CC BY
20
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070
когда структурный тензор тождественно равен нулю, т.е. Fab = 0.
Доказательство. Пусть S = (Ф, ^, ц, g) - С10-структура. Тогда согласно (7) S - структура класса CR2 тогда и только тогда, когда Rdbcd = Rabcd = 0, т.е. с учетом (6) FabFcd = 0. Полученное равенство свернем с объектом Fbh, тогда получим FabFcdFbh = 0. Свернем полученное равенство по индексам a и h, тогда получим FcdFabFab = 0, т.е. Fcd ^ъ^аъ12 = 0. Отсюда следует, что Fab = 0, т.е. структурный тензор равен нулю.
Обратно, пусть второй структурный тензор С10-структуры равен нулю, т.е. Fab = 0. Тогда Râbcd = —FabFcd = 0. Таким образом, С10 -структура S является структурой класса CR2. □
Теорема 3. С10 -многообразие является многообразием класса CR2 тогда и только тогда, когда оно локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Доказательство. Доказательство непосредственно следует из Теоремы 2, Предложения 1 и Следствия к Теореме 3.1 [6, стр. 413]. □
Теорема 4. Cw-многообразия класса CR1 являются С^-многообразиями класса CR2. Доказательство. Поскольку Rabcd = Rdbcd = 0 для С1о-многообразий, то С1о-многообразия являются класса CR1 тогда и только тогда, когда Rdbcd = 0, т.е. согласно Теореме 3, когда многообразие является класса CR2. □
Поскольку косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [6], предыдущие теоремы можно сформулировать следующим образом.
Теорема 5. Cw -многообразия являются многообразиями класса CR3. С1о-многообразия классов CR-^ и CR2 совпадают. С1о-многообразия являются многообразиями класса CR1 только тогда, когда многообразие является косимплектическим, т.е. когда оно локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую.
Список источников и литературы:
1. D. Chinea, C. Gonzalez. Classification of almost contact metric structures // Annali di Matematica pura ed applicata (IV). - 1990. - V, CLVI. - P. 15-36.
2. А.Р. Рустанов. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса Cw // Преподаватель XXI век. - 2010. - № 4. - С. 199-207.
3. А.Р. Рустанов. Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса С10 [Текст] / // Преподаватель XXI век. - 2014. - № 2, 2014, с. 207-213.
4. А.Р. Рустанов, З.А. Рустанов. С10-многообразия класса R4 // Преподаватель XXI век. - 2014. - № 3, 2014, с. 209-218.
5. В.Ф. Кириченко, Е.В. Кусова. О геометрии слабо косимплектических многообразий // Фундаментальная и прикладная математика, том 16, № 2, 2010, с. 33 - 42.
6. В.Ф. Кириченко. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. - М.: МПГУ, 2003.
© Рустанов А.Р., Рустанов З.А., 2017
УДК 514.76
Рустанов А. Р.
к.ф.-м.н., доцент Московский технологический университет г. Москва, Российская Федерация.
СВОЙСТВА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ С10-МНОГООБРАЗИЙ
В данной работе мы продолжаем изучение геометрии С1о -многообразий, начатое в работах [1] - [2].
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_
Интерес к этому классу многообразий вызван тем фактом, что этот класс многообразий обобщает хорошо изученный класс косимплектических многообразий. В данной статье мы исследуем свойства интегрируемости данной структуры, что составляет основную цель статьи. Исследование ведется методом присоединенной G-структуры совместно с инвариантным исчислением Кошуля.
Пусть М - гладкое почти контактное метрическое многообразие (коротко, ЛС-многообразие), размерности 2п + 1, Х(М) - Сот-модуль гладких векторных полей на многообразии М. В дальнейшем, все многообразия, тензорные поля и т.п. объекты предполагаются гладкими класса Ст.
Определение 1 [1]. ЛС-структура, характеризуемая тождеством
ЧХ(Ф)У = ^у(ч)ФХ + ч(У)ЧфХ{; X,YE Х(М). (1)
называется С10-структурой. ЛС-многообразие, снабженное С10 -структурой называется С10-многообразием.
