Консенсус-значение для игр с коалиционной структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.833.5 ББКВ183 + 3-63

КОНСЕНСУС-ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ИГР С КОАЛИЦИОННОЙ СТРУКТУРОЙ1

Зинченко А.Б.2, Мироненко Г.В.3, Провоторова П.А.4

(Южный Федеральный Университет, Ростов-на-Дону)

Выделен класс ТП-игр, для которых почти все концепции решения, кроме консенсус-значения, дают парадоксальные результаты. Доказано, что это игры большого босса. Предложено обобщение консенсус-значения для игр с коалиционной структурой.

Ключевые слова: коалиционная структура, коалиционное значение, консенсус-значение, игра большого босса, аксиоматизация.

Введение

Коалиционные структуры (объединения) возникают при формировании картелей, синдикатов, холдингов, политических альянсов и т.д. Такие ситуации моделируются кооперативными играми, позволяющими выделить выгодные коалиции и «справедливо» распределить прибыль между игроками. Если коалиции образовались до начала игры, т. е. известно разбиение С = {С1,... Ст} множества игроков N, то возможны следующие сценарии.

- Игроки каждой коалиции Ср € С делят между собой полезность V(Ср), которую в состоянии получить коалиция Ср независимо от поведения других игроков.

1 Текст приводится в соответствии с изданием «Математическая теория игр и ее приложения. -2010. - Т. 2. № 1. - С. 93-106».

2 Александра Борисовна Зинченко, кандидат физикоматематических наук, доцент ([email protected]).

3Георгий Викторович Мироненко, студент ([email protected]).

4 Полина Александровна Провоторова, студент ([email protected]).

- Все игроки объединяются, но внутри максимальной коалиции N образуются подкоалиции С1,..., Ст (союзы [5], группы давления [9]), действующие при дележе V^) как единый игрок. Затем выигрыш каждой коалиции Ср € С распределяется между ее игроками.

Будем рассматривать игры второго типа. Оуэн предложил концепцию решения (коалиционное значение Оуэна [5]), дважды использующую значение Шепли: в игре между коалициями и играх внутри коалиций. Позже были введены коалиционные значения, сочетающие значение Шепли с взвешенным значением Ше-пли, значение Банзафа с значением Шепли, значение Шепли с р-биномиальным значением (р € [0,1]) и др. Ссылки можно найти, например, в [2]. Относительно недавно для игр с трансферабель-ной полезностью (ТП-игр) было предложено консенсус-значение

[3], косвенно учитывающее возможность образование подкоали-ций внутри коалиции N.

В данной статье выделен класс имеющих приложения ТП-игр, для которых основные концепции решения приводят к парадоксальным результатам, а консенсус-значение согласуется с моделируемой ситуацией и доминирует по Лоренцу другие решения. Доказывается, что такие игры соответствуют вершине многогранника (0-1)-редуцированных игр большого босса. Предлагается обобщение консенсус-значения для игр с коалиционной структурой. Доказывается, что коалиционное консенсус-значение однозначно определяется аксиомами эффективности, аддитивности, внутренней симметричности, внешней симметричности и свойством нейтрального игрока.

Вторая часть статьи содержит необходимые определения. В третьей части описано консенсус-значение ТП-игры, сформулированы его новые свойства. Четвертая часть посвящена коалиционному консенсус-значению и его аксиоматическому обоснованию.

1. Определения

Игрой с трансферабельной полезностью называется пара (Ж, V), где N = {1,...,п} - конечное множество, V е См = {$ : 2м ^ Л | ^(0) =0} - характеристическая функция. Игру (Ж, V) часто отождествляют с характеристической функцией. Если V, ш е См и а е Л, то V+ш е См и «V е См, где (V+ш)(5) = V(5) + ш(5), («V)(5) = «V(5), 5 С N. Игроки г, ^ е N симметричны в (Ж, V), если V(5 и г) = V(5 и j), 5 С N \ {г, ^}. Игрок г е N нейтрален в (^ V), если V(5 и г) — V(5) = V(г), 5 С N \ г.

