CC BY
34
Рустанов А.Р., Щипкова Н.Н.*
Московский педагогический государственный университет *Оренбургский государственный университет E-mail: [email protected]; [email protected]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОЧТИ КОНТАКТНЫХ МЕТРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ КЛАССА ЫСи
В работе рассматривается новый класс почти контактных метрических многообразий, обобщающий класс АС-многообразий класса С11 в классификации Чинья и Гонзалеза. Получена полная группа структурных уравнений МС^-многообразий, и на их основе подсчитаны компоненты тензора Римана-Кристоффеля, тензора Риччи и вычислена скалярная кривизна. Получены свойства МС11-многообразий и некоторые тождества тензора римановой кривизны.
Ключевые слова: почти контактное метрическое многообразие, тензор римановой кривизны, тензор Риччи, тензор Ф-голоморфной секционной кривизны, косимплектическое многообразие.
1. Определение и структурные уравнения N0^ -многообразий
В данной работе рассматриваются обобщения почти контактных метрических многообразий класса С11 в классификации Чинья и Гонзалеза, рассмотренных нами в работах [1] и [2]. Мы придерживаемся обозначений и терминологии, принятой в монографии [3]. Почти контактные метрические многообразия класса С11 характеризуются тождеством [4]:
V* (п)(у, г ) = -п(х ^(п)(фу, ФZ), (1)
где X,У е X (М). Поскольку Vх (^)(У,г) = =< У, Vх (Ф)г >= - < Vх (Ф)У,г > , то тождество (1) запишется в виде -<VX (Ф)У, г >= = -П (X) < V^ (Ф)ФУ,Фг >. Полученное равенство, с учетом соотношения <ФX, ФУ >= ■=< X,У >-п(х)п(У), перепишем в виде
< vх (ф)у , г >=п (X )<ф^ (ф)фу , г >,
X, У, г е X (М). Так как г е X (М ) произвольное векторное поле, то из последнего равенства получим:
Vх (Ф)У = п (X )Ф о ^(Ф)ФУ; X ,У е X (М).
(2)
Положим в тождестве (2) X=Y, тогда Vх (Ф)х = п (X)Ф о ^(Ф)Фх; X е X (М).
(3)
ЛС-многообразия, характеризуемые тождеством (3), назовем обобщенными многообразиями класса Си (коротко, ЛСи-многообразия-ми). Инволюционно поляризуя тождество (3), получим:
Vх (Ф)У + VУ (Ф)х = п(X)Фо V^ (Ф)ФУ +
+ п(У)Фо ^(Ф)Фх; X,Уе X(М). (4)
Найдем явное аналитическое задание структурных тензоров ЛС11-многообразий [3], [5].
Положим в тождестве (4) Хравным ^ , тогда ^(Ф)х + Vх (Ф)£=Фо V^ (Ф)Фх; X е Х(М).
(5)
Из (5) при X = % следует, что
^(Ф)£ = 0 о О = 0, (6)
т. е. шестой структурный тензор ЛС11-многооб-разия равен нулю.
Поскольку для ЛС-многообразий имеем Ф о Vх (Ф)| = Vх|, X е X (М), то согласно (6) получим, что Vх% = 0, X е X (М), т. е. интегральные кривые векторного поля % являются геодезическими.
Из (5) имеем Vх (ф)| = ф о V (Ф)Фх - V (Ф)х, а значит, ф о vф2х (ф)| = -ф2 о v^ (ф)фх - ф о v^ (ф)ф2х
и ф2 оvФX (Ф)£ = -Ф оV (ф)ф2х -ф2 оV (ф)фх, х е х (м). Следовательно, для четвертого и пятого структурных тензоров ЛС11-многообразия имеем:
Е(X) = Ф2 о V (Ф)Фх +Ф о V (Ф)Ф2X;
F(X) = 0; Xе X(М). (7)
Ковариантно дифференцируя равенство Ф2 = -1ё +п ® |, получим
VX (Ф)ФУ + ФоVх (Ф)У =vх (п)(У)|+п(У)Vх1;
X,У е X (М). (8)
В последнем равенстве положим Х равным |, тогда V (ф)фх + ф ° V (Ф)х = ^ (п)(х )£+п(х )v^|. Сделав в этом равенстве замену Х на Ф Х , получим -V (ф)фх + ф о V (ф)ф2 х = 0. Отсюда
Ф2 о^(Ф)Фх + Фо^(Ф)Ф2х = 0, Xе X(М), (9)
т. е.
Е(X) = 0, Xе X(М). (10)
Сделаем в (4) замены Х на ФХ, У на ФУ, тогда: УФХ (ф)ф2у + УФ2У (ф)фх = 0; X, У є X (м), т. е.
