Эффективно вычисляемое значение кооперативной ТП-игры Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE. 2018. No. 1

УДК 519.8 DOI 10.23683/0321-3005-2018-1-20-25

ЭФФЕКТИВНО ВЫЧИСЛЯЕМОЕ ЗНАЧЕНИЕ КООПЕРАТИВНОЙ ТП-ИГРЫ

© 2018 г. А.Б. Зинченко1

1Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия,

EFFECTIVELY COMPUTED VALUE FOR COOPERATIVE TU-GAME

A.B. Zinchenko1

1Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia

Зинченко Александра Борисовна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра исследования операций, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: [email protected]

Alexandra B. Zinchenko - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of High Mathematics and Operations Research, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Предметом исследования статьи являются кооперативные игры, в которых полезность, достижимую для коалиции, можно произвольно разделить между партнерами. Цель работы - исследование свойств одноточечного решения, определенного для достаточно широкого класса игр и имеющего полиномиальную оценку сложности. Это решение компромиссного типа. Дано его аксиоматическое обоснование, использующее две стандартные аксиомы (эффективность и аддитивность) и две новые аксиомы (ограниченная симметричность и модифицированное свойство нулевого игрока). Выведены необходимое и достаточное условия принадлежности рассматриваемого решения множеству дележей, а также достаточные условия, при которых оно совпадает с значением Шепли и т-значением. Область применения описанного решения - ситуации, допускающие субсидии. Целесообразность таких решений обосновывается необходимостью учитывать социальные аспекты кооперативной игры.

Ключевые слова: кооперативная игра, трансферабельная полезность, одноточечное решение, аксиоматизация, компромисс.

The subject of paper's study are the cooperative games in which the utility, achievable by a coalition, can be equally divided among the partners. The purpose of work is an investigation of properties of one-point solution that is determined for sufficiently wide class of games and have the polynomial computational complexity. That is a compromise-type solution. We give its axiomatic characterization using two standart axioms (efficiency and additivity) and two new axioms (modified null player property end restricted symmetry). We provide necessary and sufficient condition under which it belongs to nonempty imputation set as well as the sufficient conditions for its coincidence with the Shapley value and the т-value. The field of applications for defined solution are the situations allowing subsidies. Reasonability of such solutions is motivated by necessity to take into account social aspects of cooperative game.

Keywords: cooperative game, transferable utility, one-point solution, axiomatization, compromise.

В кооперативной игре (N,V) с трансферабель-ной полезностью (ТП-игре), где N = {1,..., п},

п > 2, V :2N ^ Я , v(0) = 0, предполагается, что образовалась максимальная коалиция N. Игра NV*), где /(5) =v(N)^^\5), 5 е 2N, называется двойственной к V). При фиксированном N игрой называют функцию V, а множество всех таких функций обозначают ОN. Для любого

0 Ф О с ОN одноточечным решением (значением игры, правилом) относительно О является отображение ф: О ^ Яп , которое каждой игре vе О ставит в соответствие вектор ф(у), где фг- (V) -выигрыши агента I е N. Желательные свойства решения формулируются в виде аксиом.

Игра (Ы, V) определяется экспоненциальным (относительно п) количеством значений v(S),

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

8 е 2 , так как \2К \= 2п. Поэтому нахождение решения, зависящего от всех (или почти всех) значений функции V , - сложная вычислительная задача. Однако существуют классы игр, в которых трудновычисляемые в общем случае решения находятся за полиномиальное (относительно п) время. Приведем несколько примеров.

Для полувыпуклой квазисбалансированной игры [1] существует т-значение т(у), определенное системой, содержащей 2п +1 значений функции V : т(у) = (1 - а)Р(у) + аМ(г) , £ т, (V) = v(N),

М((V) = (Ы(у))^, Р(У) = Ш)^, а е [0,1],

*

(V) = v(N) - v(N \,) = V (,) , , е N . К-ядро у(у) игры большого босса [2], совпадающее с т-значением, вычисляется по формуле, содержащей п +1 значение функции V

= ^^)- £ ЩУЪ).

ieN\l 2 2

2

Для игры ^, V) с непустыми множествами дележей

I(V) = (х е Яп \ £х, =v(N), х > )}

iеN

и двойственных дележей

/(V) = (х е Яп \ £х, =v(N), х < М(V)}

iеN

определены ст -значения (у), г е N , вычисляемые по формулам

-rt.,_fr (v) + gr (v)

(У) = ;

2

(1)

zho <у(n) < 2мi (у).

ieN ieN

(2)

Имея ту же оценку сложности, что и ст -значения, ст -центр, как правило, более приемлем

для конкретных игр, чем любое из (V).