Будем обозначать: ж(5) = ^ Жг, X - вектор, полученный

гей

из ж е Км упорядочением координат по неубыванию, в =| 5 |

- мощность множества 5, Рм = {$ : 2м ^ {0,1} | ^(0) =

0,д^) = 1} - множество простых игр, N6^, V) - множество нейтральных игроков игры (^ V), I(^ V) = {ж е Лм | ж(N) = V^); жг ^ V(г), г е N} - множество дележей, С(^ V) = {ж е

I (N, V) | ж(5 ) ^ V (5), Б С N} - С -ядро, К^^, V) - переговорное множество (для коалиции N [1], п(^ V) - N -ядро [6]. Б-ядром ^(^ V) игры (^ V) называется множество всех недоминируемых дележей (дележ ж доминирует дележ у, если существует такая коалиция 5 С N, что ж(5) ^ V(5) и жг > уг для всех г е 5).

Если V(N) ^ v(Б) + ^ V(г), 5 С N то ^(^ V) = С(N, V).

геМ\5

Пусть ж, у е Лм и ж(N) = у^). Говорят, что ж доминирует по

р р

Лоренцу у, если £ Жг ^ ^ уг, р е {1,..., п — 1} и, по крайней

г=1 г=1

мере, одно из неравенств - строгое. Игра (^ V) называется игрой в (0-1)-редуцированной форме, если V^) = 1, V(г) = 0 для г е N,

0 ^ V(5) ^ 1 для 5 С N. Игра (^ V) квазисбалансирована, если

ш(^ V) ^ Мм(N, V) и ^ тг(^ V) ^ V(N) ^ ^ Мм(N, V),

геМ геМ

где

(1) Мй(N, V) = V(5) — v(5 \ г), г е 5 С N,

^М/

З е 5\г

(2) Ші(Ж, V) = шах^(£) — ^ М^(Ж, V)), і є N.

Игра (Ж, V) является (0-1)-редуцированной игрой большого босса с игроком 1 в качестве босса, если

(3) 0 < V(Я!) < V(52) < 1, 5 С £2 С Ж, в1 ^ 2,

(4) V(Я) =0, в = 1 или 1 € £,

(5) V(Ж \ 5) - £ V(Ж \ г) < в - 1, 1 € 5, 2 < в < п.

г € 5

Если упорядочить все непустые коалиции (£1,..., £^), то игре (Ж, V) соответствует вектор линейного пространства Яй, д =

2П — 1, г-я координата которого равна V(£г). Множество решений системы (3)-(5) есть многогранник в (многогранник

(0-1)-редуцированных игр большого босса с игроком 1 в качестве босса).

Значением называется функция ^>, которая каждой игре (Ж, V) ставит в соответствие вектор <^(Ж, V) € . Множество значе-

ний игры (Ж, V) обозначим через Ф(Ж, V). Приведем некоторые аксиомы для <р € Ф(Ж, V).

Аксиома 1. (эффективность). ^ ^>г(Ж, V) = v(N).

г € N

Аксиома 2. (симметричность). £сли игроки г, ^ € Ж симметричны в (Ж, V), то ^г(Ж, V) = ^ (Ж, V).

Аксиома 3. (аддитивность). <^(Ж, V + ш) = ^>(Ж, V) +

^(Ж,ш).

Аксиома 4. (свойство нейтрального игрока). Если г €

^^)- Е КЛ

Же(Ж, V), то <^г(Ж, V) = V(г) +------^-------.

Значение Шепли вЛ и равномерное значение е игры (Ж, V),

V € , определяются формулами

(6) вЛ(И, V) = £ (п — в)!(в — 1)!М?(И, V),

.?«' п!

v(Ж) — Е v00

(7) ег(Ж, V) = V(г) +------------------------, г € Ж,

п

а т-значение т квазисбалансированной игры (Ж, V) - системой

(8) £ тг(Ж^)= v(Ж^

г € N

т(Ж, V) = Ат(Ж, V) + (1 — А)МN(Ж, V), А € [0,1].

