Исследование влияния штрафного коэффициента на сходимость алгоритма при решении задачи оптимального проектирования строительных конструкций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ШТРАФНОГО КОЭФФИЦИЕНТА НА СХОДИМОСТЬ АЛГОРИТМА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

1 9

© Т.Л. Дмитриева', Нгуен Ван Ты2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Алгоритм решения практических задач оптимального проектирования конструкций в большинстве случаев формализуется в виде задачи нелинейного математического программирования, где функции ограничений, реализующие требования по прочности, жесткости и местной устойчивости, согласно нормам, могут иметь достаточно сложный характер (в частности, не обладать такими свойствами, как гладкость и выпуклость). Таким образом, решение этих задач с использованием стандартных алгоритмов на основе функции Лагранжа не дает удовлетворительной сходимости. Для повышения сходимости использован метод модифицированных функций Лагранжа, где в функцию Лагранжа введена штрафная добавка. Проведено исследование сходимости в зависимости от параметра, входящего в коэффициент штрафа.

Ключевые слова: метод деформируемого многогранника; нелинейное математическое программирование; модифицированная функция Лагранжа; безусловный экстремум; штрафные функции; штрафной коэффициент; сходимость алгоритма.

STUDY OF PENALTY FACTOR EFFECT ON ALGORITHM CONVERGENCE WHEN SOLVING BUILDING STRUCTURE OPTIMAL DESIGN PROBLEM T.L. Dmitrieva, Nguyen Van Tu

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

An algorithm for solving the practical problems of structure optimal design in most cases is formalized in the form of the problem of non-linear mathematical programming, where the functions of restrictions implementing the requirements for strength, rigidness and local stability according to the rules, can be of quite complex nature (in particular, they can lack the properties of smoothness and convexity). Thus, the solution of these problems with the use of the Lagrange function-based standard algorithms does not provide a satisfactory convergence. In this paper, the method of modified Lagrange functions where a penalty factor is introduced in the Lagrange function is used to improve the convergence. A study of convergence depending on the parameter entering the penalty factor has been carried out.

Keywords: flexible polyhedron method; nonlinear mathematical programming; modified Lagrange function; unconditional extremum; penalty functions; penalty factor; algorithm convergence.

Введение

Постановку задачи оптимизации примем в форме задачи нелинейного математического программирования (НМП): найти

min f (x), x eEnx (1)

при ограничениях

gj (x)<0, j = 1,2,...,m; (2)

xL < xi < xU, i = 1,2,..., nx. (3)

Здесь {X} - вектор варьируемых параметров на интервале {xl | - j.

Условно-экстремальная задача (1-3) приводится к задаче на безусловный экстремум с использованием функции Лагранжа FL, а также ее модификации - функции FP [2-4].

На рис. 1 показан укрупненный алгоритм решения стандартной задачи НМП, с развернутым выражением модифицированной функции Лагранжа (МФЛ) Fp.

Здесь функции ограничений (2) задаются в безразмерной форме: g,(x) = g*.(x)-1 <0, j = 1,2,..,m.

j j

1Дмитриева Татьяна Львовна, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu

Dmitrieva Tatyana, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Construction Mechanics, tel.: 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu

2Нгуен Ван Ты, аспирант, тел.: 89246020079, e-mail: nguyentuad@gmail.com Nguyen Van Tu, Postgraduate, tel.: 89246020079, e-mail: nguyentuad@gmail.com

Ж Строительство и архитектура

^^'^Исходные дан1 ные

-► Формирование функции Fp FP=kfFL+ 015ЫГ[ЛШ W

i г

Пересчет варьируемых параметров

минимизацией функции Fp численными методами оптимизации

Пересчет двойственных переменных

Рис. 1. Блок-схема алгоритма решения условной задачи НМП

FP = kfFL + 0,5{g}T [Л][к]{g}. Очевидно, что алгоритм сводится к двум попеременным шагам:

1. Определение переменных варьирования х, путем минимизации МФЛ Fp, в результате чего находим вектор

Л

{Xt+l} е Arg min Fp(Xt ,Yt), (6)

при ограничениях

{gL } = {xl }~{X }< 0,

g } = {X }~{X" }< 0.