ф2 оуФХ (ф)фУ+Ф2 оУф2у (Ф)ФХ=0, X, Ує X (м).
(11)
В равенстве (8) сделаем замены Х на ФХ, У на ФУ, тогда: Vфx (ф)ф2у + фо Vфx (ф)фу = Vфx (п)(фу); X, у є X (м). В полученном равенстве также сделаем замены Х на ФХ, У на ФУ: -^Ф2X (ф)фу + Ф оу<л (ф)ф2У =Vф2X (»}(ф2У); X,У є X (м) . Подействовав оператором Ф2 на оба последних равенства, получим:
1) Ф2 о Vфx (Ф)Ф2У = Ф о Vфx (Ф)ФУ;
2) Ф2 о у,x (Ф)ФУ = -Ф о У,2x (Ф)Ф2У; X,У є X (м ).(12)
С учетом (12) из тождества (11) получим
Ф о у^ (Ф)ФУ-Ф о УФ2У (Ф)Ф2 X = 0; X, У є X (м).
(13)
Теперь в (4) сделаем замены Х на Ф2X, У на Ф2 У , тогда:
УФ2х: (Ф)Ф2У + УФ2У (Ф)Ф2X = 0; X,У є X (м),
т. е.
Ф о VФ2X (Ф)Ф2У + Ф о УФ2У (Ф)Ф2X = 0; X,У є X (м).
(14)
Из (13) и (14) следует, что
Ф о(Ф)ФУ + Ф о VФ2X (Ф)Ф2У = 0; X,У є X (м).
(15)
А значит, для первого и второго структурных тензоров ЛСи-структуры имеем:
В (X, У ) = 0; С (X, У ) = -1 Ф о УФУ (Ф^ =
=12 Ф о УФ2У (ф)ф2 X; X ,У є X (м). (16)
В силу (7) и (9) для третьего структурного ЛСи-структуры имеем
В(X ) = -1 Фо У; (Ф)Ф2X =1Ф2 о У; (Ф)ФX; X,У є X (м).
(17)
Таким образом, с учетом Предложения 1.6 из [3], стр. 451, мы доказали следующие предложения.
Предложение 1. Структурные тензоры ЛСи-структуры обладают свойствами:
1) В (X ,У ) = 0;
1
4) Е (X ) = ¥ (X ) = 0;
5) О = 0;
6) Ф о С (ХУ) = -С (ФX,У ) = -С (X,ФУ);
2) С(X,У) = -2ФоУфУ (Ф)(ФX) = 2Ф2 оУф2У (Ф)(ФX);
3) В(X) = -Ф оУ( (Ф)X = --Ф о(ф)(ф2X) = -Ф2 о(Ф)(ФX);
7) ((С (х,У )^}) + ((У,С (х,г ))) = 0;
8) С (х,У ) = -С (У, X);
9) ф о р = -Р о Ф;
10) {р(х),у) = -(хр(У),
где ({х, у)) = ( х, у) + %/-ю(х ,у ) - каноническая эрмитова метрика на многообразии М [1].
Предложение 2. Пусть 5 = (Ф,|,п,я) -АС- структура на многообразии М. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1. 5 = (Ф,|,п,я) - ЛС11-структура;
2. в = С0 = р0 = Е = ^ = о = 0;
3. 5-АС-160-структура.
Расписывая (4) на пространстве присоединенной б-структуры получим, что компоненты ковариантного дифференциала структурного эндоморфизма удовлетворяют следующим соотношениям:
1) Ф% =Фа,0 =Ф0,0 =Ф0,0 = 0;
2) Ф0,ь = Ф",г = Ф0,ь = ф0,ь = Ф 0,ь = Ф0,ь = Ф0,ь = Ф0,ь = 0;
3) ф 0,с = ф 1,1 = 0; 4) Ф0Ь + Ф^ = 0; 5) Ф°°,ь + Ф 1,с = 0.
(18)
Применяя процедуру восстановления тождества [3], [6] к равенствам 1) ф?,„ = ф0,„ = ф0,о = 0;
2) ф0ь = ф%ъ = ф0,ь = 0, получим
Предложение 3. Для ЛС11-структуры имеют место следующие тождества:
1) Vx (Ф)£= 0; 2) Vф2х (Ф)Ф2У + VфX (Ф)ФУ = 0; Чх,У е X (М)
Из (18) и предложения 2 получим следующие предложения.
Предложение 4. ЛС11-структура является ЛС-структурой класса С11 тогда и только тогда, когда vФX (ф)(фу) = 0, х,уе х (м ).