Полная группа структурных уравнений С1о -структуры на пространстве присоединенной G-структуры имеет вид [1]:
1) du = Fabu>a Ашь + FabMa А шь; 2) du>a = Ашь + Fabub А ш; 3) dua = в%Ашь+ Fabu>b А
ш; 4) dвZ + в?Авcb = (Aabdc-FadFbc)(ücА(üd, (2)
где
раь = Fab = -^Ф0^; Fab + Fba = 0; Fab + Fba = 0; F^ = Fab; A$c] = Al£d] = 0. (3)
Тождество A^F^g] = FadFb[cFidig] называется первым фундаментальным тождеством С10-структуры [1].
Предложение 1 [1]. С1о -структура является косимплектической структурой тогда и только тогда, когда Fab = Fab = 0, т.е. F(X) = = 0,VXe X(M).
Поскольку со = ш0 = п*(у), где % -естественная проекция пространства присоединенной G-структуры на многообразие М, то из (2:1) следует, что контактная форма С1о-структура замкнута тогда и только тогда, когда Fab = Fab = 0, т.е. когда, согласно Предложения 1, С^-структура является косимплектической. Так как всякое косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [3], то доказана следующая теорема.
Теорема 1. С1о-многообразие имеет замкнутую контактную форму тогда и только тогда, когда она является косимплектическим многообразием, т.е. когда локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Напомним [3], что компоненты тензора Нейенхейса N<p(X, Y) = ^{Ф2[Х, Y] + [Ф^, ФУ] - Ф[Ф^, Y] -
4
Ф[^, ФУ]} на пространстве присоединенной G-структуры имеют следующий вид:
С = -^Ф?а,Ьр 2) N?b = -N°ä = -^Uy 3) №аЁ 4) N?0 = -N&
^io-^Kf' 5) = 6) Nb% = -N«b=flcb«b-£±cblo; 7) Nb% = -4-1Ф%,с1
Остальные компоненты этого тензора тождественно равны нулю.
С учетом (3) компоненты тензора Нейенхейса N(fr(X,Y) С^-структуры на пространстве присоединенной G-структуры примут вид:
1) Кь = \Pab' 2) N0b = lFab' 3) NHo = -Nfo = \Fab; 4) n£O = -N$b = ±Fab. (4)
Остальные компоненты этого тензора тождественно равны нулю.
Определение 2 [3]. Почти контактная метрическая структура называется интегрируемой, если N = 0. Теорема 2. Интегрируемая С^-структура является косимплектической структурой. Доказательство. Пусть Cw-структура является интегрируемой, тогда из определения 2 и (4) следует,
что Fab = Fab = 0. Тогда, согласно Предложения 1, С^-структура является косимплектической структурой.
□
Используя локальное строение косимплектических многообразий [3], предыдущую теорему можно
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_
сформулировать в следующем виде.
Теорема 3. Интегрируемая Cw -структура локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Известно [4], что задание тензора Нейенхейса равносильно заданию четырех тензоров N(1\ N(2\ N(3\ N(4\ а именно:
N(1\X,Y) - N(X,Y) + 2d^(X,Y)^; N(2\X,Y) - (СфХг\)(У) - (£фУ^)(Х); N(3\X) -(£ЦФ)(Х); N(4\X) - (£^)(X); X,Ye X(M), (5)
где £x - производная Ли в направлении векторного поля X.
Вычислим компоненты этих тензоров на пространстве присоединенной G-структуры. Учитывая, что ш — — n*(~q), где % - естественная проекция пространства присоединенной G-структуры на многообразие М, а также то обстоятельство, что на пространстве присоединенной G-структуры = = 0, — 1, согласно (2:1) находим, что на этом пространстве:
1) (dn®Otj = (dn®Ob = 0; 2) (dn®Olb = Fab; 3) (d^faE = раЬ: 4) (¿П®ОЪь = (dV®O0aB = 0; 5) (dV®O00a = (dV®O0a0 = 0; 6) (dV®O°0ä - (dV®O°ä0 - 0; 7) (dV®O°00 - 0. (6) С учетом соотношений (4) и (6) получим, что на пространстве присоединенной G-структуры, тензор N(1\X, Y) — N(X, Y) + 2dij(X, Y)% имеет следующие компоненты:
1) 2) (Н(»)°л=2г>: 3) Wb—lN^-lF»: 4) (N(1>)1 =
~(Nm)ti, = 1Fab ■ (7)
>0Ь 2'аЪ'
а остальные компоненты нулевые.