2. Поиск двойственных переменных y (множителей Лагранжа) по выражению (5). Сходимость итерационного процесса считается достигнутой, если выполняются проверки:

|xt+1 -X^ <,х 14 |g| <Sg, (7)

где g| - множество потенциально активных ограничений; ех, ед - заданная точность вычислений; t - номер итерации [5].

Невязка в потенциально-активных ограничениях д/х), соответствующая оптимальному проекту, определяет точность полученных результатов.

В выражение (4) функции Fp входит функция Лагранжа fl = f (x) + {Y}T [Л]{g}, где kf - нормирующий

множитель, введенный для повышения устойчивости вычислений; {У} - вектор множителей Лагранжа; [л] -диагональная матрица, элементы которой соответствуют условию:

11, если gj + ^ > 0 [о, иначе

№ - величина сдвига ограничений; [к] - диагональная матрица штрафных коэффициентов, формирующаяся по выражению:

л jj='

(8)

, t+1 t+1 kt = kf yj + k kjj max + kmm'

(9)

где А7тах, ктШ - заданные константы.

Функция Рр представляет собой сумму функции цели и штрафной функции, сдвинутой на величину А1 в допустимую область. Зависимость между величиной сдвига А1 и множителями Лагранжа следующая:

kt

yj = j AZt .

(10)

Отметим, что эффективность функции Рр определяется ее выпуклостью по переменным варьирования, которая обеспечивается соответствующими значениями параметров этих функций, и в первую очередь величиной штрафного коэффициента. Для настройки алгоритма было отслежено влияние параметра ктП (минимальное значение штрафного коэффициента) на сходимость. Этот параметр является входным для алгоритма оптимизации и задается пользователем. При некоторых его значениях функция Рр не обладает достаточной выпуклостью в области оптимума, что сказывается на сходимости алгоритма. Поясним это на примере.

Пример

Рассмотрим решение задачи оптимального проектирования балки (рис. 2) по критерию минимального объема с ограничением на прочность по нормальным напряжениям [1].

q

\1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ ч1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ \1/ М/

L

Рис. 2. Балка под нагрузкой и ее сечение

Приведем математическую модель задачи оптимизации в форме задачи нелинейного математического программирования (1-3).

x2

Найти min f(x) = L ■ —, x e En

— L2 при ограничениях g(x) = —max -1 = 12 ■ q—---1 < 0,

W ■ R

8 ■ x3 ■ R

„3

9 X

где Мтах = q• Ь /8 - максимальный изгибающий момент; Ж = — - момент сопротивления; Я - расчетное сопротивление.

Пусть оптимальное решение задачи известно; 1(х) опт = 0,3638 м3 при размере сечения балки 0,1575 м х 0,3015 м.

Рассмотрим несколько вариантов решения задачи, где выполним:

- исследование сходимости алгоритма при различных единицах измерения геометрии балки при одном и том же значении ктШ;

- исследование сходимости алгоритма при различных значениях ктП и при одних и тех же единицах измерения геометрии.

Решение задачи в программе Ма^ОДй

Продемонстрируем работу алгоритма в программе Ма01СЛО. Рассмотрим два варианта решения. Вариант решения 1

Единицы геометрии балки - миллиметры. Значение равномерно распределенной нагрузки ц - 0,01 кН/мм Случай 1. Начальное значение варьируемого параметра (высоты сечения) меньше, чем оптимальное: х0 = 200 при Ох) = 1,6108 мм3.

Примем параметры задачи: ктп = 100; №.тах = 0,2; ку = 1. Ниже приведен листинг МаШСАО-программы. СЖЮЕХ" -= 1 Решение задачи оптимизации балки (единицы измерения - мм, кН)

1 := 80001 q := 0.01t R := 0.035 kg := 1

Целевая функция

Функция ограничения

ОД := L -

Задание параметров оптимизации

п := 2

fcmin := 10

AZmax := 0.2

kf

1 iter := 0 üiter+1 := iter

Начальный проект

V -= с

х := 20С

f(x) = 1.6 х 10'

g(x) = 2.42857

Итерационный цикл (iter- номер текущей интерции)

jg = 0 üüer+1 := йег fjteriter+1 := f(x) g_rterrter+l := g(x)

k := kf -

AZmax

■ kmiti = 100

AZ :=

kf-v

iter := iter - 1

i. :=

W

1 if g(x) - AZ > 0 =1 0 otherwise

FL(x) := f(x) + y & g(x) Fp(x) := kf Fl(x) + 0.5 g(x) 5 k g(x) Given 100 < x < 600 x := Мяшши

