CC BY
9
УДК 517.76
АНАЛОГИ ТОЖДЕСТВ ГРЕЯ ТЕНЗОРА РИМАНОВОЙ КРИВИЗНЫ СПЕЦИАЛЬНЫХ ОБОБЩЕННЫХ МНОГООБРАЗИЙ КЕНМОЦУ ПЕРВОГО
РОДА
ANALOGS IDENTITIES GRAY RIEMANN CURVATURE TENSOR OF SPECIAL GENERALIZED MANIFOLDS KENMOTSU FIRST KIND
А.Р. Рустанов, О.С. Ищенко A.R. Rustanov, O.S. Ishchenko
Московский педагогический государственный университет, ttgggt, Россия, Москва, ул. Малая Пироговская, 1/1
Moscow state pedagogical university, ligggi, Russia, Moscow, Malaya Pirogovskaya St., 1/1
E-mail: olga.ishchenko.88@yandex.ru, aligadzhi@yandex.ru
Аннотация. В работе рассматриваются специальные обобщенные многообразия Кенмоцу первого рода, получена полная группа структурных уравнений, подсчитаны компоненты тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной G-структуры, доказано, всякое SGK-многообразие I рода является либо многообразием Кенмоцу, либо пятимерным собственным (т.е. не многообразием Кенмоцу) SGK-многообразие I рода. Рассмотрены контактные аналоги тождеств Грея для данного класса многообразий. Доказано, что SGK-многообразие I рода является CR2- или CR3 -многообразием тогда и только тогда, когда оно является многообразием Кенмоцу, а SGK-многообразие I рода, являющееся Сй^многообразием является трехмерным многообразием Кенмоцу.
Resume. In this paper, we consider special generalized manifolds Kenmotsu first kind, received the full group of structural equations, calculated components of the Riemann-Christoffel tensor in the space of the associated G-structure, proved every SGK-manifold of type I is a manifold Kenmotsu or five-dimensional proper (i.e. not a manifold Kenmotsu) SGK-manifold of type I. We consider analogues contact Gray identities for this class of manifolds. It is proved that SGK-manifold type I is CR2- or CÄ3-manifold if and only if it is a Kenmotsu manifold and SGK-manifold of type I, which is CÄ^manifold is a three-dimensional manifold Kenmotsu.
Ключевые слова: специальные обобщенные многообразия Кенмоцу первого рода, почти контактные многообразия, тензор римановой кривизны, CRt-многообразием, тождества Грея.
Keywords: special generalized manifolds Kenmotsu first kind, almost contact manifolds, the Riemann curvature tensor, CRt -manifold, identities Gray.
Введение
Пусть {М2п+1,Ф,^,г),д = (у)) - почти контактное метрическое многообразие.
В 1972 г. Кенмоцу [1] ввел в рассмотрение новый класс почти контактных метрических структур, характеризуемых тождеством
УХ(Ф)У = -г](У)ФХ - (X, ФУ)$; X,Y е Х(М). (1)
Эти структуры являются нормальными, но не являются ни сасакиевыми структурами, ни косим-плектическими структурами [2]. Такие структуры возникают на нечетномерных пространствах Лобачевского кривизны (—1). Структуры Кенмоцу получаются с помощью конструкции косого (warped) произведения Сп х^ R в смысле Бишопа и О'Нейла [3] комплексного евклидова пространства и вещественной прямой, где /(t) = cet (см. [1]). Более того, всякое конформно-плоское многообразие Кенмоцу, а также всякое локально-симметрическое многообразие Кенмоцу локально эквивалентно многообразию Кенмоцу такого типа [1]. В данной работе мы придерживаемся терминологии принятой в монографии [2].