Определение 3 [3], [4]. Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если Ы(Х^) + = 0.
Понятие нормальности было введено Сасаки и Хатакеямой [5] и является одним из наиболее фундаментальных понятий контактной геометрии, тесно связанных с понятием интегрируемости структуры.
Теорема 4. Нормальная С^ -структура является косимплектической, а значит, локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Доказательство. Из определения 3 и (7) следует, что С^-структура является нормальной тогда и только тогда, когда РаЬ = РаЬ = 0. Согласно Предложения 1 С^-структура является косимплектической. А так как всякое косимплектическое многообразие локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую [3]. И поскольку, в случае односвязности многообразия эти локальные эквивалентности можно выбрать глобальными, то это завершает доказательство. □
Из теорем 2 - 4 следует
Теорема 5. Пусть 5 = (£, ц,Ф,д = (•;)) - АС-структура. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) Б = (%, ц,Ф,д = (у» - интегрируемая С10-структура;
2) Б = (%, ц,Ф,д = (у» - нормальная С10-структура;
3) Б = ц,Ф,д = (•,•)) - косимплектическая структура.
Теперь вычислим компоненты тензора Ы(2^(Х, У) = (£фХф(У) — (£фГф(Х), где £х - производная Ли в направлении векторного поля X.
Определение 4 [3]. Пусть М- гладкое многообразие, Х- векторное поле наМ, {Р1-} - соответствующая ему локальная однопараметрическая группа диффеоморфизмов многообразия, Т - тензорное поле типа (г, з) на М. Производной Ли тензорного поля Т в направлении векторного поля Х, называется тензорное поле £ХТ на М, в каждой точке р 6 М определяемое формулой
(£хТ)р = ^((Р-МЛР) — ТР). (8)
Оператор £х. Т(М) ^ Т(М), сопоставляющий тензорному полю Т 6 Т(М)тензорное поле £ХТ, называется оператором дифференцирования Ли в направлении векторного поля Х.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_
С учетом тождества [X, Y] = VXY — VYX и свойств оператора дифференцирования Ли, имеем:
£фх(Л)(У) = ЧФХ(Л)(У) + л[ЫФ)Х], VX, Y Е Х(М). (9)
Рассмотрим характеристический вектор С10-многообразия. Поскольку £ является тензором типа (0,1), то его компоненты { Ç '} на главном расслоении В(М) реперов над М удовлетворяют дифференциальным уравнениям [4]:
d? — tkelk = $ej, (10)
где { (¡j} - система функций, служащая компонентами ковариантного дифференциала вектора £ в связности V. Расписывая (10) на пространстве присоединенной G-структуры, с учетом соотношений ¿¡а = = 0,1;° = 1,и вида тензорных компонент формы римановой связности [1]:
1) еа = 0; 2) ваа = 0; 3) ва = — Fabœb; 4) в* = 5) в° = Fabub; 6) в° = Fabœb; 7) в° =
0; 8)ej + ej = o, (11)
получим:
1)Çab = —Fab; 2)^ = —Fab, (12)
а остальные компоненты нулевые.
Теорема 6. Характеристический вектор £ С10 -структуры является вектором Киллинга.
^ab + Fba
0, УХ, Y Е Х(М), т.е. £ - вектор Киллинга. □
Аналогично для контактной формы ^ С10-многообразия:
Доказательство. Поскольку FаЪ + Fba = 0, Fab + Fba = 0, то + = 0, т.е. (VXÇ, Y) + (X, VYÇ) =
1)y]a,b = —Fab; 2)7]^ = —Fab, (13)
а остальные компоненты нулевые.