Для аксиоматического обоснования ст -центра будем использовать три из четырех аксиом, традиционно характеризующих значение Шепли Sh(v). Пусть ф е ФМ , где ФМ - множество значений

^ = -£jеN\ЛЛ, , = Г,

дгм = \М1, * Г

д ^ = ^(Ю - £ jеN\Мй (V), , = Г, содержащим п +1 значение функции V .

В данной работе исследуются свойства одноточечного решения ст^) игры (N, V), являющегося

средним арифметическим аг (V), г е N , т.е.

, ч £геNCT (V) ГЛ

ст^) = —'г^-. Это решение, названное ст -

п

центром, существует для достаточно широкого мно-

~ N г^N

жества О с О игр, удовлетворяющих условию

игры V е О с О'Ы

Аксиома 1 (эффективность). £ф, (V) = v(N)

iеN

для всех V е О .

Аксиома 2 (симметричность). Для всех V е О , ф, (V) = ф j (V), если I и j - симметричные игроки,

т.е. v(S ^,) = v(S ^ й), 8 с N \{г, й}.

Аксиома 3 (аддитивность). Для любых V, w е О, если (V + м>) е О, то <№+w) = ф^) + <р(ъ>), где (V + w)(S) = v(S) + w(S), 8 с N.

Значение Шепли является единственным одно-

^ N

точечным решением игры V е О , удовлетворяющим аксиомам 1-3 и свойству нулевого игрока, согласно которому агент ,е N получает нулевой выигрыш, если v(S ^ I) = v(S), 8 с N \ г. Как будет

доказано ниже, ст-центр, аналогично консенсус-значению [3], обобщенному консенсус-значению [3], солидарному значению [4] и некоторым другим, не удовлетворяет аксиоме нулевого игрока. Такие решения имеют приложения в ситуациях, допускающих субсидии. Их целесообразность обосновывается необходимостью учитывать некоторые, обычно трудноформализуемые социальные аспекты кооперативной игры [4]. Аксиоматические обоснования отличных Sh(v) значений ф е ФМ , удовлетворяющих аксиомам 1-3, часто включают аксиому, определяющую в общем случае ненулевой выигрыш нулевого игрока или не равный v(i) выигрыш нейтрального игрока [3]. Нулевого игрока иногда заменяют А-нулевым [4] или аннулирующим [5]. Решения феФ^), V е О с ОN , без свойства нулевого игрока часто доминируют по Лоренсу значение Шепли [6].

Покажем, что ст^) удовлетворяет аксиомам 1-3 и новой аксиоме.

Аксиома 4 (модифицированное свойство нулевого игрока). Для всех V е О , если I - нулевой игрок в (N, V), то

ф, (V) = £ ^мй - ^)(п - 2) . (3)

jeN

2n

Теорема 1. В классе ОN с ОN ст -центр удовлетворяет аксиомам 1-4.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

Доказательство. Из (1) вытекает

ГКО + М i (V)

^ (V) =

2

i Ф r,

.... v V(j) + Мj(v) ,

v(N) - X -TT-1-, i = r,

jeN \ i 2

для всех г, г е N. Следовательно, а(у) = (аг ,

где

. . v(N) _ v(j) + М] (V)

а М =--2 -^— +

п jеN \г 2п

+ (n - 1)v(i) + М iК) -*(v) - -( N \l) -V(i), 2n 2

m-VN) + 2 -v( N \ л -V(j

jeN

2n

Суммируя о (-),

имеем

ieN

= 2 РМ - ^^ \г)—^^]. Учитывая формулу для

ieN

2

9(у), получаем £аг (V) = v(N). Значит, а(у) удо-

iеN

влетворяет аксиоме 1. Если игроки г, р е N симметричны в ^, v) , то v(г) = v(р) и для (п - 2) -элементных коалиций 5 с N \{г, р} , | 51= п - 2 , имеем v(S ^ г) = v(N \ р) = ^ р) = v(N \ г). Следовательно, аг (V) = ар (V). Доказано, что а(у) удовлетворяет аксиоме 2. Пусть v, ^ е ОN. Из соотно-

шений

2v(i) < v(n) < 2мi (v)

Следствие 2. Пусть г - нулевой игрок в

(N, v) и V е О^, где О^ с ОN - множество 0-нормализованных игр. Игрок г получает положительный выигрыш аг (V) > 0 (нулевой выигрыш аг (V) = 0) тогда и только тогда, когда

v(n) > 2

jeN

М j (v)

2

(v( N) - 2

je N

М j (v)

2

Доказательство. Выигрыш нулевого игрока в а(у) определяется формулой (3). Если игра (N, v) имеет 0-форму, то v(i) = 0, г е N . Подставив эти

(4) значения в (3), получаем

О(-) = 2

jeN

1

-(N \ j) -(N )(n - 2)

2n

2n

i M, (-)

= -[-(N) - 2 - j-]

je N

2

(5)

Е аг (V) = откуда следует доказываемое.