3

x - 100

v := max: o.v- k'g(^J \ = 2.64286 x 10 Дл \ -- tf

ОД = 4x IQ'

g(x) = 26.42857

iter = 9 I Uita-l := ite: fjlefor+i := f (x) g_iteiter_i := g(x) ita:= its + 1

f ; F

k = kf-

v a tf v

+ kruia = 1.21053 x 10 iZ =--- = 0.2

:7тяу

S =

w

1 if gCx) - 1.Z > 0 =1 0 otherwise

FL^x) := f(x) + v-5 g(x) F^x) := kf FL(x) + 0.5.gM-ü-k-g<x) Given 100 i x < 6S0 xj= Mmiiüize(Fp.x)

x = 301.55237 0.5-g(K)-6-k-g(30 = 42.3995]

2.42426 x 10 |f{x) = 3.63735k

10s

|g(x) = 2.64673* 10

iter = 10 iiita:-l := ite: f_ltefta:+l = f (x) g_iTefta--l := g(x) i£sL.:= lts + 1

fi F

k = kf-

v 9 kf v

+ кшт = 1.21213 и 10 AZ =--- = 0.2

:7п1ЯУ-

S =

1 if gCx) + iZ > 0 =1 0 otherwise

* = 301.57233 0.5-g(x)-&-k-g(x) = 2.65351

FL^x) := f(x) + у■ö■g(x) F^x) := kf FL(x) + Ü.5-gM-S-k-g{x) Given 100 < x < 600 Mmunbe(Fp . x) = 301.1

max| 0:y + ^^-J = 2.42506 x 10B |f (x) = 3.63783k It? |g<x) =6.61684; 10"5

Результаты расчета после десяти итераций алгоритма следующие:

f(x) min = 3,6378-108 мм3 при размере сечения балки 150,8 мм х 301,5 мм.

Порядок ограничения g(x) (5знаков после запятой) - отражает точность полученного решения.

На рис. 3 показано изменение значения целевой функции на итерациях при ктт = 100.

4xtOS 3xtOS 2xtOS lxtOS

0123456739 10

Рис. 3. Изменение целевой функции на итерациях при ктт = 100 (единицы измерения - мм)

30

20 10

О

д(х)

1

О 1 2 3 4 5 6 7 3 9 10 Рис. 4. Изменение значения функции ограничений на итерациях при кт'т = 100 (единицы измерения - мм)

Задача была решена при нескольких значениях параметра ктт, На рис. 5 показаны графики функций Рр при разных значениях этого параметра.

200 230 300 330 400

Рис. 5. Графики функций РЦх) и Рр(х) при различных ктт (единицы измерения - мм)

Из рисунка видно, что повышение величины параметра кт,„ увеличивает крутизну функции Рр, что ведет к увеличению скорости сходимости алгоритма.

Число итераций, обеспечивающих сходимость при разных значениях ктШ, приведено в таблице.

Значения целевой функции при различных ктт (единицы измерения - мм)

kmin х опт (мм) 3 f(x)onm, мм g(x)max Число итераций

10 301,5661 3,63768х108 1,28121 х 10-4 10

102 301,5723 3,63783х108 6,61684х10-5 10

103 301,5651 3,63766х108 1,3776х10-4 9

105 301,5641 3,63723х108 1,47539х10-4 8

108 301,5659 3,63768х108 1,29579х10-4 6

На рис. 6 показаны изменения значений целевой функции на итерациях при пяти вариантах решения задачи, где были назначены различные величины параметра ктш.

4x10

3x10

2x10

1хЮ

0123456789 10 Рис. 6. Изменение значения целевой функции на итерациях при различных значениях ктт

(единицы измерения - мм)

Выполненные исследования показывают, что повышение величины параметра кт,п до 10 увеличивает скорость сходимости алгоритма.

Случай 2. Начальное значение варьируемого параметра больше оптимального (принят начальный проект х0 = 600 мм при ^(х) = 1,44-109 мм3).