Следствие. ЛС11-структура является ЛС-структурой класса С11 тогда и только тогда, когда на пространстве присоединенной О-струк-туры ваЬс = ваЬс = 0.
Предложение 5. Пусть М - ЛС11-многооб-разие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) М- точнейше косимплектическое;
2) на пространстве присоединенной С-структуры Ф Ь,0 = ФЬ0 = 0 ;
3) Э=0;
4) V (Ф)х = 0, х е х (м ).
Предложение 5 дает примеры ЛС11-много-образий.
Тензор Нейенхейса оператора Ф на пространстве присоединенной б-структуры имеет компоненты [3]:
V-І,
»° 04 \Т0 _________ Л7-0
V-І,
N0 =N0a = - — Ф
(<Ї.Ь);
■'/-І Л a ■'/-І ,
1) Сь =-^ Ф0а,Ь]; 2)
3) <=-^ Ф0а,ь]; 4) ^=-Кь ~ фаа,0 - ^ ф^,ь;
5) N0 = -< — Ф0,ь-^ Ф^; 6) М0е =4-\ФаЬ>^;
7) №с =Т=1Ф[ь,с].
Для ЛС11-многообразия эти компоненты примут вид:
1) N‘0 =-N0 = Фа -^~1 фа. =-1 раь;
у г>0 0г> 4 ь,0 2 0,г> 2 ’
2) №0 = -< =^ ф0,ь -^ фь,0 =--2 Раь ; (19)
3) ^ = ^Фод = 2Ваьс; 3) < = 7=1Ф[ь,с] = 2Ваьс.
Остальные компоненты этого тензора равны нулю.
Хорошо известно [7], что структура (Ф,|,п, я) интегрируема тогда и только тогда, когда её тензор Нейенхейса равен нулю. Отсюда, в силу тождеств (19) и предложений 4 и 5 следует, что интегрируемая ЛС11-структура является косимплектической.
Легко показать, что нормальная ЛС11-структура является косимплектической.
Согласно (18) первая группа структурных уравнений ЛС11-структуры на пространстве присоединенной б-структуры примет вид:
1) Щ=0;
2) ЛЩ =-0 лЩ +В°ьсаь лщ +Р°ьтлщ\
3) Щ =$а лщ + ВлсЩ лщ + рщлщ,
где
паЪс ^ 1 фа п = ^ 1 ф а п[°ьс] = паЪс п = п
В = ~Т~ Фь,с, Ваьс = Фь,с, В = В , в[аьс] - ВаЪс,
V-І.
V-І.
(21)
BaC = Babc . D = -^- Ф“о. Da; =^ Ф^
Б* = Da; . Dab =-Dba . Dab =-D;a ■
Стандартная процедура дифференциального продолжения первой группы структурных уравнений (21) позволяет получить вторую группу труктурныхуравнений NCu-mpyKmypu\
. (22)
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Полная группа структурных уравнений ЛС-структуры класса ЛС11 на пространстве присоединенной б-структуры имеет вид:
1) сЬа = 0;
2) Ьаа = -в^ л аь + ВаЬсаЬ лас + ВаЬа л аь;
3) саа = вЬ лаь + ВаЬсаЬ ла + ВаЬалаЬ ';
4) свьа + ва л всь + 2ВакВкЬсюс л а =
= АЬСас лаа + В^а л а - ВасЬВ;ас л а.
При этом
1) ЬВаЬс + ВсЬсв<а + ВаСсвЬЬ + Ваьсв<с = ВаШоа + ВаЬс0а;
2) ЬВаЬ + ВсЬвса + ВасвсЬ = ВаЬсас - ВаЬЬВЬсас + ВаЬ0а;
3) ЬВаЬс - ВЬЬсва - ВаЬсвЬ - ВаЬЬвс = ВаЬсЬа + ВаЬс0а;
4) ЬВаЬ - ВсЬв<а - ВасвЬ = ДаьХ - ВсМ°^ас + ВаЬ0а.