Следствие 3. Для любой игры V е справедливо:

а) а(у) е I тогда и только тогда, когда

v(N) >-[пmax{v(N\г)}- 2v(N\j)];

2 iеN jеN

b) если -

n reN

ОК) - - f (V) - (-W.....

v(N\1) -... - v(N \ n) , то ) - центр I(v) .

2 w(i) < w(N) < 2Мг вытекает (v + w) еОN

iеN iеN

Кроме того, аг (V + w) = аг (V) + аг (w) , г е N . Значит, а(у) удовлетворяет аксиоме 3. Если г - нулевой игрок в (N, v), то v(i) = 0 и v(N \ г) = v(N). Подставив эти значения в (4), получаем (3). Значит, а(у) удовлетворяет аксиоме 4.

Следствие 1. Если v е ОN - симметричная игра, то а -центр совпадает с К-ядром и значением

Шепли. Если v е Ом - симметричная квазисбалан-сированная игра, то а -центр совпадает с т-значением.

Доказательство. В симметричной игре все игроки попарно симметричны. Значение Шепли, N ядро и т-значение, как и а -центр, удовлетворяют аксиоме 2, поэтому

а(у) = БЦу) = у(у) =т(У) = (^,..., .

Доказательство: а) так как ег(у) удовлетворяет аксиоме 1, то <г(у) е Iтогда и только тогда, когда аг (V) > 0, г е N . Подставив v(i) = 0, г е N , в формулу (3), получаем

О (-) -0(V) -

-(N \ i) 2

= + v( N \ г) ,еЫ

п jеN 2п 2

Значит, аг (V) > 0, г е N , тогда и только тогда,

/ЛГЧ пу(м\г) у(м\j) когда v(N) > —--1 - е —-— , г е N .

2 jеN 2

Конец доказательства очевиден; Ь) доказательство этого пункта вытекает из

формулы для а -центра игры V е О^ и формул для

вершин /г , г е N , множества дележей 0-нормализованной игры.

Далее будет нужен ослабленный вариант аксиомы 2.

n

n

n

и

ieN

n

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

Аксиома 5 (ограниченная симметричность). Для всех V е ОN , ф, (V) = ф(V), если ¡, й е N и v(i) = v(j) , v(N \ I) = ^ \ й) .

Теорема 2. Для любой игры vе ОN аксиомы 1 -4 определяют единственное одноточечное решение, совпадающее с ст^).

Доказательство. Согласно теореме 1, ст^)

Доказательство. Было показано, что ст^) удовлетворяет аксиоме 2. Значит, ст^) удовлетворяет ослабленной аксиоме 5. При доказательстве единственности значения ф(а иТ), удовлетворяющего аксиомам 1-4, были рассмотрены 3 случая. Покажем, что аксиому 2 можно заменить аксиомой 5.

1. Т = N . Тогда аит (I) = аит (И \ 0 = 0, , е N .

По аксиоме 5 выигрыши всех игроков коалиции N удовлетворяет аксиомам 1-4. Покажем, что эти должны быть равными. Используя аксиому 1, по-

аксиомы определяют единственное решение ф(аит ) игры (^ аит ) , где 0* Т с N, ае К ,

ит е ^^ - игра единогласия коалиции Т :

/ол_/1, Т с S, ит (Ь) = \0, Т & S.

лучаем ф, (аиТ) = — , , е N .

п

* *

2. Т = (( }, , е N. При доказательстве этого случая аксиома 2 не использовалась.

3. 2 <\Т \< п-1. Тогда аиТ (г) = аиТ (Ы \ г) = 0, , е Т . С использованием аксиомы 4 было получено,

1. Т = N . Тогда игра ^, аиТ) - симметричная. что ф, (аиТ) однозначно определены для всех

Очевидно, что аиТ е GN. Рассмотрим три случая:

По аксиоме 2 ф, (аиТ) = — , , е N .