Сходимость на итерациях при различных величинах ктПп приведена на рис. 7.

6(10

4<10

2x10

1 fr №и \ fx(k \ roirt ~ % 1 P) ft \ fönm " / 103) У j

/ // i Л / / .i

\ \ , У U ! / - ■V ---*F / f \ \ i к

t * 1 1 4 1* \f 1 l/' ' \ ^ ] e' - ■ ""' i, l'A V fx(k ■ ■ \ min ~ J I i i \ \ f \ i fr / (k . = "тпгл 109)

123456789 Рис. 7. Изменение значения целевой функции на итерациях при различных значениях ктт (единицы измерения - мм)

10

Из рис. 7 видно, что наилучшая сходимость имеет место, когда порядок параметра к^п (ктп = 108) соотнесен с порядком оптимального значения целевой функции ^опт = 3,63768-10 мм3). При ктпп = 10 сходимости нет. Вариант решения 2

Примем единицы геометрии балки - метры. Значение нагрузки ц - 10 кН/м

Случай 1. Начальное значение варьируемого параметра меньше, чем оптимальное: х0 = 0,2 при ^(х) = 0,16. На рис. 8 показано изменение значения целевой функции и на итерациях при ктп = 100.

/

у

/ f (x)

/

0 1 2 : 4 5 6 ' $ 9 10 Рис. 8. Изменение значения целевой функции на итерациях при ктт = 100 (единицы измерения - м)

Приведем результаты расчета после первой итерации алгоритма:

Цх) опт = 0,3638 м3 при размере сечения балки (0,1575 м х 0,3015 м).

Точность полученного решения - 6 знаков после запятой (порядок ограничения д(х)).

Рис. 9 отображает изменения целевой функции на итерациях при шести вариантах решения задачи, где были назначены различные величины параметра ктПп.

ix ß vron ■fi) ' * (kmin У f =1(P) =l(fi)

s 1 У

^ * *

F ач ж / \i al j j f \ fx(kn fx(kn in=0.1) m=V

— j

0.11--1-1-1------

0123456789 10

Рис. 9. Изменение значения целевой функции на итерациях при различных значениях ктт

(единицы измерения - м)

Исследования этого случая показали, что повышение величины параметра ктпп до 108 увеличивает скорость сходимости.

Случай 2. Начальное значение варьируемого переменного больше оптимального (х0 = 0,6 м при f0(x) = = 1,44 м3).

Результаты решения задачи при различных ктпп приведены на рис. 10.

Из рис. 10 видно, что наилучшая сходимость имеет место при ктпп = 0,1 и ^пт = 0, 363768 м3. Если ктп назначить в пределах от 10-2 до 10-4, имеет место более низкая сходимость, хотя оптимальный результат все же получен. При ктп = 1 сходимости нет.

0.4

0J

0Л

0.1

1 fx(kn ■m=0.1 ) fx( /■ kmin ~ IQ2) j-. fx < fk - = 10-3)

1 ii \ \ / ■ ■

i j v-vii 1 j 1 j j

ii 7 * *t * i l," ■ j ■■ " / /; ■ 1 1 j 1 j 1 ■ 1 i 1

t j t j Jl v /. j j ■ 1 j j 4 1 , \ / fr \ (kmn= 1)

^ fif / ■ = icr1) ■ j 1 j *

0123456789 10 Рис. 10. Изменение значения целевой функции на итерациях при различных значениях ктт (единицы измерения - м)

Для проверки полученного решения на единственность задача была решена с разных начальных проектов. Результаты двух вариантов приведены на рис. 11, 12.

6x10

4x10

2x10

fx (xc Y

/ / y f * /ч

fir ¡д f (хо=1 :g =600 9Q1) 1

* N / fi

01234567В9 10 Рис. 11. Изменение значения целевой функции на итерациях при кт'т = 108 c разных начальных проектов (единицы измерения - мм)

fx fr ,=0.3)

ч / ,

__■ ■

yf fr fr.) =0.6)

1 i fr fro =0.2)

0.4

0J

02

0.1

0

1

а

10

Рис. 12. Изменение значения целевой функции на итерациях при кт'т = 0,1 с разных начальных проектов (единицы измерения - м)

Заключение

Проведенные исследования показали, что параметр ктпп для каждой задачи имеет свой диапазон, обеспечивающий наилучшую сходимость, а иногда и возможность получения оптимального результата.