(23)
Следствие 1. Полная группа структурных уравнений ЛС-структуры класса С11 на пространстве присоединенной б-структуры имеет вид:
1) Ьа = 0;
2) Ьаа = -вЬа л аЬ + ВаЬа л аЬ;
3) Ьаа =вЬ лаь + ВаЬалаЬ;
4) Ьва + вса л вс + 2В^кВкЬсас лал = < ас л аь;
5) ЬВаЬ + ВсЬвса + Васвсь = ВаЬ0а;
4) ЬВаЬ - ВсЬва - ВасвЬс = ВаЬ0а
Следствие 2. Полная группа структурных уравнений точнейше косимплектической структуры на пространстве присоединенной б-структуры имеет вид:
1) Ьа = 0;
2) Ьаа = -вЬа л аЬ + ВаЬсаЬ л ас;
3) Ьаа = в<Ь л аЬ + ВаЪса^ л ^ ;
4) de;a + в! л в;с + IB^B^rf лал = A^of л а^;
5) dBabc + Bdbce,ia + Badcebd + Babde<c = BaЬcdad;
6) dBabc - Bdbcea - Badceb - Babdec = BaЬcda -
В теореме 1 {а;^} - глобально определенная система функций на пространстве присоединенной б-структуры, симметричная по верхним и нижним индексам. Они образуют чистый тензор на м2л+1, называемый тензором Ф-
голоморфной секционной кривизны [3]. Тензор а : ьх ьх ь ^ ь задается соотношением
А (X, У, г ) = А1ЛсХьУсХйеа + АСХъУс2ЛеЛ, (24)
где Ь = кег^ .
Непосредственным подсчетом легко проверить, что тензор Ф-голоморфной секционной кривизны обладает свойствами:
А(ФХ,У,I) = А(X,ФУ,I) = -А(X,У,Фг) = Ф о А(X,У,I).
(25)
А^,У, г) = Ай ^)ъ Ус2йеа + Аьй (ФX )ъ Ус2йе, -
В самом деле, -yJГlAbdlXъУcZй£a = AadXЪ (ФУ) 1Леа + А^ь (ФУ) = А(X,ФУ2).
а Ф, у , г )=Ай (ФX )ъ у^ + аЫ (ФX ) Усгй£й = 4=1^ xъyczdea -
Анaл0гичн0, -^А^г^а =-АО11^^ (Фг)й ^а - AacdXъУc (Фг)й ^ =-А^,У2). Продифференцировав внешним образом равенство (22), получим:
йАй + Асв + АкЛ - АОЧ* - Аъ^б? = АН®" + АЮ + А> , (26)
где {а-} и {а^*} - системы функций на пространстве присоединенной б-структуры, служащих
компонентами взаимно сопряженных чистых тензоров типов ме того, получим следующие тождества:
1) АЦй ]= 2 В^р-Б-*^ а-.
2) А1'*1 = =-ВаМ1Б!1с;
-3>А0Й«=2'
4) А^'В^* = 2БаМ‘Б‘^Б/|йа|;
' 3 2 > ' 2 3Л
0 0 и 0 0
соответственно. Кро-
5) <%,]= ^БаЦс^ Бъсйа^ + ^‘Б^ъ - ВсБ*"'^]; (27)
6) А^] = 2БосбМ(!0‘|''] + В,1,10‘аБы + Васй’В}ъ - Б^'В^О*^;
^7\ ч ай тлайкп т>айН тл
7) Аъс0 =_^ Баъс -Б Дъс.
2. Компоненты тензора Римана-Кристоффеля
Поскольку для тензорных компонент формы римановой связности имеем на пространстве присоединенной б-структуры [3]:
1) ва =£± Ф1®; 2) в° = -^1 Ф“®к;
3) в0а = л/-1Ф0а,кюк; 4) в0а = -л/-1Ф0>*; (!)
5) в0 =-4-1Ф0а®к; 6) в0 = >/-ТФ0аО.
Равенства (!) для ЛСи-структуры примут вид:
1) ва = Баъс®с - Оаъ®; 2) въ5 = БаЬсос - Д^о; 3) воа = в° = ва° = в? = 0. (2)
Дифференцируя внешним образом (2), получим:
1) ава - -Л юс -БаасвЬ Л юс + ДсЬва ла+ Дасвьс ЛВ+
аЬІоі ]
1 Ю
2) ёвЫ - Б^ьсва ЛЮС + Ба^свЬ ЛЮС - ^ ЛЮ- Дв Л ю -
-Б
,Ь[са]®С Л Ю + БаЬНБ^°аЮс ЛЮа - (.БаЬс0 + ДаЬс К Л ®1
3) ав0а = йвоа = ав? = ав° = 0.
(3)
Расписывая вторую группу структурных уравнений римановой связности [3]
ав) +в'к Лв* = 24Х лю' , (4)
где } - компоненты тензора Римана-Крис-тоффеля, на пространстве присоединенной С-структуры, получим:
14 т>а л аа туаап ту <л\ ту!а лЬа . туЬаП ту
1) КЬа - АЬс - Б БПЬс ; 2) -- Аас + Б Бкас ;
3) Я? - Я®- - 2БаЬПБПса; 4) Я? - - -2БаЬ[са 1 - -Басаь;
7 Ьса ааЬ пса 7 Ьса
5) ЯЬса - ~2БаЬ[са] - ~БасаЬ ,
(5)
а остальные компоненты нулевые.
