. Затем переходим к пункту 7.

6.3. Если множество активных ограничений на двух последних итерациях одинаково, для поиска (Х*+1} используем метод Ньютона. Производим вычисления на внутренних итерациях т. Если т =1, то {Хт}={ X*}.

6.3.1.Формируем векторы первых вторых

'5 2 ¥„ 1

производных

5х

5х 2

>, 7=1,2..п.

6.3.2. Производим проверку (46). Если потенциально активные параметрические ограничения отсутствуют, переходим к пункту 6.3.3. В противном случае выполняем следующие дополнительные операции: если обращение к методу Ньютона выполняется первый раз, то вычисляются начальные значения {У} из условий стационарности функции FM (27). Если же это не первое обращение к методу Ньютона, то определяем значения штрафных коэффициентов по (18), а затем переопределяем вектор {У+1} по (17) и корректируем

векторы

5х

и

5х22,

6.3.3. Делаем проверку

5х

< е

/.

Если

проверка выполняется, то безусловный экстремум найден, принимаем {Х+1'={ X} и переходим к пункту 7.

6.3.4. Если проверка не выполняется, то формируем массив смешенных производных

1-5^Г '

[дс^ \

6.3.5. Решаем систему уравнений методом Ньютона. В процессе треугольного разложения делается проверка положительной определенности

~52 ¥„

. Если матрица является положи-

матрицы

5х2

тельно определенной, то вычисляется вектор {ДХ}. В противном случае выполняется возврат к методу деформируемого многогранника (пункт 6.3.).

6.3.6. Производим проверку \х7т- х7т \ <ех \х7т\ , 7=1,2...п, и вычисляем вектор {X T+1}={X}+{ДX}. Если проверка выполняется, то принимаем {Xt+1}={X+1} и переходим к пункту 7. Если нет, то т= т+1 и возвращаемся к п. 6.3.1.

7. Делаем проверки \х7+1- х7\ < ех \х7 \ ,

ются, то решение задачи (1-2) найдено. Если нет, то переходим к следующему пункту.

8. Переопределяем вектор двойственных переменных. При этом:

8.1. Если задача (14) решалась с использованием методов не выше 1-го порядка, то {У+1} находим по (17). Другой вариант вычисления {У+1} заключается в использовании условий стационарности Fm по У (27).

8.2. Если задача (14) решалась методом Ньютона, то для определения {ДУ *+1} используем условия стационарности по У функций Fp (44), а затем определяем {У+1}.

9. Принимаем *=*+1 и возвращаемся к пункту 4.

Для исключения зацикливания необходимо задавать предельное число циклов * и т. При решении задачи на безусловный экстремум методом случайного поиска либо методом деформируемого многогранника задается предельное число обращений к целевой функции.

В заключение дадим некоторые рекомендации по назначению параметров Кт7п, Д2тах, ех, е№ е Как было показано выше, коэффициент штрафа регулирует кривизну модифицированной функции Лагранжа. В связи с этим существует некоторый диапазон кт7п, при котором скорость сходимости итерационного процесса оптимальна. Назначение слишком больших кт7п увеличивает крутизну функции Fр, что приводит к плохой обусловленности задачи. Назначение маленьких коэффициентов кт7п также неэффективно, т.к. приводит к снижению скорости поиска оптимума. Наилучшая сходимость имеет место в том случае, если кривизна функции Fр на всей области поиска примерно одинакова.

Функции ограничений удобнее задавать в безразмерной форме, т.е. приведенными к виду ёА (х) = ё*(х) — 1 < 0, А = 1,2...т.

Целевая функция также может быть нормирована при помощи коэффициента к*, который

на ¿-ой итерации назначают как кК =-

\/(х*)\

если значение / (х*) близко к нулю, то

7=1,2...п,

и

ё ■ < £ .

г5 А ё

Если проверки выполня-

к\ >10~

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. - М. : Радио и связь, 1987. - 400 с.

9

иркутским государственный университет путей сообщения

2. Гольштейн Е. Г., Третьяков Н. В. Модифицирован- 5. ные функции Лагранжа и методы оптимизации. - М.

: Наука, 1989. - 400 с.

3. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. - 6. М. : Наука, 1982. - 432 с.

4. Чаплинский И. А., Дмитриева Т. Л., Гребенюк Г. И. 7. Совершенствование двойственных алгоритмов поиска экстремума в задачах оптимального проектирования конструкций // Изв. вузов. - 1990. - № 6 : Строительство и архитектура. - С. 19-24.

Шмит Л. А., Флери К. Синтез конструкций с помощью сочетания приближенных представлений и двойственных методов // Ракетная техника и космонавтика. - 1980. - Т. 18, № 10. - С. 126-137. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. - М. : Мир, 1975. - 536 с. Хог Э., Арора Я. С. Прикладное оптимальное проектирование. Механические системы и конструкции. -М. : Мир, 1983. - 478 с.

УДК 66.021

, N Рыжов Станислав Олегович,

аспирант кафедры машин и аппаратов химических производств

Ангарской государственной технической академии, e-mail: clericne@mail. ru

Бальчугов Алексей Валерьевич,

д.т.н., доцент, заведующий кафедрой машин и аппаратов химических производств Ангарской государственной технической академии, e-mail: balchug@mail. ru

РАЗРАБОТКА ТЕХНОЛОГИИ ПРОЦЕССА ДЕСОРБЦИИ ГАЗА ИЗ ЖИДКОСТИ НА НАСАДКЕ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

S. O. Rizshov, A. V. Balchugov

DEVELOPMENT OF TECHNOLOGY OF PROCESS OF DESORPTION OF GAS FROM THE LIQUID IN THE ELECTROMAGNETIC FIELD

Аннотация. Разработана технология процесса десорбции газа из жидкости на насадке в электромагнитном поле. Исследовано влияние электромагнитных колебаний и типа насадки на процесс десорбции газа из жидкости. Показано, что скорость десорбции может быть существенно увеличена за счет создания колебаний металлической насадки с помощью электромагнитного поля.

Ключевые слова: десорбция, массоперенос, электромагнитные колебания.

Abstract. Technology of process of desorption of gas from the liquid in the electromagnetic field is developed. Influence of electromagnetic fluctuations and type of a nozzle on process of desorption of gas from the liquid is investigated. It is shown that speed of desorption can be essentially increased due to creation of fluctuations of a metal nozzle by means of an electromagnetic field.

Keywords: desorbtion, mass transfer, electromagnetic fluctuations.

В промышленности процесс десорбции газов из жидкостей осуществляют, как правило, тремя способами: за счет снижения давления, за счет повышения температуры и при контакте жидкости с инертным газом. Процесс проводят в колонных насадочных аппаратах. Восстановление поглотителя с помощью процесса десорбции связано с большими трудностями, что объясняется низкой скоростью процесса, особенно при низких концентрациях газа в жидкости [1].

Предлагается технология процесса десорбции в условиях колебаний металлической насадки под воздействием на нее переменного электромагнитного поля. В соответствии с данным способом переменное электромагнитное поле создает колебания насадки, на которой осуществляется процесс десорбции, что приводит к ускорению массо-отдачи в жидкой фазе.

Данный метод интенсификации изучался на системе «СО2-вода» на различных типах насадок, параметры которых приведены в табл. 1.