Теорема 7. Контактная форма ^ С10-структуры является формой Киллинга.
Согласно соотношению (9), имеем: N(2\X,Y) = £фх(г])(Г) — £0y(t])(X) = ^0x(])(Y) + î][Vy(®)X} — ^y(v)(X) — t][Vx(®)Y}, VX, Y Е Х(М), т.е.
N(2\X,Y) = Ъфх(г]№ + ]{Vy(<Ï)X} — ^Y(T])(X) — ]{Vx(<ï)Y},VX,Y Е Х(М). (14)
Из (14) следует, что N(2)(X, Y) = —N(2)(Y,X), т.е. тензор N(2)(X,Y) кососимметричен, т.е. является 2-формой.
На пространстве присоединенной G-структуры тождество (14) примет вид:
= r]j,k®k — Vi,k*>f + VkQkj — Vktfi. (15)
С учетом соотношений ]а = ]а = 0,]° = 1 и вида матрицы Ф, из (15) имеем:
1) N™ = 44—iFab; 2) N$ = —44=ÎFab, (16)
остальные компоненты нулевые. Из (16) непосредственно следует следующая
Теорема 8. На С10-многообразии N(2)(X, Y) = 0 тогда и только тогда, когда Fab = Fab = 0. Из Предложения 1 и Теоремы 8 следует
Теорема 9. С10 -многообразие с N(i)(X,Y) = 0 является косимплектическим многообразием. Используя локальное строение косиплектического многообразия [3], теорему 9 можно сформулировать следующим образом:
Теорема 10. С10-многообразие с N(2)(X,Y) = 0 локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Рассмотрим теперь тензор N(3)(X) = L^)(X) = £^(<&X) — ФL^X = [Ç, <^X] — 0[£X] = V^(<bX) —
— — VxO = ^(p)X + ФЧ^ — — ФЧ^ + ФУХ% = V№)X — + . Таким образом, на С10-многообразии:
N(3\X) = V^)X — Чфх% + ФVXÇ,VX Е Х(М). (17)
На пространстве присоединенной G-структуры тождество (17) равносильно соотношениям:
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_
V (Ni3))l = -2J=iFab; 2) (N(3))l = 24-1Fab, (18)
остальные компоненты нулевые. Из (18) и Предложения 1 следует
Теорема 11. На С10-многообразии N(3\X) = 0 тогда и только тогда, когда Fab = Fab = 0, т.е. когда многообразие является косимплектическим многообразием.
Используя локальное строение косиплектического многообразия [3], теорему 11 можно сформулировать следующим образом:
Теорема 12. С10 -многообразие с N(3)(X) = 0 локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
И, наконец, рассмотрим тензор N(4)(X) = (£^)(X);VX Е X. Имеем N(4)(X) = (£^)(Х) =
ф(х)) - = - Ш.х\) = v&W) - + п(УхГ) = ЪШХ) + v(y%x) - nfyx) + ntfxÖ = ЪШХ) + ntfxÖ = ^(v)(X), т.е.
N(4\X) = V^(-q)(X); VXEX. (19)
С учетом (13), тождество (19) на пространстве присоединенной G-структуры равносильно соотношениям: (N(4)y = 0, т.е. N(4\X) = 0. Таким образом, имеет место следующая Теорема 13. На С10 -многообразии N(4\X) = 0.
Результаты теорем 1 -5, 8 - 12 можно сформулировать в виде следующей основной теоремы Основная теорема. Пусть М - С10-многообразие. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) С1о -многообразие имеет замкнутую контактную форму;
2) С10-многообразие имеет интегрируемую С10-структуру;
3) С10-многообразие имеет нормальную С10-структуру;
4) Fab = Fab = 0;
5) N(2\X,Y) = 0;
6) N(3)(X) = 0;
7) М - косимплектическое многообразие;
8) локально эквивалентно произведению келерова многообразия на вещественную прямую. Если многообразие односвязно, то указанные локальные эквивалентности можно выбрать глобальными.