Ковариантные компоненты тензора Риччи на пространстве расслоения реперов вычисляются по формуле Si) - ~Як)к, которая на пространстве присоединенной С-структуры, в силу (5), принимает вид:
1) ^00 - 0; 2) V - Saо - 0; 3) ^ - ^ао - 0;
(6)
Тогда скалярная кривизна вычисляется по формуле:
X - 2АО, + 6БаЬсБаЬс. (7)
Рассмотрим некоторые тождества на тензор Римана-Кристоффеля ЛС^-многообразия.
1) Применим процедуру восстановления тождества [3], [6] к равенствам Я000а - Я0Ь0а - Я0а - 0, тогда получим
Я(,Ф2Х)-0, Xє X(М), (8)
т. е. с учетом равенства Ф2 - -а + п ® I, имеем Я(|,X)|-0, Xє X(М). (9)
2) Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Я°аЬ - я^ - - 0, получим:
Я(ф2X,Ф2У)-Я(ФX,ФУ)-0, X,Ує X(М). (10)
Последнее тождество с учетом равенства Ф2 --іа +п ®| и тождества (9) можно переписать в виде:
Я(X,У)|-Я(ФX,ФУ)|-0, X,У є X(М) (11)
3) Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам ЯЮаЬ - Я^- - я{-аЬ - 0, получим:
Я (ф2 X, Ф2У ) + Я (ФX, ФУ )- 0, X, У є X (М).
(12)
Последнее тождество с учетом равенства Ф2 --іа +п®| и тождества (9) можно переписать в виде:
Я(X,У)| + Я(ФX,ФУ)|-0, X,Ує X(М). (13)
Из (10) - (13) имеем
Я (X ,У )|- Я (ФX, ФУ )|-
- Я (X, Ф 2У )-0, X, У є X (М). (14)
4) Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Я°а0Ь - Яса0Ь - Яа0Ь - 0, получим:
Я (, Ф2 X )ф2У - Я (|, ФX )ФУ - 0, X ,У є X (М).
(15)
Последнее тождество с учетом равенства Ф2--іа +п ®| и тождества (9) можно переписать в виде:
Я (|, X )У - Я (|, ФX )ФУ - 0, X ,У є X (М).
(16)
5) Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам Я°аЬ - Яса0£ - ЯаЬ - 0, получим:
Я (, Ф2 X )ф2У + Я (|, ФX )ФУ - 0, X, У є X (М).
(17)
Последнее тождество с учетом равенства ф2 --іа +п®| и тождества (9) можно переписать в виде:
Я(|,X)У + Я(|,ФX)ФУ - 0, X,У є X (М).
(18)
Из(15) - (18)получим:
Я (|, X )У - Я(I,ФX)ФУ -
' - Я (, Ф2 X )ф2У - 0, X ,У є X (М). (19)
6) Рассмотрим отображение
Б: X (М )х X (М X (М),
определенное по формуле:
Б(X,У)- Б^^^ + Б‘ЛcXьУcгa, (20)
где {с; Баьс} - компоненты структурного тензора ЛС^-контактной структуры.
Это отображение определяет тензор типа (2,1), называемый композиционным, и определяет в модуле Х(М), задающую в ней структуру Q-алгебры [8], [9]. Отображение В обладает свойствами:
1) B (I, ?) = B (X z I) = 0;
2) B (ФX ,?) = B (X, Ф?) = -Ф o B (X, У). (21)
Поскольку В является тензором типа (2,1), то, по Основной теореме тензорного анализа, имеем
dBjk + Bljkei - Bikej - Bjfik = BjkО,
где ,i I - система функций, служащая на
пространстве расслоения всех реперов компонентами ковариантного дифференциала тензора В. Расписывая это равенство на пространстве присоединенной G-структуры, получим:
1\ Da ___ nah D ОЛ Da _______ j)adt D
1) Bbc,0 = D Bdbc; 2) Bbc,d = B Bthc;
З) = ^Чьі; 4) Bbac,o = ~BacdDdb; З) B?0 = B^D*;
б) B?c d = -BabtBtcd; 7) BbC o = -Dahc; 8) B? d = Bahcd;
hCzd
9) Bhac,o = Dahc; 10) Bbaczd = Bahcd; 11) B^ = BahdDdc;
12) Bkb —BabtBtai ; 1З) Bto -BacdDdb ;14) Bid - BactBt^'d ;
1З) B?Cz0 = DadBdbc; 1б) Bid, = BadtBtc,
bCzd adt
(22)
остальные компоненты нулевые.
Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам я! - -Б,Ьса - 0, ЯЬ- - -б^ - 0, ЯІ --б^, получим:
Я(ф2X,Ф2У)ф22 - Я(ф2X,ФУ)ф2 -
- я(ФX,ф2у)2 - я(ФX,фу)ф22 -
--Уф22 (Б)(Ф2X,Ф2У) + Уф2 (Б)(Ф2X,ФУ) +
+ Уф2 (Б)(ФX,Ф2У) +-Уф22 (Б)(ФX,ФУ),
X,У,2 є X (М). (23)
Последнее тождество с учетом тождеств
(14) и (19) можно переписать в виде:
Я (X,У)2 - Я(X,ФУ)Ф2 - Я^,У )Ф2 - Я^,ФУ)2 -
-¥Ф22 (Б)(Ф2X,Ф2У)-Уф2 (Б)(ф2X,ФУ)-
-Уф2 (Б)(ФX,Ф2У)-Уф2г (Б)(ФX,ФУ),
X,У,2є X (М).
7) Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам яЬ - А^С - Б0сПБкаЬ - о,
пО __ л Ос пОсПп _ Л Ос пО-сП п _ л гр &
ЯаЬс - АаЬ - Б БНаЬ , ЯаЬс - АаЬ - Б БАаЬ - 0 т. е.
Кь- - АС - В1СЧаЬ , т. е.
hab
R (Є[ Є )Є: - Л (^^a Є Є ) + Уєь (B) (Є: z Є[ ), получим: R (Ф2 X, Ф2? )2 Z + R (Ф2 X, Ф? )Z -
- Я (X,Ф2У )Ф2 + Я(ФX,ФУ)Ф22 -
- А(Ф22,Ф2X,Ф2У) + А(Ф22, ФX,ФУ) +
+ А (Ф2, Ф 2 X, ФУ)- А (Ф2, ФX, Ф 2У) +
+ УФ2У (Б)(Ф22,Ф2X) - Уфу (Б)(Ф22,ФX) --Уфу (Б) (Ф2, Ф2X ) - Уф2у (Б ) (Ф2, ФX ),
X ,У, 2 є X (М ). (24)
Полученное тождество с учетом тождеств (1.25), (14), (19) примет вид:
Я (X, У )2 + Я (X, ФУ )Ф2 - Я ф, У )Ф2 + Я ф, ФУ )2 -- 4А(2,X,У)-Уф2у (Б)(Ф22,Ф2X ) + УФУ (Б)(ф22,ФX) + +УФУ (Б)(Ф2,Ф2X) + Уф2у (Б)(Ф2,ФX), X,У,2є X (М).
8) Применяя процедуру восстановления тождества к равенствам я,Ьс - 2Б0аПБш - о, ЯІс - 2БааПБш, ЯІ - 2БЛаПБкЬс - 0, получим:
Я (ф 2 X, Ф 2У )ф 2 2 + Я (ф2 X, ФУ )Ф2 +
+ Я (X,Ф2У )Ф2 - Я(ФX,ФУ)Ф22 -
- -2Уф22 (Б)(Ф2X,Ф2У)-2Уф2 (Б)(Ф2X,ФУ)-
- 2Уф2 (Б )(ФX, Ф 2У) +
+Уф22 (Б)(ФX,ФУ), X,У,2є X(М). (25)
И это тождество с учетом тождеств (14) и
(19) перепишется в виде:
Я (X, У )2 + Я (X, ФУ )Ф2 + Я ^, У )Ф2 -
- Я(X,ФУ)2 - 2Уф22 (Б)(ф2X,Ф2У) +
+ 2УФ2 (Б)(ф2X,ФУ) + 2УФ2 (Б)(ФX,Ф2У)--Уф22 (Б)(ФX,ФУ), X,У,2 є X (М).
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Тензор римановой кривизны ЛС11-многообразия удовлетворяет следующим тождествам:
1) Я(I,X)|- 0; 3)Я(X,У)|-Я(ФX,ФУ)| - 0;
5) Я (X ,У )|+ Я ^, ФУ )|- 0;
6) Я (X,У)| - Я (ФX,ФУ )| - 0;
7) Я(|, X)У - Я(|,ФX)ФУ - 0;
9) Я (|, X )У + Я (|, ФX )ФУ - 0;
10) Я(|, X)У - Я(|,ФX)ФУ - 0;
11) Я (X,У)2 - Я (X, ФУ)Ф2 - Я(ФЯ ,У)Ф2 - Я (ФЯ, ФУ)2 --Уф22 (Б)(Ф2X,Ф2У)-Уф2 (Б)(Ф2X,ФУ)-
Уф2 (В)(ФХ,Ф2У)-Уф22 (в)(фХ,фу);
12) я (х,у)2 + к (х,фу)Ф2 - я (фх,у)Ф2 +
+ я (ФХ, ФУ )2 = 4А (2, X ,у )-
- УФ2У (В)(Ф22,Ф2X) + Уфу (В)(22,ФХ) + +Уфу (В )(Ф2, Ф2 X ) + Уф2у (В )(Ф2, ФХ);
13) я(X,у)2 + я (X,фу)Ф2 + я (ФХ,у)Ф2 - Я (ФХ,Фу )2 = = 2Уф22 (В)(ф2X,Ф2у) + 2УФ2 (В)(ф2X,фу) +
+ 2Уф2 (В)(ФХ,Ф2у)-Уф22 (В)(ФХ,Фу),
X ,у, 2 є X (М).
