Двухэтапный сs-оператор, использующий консенсус-значение Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.83

ДВУХЭТАПНЫЙ CS-ОПЕРАТОР, ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ КОНСЕНСУС-ЗНАЧЕНИЕ

© 2013 г. А.Б. Зинченко

Зинченко Александра Борисовна — кандидат физико- Zinchenko Alexandra Borisovna — Candidate of Physical математических наук, доцент, кафедра исследования and Mathematical Science, Associate Professor, Depart-операций, факультет математики, механики и компь- ment of Operations Research, Faculty of Mathematics, ютерных наук, Южный федеральный университет, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal Uni-ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: versity, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, zinch46@mail.ru. e-mail: zinch46@mail.ru.

Цель статьи — описание и аксиоматическое обоснование нового оператора значения кооперативной игры с коалиционной структурой, похожего на двухэтапное значение Шепли. При вычислении нового решения находится консенсус-значение внешней игры между компонентами структуры и консенсус-значения игр внутри структурных компонент. Выигрыш каждого агента состоит из доли во внутренней игре и средней разности между выигрышем и весом его структурной компоненты. Новое решение не удовлетворяет аксиоме нулевого игрока. Выведено условие, при котором нулевой агент получает положительный выигрыш.

Ключевые слова: кооперативная игра, значение Шепли, консенсус-значение, коалиционная структура, коалиционное значение, аксиоматизация.

The article purpose is a description and axiomatic characterization of new value operator for cooperative game with coalition structure like a two-step Shapley value. New coalition value is obtained by the calculation of consensus values of structural components in external game among coalitions and the consensus values ofplayers in restricted games inside each component. An agent's payoff is the sum of the share in internal game and the average difference between the payoff and the weight of its structural component. The new solution does not satisfy the null player axiom. The condition under which null player gets the positive portion of surplus is presented.

Keywords: cooperative game, Shapley value, consensus value, coalition structure, coalition value, axiomatization.

Кооперативная игра с коалиционной структурой (М, V, С) (СЯ-игра) отличается от классической тем, что агенты уже сформировали непересекающиеся коалиции с целью усиления своего влияния при переговорах. Кроме множества игроков (агентов) N = {1,..."} и

характеристической функции у: 2N ^ Я , игровая модель (М, V, С) содержит коалиционную структуру С = {С1,...,Ст} , где Ц^С, = N и С, пС,. =0 , , *I.

Множества игр (М, V) и (М, V, С) обозначим через Оы и СОМ соответственно. Для краткости будем писать \г, у(1,2,3), 5ЦееС вместо 5 \{,}, у({1,2,3}),

5 ^ (Це!э С). Игра (М, V) называется нулевой, если у(5) = 0, 5 с N . Игра (М, V) имеет 0-форму, если у (г) = 0, г е N . Игрок г е N нейтрален в (М, V), если у(5 ^ г) - у(5) = у (г) , 5 с N \ г . Игрок г е N нулевой

в (М, V), если у(5 ^ г) = у(5) , 5 с N \ г . Игроки г, , е N симметричны в (М, V), если у(5 ^ г) = у(5 ^ ,) , 5 с N \ {г,,} . Оператором значения называется отображение ф, ставящее в соответствие каждой игре ^,у) е О1* вектор р(!,у) е Я" выигрышей агентов (значение игры). Коалиционный оператор значения / (СЯ-оператор) ставит в соответствие

каждой игре (!,у,С) еСGN вектор /^,у,С) е Я" (СЯ-значение). Пусть F(N, V, С) - множество операторов значения игры (М, V, С); Мм(М, V) и Мг(Ы, V) - множества нулевых и нейтральных игроков; 5 - мощность

Я; х(5) = 2,.еХ х для 5 с N и х е Я" ; х(0 = 0 .