По результатам исследований можно дать следующие рекомендации по настройке параметра ктпп на сходимость алгоритма при решении задачи оптимизации строительных конструкций:

1. Если начальное значение варьируемого переменного меньше, чем оптимальное, то повышение параметра ктп (например, до 108) увеличивает скорость сходимости алгоритма независимо от единиц измерения геометрии конструкции.

2. Если начальное значение варьируемого переменного больше оптимального, то

- сходимость имеет место, если порядок параметра ктпп назначить на 2-4 порядка ниже, чем порядок начального значения целевой функции;

- наилучшая сходимость имеет место, если порядок параметра ктпп соответствует порядку ^пт;

- при более низких порядках ктп сходимость имеет место, хотя для этого требуется большее число итераций.

Так, в рассмотренном примере диапазон ктп, обеспечивающий сходимость для этого случая, при принятии

9 Я Р ^ Я ^

измерений в миллиметрах составлял 10-10 (^ = 1,44-10 мм и ^пт = 3,63768-10 мм), а при принятии геометрии в метрах от 10-4 до 10-1 (^ = 1,44 м3 и Ъпт = 0, 363768 м3).

3. Так как при решении задачи любого вида оптимальное значение переменных варьирования заранее неизвестно, предлагается следующая схема назначения параметра ктп:

- принимаем в качестве начального максимальное значение переменных варьирования на заданном интервале (например, при 100 < х < 600, х0 = 600 мм);

- определяем начальное значение целевой функции;

- задаем значение параметра ктп, на 2- 4 порядка ниже, чем порядок целевой функции.

4. Для исследования полученного результата на единственность необходимо решить задачу с нескольких начальных проектов, взятых выше и ниже оптимума.

Статья поступила 21.09.2015 г.

Библиографический список

1. СНиП 11-23-81*. Стальные конструкции. М.: ГОССТРОЙ СССР, 1990. 94 с.

2. Дмитриева Т.Л. Параметрическая оптимизация в проектировании конструкций, подверженных статическому и динамическому воздействию: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010. 176 с.

3. Дмитриева Т.Л., Безделев В.В. Использование многометодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций // Известия вузов. Строительство. 2010. № 2. С. 90-95.

4. Дмитриева Т.Л. Параметрическая оптимизация в проектировании конструкций, подверженных статическому и динамическому воздействию: монография. Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2010. 176 с.

5. Дмитриева Т.Л., Ле Чан Минь Дат, Нгуен Ван Ты. Реализация алгоритмов численной оптимизации в современных программных комплексах: монография. Иркутск: Изд-во ИРНИТУ, 2015. 160 с.

УДК 624.012.45:699.8

РАСЧЕТНО-КОНСТРУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ЗАЩИТЫ ОТ ПРОГРЕССИРУЮЩЕГО РАЗРУШЕНИЯ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ МОНОЛИТНЫХ КАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ

А

© Е.В. Домарова1

Московский государственный строительный университет, 129337, Россия, Москва, Ярославское шоссе, 26.

Строительные конструкции должны обладать достаточной степенью надежности не только при действии эксплуатационных нагрузок, но и при возникновении чрезвычайных ситуаций. В статье рассматриваются методы обеспечения устойчивости монолитных каркасных зданий к прогрессирующему разрушению (ПР): а) допущение значительных пластических деформаций, при которых происходит раздробление бетона сжатых зон перекрытия в наиболее напряженных сечениях, б) устройство усиленных этажей (называемых также «аутригерными», «связе-выми»), дискретно расположенных по высоте здания и обладающих значительной жесткостью. Представлен сравнительный анализ этих способов по результатам расчета 45-этажного каркасного здания с усиленными этажами и без них при разрушении колонны первого этажа.

Ключевые слова: усиленные этажи; аутригерные этажи; связевые этажи; прогрессирующее разрушение; устойчивость здания.

1Домарова Екатерина Владимировна, аспирант, e-mail: cathie_p@mail.ru Domarova Ekaterina, Postgraduate, e-mail: cathie_p@mail.ru