Следствие [2]. Тензор римановой кривизны АС-многообразия класса С11 удовлетворяет следующим тождествам:
1) я (|, X )| = 0; 2) я(X,у )|- я (ФХ,Фу)| = 0;
3) я (X ,у )| + я (ФХ, Фу ) = 0;
4) я (X ,у )| = я (ФХ, Фу ) = 0;
5) я(|,X)у - я(|,ФХ)фу = 0;
6) я (|, X )у + я (|, ФХ )фу = 0;
7) я (|, X )у = я (|, ФХ )фу = 0;
8) я (X ,у )2 = я (ФХ, фу )2;
9) я (X,у)2 - я (ФХ,у)Ф2 = 2А(2, X,у);
10) я (X, Фу )Ф2 + я (ФХ,у )Ф2 = 0; X, у, 2 є X (М).
В заключение рассмотрим контактные аналоги известных тождеств А. Грея кривизны почти эрмитовых многообразий. Таковыми являются тождества кривизны для почти контактных метрических многообразий:
ся1 : ^я (ф2 X ,Ф2у )ф2 2 ,Ф2^ = ^ я (ф2 X ,Ф2у )ф2 ,Ф^; ся2 : ^я (ф2X ,Ф2у )ф22,Ф2^ = (я (ФХ ,фу )Ф22,Ф V) + + ^я (ФХ, Ф2у )Ф2, Ф2^ + ^я (ФХ, Ф2у )ф22, Ф^;
сяз : (я (ф2 X ,Ф 2у )ф2 2 ,Ф V) =( я (ФХ ,фу )Ф2 ,Ф^};
X ,у, 2 є X (М).
На пространстве присоединенной б-струк-туры эти тождества равносильны следующим соотношениям:
CR о Rbacd = О, Ra-d = О, R^cd = О;
CR2 о Rld = О, Rld = О; CR3 о Rtcd = О.
(2б)
Поскольку R_аcd = о, то ЛС^-многообразие является АС-многообразием класса CR3. С учетом (5) соотношения (26) для ЛСи-многообра-зия примут вид:
С^ о БасЛЬ = о, БМБШ = 0; CR2 о Б^ = 0.
(27)
Пусть ЛС11-многообразие М является АС-многообразием класса CR2. Тогда согласно (27) Бас(ЬЬ = 0, т. е. согласно (23),
¥ф22 (б )(ф 2 х, ф2у )-Уф2 (б )(ф 2 X, фу )--уф2 (б )(фх , ф2у )Уф22 (б )(фх , фу ) = о,
X ,У, 2 е X (М. (28)
Пусть ЛС11-многообразие М является АС-многообразием класса CR1. Тогда согласно (27) БаШБш = 0. Свернем последнее равенство сначала по индексам а и с, а затем по индексам Ь и с1,
тогда получим БаЬсБаЬс = £ \БаЬс |2 = 0. Отсюда сле-
а,Ь,с
дует, что Бш = 0. И согласно следствию к предложению 4 получим, что ЛС11-многообразие класса CR1 является АС-многообразием класса С11. Подытожив изложенное выше, сформулируем следующую теорему.
Теорема 3. ЛС11-многообразие М является АС-многообразием класса CR3. ЛС11-многооб-разие класса CR1 является АС-многообразием класса С11. ЛС11-многообразие М является АС-многообразием класса CR2 тогда и только тогда, когда имеет место тождество
уФ22 (б )(ф 2 х, ф2у ) - Уф2 (б )(ф2 х, фу - --Уф2 (б )(фх , ф2у -
-Уф22 (б-(фх,ФУ) = 0, X,У,2 е X (М ).
21.10.2012
Список литературы:
1. Рустанов, А. Р. Дифференциальная геометрия почти контактных метрических многообразий класса С / А. Р. Рустанов,
Н. Н. Щипкова // Вестник ОГУ. - 2010. - № 9. - С. 65-68.