Если СЯ-значение компонентно-эффективно [1], то вес v(Cj) каждой структурной компоненты С е С без остатка распределяется между ее участниками. Выиг-

рыш V, С) агента i е С. не зависит от того, какие

коалиции сформированы остальными игроками. Эффективное С£-значение [2], предполагая всеобщее объединение, допускает образование подкоалиций (групп давления) внутри максимальной коалиции. При переговорах относительно дележа v(N) каждая коалиция выступает как единый игрок. С^-игра распадается на игру между коалициями (МуС), где M = {1,...т\, ус(Q) = КЦе!ЭС), Q ЕM (внешнюю

игру) и игры внутри коалиций С е С. Первые С8-

значения (значение Ауманна и Дреза [1], значение Оуэна [2]) обобщают значение Шепли [3]. Согласно каждому из них, агент i е С, присоединение которого к

любой коалиции с С не увеличивает прибыль

партнеров, должен получить нулевой выигрыш. Этот «жесткий» принцип не всегда сочетается с моделируемой ситуацией [4]. Исследования в области экономики и психологии показали, что в условиях внешней конкуренции участники объединений приходят к соглашению о взаимной помощи, что благотворно влияет на продуктивность и рентабельность фирм, обеспечивает устойчивость коалиций.

В данной статье рассматриваются эффективные С£-значения. После значения Оуэна были предложено несколько похожих на него С^-значений [5-9]. При их вычислении используются редуцированные внутренние игры, характеристические функции которых определяются внешними возможностями подкоалиций структурной компоненты С е С . Отличный от значения Оуэна принцип распределения v(N) в С^-играх реализует С^-значение SSh(N, V, С), названное двух-этапным значением Шепли [10]. При вычислении SSh(Nу, С) внешняя игра остается прежней, а в качестве внутренних используются подигры (С],V) (V (5) = v(S), 5 с С), индуцированные компонентами структуры С. Двухэтапное значение Шепли имеет вид

5Н1 (М, VС) -v(C ) V, С) = -—-+ (С V,.), (1)

где i е Cj е C ,

Sht (N,v) = 2 Pns V(S v i) -v(S)).

sœnm '

(2)

Pn,s = -

s!(n-s-1)! ~n!

Согласно (1), агент i е С. вначале получает Шепли-

выигрыш 5И; (С,V .) в игре (С,V .) внутри Су К нему

прибавляется (возможно, отрицательная) средняя разность между Шепли-выигрышем компоненты Су во внешней игре (Мус) и весом v(C) коалиции Су.

Двухэтапное значение Шепли однозначно определяется тремя стандартными для Л е Е^, V, С) аксиомами (А1-А3) и двумя новыми аксиомами (А4-А5), сформулированными в [10].

А1 (эффективность). Л ^у,С) = v(N) .

А2 (аддитивность). /^у + аС) = /(N,v,C) + /(^,т,С), где (V + &Х5) = v(S) + а(5), 5 с N .

А3 (внешняя симметричность). Если г, е е М симмет-ричн^1 в (М, VC ) , то ЪеС, Л N, V, С) = Ъес. Л ^, V, С) .

А4 (внутренняя симметричность). Если t, Н е С е С симметричны в (С V), то

Л (N^0 = л„ (N^0.

А5 (свойство коалиционного нулевого игрока). Если

i е C ^ Nu(N,v) Ф 0

j е Ne(M,Vc),

то

Л ^ V, С) = о.

Из последней аксиомы следует, что нулевой игрок может получить положительный выигрыш, если он принадлежит «сильной» компоненте Су структуры С. Напомним, что значение Оуэна является единственным С^-значением, удовлетворяющим аксиомам А1-А3, аналогичной А4 аксиоме внутренней симметричности, и аксиоме А6, согласно которой нулевой игрок получает нулевой выигрыш при любой структуре С.

А6 (свойство нулевого игрока). Если i е Nu(NV), то Л^уС) = 0 .

Известно, что значение Шепли может не принадлежать не только непустому С-ядру

С^, V) = {х е Я"\ х(№) = v(N), х(5)> v(S), 5 с Щ, но и непустому множеству дележей

I(О) = {х е Я"\ х^) = v(N), х > v(i), i е Щ .

Покажем, что этот недостаток сохраняется и для двухэтапного значения Шепли.

Теорема 1. Существуют такие игры

(N,у,C) е œN

что

I (N,v) Ф0,

но

SSh(N,v, C) g I(N,v).

Доказательство. Рассмотрим игру четырех лиц

КО = 0, i е N = {1,2,3,4}, v(N) = 23," v(l,2) = v(l,3) = v(2,3) = v(2,4) = 5, v(1,4) = -10, v(3,4) = -5, ¡> (3)

v(l,2,3) = 20, v(1,2,4) = -5, v(1,3,4) = v(2,3,4) = 10.