Из тождества (1) легко следует, что [2]
Vx(n)^ = (X,Y)-rj(.Y)rj(X);X,Y еХ(М). (2)
В самом деле, применяя оператор Чх к тождеству Ф2 = —id + получим, что
УХ(Ф)(ФУ) + Ф(УХ(ФЮ = + vWWxf, или, с учетом (1) (ФХ, ФY)f- rj(Y)Ф2Х = Vx(rj)(Y)^ +
q(Y)Vx>f. Поскольку (Vxf,О = ^((<f,О) = 0, имеем, что Vxfe L, и, поскольку LnM = {0}, Vx(r|)/ = {ФХ.ФУ) = (X,Y) -r](Y)v(X)-,X,Y е X(M).
Положив в тождестве (i) Y = X, получим ух(Ф)Х= -г](Х)ФХ-,Х е Х(М). (3)
В полученном тождестве сделаем замену Х^ X + Y (поляризация по Х), тогда получим: УХ(Ф)У + Уу(Ф)Х = -Г](У)ФХ - ^(Х)ФУ,Х,У е Х(М). (4)
Определение 1 [4]. Класс почти контактных метрических многообразий, характеризуемых тождеством (4), называется обобщенными многообразиями Кенмоцу (короче, GK-многообразиями).
Тождество (4) на пространстве расслоения реперов над М примет вид: Ф]л + ФЬ = -'7кФ/-^Фк. (5)
Расписывая эти соотношения на пространстве присоединенной G-структуры, получим: Предложение 1. Компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма GK-структуры на пространстве присоединенной G-структуры удовлетворяют следующим соотношениям:
1) Фод = Ф£,о = Ф|о = 0, 2) Ф?0 = Ф',0 = 0, 3) Ф*а = -Ф0ай = -лР15аь; 4) Ф£,с- = Ф£,с = 0, 5) Ф0% + Фь% = 0, 6) Ф£6 + Ф?,0 = 0, 7) Ф°,ь + Ф°,а = 0, 8) Ф°,£ +Ф°Ъд = 0, 9) Ф°,£ + ф5,а = 0, 10) Ф^ + Ф£,а = 0, 11) Ф£6 + Ф|Й = 0.
Предложение 2. Интегральные кривые векторного поля £ GK-многообразия являются геодезическими.
Доказательство: так как 0 = (£^)(Х) = -д(у^Х- Vxf,f) = д(Х, V^f), где L^ -
производная Ли в направление вектора то интегральные кривые векторного поля £ являются геодезическими.
Согласно Предложения 1 первая группа структурных уравнений GK-многообразий на пространстве присоединенной G-структуры примет вид:
1) йш = Fabü)a Лшъ +Fabú)a Лш„, 2) doya = Лшь + СаЬсшь Лшс- 1раЬшЛшь + 8£шЛ шь, 3) йша = вЦ Лшь + СаЬсшь Лшс - ^FabMAü)b + ё^шЛ шь,
(6)
где
Cabc = ^Е1фа,г, Cabc = -ÍE^,c, с^лс] = Cabc, C[abc] = Cabc, С^ =Cabc, Fab = Fab =
Fab +Fba = 0, Fab +Fba = 0, F"b =Fab.
(7)
Из (6) следует следующее Предложение. Предложение 3 [4]. Если Cabc =
Cabe _0 и Fab — Fab -0, то GK многообразие является
многообразием Кенмоцу.
Предложение 3 дает примеры GK-многообразий.
Специальные обобщенные многообразия Кенмоцу первого рода
Наиболее интересные геометрические свойства почти контактных метрических многообразий появляются, когда применяются дополнительные ограничения. Поэтому представляет интерес изучить частные случаи обобщенных многообразий Кенмоцу. В работе [4] выделены два типа специальных обобщенных многообразий Кенмоцу.
В данной работе мы рассмотрим специальный тип GK-многообразий, выделенных в работе [4] и названный SGK-многообразиями I рода. Напомним это определение.
Определение 1 [4]. GK-многообразия для которых Cabc — СаЬс — 0 называются SGK-многообразиями I рода.
Замечание. Согласно Предложения 3 SGK-многообразия I рода, для которых Fab =Fab = 0 являются многообразиями Кенмоцу.
