Контактные аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса 𝑪10 Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, определение и эксплуатация рациональных маршрутов при строгом соблюдении сроков поставок помогают добиться не только минимизации эксплуатационных затрат или тонно-километрового пробега, но и сократить товарно-производственные запасы на складах. Кроме того, рациональное использование производительности транспортных средств удерживает предприятие от увеличения транспортного парка и расходов на обслуживание. Список использованной литературы:

1. Захаров В., Щегряев А. // Устойчивая кооперация в динамических задачах маршрутизации транспорта // Математическая теория игр и ее приложения. 2012г.

2. Петросян Л.А. // Одна транспортная теоретико-игровая модель на сети // Математическая теория игр и ее приложения. 2011г.

3. Зенкевич Н.А, Зятчин А.В. // Кооперативное сильное равновесие в игре маршрутизации транспортных средств, 2013г.

© Васюткин А.В., 2017

УДК 514.76

Рустанов А. Р.,

доцент кафедры КБ-9,

институт комплексной безопасности и специального приборостроения, Московский технологический университет, кандидат физико-математических наук,

е-mail: aligadzhi@yandex.ru; телефон 89262460821

Рустанов З. А., студент 4 курса, математический факультет, Московский педагогический государственный университет, е-mail: zubairu-rustanov@yandex.ru; телефон 89254700970

КОНТАКТНЫЕ АНАЛОГИ ТОЖДЕСТВ ГРЕЯ ДЛЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА С10

Аннотация

В работе рассматриваются контактные аналоги тождеств Грея для почти контактных метрических многообразий класса C10. Доказано, что всякое C10-многообразие является многообразием класса CR3. Получена локальное строение C^-многообразий классов CR1 и CR2.

Ключевые слова

Косимплектическая структура, точнейше косимплектическое многообразие, келерово многообразие, тензор Римана-Кристоффеля, тождества Грея, C10-многообразие.

ANALOGS IDENTITIES GRAY FOR RIEMANN CURVATURE OF ALMOST CONTACT METRIC MANIFOLDS OF CLASS C10

Abstract

We consider contact analogues of Gray identities for almost contact metric manifolds class C10. It is proved that every C10-manifold is a manifold of class CR3. We obtain a local structure C10-manifolds class CR1 and CR2.

Keywords

А cosymplectic structure, exact cosymplectic manifold, Kahler manifold, Riemann-Christoffel tensor, identity Gray, C10-manifold.

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_

В данной работе мы продолжаем изучение почти контактных метрических многообразий класса С10 в классификации Чинья и Гонзалеза [1] начатое в работах [2] - [4]. Интерес к данному классу многообразий объясняется тем фактом, что они являются естественными обобщениями косимплектических многообразий.

Пусть М - гладкое многообразие, размерности 2п+ 1, Х(М) - С-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем, все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются

Сет

.

Определение 1 [2]. AC-структура, характеризуемая тождеством

^Х(Ф)У + = + ^у(г])ФХ + + ч(У)ЧфХЪ X,YE Х(М). (1)

называется С10-структурой. AC-многообразие, снабженное С10 -структурой называется С10-многообразием.

Полная группа структурных уравнений С1о -структуры на пространстве присоединенной G-структуры имеет вид [2]:

1) du = Fab0)a Ашь + FabMa А шь; 2) du>a = -9% Ашь + Fabü)b А ш; 3) dua = 9ьАшь + Fabü)b А ш; 4) dвZ + в?Ав¿ = (Atf-FadFbc)ШcАШd, (2)

где

Fab + pba = о. Fab + Fba = 0; JEb= Fab; Aodc] = Alad] = Q. (3)

Кроме того, имеют место следующие равенства: 1) dFab - Fcb9ca - Fac9b = 0; 2) dFab + Fcb9? + Fac9b = 0; 3) dAabdc + Ahbd9£ + A%9£ - А^вЦ -

Att9£ = A$huh + Aabdchuh, (4)

где

FalbFcd] = Fa[bFcd] = 0, Afäh] = Aab[?h] = 0, AabdcFWg] = FadFb[cF]dlg], А^'Ы = Fa[dFbcFlcW (5) Назовем: тождество Fa[bFcd] = 0 первым фундаментальным тождеством С10-структуры; тождество AbdcF\d\g] = FadFb[cF\d\g] вторым фундаментальным тождеством С10-структуры.

Предложение 1 [2]. С1о -структура является косимплектической структурой тогда и только тогда, когда Fab = Fab = 0.

Существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры имеют вид [2]:

10 R00a = FacFcb; 2) R£cd = Abd; 3) Rbcd = -FabFcd. (6)

Наиболее интересные свойства появляются, если почти контактную метрическую структуру многообразия дополнить эту структуру дополнительными условиями. Представляет интерес рассмотреть контактные аналоги тожеств Грея на тензор римановой кривизны. Таковыми являются следующие тождества

[5]:

CR^ (R(ФХ, ФУ)Фг, ФШ) = (R(Ф2Х, Ф2У)Фг, ФШ);

cr2: (r(фх, ФУ)Фг, фш) = (R(ф2х, Ф2У)Фг, фш) + (R(ф2х, ФУ)Ф2г, фш) +

(R(Ф2Х,ФУ)Фг,Ф2Ш); CR3: (R(ФХ, ФУ)Фг, ФШ) = (R(Ф2Х, Ф2У)Ф2!, Ф2Ш). На пространстве присоединенной G-структуры тождества CR1 - CR3 эквивалентны следующим равенствам [5]:

CR1 ^ Rabcd = Rabcd = Räbcd = 0; CR2 ^ Rabcd = Rabcd = 0; CR3 ^ Rabcd = (7)

Замечание. Согласно формулам (7) очевидны включения CR1 с CR2 с CR3. Пусть М2п+1 - С10-многообразие.

Определение 2. Cw -многообразия, тензор Римана-Кристоффеля которых удовлетворяет тождеству CRi, i = 1,2,3, называются Cw-многообразия класса CRi.

Теорема 1. С10 -многообразие является многообразием класса СR3.

Доказательство. Пусть S = (Ф,^,^,д) - С10-структура. Согласно тождествам (6) для неё верно

тождество Rabcd = 0. Согласно (7), это означает, что S- структура класса CR3.

□

Теорема 2. Пусть S = (Ф, ^, ij, д) - С10-структура. Тогда S - структура класса CR2 тогда и только тогда,

когда структурный тензор тождественно равен нулю, т.е. Fab = 0.

Доказательство. Пусть S = (Ф, ^, ц, g) - С10-структура. Тогда согласно (7) S - структура класса CR2 тогда и только тогда, когда Rdbcd = Rabcd = 0, т.е. с учетом (6) FabFcd = 0. Полученное равенство свернем с объектом Fbh, тогда получим FabFcdFbh = 0. Свернем полученное равенство по индексам a и h, тогда получим FcdFabFab = 0, т.е. Fcd ^ъ^аъ12 = 0. Отсюда следует, что Fab = 0, т.е. структурный тензор равен нулю.

Обратно, пусть второй структурный тензор С10-структуры равен нулю, т.е. Fab = 0. Тогда Râbcd = —FabFcd = 0. Таким образом, С10 -структура S является структурой класса CR2. □

Теорема 3. С10 -многообразие является многообразием класса CR2 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.

Доказательство. Доказательство непосредственно следует из Теоремы 2, Предложения 1 и Следствия к Теореме 3.1 [6, стр. 413]. □

Теорема 4. Cw-многообразия класса CR1 являются С^-многообразиями класса CR2. Доказательство. Поскольку Rabcd = Rdbcd = 0 для С1о-многообразий, то С1о-многообразия являются класса CR1 тогда и только тогда, когда Rdbcd = 0, т.е. согласно Теореме 3, когда многообразие является класса CR2. □

Поскольку косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [6], предыдущие теоремы можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5. Cw -многообразия являются многообразиями класса CR3. С1о-многообразия классов CR-^ и CR2 совпадают. С1о-многообразия являются многообразиями класса CR1 только тогда, когда многообразие является косимплектическим, т.е. когда оно локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.

Список источников и литературы:

1. D. Chinea, C. Gonzalez. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). - 1990. - V, CLVI. - P. 15-36.

2. А.Р. Рустанов. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса Cw // Преподаватель XXI век. - 2010. - № 4. - С. 199-207.

3. А.Р. Рустанов. Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 [Текст] / // Преподаватель XXI век. - 2014. - № 2, 2014, с. 207-213.

4. А.Р. Рустанов, З.А. Рустанов. С10-многообразия класса R4 // Преподаватель XXI век. - 2014. - № 3, 2014, с. 209-218.

5. В.Ф. Кириченко, Е.В. Кусова. О геометрии слабо косимплектических многообразий // Фундаментальная и прикладная математика, том 16, № 2, 2010, с. 33 - 42.

6. В.Ф. Кириченко. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003.

© Рустанов А.Р., Рустанов З.А., 2017

УДК 514.76

Рустанов А. Р.

к.ф.-м.н., доцент Московский технологический университет г. Москва, Российская Федерация.

СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ С10-МНОГООБРАЗИЙ

В данной работе мы продолжаем изучение геометрии С1о -многообразий, начатое в работах [1] - [2].