п

2. Т = {I*}, , е N. Тогда аиТ(**) = а, *

аиТ ^ \,) = 0, аиТ (г) = 0 , аиТ ^ \ 0 = а для

* *

, е N \, . Все игроки коалиции N \, - нулевые в

(!, аиТ). По аксиоме 4

а а 1Ч а а а

ф,(аиТ) =~- — +(п - Ц-—=

п 2п 2п 2 2п

*

для всех , е N \, . По аксиоме 1

а(п +1)

, е N \ Т . По аксиоме 1 £ ф, (аиТ) = а - £ ф, (аиТ).

,еТ iеN\Т

По аксиоме 5 выигрыши всех игроков коалиции Т должны быть равными. Значит,

ф (auT) = -

\T\

i еТ .

£,еТ ф, (аиТ )

I

Следствие 5. Пусть О^ с ОЛ - множество 0-нормализованных игр, удовлетворяющих (2) и условию

v( N) = £ ^-. Если V е О^ , то сг^) = Sh(v) .

ф *(аыт ) = а — 2ф, (аит ) = ' ieN\i*

jeN

2

2n

3. 2 <Т \< п -1. Тогда аиТ (') = 0 для всех I е N , аиТ (! \,) = 0 для 1 еТ, аиТ ^ \ 0 = а для , е N \ Т . Все игроки коалиции N \ Т - нулевые в ^, аиТ). По аксиоме 4 ф, (аиТ) однозначно определены для всех I е N \ Т . По аксиоме 1

£ф,(аиТ) =а- £ф,(аиТ).

,еТ iеN\Т

Все игроки коалиции Т попарно симметричны. По аксиоме 2

ф, (аит ) =

Z,eT Ф, (аиТ )

\т\

i еТ .

Доказали, что <р(аит) однозначно определено аксиомами 1-4. Единственность ф^) для любой

функции V е ОN следует из аксиомы 2 и из того, что семейство функций иТ , 0* Т с N, образует

базис линейного пространства ОN.

Следствие 4. Для любой игры V е Он аксиомы 1 и 3-5 определяют единственное одноточечное решение, совпадающее с ст^).

Доказательство. По теореме 1 ст^) удовлетворяет аксиомам 1-3. Если V е О^ и , - нулевой игрок в (!, V), то согласно следствию 2 и сделанным предположениям ст, (V) = 0. Значит, в классе О^ ст^) удовлетворяет аксиоме нулевого игрока. Эти четыре аксиомы однозначно определяют в GN (а

N ~ N \

____ _ 0 с О с О ) единственное

одноточечное решение - Sh(v).

В следующей теореме описан класс игр, для которых ст-центр совпадает с т-значением, а также класс игр, для которых эти решения совпадают с значением Шепли.

Теорема 3. Пусть т,(V) = шах^^)- £М,(V)},

S:ieS

jeS М

, е N; с ОN - множество 0-нормализованных игр,

удовлетворяющих (2); С}^ = (ОЦ)1 ^ (ОЦ)2 с ОЦ,

где (О^ )х - подмножество игр, удовлетворяющих соотношениям

т^) = 0 , М^) > 0, 0 < v(N) < £М} (V) * 0 (6)

йе^

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 1

М, ^ и условию v(^ = 2 —-, а (О0 )2 - подмноже-

jеN 2

ство игр, удовлетворяющих (6) и условию v(N\1) =... N\п). Тогда:

a) (О^)1 Ф0, О )2 Ф0, о-(у) и т(у) определены для V е ;

b) т(у) =а(у) для всех V еб^ ;

c) т(у) = а(у) = БИ(у) для всех V е ((^ )1;

d) для игры единогласия ^, ыт) двухэлементной коалиции решения сг^), т^), Sh(у) и у^) совпадают с центром С-ядра С(ит).

Доказательство: а) для игры единогласия (N, и{-,2}) и{-,2}(5) = 1, если {1,2} с 5, и и{-,2}(5) = 0

в остальных случаях. Кроме того, т(и!{1,2}) = 0,

М(и{12]) = (1,1,0,..,0). Следовательно, (N, и{12})

удовлетворяет (6) и и^ 2} (N) =1 2 Мj (и{1 2}).