Тогда первая группа структурных уравнений SGK-многообразий I рода примет вид [4]: 1) йш = Fabú)a Лшь +Fabü)a Лш„, 2) dü)a = -в£ Лшь - 3-РаЬшЛшь + 8£шЛ шь, 3) йша = в^Лшь-■^РаЬшЛшь + 8*шЛшь, (8)
где _
Fab=V^°,g, Fab = —Л/—ГФ°,Ь, Fab+Fba = 0, Fab+Fba = 0, F"b = Fab (9)
Стандартная процедура дифференциального продолжения первой группы структурных уравнений (8) дает следующую теорему.
эшЛшь + 8ьшЛ шь; 4) deS = -в? Л6§ + (А%? - ^FadFbc)wc Ли>л -SgFcda>c Лша + S£Fcda>c Л
Теорема 1. Полная группа структурных уравнений СК-многообразий I рода на пространстве присоединенной С-структуры имеет вид:
1) <1и> = Fabwa Лш" +Fabwa Лшь; 2) dшa = -0£ Лшь - 1раЬшЛ шь+ 8£шЛ шь; 3) dшa = вЦлшь-
3 г
ша; 5) dFab +Fcbб(? + Fílcбcb = -2¥аЬш; 6) dFab -Fcbбac -Рас0сь = -2¥аЬш. (10)
При этом имеют место следующие тождества:
1) FаrbFcd] = 0; 2) Fa[bFcd] = 0; 3) = 0; 4) =0. (11)
Теорема 2. Всякое 5СК-многообразие I рода является либо многообразием Кенмоцу, либо пятимерным собственным (т.е. не многообразием Кенмоцу) ^^-многообразием I рода.
Доказательство. Рассмотрим равенство (11:3), т.е. + + = 0. Свернем
полученное равенство по индексам а и Ь, тогда получим:
(п- 2)РЬс = 0. (12)
Если Fbc = 0, то согласно Предложения 3 многообразие М является многообразием Кенмоцу. Если же Fbc ^0, то п = 2, т.е. dimM = 5. □
Пусть М - ЖК-многообразие I рода. Вычислим компоненты его тензора Римана-Кристоффеля на пространстве присоединенной С-структуры. Для тензорных компонент формы римановой связности имеем следующие соотношения на пространстве присоединенной С-структуры [1]:
1) 2) = 3) 0$ = 4) в0а = -лПФ0>';
5) 6° = -/Р!ф^; 6) 0° = 7) 0^ + 0^ = 0; 8) б0° = 0. (13)
Соотношения (13), с учетом Предложения 2, для 5СК-многообразий I рода на пространстве присоединенной С-структуры примут вид:
1) 0£ = ^Faba); 2) 0% = ±Faba>; 3) 0$ = 8£а>ь -Fab^b; 4) б0а = 5>b -Fabuib; 5) 0оа =Fabo>b -
8ьашь; 6) 0oa=Fabo>b-SZa>b. ^ (14)
Дифференциальное продолжение уравнений (14) дает:
1 1 1 1
1) d0% = ~2Fcb0? Лш ~2рас6ь Лш +2Fabfcd^c Лша +2FabFcd0)c Лша;
- 2 1 1 , 1 ,
2) ¿0% = ^рсьвцЛш + +2fabfcdb>c Лша +2FabFcdшcЛшíг;
3) d0£ = -0g Лшь +Fcb0ca Лшь + (3^FacFcb + Л шь -2раЬшЛ шь;
4) d0% = 0* Лшь -Fcb0ca Лшь - ^шЛ o>b + а>ь;
5)d0° = -0* Лшь +Fcb0ca Лшь +^^РаЬшЛ0)ь ~(^FacFcb а>ь;
6) d0o& = 0% Лшъ -Fcb0? Лшь -(¿FacFcb + Л + ^FаЪшЛ шь. (15)
Вторая группа структурных уравнений римановой связности имеет вид [1]:
d0j = -0lk л0/ + iRljklo)k Лш1, (16)