2. Рустанов, А. Р Тождества кривизны многообразий класса С / А. Р Рустанов, Н. Н. Щипкова // Вестник ОГУ. - 2011. -№ 6. - С. 169-171.
3. Кириченко, В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях / В. Ф. Кириченко. - М. : МПГУ, 2003. - 495 с.
4. Chinea, D. Claccification of almost contact metric structures / D. Chinea, C. Gonzalez // Annali di Matematica pura ed applicata. - (IV).V.CLVI. - 1990. - P. 15-36.
5. Кириченко, В. Ф. Контактные геодезические преобразования почти контактных метрических структур / В. Ф. Кириченко, Н. Н. Дондукова // Математические заметки. - 2006. - Т. 80, вып. 2. - С. 209-219.
6. Кириченко, В. Ф. Дифференциальная геометрия квазисасакиевых многообразий / В. Ф. Кириченко, А. Р. Рустанов // Математический сборник. - 2002. - Т. 193, № 8. - С. 71-100.
7. Goldberg, S. Intesrability of almost cosymplectic structures / S. Goldberg, K. Yano // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 31, № 2. -P. 373-382.
8. Кириченко, В. Ф. Квазиоднородные многообразия и обобщенные АН-структуры / В. Ф. Кириченко // Изв. АН СССР. -Т. 47, № 6. - С. 1208-1223.
9. Кириченко, В. Ф. Методы обобщенной эрмитовой геометрии в теории контактных многообразий / В. Ф. Кириченко // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. - М. : ВИНИТИ рАн СССР, 1986. - Т. 18. - С. 25-71.
Сведения об авторах:
Рустанов Алигаджи Рабаданович, доцент кафедры теории и социологии Московского педагогического государственного университета, кандидат физико-математических наук 119571, г. Москва, пр-т Вернадскаого, д. 88, корп. 1, ком. 1204, е-mail: [email protected] Щипкова Нина Николаевна, доцент кафедры геометрии и топологии Оренбургского государственного университета, кандидат физико-математических наук 460018, г. Оренбург, пр-т Победы, 13, ауд. 2534, тел. (3532)372532, е-mail:[email protected]
UDC 514.76
Rustanov A.R., Shchipkova N.N.
Е-mail: [email protected]; [email protected]
Differential geometry of almost contact metric manifolds of N^ class
This paper considers a new class of almost contact metric manifolds, which generalizes the class of АС-manifolds of the С11 class by the classification of Chinya and Gonzalez. The complete group of structural equations for NC11-manifolds derived, and components of Riemann-Christoffel tensor, Ricci tensor and the scalar curvature are computed basing on these equations. Properties of NC11-manifolds are derived. Some identities of the Riemann curvature tensor are derived, too.
Key words: almost contact metric manifold, Riemann curvature tensor, Ricci tensor, F-holomorphic sectional curvature tensor, cosymplectic manifold.
Bibliography:
1. Rustanov, A. R. Differential geometry of almost contact metric manifold of class С11 / A. R. Rustanov, N. N. Shchipkova // Vestnik OSU. - 2010. - № 9. - P 65-68.
2. Rustanov, A. R. The identities of the curvature manifolds of class С11 / A. R. Rustanov, N. N. Shchipkova // Vestnik OSU. -
2011. - № 6. - P. 169-171.
3. Kirichenko, V. F. Differential-geometric structures on manifolds / V. F. Kirichenko. - Moscow : Moscow State Pedagogical University, 2003. - 495 p.
4. Chinea, D. Classification of almost contact metric structures / D. Chinea, C. Gonzalez // Annali di Matematica pura ed applicata. - (IV).V.CLVI. - 1990. - P. 15-36.
5. Kirichenko,V. F. Contact geodesic transformations of almost contact metric structures / V. F. Kirichenko, N. N. Dondukova // Mathematical notes. - 2006. - Vol. 80, № 2. - P. 209-219.
6. Kirichenko, V. F. Differential geometry of quasi-Sasakian manifolds / V. F. Kirichenko, A. R. Rustanov // Sbornik :
mathematics. - 2002. - Vol. 193, № 8. - P. 71-100.
7. Goldberg, S. Integrability of almost cosymplectic structures / S. Goldberg, K. Yano // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 31, № 2. - P. 373-382.
8. Kirichenko, V. F. Quasihomogeneous manifolds and generalized en-structure / V. F. Kirichenko // Math. USSR Academy of Sciences. - Vol. 47, № 6. - P. 1208-1223.
9. Kirichenko, V. F. Methods of generalized Hermitian geometry in the theory of contact manifolds / V. F. Kirichenko // Results of science and technology. The problems of geometry. - Moscow : VINITI AN SSSR, 1986. - Vol. 18. - P. 25-71.