2. Консенсус-значение

Консенсус-значение [3] является обобщением решения игры двух лиц. Пусть п = (п1,..., пп) - перестановка Ж, П(Ж) -множество всех перестановок. Вначале разыгрывается игра двух лиц: игрока пп и коалиции £га-1 = {п1,..., пп-1}, действующей как единый игрок. Игрок пп получает хПп = V(пп) + ,

где Дп = v(N) — V(£га-1) — V(пп), а коалиция £га-1 выигрывает ж?п-1 = V(5п-1) + . Игрок пп выходит из игры. В новой

игре между пп-1 и коалицией £га-2 = {п1,..., пп-2} выигрыши равны: Жпп_1 = V(пп-0 + ^г1, х?п_2 = V(5П-2) + ^т-1, где Дп-1 = ж?п-1 — v(Sra-2) — V(пп-1). Игрок пп-1 выходит из игры и т.д. Консенсус-значение к есть среднее векторов = (ЖП1 ,...,Жп„): к(Ж,V) = ^ . Доказано [3], что

' п€ П^)

консенсус-значение однозначно определяется аксиомами 1-4 и (9) к(Ж, V ) = е(^ )++ вЛ(^ >,

следовательно к(Ж, V) балансирует два крайних принципа распределения дохода от кооперации: эгалитарного, реализуемого е(Ж, V), и утилитарного принципа, отраженного в вЛ(Ж, V). Приведем примеры, обобщение которых позволит сформулировать новые свойства значения к.

Пример 1. («Инвестиционная игра»). Рассмотрим проблему кооперативного инвестирования ([8], стр. 92) с тремя инвесторами и исходными капиталами 60, 40, 40 д.е. Имеются следующие возможности: 10% банковский депозит и инвестирование производственного процесса, приносящего 20% прибыли. Начальный вклад в производство не может быть меньше 100. Этой ситуации соответствует игра (Ж, V), где

Ж = {1, 2, 3}, V(1) = 66, V(2) = V(3) = 44,

V(1, 2) = V(1, 3) = 120, V(2, 3) = 88, V(Ж) = 164.

Устойчивым в [8] назван единственный дележ хс = (76, 44, 44)

С-ядра С (Ж, V). Положив v/(£) = V (5) — ^ V (г), 5 С Ж, пег €5

рейдем к стратегически эквивалентной игре (Ж, V'):

(10) V'(г) = 0, г € ЖУ(2, 3)=0,v/(1, 2) = ^(1, 3) = ^(Ж) = 10. Получаем С (Ж, V') = {(хс)'}, (хс)' = (10, 0, 0). Теперь более наглядна парадоксальность «ядерного» распределения: вся прибыль от кооперации достается первому инвестору, несмотря на то, что самостоятельно он может получить только v/(1) = 0. Вектор Ше-пли вЛ(Ж, V') = (20, 5, |) также преувеличивает роль первого игрока. Игра (Ж, V') квазисбалансирована, т. к. С (Ж, V') = 0. Согласно (1) и (2) М^ (Ж, V') = 10, М^ (Ж, V') = М|у (Ж, V') = 0, т(Ж, V') = МN(Ж, V'). Из (8) получаем, что т(Ж, г/') = (хс)'. Из вложения п(Ж, V') С С (Ж, V') имеем п(Ж, V') = (хс)'. При дележе к(Ж, V') = (5, 5, 5) первый игрок получает половину v'(N), а другая половина эгалитарно распределяется среди остальных игроков. Нетрудно проверить, что к(Ж, V') доминирует по Лоренцу вЛ(Ж, V'), (хс)', а следовательно п(Ж, V') и т(Ж, V'). •