где {Rjki]c C^iBM) - компоненты тензора Римана-Кристоффеля. Расписывая эти соотношения на пространстве присоединенной G-структуры с учетом (14), получим:
1) d0i = -^Fcb0? Лш -\F™0bc Лш + ^Rlt + 8?Х])ысЛ0)с1 + №сй + 8bcFad -8?Fbd)^ Лша +
+ F^F|b|dl)ШcЛШd+RЧb0cШЛШc + RЧb0eШЛ
2) d0§ = ±Fcb0ca Лш+ ±Fac0cb Лш + + Fa[cF№])wc + + 8dFbc -SdFac)o>c Ла>а +
+ 8[a8*])шcЛшd+Rit0cшЛшc+RdoeшЛ шс;
3) d0% = -0£ Л^ +Fc4a Лшь + \R%bcub Лшc + R^beшb Лшс +\Raob£ub Л^с + (fi0%, + ±FacFcbЛ
4) d0" = 0% Ло)ь-Рсь0с Ла>» +1ЩЬсо>» Лa>c + R$b¿a>b Ла>с Ла>с + (й0а0б + \FacFcb)u Л а>ь +
ь-^РаЬ)шЛа>ь; (17)
5) d0° = -0% Ло>ь +Fcb0ca Ло>ь + ±R°bcc)b Ло>с+R0abea>b Ло>с+ ^Я0а~ь£шь Ла>с + ^0а0Ь + \Fab)u Л о>ь +
{К0В--2РасРсЬ)ыЛ0)ь;
6) < = в£ Aa>b-Fcbe^ Ла>ь + -2R0abca>b Л^ +R°ab£a>b Ла>с + ± Д^ + - Л
7) = -в? Лвсь + gfibacd + + 8?S£ -FbcFad)o>c Ло>а + {^Rab£d -
шс Лша + Д£0сшЛ шс +ЯЬ0£шЛ шс;
8) dflf = -йвьа =6? Лв'а + (±Rld -Fa[c8bd])"c Л^ + -8?8* + FacFbd)a>c Ла>а + eSL -
Сравнивая (9:4), (15) и (17), в силу линейной независимости базисных форм, имеем, что существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля имеют вид:
1) Roob =FacFcb + 8£; 2) Rgcd = ~8bFcd; 3) =Аbd ~FbcFad 4) R~cd = FabFcd -2¿>£5^.
(18)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3. существенные ненулевые компоненты тензора Римана-Кристоффеля SGK-многообразия I рода на пространстве присоединенной G-структуры имеют вид:
1) RSob = FacFcb + 8£; 2) = ~8£Fcd; 3) Rbc^ = A%d -FbcFad ~8cSd; 4) R~lcd =FabFcd — 28[c8dy
Аналоги тождеств Грея тензора римановой кривизны iSGK-многообразий I рода
Контактными аналогами тождеств А.Грея R1,R2 и R3 кривизны почти эрмитовых многообразий для тензора римановой кривизны являются тождества кривизны CR1,CR2 и CR3 для почти контактных метрических многообразий:
CR^. №(ФХ,ФУ)Фг,ФШ) = №(Ф2х,Ф2у)Фг,ФШ); CR2: №(ФХ,ФУ)Фг,ФШ) = №(Ф2х,Ф2у)Фг,ФШ) + '^(Ф2х,ФУ)Ф2г,ФШ) + №(Ф2х,ФУ)Фг,Ф2wy, CR3: №(ФХ,ФУ)Фг,ФШ) = №(Ф2Х,Ф2У)Ф2г,Ф2Ш);Х,¥,z е Х(М). Назовем SGK-многообразие I рода, обладающее тождествами CR1,CR2 и CR3, соответственно, CR1,CR2 и CR3 - многообразием. Исследуем эти тождества.
Теорема 4. Пусть S = Of,г\,Ф,д = (•,•)) - АС-структура. Тогда:
(1) S = (f, г!,Ф,д = (•,•)) структура класса CR1 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd — Rdbcd = Rdbcd = 0;
(2) S = {^,г!,Ф,д = (у)) структура класса CR2 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd = Rdbcd = 0;
(3) S = Of, Ф,9 = (v)) структура класса CR3 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd = 0.