, 2 jеN ,

Значит, и{12} е . Для игры единогласия ^, им) иN (№) = 1, иN (5) = 0 в остальных случаях. Кроме того, т(им) =0, М(им) = (1,...,1). Следовательно, ^, UN) удовлетворяет (6) и

(И \1) =... = (И \ п). Значит, е(О^)2 . Непустота множеств (О^)1 и (О^)2 доказана. Для игр

V е о0^ определено а^). Игры, для которых определено т^), должны удовлетворять (2) и условию т(г) < М(г). Из сделанных предположений вытекает, что в классе О^ оба решения существуют;

Ь) обозначим 4 = 2М} . Из (6) следует, что

jеN

4 > 0. Используя формулы для т^) и а^), полу-

i £ N ,

. . v(N) 4 М, (v) чаем ai (v) = —— +—,

n 2n 2

r(v) = аМ(v), где а£ = v(N) . Значит, v( N)Mi (v)

T, (v) =-

4

(v) -T{v) =

, i £ N. Рассмотрим разность

2£v (N) -£2 + n£M, (v)

2n£

2п v(N)Мl (v)_[пМг (у) - 4][4 - 2v(N)]

2п4 " 2п4 '

Теперь доказываемое утверждение очевидно; с) было доказано, что а^) = Sh(у) для игр

V е О^ с ОN (следствие 5) и т^) = 0^) для всех

v е Gn . Доказываемое утверждение вытекает из

включений (GGN )i с G0N, (CG0N )i с GN;

d) без ограничения общности положим T = {1,2}. Тогда С-ядро игры (N, ит) имеет вид C(uT) = conv{(1,0,...,0),(0,1,0,...,0)}. Известно, что центр С(ит) совпадает с N-ядром и значением

Шепли, т.е. y(v) = Sh(v) = (1,1, 0,...,0). Любая игра (N,ит) выпуклая. Поэтому r(v) = Sh(v) [1]. Используя формулу для ст-центра 0-нормализо-

, Ч 1 n-|т| 1 А

ванной игры, получаем ст, (ит) = —I----= 0

n 2n 2

.,,„„, , . 1 n-1T | 1

для i е N \ {1,2} , ст, (v) = —I——- = — для

n 2n 2

i е {1,2}.

Кроме результатов, полученных в теореме 3, представляет практический интерес исследование поведения ст-центра на подклассах игр, параметрическое описание которых дано в [7].

Литература

1. Driessen T.S.H., Tijs S.H. The т-value, the core and semiconvex games // Int. J. of Game Theory. 1985. Vol. 14, № 4. P. 229-248.

2. Muto S., Nakayama M., Potters J., Tijs S. On big boss games // The economic studies quarterly. 1988. Vol. 39, № 4. P. 303-321.

3. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games // Social choice and welfare. 2007. Vol. 28, № 4. P. 685-703.

4. Nowak A.S., Radzik T. A solidarity value for n-person transferable utility games // Int. J. of Game Theory. 1997. Vol. 23. P. 43-48.

5. Van den Brink R. Null or nullifying players: the difference between the Shapley value and equal division solutions // J. of Economic Theory. 2007. Vol. 136. P. 767-775.

6. Zinchenko A.B. On polytope of (0-1)-normal big boss games: redundancy and extreme points // Contributions to game theory and management. 2012. Vol. 5. P. 386-397.

7. Zinchenko A.B. Polytopes of special classes of the balanced transferable utility games // J. of Applied and Industrial Mathematics. 2016. Vol. 10, № 1. Р. 145-154.

References

1. Driessen T.S.H., Tijs S.H. The x-value, the core and semiconvex games. Int. J. of Game Theory. 1985, vol. 14, No. 4, pp. 229-248.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

201S. No. 1

2. Muto S., Nakayama M., Potters J., Tijs S. On big boss games. The economic studies quarterly. 1988, vol. 39, No. 4, pp. 303-321.

3. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games. Social choice and welfare. 2007, vol. 28, No. 4, pp. 685-703.

4. Nowak. A.S., Radzik T. A solidarity value for n-person transferable utility games. Int. J. of Game Theory. 1997, vol. 23, pp. 43-48.

5. Van den Brink R. Null or nullifying players: the difference between the Shapley value and equal division

solutions. J. of Economic Theory. 2007, vol. 136, pp. 767-775.

6. Zinchenko A.B. On polytope of (0-1)-normal big boss games: redundancy and extreme points. Contributions to game theory and management. 2012, vol. 5, pp. 386-397.

7. Zinchenko A.B. Polytopes of special classes of the balanced transferable utility games. J. of Applied and Industrial Mathematics. 2016, vol. 10, No. 1, pp. 145-154.

Поступила в редакцию /Received

30 января 2018 г. / January 30, 2018