Пример 2. Игру (Ж, V) ([3], стр. 691), где

Ж = {1, 2, 3}, V(г) =0, г € Ж, V(2, 3) = 0,

(11) v(1, 2) = v(1, 3) = v(N) = 1,

можно интерпретировать как игру «Перчатки» (или «Ботинки»), в которой первый игрок имеет левую перчатку (левый ботинок), а остальные игроки имеют по одной правой перчатке (правому ботинку). Рыночная цена комплекта - 1 д.е. С (Ж, V) = {хс}, хс = П(Ж, V) = т(Ж, V) = (1, 0, 0), вЛ(Ж, V) = (2,1, 6), к(Ж, V) = (1, 4, 1). Игра (11) является (0-1)-редуцированной формой игры (10), следовательно, эти игры стратегически эквивалентны и все предыдущие рассуждения справедливы также для (11). •

Пример 3. («Взвешенная мажоритарная игра»). Три акционера владеют 50, 30 и 20 акциями. Любое решение может быть утверждено акционерами, имеющими простое большинство акций. Эта взвешенная мажоритарная игра (51; 50, 30, 20) совпадает с игрой «Парламент» (три партии, число голосов: 50, 30, 20) и игрой (11). •

Обобщением (11) является игра (Ж, Ь1), где п ^ 3,

(12) Ь‘(5) = /“■ если * = 1 или 1 €5-

1, в остальных спучаях.

Предположение 1. (Ж, Ь1) является игрой большого босса с игроком 1 в качестве босса и соответствует крайней точке многогранника ВП.

Доказательство. (Ж, Ь1) соответствует крайней точке гиперкуба К = {V € | 0 < V(5) < 1, 0 = 5 С Ж} и В^ С К,

поэтому достаточно доказать, что Ь1 € В^. Условие (4) выполняется для Ь1 по определению. Пусть 51 С 52 С Ж, в1 ^ 2. Если 1 € 52, то Ь1(52) = 1 и Ь1(51) € {0,1}, следовательно справедливо (3). Если 1 € 52, то 1 € 51 и Ь1(51) = Ь1 (52) = 0, т. е. условие (3) также выполняется. Подставляя Ь1 в (5) и учитывая, что Ь1(Ж \ 5) = Ь1(Ж \ г) = 1 для г € 5 и коалиций 5, удовлетворяющих условиям 1 € 5, 2 ^ в < п, получаем верное неравенство в ^ 1.

Предположение 2. Для игры (Ж, Ь1) справедливо:

(a) С(Ж,Ь1) = Д^Ь1) = К(1г)(Ж,Ь1) = {хс}, хс = П(Ж,Ь1) = т(Ж,Ь1) = (1,0,...,0);

(b) вадб1) = (п-1,пП=1),...,щн-у),к(Ж,Ь1) =

(1 1 )•

' 2 , 2(п-1), . . . , 2(га-1) )’

(c) к(Ж, Ь1) доминирует по Лоренцу хс, вЛ,(Ж, Ь1), п(Ж, Ь1) и т (Ж,Ь1).

Доказательство. (а) С (Ж, Ь1) = {х € | х(Ж) =

V(Ж); 0 ^ хг ^ Мгм(Ж, Ь1), г € Ж \ {1}} [7]. Следовательно С (Ж, Ь1) = {хс}, хс = п(Ж, Ь1) = (1,0,..., 0). В игре (Ж, Ь1) переговорное множество совпадает с С-ядром, Ж-ядро совпадает с т-значением и центром С-ядра [7]. Кроме того, выполняется достаточное условие совпадения С-ядра и ^-ядра.

(Ь) Так как ег(Ж, Ь1) = П, г € Ж, и М?(Ж, Ь1) = 0 для 5 = {1}, М?(Ж, Ь1) = 1 в остальных случаях, то векторы вЛ,(Ж, Ь1) и к(Ж, Ь1) легко находятся из (6), (9)

(с) Доказываемое утверждение вытекает из неравенств 2(п1-1) > га(га1-1) > 0 и предположения о количестве игроков (п ^ 3) в игре (Ж, Ь1).

