CC BY
35
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
УДК 519.8 DOI 10.18522/0321-3005-2017-1-31-35
КОМПРОМИССНЫЕ РЕШЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОЙ КООПЕРАТИВНОЙ ИГРЫ
© 2017 г. А.Б. Зинченко
THE COMPROMISE SOLUTIONS OF CLASSICAL COOPERATIVE GAME
A.B. Zinchenko
Зинченко Александра Борисовна - Южный федеральный университет, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра исследования операций, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, Россия, e-mail: zinch46@mail.ru
Alexandra B. Zinchenko - Southern Federal University, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Operation Research, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: zinch46@mail.ru
Предметом исследования статьи являются одноточечные решения кооперативной игры с трансферабельной полезностью, балансирующие в некотором смысле противоположные принципы распределения прибыли между партнерами. Вначале описаны известные компромиссные решения: консенсус-значение, являющееся средним арифметическим значения Ше-пли и равномерного распределения дополнительного дохода; т-значение, уравновешивающее верхний и нижний векторы игры; а-значения, равные средним арифметическим пар крайних точек, одна из которых принадлежит множеству дележей, а другая - множеству двойственных дележей. Для сравнения концепций решения использовался аксиоматический подход. Из неоднозначно определенных наборов характеризующих аксиом были выбраны аксиомы Шепли и близкие к ним. Основным результатом статьи является введение нового решения кооперативной игры с трансферабельной полезностью, являющегося средним арифметическим двух наиболее популярных одноточечных решений: значения Шепли и N-ядра. Доказано, что для некоторых игр новое решение, названное NS-ядром, имеет больше желательных свойств, чем основные одноточечные решения и другие компромиссные решения. Приведен пример игры, в которой NS-ядро не совпадает ни с одним из рассмотренных компромиссных решений и является наиболее предпочтительным исходом относительно стандартного отношения доминирования. Область применения NS-ядра - игры, моделирующие экономические и социально-политические ситуации, в которых значение Шепли не удовлетворяет условию индивидуальной рациональности или не является элементом непустого С-ядра, а N-ядро дает контринтуитивное (парадоксальное, тираническое) распределение общей прибыли.
Ключевые слова: кооперативная игра, значение игры, компромиссное решение, консенсус-значение, т-значение.
The subject ofpaper's investigation is the one-point solutions for transferable utility game that balance, in some sense, opposite principles of distribution ofprofit among the partners. First we describe known compromise solutions: the consensus value being the average of the Shapley value and the equal surplus division solution; the т-value that balances the upper vector and the lower vector of a game; a-values that equal the average ofpairs of extreme points, one of which belongs to the imputation set whereas the other belongs to the dual imputation set. Axiomatic approach was used for the comparisons of solution concepts. Among the non-uniquely determined sets of characterizing axioms we chose the Shapley axioms and similar ones. The main result of the paper is an introducing the new solution for cooperative transferable utility game being an average of two most popular one-point solutions: the Shapley value and the nucleolus. It is proved that for some games new solution, called NS-core, possesses more desirable properties than main one-point solutions and other compromise solutions. It is given the example of game in which NS-core does not coincide with the considered one-point solutions and is the most preferred outcome with respect to standard dominance relation. The application domains of the NS-core are the games that model economic, social and political situations where the Shapley value does not satisfy an individual rationality condition or it is not an element of a nonempty core, while the nucleolus gives a contrary-intuitive (paradoxical, tyrannous) sharing the joint profit.
Keywords: cooperative game, game value, compromise solution, consensus value, т-value.
Классическая кооперативная игра (игра с трансферабельной полезностью) (Ж,V), где N = {1,...,п},
п > 2, V :2Ж ^ Я , у(0) = 0, предлагает участникам моделируемой ситуации варианты дележа об-
щей прибыли v(Ж) (или распределения расходов). Элементы множества N называют игроками, или агентами. Значение у(&) характеристической функции V называют весом коалиции 5 с N.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
Множество всех функций v, определенных на 2N ,
обозначается через GN. Без ограничения общности будем рассматривать проблему дележа прибыли, а также использовать следующие сокращения и обозначения: v(i), S \ i вместо v({i}), S \ {i} ;
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
S e 2n\{0};
5 = S -
если
x(S) = 2 Xj , где x e Rn
ieS
мощность множества S .
Игра (N,v) супераддитивна,
v(S) + v(O) < v(S и О) для S, О e 2N , S о О = 0 . Агент i e N нулевой в (N, v), если v(S и i) = v(S), S с N\ i. Агенты i, j e N симметричны в (N,v), если v(S и i) = v(S и j), S с N \{i, j}. Агент i e N более предпочтителен в игре (N, v), чем агент j e N (обозначается i у v j), если
v(S и i) > v(S и j) для всех S с N \ {i, j} и по крайней мере одно из неравенств строгое.
Для игры (N, v) предложено много концепций решения, реализующих разные принципы справедливости. Есть решения-множества и одноточечные, называемые значениями игры. Наиболее популярное решение-множество, С-ядро (core)
C(v) = {x e I(v) | x(S) > v(S), S eQ} , является подмножеством множества дележей I(v) = {x e Rn | xi > v(i),i e N,x(N) = v(N)}, учитывающим возможности всех собственных коалиций S e Q = 2n \ {N, 0}. Среди одноточечных решений наиболее известны N-ядро (nucleolus) [1], обозначаемое через y(v), и значение Шепли (Shapley value) [2], обозначаемое через Sh(v).