Доказательство данной теоремы проводится аналогично доказательству соответствующей теоремы для почти эрмитовых многообразий [2].
Теорема 5. SGK-многообразие I рода является CR3 - многообразием тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно многообразию Сп хй, снабженному косимплекти-ческой структурой.
Доказательство. Пусть SGK-многообразие I рода является CR3-многообразием, тогда согласно Теореме 4 и (18), имеем Rabcd = ~8j^Fcd = 0. Свернем это равенство по индексам b и с, тогда nFcd = 0, т.е. Fcd = 0. Согласно Предложения 3 SGK-многообразие I рода является многообразием Кенмоцу. Поскольку многообразие Кенмоцу является SGK-многообразием I рода для которого Rdbcd = 0, то учитывая Теорему 5.2 [1, стр. 424], можно сказать, что SGK-многообразие I рода является CR3 -многообразием тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно многообразию Сп хй, снабженному косимплектической структурой. □ Теорема 6. SGK-многообразие I рода является CR2 - многообразием тогда и только тогда, когда оно является CR3 -многообразием.
Доказательство. Поскольку для SGK-многообразия I рода Rbcd = 0, согласно Теореме 4 SGK-многообразия I рода являющееся CR2 - многообразием является CR3 -многообразием. Но поскольку CR3 эCR2 dCBj, то SGK-многообразие I рода являющееся CR3 - многообразием является CR 2 -многообразием. □
С учетом теоремы 5 теорему 6 можно сформулировать следующим образом. Теорема 7. SGK-многообразие I рода является CR2 - многообразием тогда и только тогда, когда оно канонически конциркулярно многообразию Сп xR, снабженному косимплектической структурой.
Теорема 8. SGK-многообразие I рода является CR1 - многообразием тогда и только тогда, когда оно является трехмерным многообразием Кенмоцу.
Доказательство. Согласно теореме 4 почти контактная метрическая структура является структурой класса CR1 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры Rabcd = Rabcd = R&bcd = 0. Тогда согласно теореме 3 SGK-структура I рода является структурой класса CR1 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной G-структуры: 1) R£cd = -8%Fcd = 0; 2) R~cd = FabFcd — 2= 0. Как было показано выше выполнение равенства Rbcd = —8bFcd = 0 влечет, что SGX-структура I рода является структурой Кенмоцу. Рассмотрим равенство Rgcd = FabFcd — 2 8[c8d] = 0. Свернем это равенство сначала по индексам a и с, а затем по индексам b и d, тогда получим FabFab = п{п — 1). Так как Fab = 0, то п{п — 1) = 0, т.е. п = 1. Таким образом, SG-K-многообразие I рода являющееся класса CR1 является многообразием Кенмоцу размерности 3.
Обратно, поскольку для трехмерного многообразия Кенмоцу имеем, что Rabcd = Rabcd = Rdbcd = 0, то оно является SGX-многообразием I рода являющееся CR1 - многообразием.
Список литературы References
1. Kenmotsy K. A class of almost contact Riemannian manifolds / / Tohoku Math. J., 24 (1972). - P. 93-103. Kenmotsy K. A class of almost contact Riemannian manifolds // Tohoku Math. J., 24 (1972). - P. 93-103.
2. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Издание второе, дополненное. Одесса: «Печатный Дом», 2013, 458 с.
V.F. Kirichenko. Differential-geometric structures on manifolds. Second Edition, Revised. Odessa: "Printing House", 2013, 458 p.
3. Bishop R.L., O'Neil B. Manifolds of negative curvature. Trans. Amer. Math. Soc. 145 (1969), 1-50.
4. Умнова С.В. Геометрия многообразий Кенмоцу и их обобщений: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. - М.: МПГУ, 2002. - 88 с.
Umnova S.V. Geometry Kenmotsu manifolds and their generalizations: Dis. ... Cand. Sci. Sciences. - M.: Moscow State Pedagogical University, 2002. - 88 p.