3. Коалиционное консенсус-значение

Пусть С = {С1,..., Ст} - коалиционная структура (разбиение Ж), 5 С Ср € С, Ср? = {С1,..., Ср-1,5, Ср+1,..., Ст}

- разбиение Ж \ (Ср \ 5), М = {1 | Сг € С} - множество индексов компонент структуры С, ^/С)(^) = v( У Сг) для

г е Я

всех ^ С М, ^/Ср)(^) = V(5 и и Сг) для ^ э р и

г е Я\р

(v/Cp?)(^) = ^/С)(^) для остальных ^ С М. йгра с коалиционной структурой (Ж, V, С) распадается на игру (М, v/C) между коалициями Ср, р € М, и редуцированные игры (Ср,^) внутри коалиций. Предполагается, что в качестве концепции решения внешней игры выбрано ф € Ф(М, v/C), а во внутренних играх

- р € Ф(Ср,^). Вес коалиции 5 в (Ср^р) равен ее выигрышу во вспомогательной игре (М, v/C?), т. е. Vp(5) = фр(М, v/C?). Партнеры 5 по структуре С в игре (М, v/C?) не участвуют. коалиционное значение / ставит в соответствие каждой игре (Ж, V, С) вектор f (Ж, V, С) € , т. е. /г(Ж, V, С) = (Ср, ^ ), г € Ж.

Коалиционным консенсус-значением кв назовем коалиционное значение, при вычислении которого в качестве функций р и ф используется консенсус значение, т. е.

(13) квг(Ж, V, С) = кг(Ср, V*), г € Ср € С, где

(14) V*(5) = кр(М, v/C?), 5 С Ср.

Лемма 1. Нейтральный в (Ж, V) игрок г € Ср € С нейтрален в редуцированной игре (Ср, V*) тогда и только тогда, когда Др(М, v/C) = 0, где

(15) Др(М, v/C) = V(Ж \ Ср) - £ V(Сг).

1 е М \р

Доказательство. Пусть г € СрПЖе^, V) = 0. Нужно показать, что условие Др(М, v/C) = 0 необходимо и достаточно для выполнения соотношений vp:(г и 5) — vp:(5) = ^ (г), 5 С Ср \ г.

тт «^„(М,^/С? )+е„(М,^/С?)

Из (14) и (9) имеем vpk(5) = —р----------------------------р 2 -^. Используя

(6), (7), (1) и учитывая нейтральность игрока г в (Ж, V), получаем vpk(г и 5) — ^ (5) = V(г) для всех 5 С Ср \ г. Рассмотрим

игру (М, v/cPг}) между компонентами структуры Ср{г}. Пусть

^ С М\р, тогда ^/Ср^)^и^) — ^/Ср^)^) = V(г и и Сг) —

гея

V (и Сг) = V (г) = ^/Ср^Хр), т. е. одноэлементная коалиция

гея

{г} есть нейтральный игрок в (М, v/cPг}), консенсус-выигрыш

которого определяется аксиомой 4: кр(М, v/cPг}) = vp:(г) = ^(ги р сг)-Кг)- ^2 ^(с0 ^(М\ср)- ^ гу(сг)

V (г) + ^2т 1еМ\р-------------- = V (г) +--------^-------- =

V(г) + Ар(^2тГ/С). Равенство V*(г) = V(г) и доказываемое утверждение, выполняются тогда и только тогда, когда Др(М, v/C) =

0.

Сформулируем необходимые аксиомы для коалиционного значения /.

Аксиома 5. (эффективность). £ /г(Ж, V, С) = V(Ж).

геМ

Аксиома 6. (аддитивность). /(Ж, V + ш,С) = /(Ж, V, С) + / (Ж, и, С).

Аксиома 7. (внутренняя симметричность). £сли игроки г,^ € Ср € С симметричны в (Ж, V), то /г(Ж, V, С) =

/ (Ж, V, С).