Из 2,sv v(i) <V(N) следует I(N,v) . Возьмем структуру С = {{1,2},{3},{4}}. Согласно (2) выигрыши коалиций во внешней игре (M,vc), где M = {1,2,3}, vc (1) = 5 , vc (2) = vc (3) = 0, vc (1,2) = 20 , vc (1,3) = vc (2,3) = -5, vc (M) = 23, равны: S\(M,vc) = 13,5 , Sh2(M,vc) = 11, (M,vc) = -1,5 . Выигрыши агентов во внутренних играх: Shx(С) = Sh2(С,v1 ) = 2,5, Shh(С2 ,v2) = ShA(Съ,v3) = 0 . Двухэтапное значение Шепли SSh(N,v, C) = = (6,75, 6,75, 11, -1,5) не принадлежит I (N,v), так как S'Sh4 (N,v, C) <v(4).

Введем новое GS-значение kk (N, v, C)

h1 (Mv ) -v(Cj ) kki (N,v,C) = j-^-+ki(Cj ,vj), (4)

где i е C. е C .

К ( N ,v) =

E ( n ,v) + Sh ( N ,v)

E (N ,v) = v(i) +

2

v(N) -Z^vÇ)

(5)

(6)

и

c

n

и назовем его двухэтапным консенсус-значением. Оно отличается от двухэтапного значения Шепли тем, что в формуле (1) значение Шепли заменено консенсус-значением [11], равным среднему арифметическому значения Шепли (2) и равномерного распределения дополнительной прибыли (6). Выразим новое СЯ-значение через SSh(N,у, С). Из определений игр (М,ус), (С.,у.) и формул (4)-(6) следует, что для

i е Cj е C

k (N ,у, C) =

E (M ,ус ) + Shj (M ,ус ) 2с"

y(Cj) Ei (Cj у)+Shi (Cу)

---Г ----

Ej (M ,yC ) =y(Cj) +

2

y( N) -YllMiy(Cl)

m

y(Cj ) -Z/eC. y(l)

Ei (Cj y ) = y(i) +-j-

j j cj

Окончательно получаем, что

О = SSh (N ,y,C)+y(i) + ,v 2

y(N) -Zy(C/) y(Cj) "Zy(/)

__IeM__. j

2cjm

2c,

(7)

2c m

2c,.

Лемма 1. Для любой игры (!,у,С)еСGN СЯ-оператор кк удовлетворяет аксиомам А1-А4, А7-А8.

Доказательство. СЯ-оператор ЯЯН удовлетворяет аксиоме А1, поэтому

у( N + 2у(0

2 кк,. ^, у, С) =-^-+

2

у( n) -zy(c/)

y(C,) - Zy(/)

+ Z Z (jeM ieC i

2cjm

2c,.

)

2кк (N, у, С) = у(Ы) , т.е. кк удовлетворяет аксиоме

iеN

А1, а следовательно, и А7. Аддитивность СЯ-опе-ратора кк следует из аддитивности ЯЯН и формулы (7). Пусть г, е е М симметричны в (М,ус). Обозначив

y(i)

Г, = +

y(N) -Z4C,) y(C') - /.Zy</) - + —

2c m

2c..

получаем Zft =

y(N)-Z/eMy(C/) , y(C)

. Так как

г е С. е С . Новое СЯ-значение выравнивает выигрыши агентов, поэтому оно реже, чем SSh(N,у, С), и не принадлежит множеству дележей.

Пример. Вернемся к СЯ-игре, определенной (3) и структурой С = {{1,2}, {3}, {4}} . Подставив

3 3 1

SSh(N, у, С) = (6 3, 6 3, 11, -1 в (7), получаем

ккШ,у,С) = (61, 61, 81, 21). Вычислим консенсус -8 8 2 4

17 15

значение к(М,у) = (5 — , 6—, 8—,2—) и значение Шепли 3 12 4 6

Sh(N,у) = (4—, 7—, 103, - —) для игры без струк-12 12 4 12

туры, а также коалиционное консенсус-значение [7-9]

13 11 ККШ,у,С) = (5-, 6-, 8-, 2-). В данной игре 2 4 2 4

кк(N,у,С), к^, у) и КК^,у,С) принадлежат не

только множеству дележей, но и С-ядру. Значение

Шепли Sh(N,у), как и его двухэтапный аналог

SSh(N,у, С), не принадлежит множеству дележей.