Список использованной литературы:
1. Рустанов А.Р. Тождества кривизны почти контактных метрических многообразий класса Сю // Преподаватель XXI век, №4, 2010, с. 199-207.
2. Рустанов А.Р. Свойства изотропности тензора кривизны почти контактных метрических многообразий класса C10 // Преподаватель XXI век, №2, 2014, с.207-213.
3. Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Издание второе дополненное. Кириченко. Одесса: «Печатный дом», 2013, 458 с.
4. Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry. // Lect. Notes in Math., 509, 1976, p. 1-146.
5. Sasaki S., Hatakeyama J. On differentiable manifolds with certain structures which are closely related to almost contact structure. II. // Tohoku Math. J., 1961, 13, №2, p. 281 - 294.
© Рустанов А.Р., 2017
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_
ХИМИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 661.15
К.А. Бубнов
студент 2 курса института энергетики и автоматизации
ВШТЭ СПБГУПТД Г. Санкт-Петербург, Российская Федерация.
РЕЦИКЛИНГ ФОСФОРА С ЦЕЛЬЮ ПЕРЕРАБОТКИ СТОЧНЫХ ВОД ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ ФОСФАТНЫХ УДОБРЕНИЙ
Аннотация
Ежегодно население земли растет на 75 млн человек, то есть к 2025 году население планеты будет примерно 8 млрд. В связи с этим нужно производить больше еды, чтобы прокормить растущее население планеты. Но, к сожалению, ежегодно плодородность почвы стремительно попадает и ее надо постоянно удобрять, чтобы производить нужное количество продуктов. Известно, что фосфорные удобрения считаются одними из самых экологически чистых, но запас этого элемента неуклонно сокращается, поэтому актуальна проблема рециклинга фосфора.
Ключевые слова
Рециклинг, фосфор, возобновляемые ресурсы, пиролиз, экологичность.
Рециклинг - это процесс возврата в промышленное производство материалов, которые содержатся в отходах промышленности, иначе говоря, переработка отходов дальнейшим использованием в производстве. Технология соответствует трем основным требованиям: технологическая реализуемость; экономическая целесообразность; соответствие современным экологическим требованиям.
Фосфор является одним из элементов, необходимым для полноценного роста растения. В отличие от калия и азота, фосфор обеспечивает контроль над постоянными обменными процессами, грубо говоря -является источником энергии. Растения потребляют его главным образом в виде анионов ШР04~;(или HPO42") из солей ортофосфорной кислоты (H3PO4), а также из солей полифосфорных кислот (после их гидролиза). При достаточном питании растения фосфоритами, рост и плодородность увеличиваются на 25-30%, что делает фосфорные удобрения незаменимыми в сельском хозяйстве. [1]
В настоящее время мировые запасы фосфора, которые потом можно переработать в удобрение, оценивается в 71 млрд/тонн. Учитывая растущую тенденцию спроса, этих запасов хватит не более чем на 50 лет, при условии такой же интенсивности использования [2]. Для решения этой проблемы можно использовать рециклинг фосфора.
Известно, что фосфор содержится не только в рудах, но и в фекалиях. Отходы человеческой жизнедеятельности попадают на очистные сооружения. В осадке сточных вод скапливается фосфор[3]. В осадке его доля составляет 18-22%. Для уменьшения веса конечного продукта, осадок проходит через технологический процесс, состоящий из трех этапов (таблица 1).
Таблица 1
Вес продукта при разных этапах технологического процесса
Продукт передела Вес, кг
Иловый осадок, влажность 60% (начальный продукт) 1000
Иловый осадок, влажность 20% 500
Ококсованный иловый осадок 170
Конечный продукт 100
Первый этап заключается в пеллетировании механический обезвоженного илового осадка с дальнейшей его сушкой в барабанной сушилке. Благодаря этому этапу из первоначального продукта выходит лишняя влага, происходит уплотнение ила, повышается содержание сухого вещества в осадке до 40%,