Аксиома 8. (внешняя симметричность). £сли игроки

р, г € М симметричны в (М, v/C), то ^ /г(Ж, V, С) =

геср

£ /г(Ж, V, С).

гесг

Аксиома 9. (модифицированное свойство нейтрального игрока). Пусть р € М, г € Ср П Же(Ж, V) = 0. £сли Ср С Же(Ж, V)

то /г(Ж, V, С) = V(г) + Ар(2Мт/С), где Др(М, v/C) определено

(15). Если Ср ^ Же(Ж, V) и Др(М, v/C) = 0, то

кр(М, v/C) — £ кр(МуСрШ)

(16) /г(Ж, V, С) = V(г) +------------^------------------.

Заметим, что, формулы для v/C и v/cPj}), а также (9), (6), (7) и (15) выражают приведенные в аксиоме 9 выигрыши нейтральных в (Ж, V) игроков через функцию V. По лемме 1 нейтральный в (Ж, V) игрок г € Ср € С может уже не быть нейтральным в редуцированной игре внутри коалиции Ср. Аксиома 9 определяет выигрыши тех игроков из Же(Ж, V), которые принадлежат коалициям Ср, удовлетворяющим некоторым условиям. Если Ср состоит только из нейтральных в (Ж, V) игроков, то г € Ср получает V(г) и «добавку» Ар22М)’)т'/С), одинаковую для всех игроков из Ср. Если не все игроки из Ср нейтральны в (Ж, V) и Др(М, v/C) = 0, то г € Ср П Же(Ж, V) получает V(г) плюс 2^-ю часть разности между консенсус-выигрышем кр(М, v/C) коалиции Ср в игре между компонентами структуры С и суммой консенсус-выигрышей кр(М, v/CJ{j}) игроков из Ср, которые они получают, играя самостоятельно против всех коалиций Сг С,

I € М \ р. И в этом случае «добавка» к V(г) одинакова для всех г € Ср П Же(Ж, V). Формула (16) аксиомы 9 получается из формулы выигрыша нейтрального игрока в аксиоме 4 заменой функции

V на vp: . Нетрудно проверить, что при одновременном выполнении условий Ср С Же(Ж, V) и Др(М, v/C) = 0, обе формулы из аксиомы 9 принимают вид /г(Ж, V, С) = V(г), г € Ср.

Лемма 2. Коалиционное значение к8 удовлетворяет аксиомам 5-9.

Доказательство. Из определения кз, свойств консенсус-значения к и [3] следует, что кз удовлетворяет аксиомам 5-8. Рассмотрим последнюю аксиому. Пусть г € Ср € С - нейтральный игрок в (Ж, V).

1. Если Ср С Же(Ж, V), т. е. Ср состоит только из нейтральных в (Ж, V) игроков, то V(Ср) = £ V(_?) и V(Л и 5) — V(Л) =

ЗеСР

V(5), 5 С Ср, К С Ж \ Ср. Таким образом, любая коалиция

0 = 5 С Ср является нейтральным игроком во внешней игре между компонентами структуры Ср. При доказательстве леммы

1 было показано, что vp:(г) = V(г) + . Аналогично доказываются соотношения vpk(5) = V(5) + Ар(М,т^/С), 0 = 5 С Ср.

Пусть и, и € и и(5) = V(5), и(5) = ). То-

гда vpk = и + и. Все игроки в (Ср, и) симметричны, поэтому

кг(Ср,и) = ^’Г). В (Ср, и) все игроки нейтральны и по

КСр)- Е КЛ

аксиоме 4: кДСр,и) = V(г) +--------2С—р---- = V(г). Из (13) и аксиомы 3 имеем кзДЖ, V, С) = кг(Ср, Vp ) = V(г) + , т. е.

кз удовлетворяет аксиоме 9.

2. Если Ср ^ Же(Ж, V) и Др(М, v/C) = 0, то игрок г нейтрален в (СрУ) и vp:(г) = V(г). Из (13) и аксиомы 4 по-

^(ср)- Е ^(Л

лучаем к8г(Ж, V, С) = vp:(г) +----------2;“------. Согласно (14):

vp (Ср) = кр(М, v/C), vk(;) = кр(М, v/Cгlj}), j € Ср. Следовательно для кз выполняется (16).