Для аксиоматического обоснования двухэтапного консенсус-значения введем еще две аксиомы.

А7 (допустимость). Л (!,у,С) < у(!. А8 (модифицированное свойство коалиционного нулевого игрока). Если г е С. п^^у) *0 и

, е Ые(М, ус ) , то

у (!) - 2 у (С ) у(С, ) -2у(1) Л (N ,у, С) =-1ем-+ - 1еС'

у(Сг) = у(Се) , то 2геСг П = 2,еСе П . По аксиоме А3 2С 55И, (N, у, С) = 2С 55И, (N, у, С), следовательно, кк удовлетворяет А3. Пусть t, к е С. е С симметричны в (С, ,у,), тогда у (0 = у (к). Второе и третье слагаемые в формуле (7) одинаковы для любой пары игроков компоненты С. е С. Согласно аксиоме А4,

5к1 ^,у,С) = 5Ьк(И,у,С). Следовательно, кк удовлетворяет аксиоме А4. Если г е С. п Nм(N,у) * 0, , е Ш(М,ус), то у (г) = 0 и по аксиоме А5 55Н1 (^у, С) = 0 . Формула (7) в этом случае совпадает с формулой из аксиомы А8.

Лемма 2. Аксиома А1 следует из аксиом А2, А7 и А8.

Доказательство (аналогично [12, теорема 8.1.3]). Пусть ^у0) - нулевая игра. Тогда все ее игроки -нулевые. По аксиомам А8 и А2 Л (N^0 = 0 , г е N, и /(N,у, С) + /(N,-у, С) = /(N,у0, С) , т.е. /(^у, С) = -/(^-у, С). По аксиоме А7 2iеNЛ (N^,0 <у(Ю и 2еемЛ1 (N,^,0 < -у(М). Следовательно, Л N у, С) = л, а-у, С) > у(^) . Полученные соотношения завершают доказательство.

Следующая теорема содержит аксиоматическое обоснование нового СЯ-оператора. В следствии из этой теоремы сформулировано необходимое и достаточное условие, при котором нулевой игрок / 0-редуци-рованной игры (^у', С) получает положительный выигрыш кк (N,у', С).

Теорема 2. Существует единственный СЯ-оператор, удовлетворяющий аксиомам А2-А4 и А7-А8. Он определяется формулой (4).

Доказательство. Учитывая лемму 1, достаточно доказать, что оператор Л е ^^,у, С), удовлетворяющий аксиомам А2-А4 и А7-А8, определяет единственное решение /^,аиТ,С) игры (N,аит,С), где

+

c

r

Т с N, ае Я, ) е - игра единогласия

(ит (5) = 1, если Т с 5, и ит (5) = 0 в остальных случаях). Согласно лемме 2, при доказательстве теоремы можно заменить аксиому А7 аксиомой А1. Возможны три случая.

1. Т & С , ] е М. Тогда (аит )с (О) = 0 для всех

Q сМ . Следовательно, все игроки в (М,(аит)с) симметричны. Из аксиом А1 и А3 имеем 2 Л ^,аит, С) = 2 2 Л (^,аит С) =

iеN ]еМ iеCj

= (N,аuт, С) = а.

Для любого j еМ все игроки в (С,(аит) ) симметричны. По аксиоме А4

а

Л (И,аит, С) =-, i е С , j е М .

с j т

2. Ср = Т, р е М . Тогда (аит )(С] ЦееС) = = (аит)(Цеб С) для j е М \ р, О с М \ j . Значит, игроки е М \ р - нулевые (а следовательно, и нейтральные) в (М,(аит)с) . Кроме того, i е Nu(N,аuт ) для i е N \ т . По аксиоме А8 Л , С) = 0, iе ЦемрСj = N\т . Все игроки коалиции С1, симметрич-

а

ны. Из аксиом А1 и А4 следует Л(N,001 т,С) = —, г ет.