При обоснования коалиционного консенсус-значения будем использовать игру (Ж, ит) единогласия коалиции Т, где 0 = Т С Ж, ит (5) = 1 для 5 ^ Т, ит (5) = 0 в остальных случаях. Игроки из Же(Ж, ит) = Ж \ Т являются нулевыми в (Ж, ит), т. к. для них V(г) = 0. Множество Т состоит из вето-игроков. Каждая пара нулевых игроков (или пара вето-игроков) симметрична.

Теорема 1. Коалиционное консенсус-значение к8 является единственным значением для игр (Ж, V, С), удовлетворяющим аксиомам 5-9.

Доказательство. Пусть / - коалиционное значение, удовлетворяющее аксиомам 5-9. Система функций {ит}те2м\0 является базисом в , поэтому, учитывая лемму 2 и аксиому 6, достаточно показать, что / однозначно определяется для игры (Ж, аит, С), где а € К, 0 = Т С Ж. Пусть Б = {I €

М | Сг П Т = 0} - множество индексов компонент структуры

С, содержащих по крайней мере одного игрока из Т. Так как

(аит/С)(^) = (аит)( и Сг) = а для ^ Б и (аит/С)(^) = 0 гея

в остальных случаях, то игра (М, аит/С) между компонентами структуры С совпадает с (М, аид), где (М, ид) - игра единогласия коалиции Б. Каждой коалиции Ср, р £ Б, состоящей из нейтральных в (Ж, аит) игроков, соответствует нейтральный и одновременно нулевой игрок в (М, аид). Коалиции Ср, р £ Б, соответствует вето-игрок в (М, аид). Из (9) получаем

(17) йр(М, аит/С) = йр(М, аид) =

ер(М, аид) + 8^р(М, аид)

р £ М.

Известно, что

зЛ,р(М,аид) = . а

0, р £ Б,

а, ре^

(аад )(М)- X) (аад )(.?)

]£Ы

Так как ер(М, аид) = (аид)(р) + --------

(аид )(М) = а, (аид )(?) = а, если и й = 1, (аид )(?) = 0

в остальных случаях, то

0,

ер(М, а«о) = ^ а,

а

т,

р £ Б, й = 1, р £ Б, й = 1, й > 2,

(18)

йр(М, аид) = <

0,

а,

а

2т, а(т+^) 2т^ :

р £ Б, й = 1, р £ Б, й = 1, р £ Б, й ^ 2, р £ Б, й ^ 2.

Игра (М, аит/Ср^) между ^ £ Ср £ С и коалициями Сг,

I £ М \ р, получается из (М, аит/С) удалением из компоненты Ср всех игроков кроме _?’. Если удаляются игроки, не принадлежащие Т, то характеристическая функция не меняется, т. е.

89

2

(М, аит/Ср^) совпадает с (М, аит/С) и с (М, аид). Другими словами, (М, аит/Ср^) совпадает с (М, аид), если р £ Б или j является единственным вето-игроком компоненты Ср. Если из Ср удаляется хотя бы один игрок, принадлежащий Т, то игра (М, аит/Ср^) становится нулевой. Следовательно

!йр(М, аид), если р£Б

или Ср П Т = },

0, в остальных случаях.

1. Пусть р £ Б. Тогда Ср С Же(Ж, аит), т.к. компо-

нента Ср не содержит вето-игроков, и (аит)(г) = 0 для всех г £ Ср. По аксиоме 9: /г(Ж, аит, С) = /С), * £ Ср, где

Др(М, аит/С) = а , если й ^ 2, и Др(М, аит/С) = 0 , если й = 1. Таким образом, аксиома 9 однозначно определяет выигрыши всех игроков каждой коалиции Ср, р £ Б.

2. Пусть р £ Б. Тогда Ср ^ Же(Ж, аит). В данном случае Др(М,

аит/С) = (аит)(Ж \ Ср) — £ (аит)(Сг) = 0. Обозна-

1 е м \р

чив £ = Ар(м2а«т/С), имеем £ £ /г(Ж, аит, С) = (п — й)£.

р е д г е Ср

Каждая пара игроков г, I £ Б симметрична в (М, аит/С) и (аит)(Ж) = а, следовательно по аксиомам 5, 8

(20) £ /,(№. а«т, С) = а — (" — ^, р е Б.

г е Ср

Аксиома 9 и формулы (16)-(19) однозначно определяют /г (Ж, аит, С) для нейтральных игроков г £ Ср \ Т = Ср П Же(Ж, аит) коалиций Ср, р £ Б. Используя эти значения, аксиому 7 и формулу (20), получаем единственные значения /г (Ж, аит, С) для г £ Т.

Таким образом, аксиомы 5, 7-9 однозначно определяют значения /г(Ж, аит, С) для всех г £ N.

Замечание 1. Для коалиционного консенсус-значения выполняется

^ ksj(N, v, C) = ksp(M, v/C, {M}) = kp(M, v/C).

i G Cp

Левая часть этого соотношения называется свойством внешней игры, а правая - свойством согласованности. Оба свойства используются для аксиоматической характеристики коалиционных значений.

Замечание 2. Коалиционное консенсус-значение является одним из немногих коалиционных значений, не удовлетворяющих свойству нулевого игрока (игрок i £ N, для которого MS(N, v) = 0, S С N, должен получить нулевой выигрыш). Однако в отличие, например, от двухэтапного Шепли-значения

[4], выигрыш каждой коалиции Cp £ C распределяется с учетом «внешних» возможностей игроков.

Литература

1. AUMANN R.J., MASCHLER M. The bargaining set for cooperative games // Advances in Game Theory. Princeton University Press. Princeton. - 1964. - P. 443-447.

2. GOMEZ-RUA M., VIDAL-PUGA J. The axiomatic approach to three values in games with coalition structure. MPRA Paper 8904. - 2008. - P. 1-30.

3. JU Y., BORM P., RUYS P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games // Social Choice and Welfare. - 2007. - Vol. 28, № 4. - P. 685-703.

4. KAMIJO Y. A Two-step Shapley value in a cooperative game with a coalition structure //21 COE-GLOPE Working Paper Series. - 2007. - Vol. 28. - P. 1-9.

5. OWEN G. Values of games with a priori unions. Essays in Mathematical Economics and Game Theory. Springer-Verlag, Berlin. - 1977. - P. 76-88.

6. SCHMEIDLER D. The nucleolus of a characteristic function game // SIAM Journal of Applied Mathematics. - 1969. - Vol. 17. - P. 1163-1170.

7. TIJS S. Big boss games, clan games and information market games // Game Theory and Applications. Academic Press, San Diego. - І990. - P. 410-412.

8. WAEGENAERE A. DE, SUIJS J, TIJS S. Stable profit sharing in cooperative investment // OR Spectrum. - 2005. - Vol. 27, № 1. - P. 85-93.

9. WINTER E. A value for cooperative games with levels structure of cooperation // Int. Journal of Game Theory. -1989. - Vol. 18, № 2. - P. 227-240.

A CONSENSUS VALUE FOR GAMES WITH COALITION STRUCTURE

Alexandra Zinchenko, Southern Federal University, Cand.Sc., dosent ([email protected]).

George Mironenko, Southern Federal University, magistr ([email protected]).

Polina Provotorova, Southern Federal University, magistr ([email protected]).

Abstract: The class of TU-games for which almost all solution concepts, except the consensus value, yield paradoxical results is selected. It is proved that it is big boss games. Generalisation of the consensus value for games with coalition structure is introduced.

Keywords: coalition structure, coalition value, consensus value, big boss game, axiomatization.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. А. Печниковым