3. т с Ср, р е М. Рассмотрим структуру С = {С}. Игрок 1 (коалиция С1) нейтрален в (М,(аит)с), и каждый игрок г е N \ т - нулевой в С1.

а

По аксиоме А8 Л ^, аит, С) =-, г е N \ т . Все

2с р

игроки г е N \ т симметричны в С . Из аксиом А1 и

а t — ю

А4 имеем Л (И,агтС) = а(1 + —), г е т.

t 2ср

Следствие. Пусть (N, V') - 0-форма игры ^, V). Выигрыш ккг (N V, С) нулевого агента г е С ^ ^(N, V') Ф0 в игре (N, V', С) положителен тогда и только тогда, когда

ММ^) >2mУCIhУЩl.

т

Доказательство. Для 0-формы игры 2v' (I) = 0 ,

1еС.

j е М . Шепли-выигрыш нулевого игрока г е С. во внутренней игре (С ,v'í) - нулевой, т.е. (С УГ) = 0. Из (1) получаем

SSh, (N ,v', C) =

Shj (M ,V'c ) -y(Cj)

. Согласно (7),

kkt (N ,v', C) =

Sh.МУС) V'(N-?/(C')

J v ? ^ 1__l^M_

2c,.

2cm

откуда вытекает доказываемое.

Замечание 1. Следствие из теоремы 2 имеет следующую интерпретацию. Нулевой агент i е C. 0-ре-

дуцированной игры (N,v', С) получает положительный выигрыш kk¡ (N,v,C) тогда и только тогда, когда Шепли-выигрыш Shj (M,vc) его структурной компоненты больше разности между суммой eMv(C¡) весов всех компонент структуры C и весом v(N) максимальной коалиции, разделенной на количество компонент структуры C.

Замечание 2. Из (1) и равенства Sht(Cj,v'j) = 0

для i е Cj ni Nu(N,v') ф 0 следует, что при использовании двухэтапного значения Шепли нулевой агент i 0-редуцированной игры (N,v',С) получает положительный выигрыш SSh (N,v', C) тогда и только тогда, когда v(Cj) < Shj(M,v'j,), т.е. вес v(Cj) его структурной компоненты меньше Шепли-выигрыша Shj (M, vc) коалиции Cj во внешней игре.

Литература

1. Aumann R.J., Dreze J.H. Cooperative games with coalition structures // International J. of Game Theory. 1974. № 3. P. 217 - 237.

2. Owen G. Values of games with a priory unions // Essays in mathematical economics and game theory. Berlin, 1977. Р. 76 - 88.

3. Shapley L.S A value for n-person games // Contributions to the Theory of Games II. Princeton, 1953. Р. 307 - 317.

4. Van den BrinkR. Null or nullifying players: the difference between the Shapley value and equal division solutions // J. of Economic Theory. 2007. Vol. 136. P. 767 - 775.

5. Levy A., McLean R.P. Weighted coalition structure values // Games and Economic Behavior. 1989. № 1. P. 234 - 249.

6. Vidal-Puga J. The Harsanyi paradox and the «right to talk» in bargaining among coalitions // Mathematical Social Sciences. 2012. Vol. 64, № 3. P. 214 - 224.

7. Зинченко А.Б., Мироненко Г.В., Провоторова П.А. Консенсус-значение для игр с коалиционной структурой // Управление большими системами: сб. тр. 2010. № 31-1. С. 78 - 92.

8. Зинченко А.Б. Аксиоматическое обоснование новых операторов значения для игр с коалиционной структурой // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 1. С. 5 - 8.

9. Zinchenko A.B., Provotorova P.A., Mironenko G.V. Efficient CS-values based on consensus and Shapley values // Contributions to Game Theory and Management. Collected papers of the Fourth International Conference «Game Theory and Management». St. Petersburg, 2011. P. 502 - 513.

10. Kamijo Y. A two-step Shapley value for cooperative games with coalition structures // International Game Theory Review. 2009. Vol. 11. P. 207 - 214.

11. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games // Social Choice and Welfare. 2006. Vol. 28, № 4. P. 85 - 703.

12. Peleg B., Sudholter P. Introduction to the theory of cooperative games. Boston, 2003. 378 p.

Поступила в редакцию

18 марта 2013 г.

c