В данной работе вводится новое одноточечное решение игры (N, v), балансирующее две в некотором смысле противоположные концепции решения y(v) и Sh(v). Новое решение NS(v), названное NS-ядром, есть среднее арифметическое N-ядра и значения Шепли
Y(v) + Sh(v)
NS(v) = ■
2
N-ядро определено для игр, у которых I(v) ф 0 . Оно лексикографически минимизирует вектор упорядоченных эксцессов коалиций, т.е.
y(v) = arg lexmin e(x) , e( x )eE
где E = {e(x) | x e I (v)}, e(x) - вектор эксцессов
e(x, Si) = v(Si) - x(Si) коалиций Si ей относительно дележа x, e(x) = (e(x,S1), e(x,S2),...,e(x,Sm)) ,
e(x,S1) >... >e(x,Sm)) , m = 2n - 2.
N-ядро является селектором С-ядра сбалансированной игры (N, v) (достоинство) и всегда принадлежит I (v) (достоинство), но не удовлетворяет аксиоме аддитивности (недостаток) и даже ослабленной аксиоме коалиционной монотонности (недостаток). Последнее свойство очень непривлекательно, так как при увеличении прибыли v(N ) максимальной коалиции N и сохранении весов остальных коалиций S e 2N \ {N} индивидуальные выигрыши некоторых агентов могут стать меньше.
Согласно значению Шепли, выигрыш каждого игрока i e N равен его среднему вкладу во все коалиции
Sh(v) = 2 '1(П -* -1)! (v(S иi) - v(S)) .
ScN\i n!
Значение Шепли - одно из немногих аддитивных и коалиционно монотонных одноточечных решений игры (N,v) (достоинство). Но оно может не принадлежать не только С-ядру сбалансированной игры, но даже множеству дележей (недостаток).
Известно, что при n > 5 не существует коалиционно монотонного значения игры (N, v), которое всегда принадлежит непустому С-ядру. Поэтому представляет интерес поведение NS-ядра на всем
множестве GN и на специальных классах. Пусть y(v) - значение игры (N, v). NS-ядро линейно зависит от значения Шепли и от N-ядра, значит, оно удовлетворяет следующим основным аксиомам, справедливым для y(v) и Sh(v).
1. Эффективность (efficiency, EFF): 2 Vi (v) = v(N) для всех v e GN .
ieN
2. Симметричность (symmetry, Sym): для всех v e Gn , v (v) = V j (v), если i и j - симметричные игроки.
3. Свойство нулевого игрока (null player property, NP): для всех v e GN, vi (v) = 0, если i -нулевой игрок.
4. Ковариантность (covariance, COV): V(ov + b) = flry(v) + b для всех v e Gn , b e R ,
a e R++, где (av + b)(S) = av(S) + b(S), S e 2N \{0}.
NS-ядро не удовлетворяет некоторым аксиомам, не выполняющимся для y(v) и Sh(v) одновременно.
5. Индивидуальная рациональность (individual rationality, IR): vi (v) >v(i) для всех i e N и
ve G .
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
6. Селектор С-ядра (core selection property, CS): y(v) eN(v), если v e GN и N(v) * 0.
7. Аддитивность (additivity, A): y(v + w) = y(v) + y(w) для любых v, w e GN, где
(v + w)(S) =v(S) + w(S), S e 2N .
8. Коалиционная монотонность (coalition mono-tonicity, CM): yi (v) < yi (w), i e S , если v, w e GN,
v(Ô) = w(Ô) для T e 2N \ {S} и v(S) < w(S).
Однако для выпуклых и 1-выпуклых игр NS-ядро удовлетворяет A и CM. В классе супераддитивных игр NS-ядро удовлетворяет IR.
Положительный эксцесс отражает степень неудовлетворенности коалиции S дележом x. N-ядро старается сделать самый большой эксцесс как можно меньшим, следовательно, это решение реализует эгалитаризм для коалиций. Выигрыши ненулевых агентов в N-ядре часто не соответствуют их продуктивности, а согласно значению Шепли выигрыш любого агента определяется только его продуктивностью. Таким образом, новое решение NS(v) является компромиссным. Для игры (N, v) уже предложено несколько решений компромиссного типа.
Консенсус-значение k(v) [3] является средним арифметическим значения Шепли и равномерного распределения дополнительного дохода (equal surplus division solution, ESD(v) ) SA(v) + ESD(v)
k(v) = -
2
A
где ESDl (V) = v(i) + —, I е N , Д = v(N) — £ v(j).
п jеN
Консенсус-значение балансирует два крайних принципа формирования выигрыша нулевого игрока. Выигрыш нулевого игрока в значении Шепли равен
нулю. Согласно ESD(v) все игроки, в том числе и
Д
нулевой, получают одинаковую долю — дополни-
п
тельного дохода от кооперации (уравниловка). В консенсус-значении нулевой игрок может получить положительный выигрыш, но нет уравниловки. Консенсус-значение удовлетворяет ЕРР, 8уш, А, СОУ, но не удовлетворяет NP, Ш и С8.
Существует также решение, названное т -значением [4],
т(у) = ар + (1 - а)т , т(К) = v(N) , а е [0,1], которое реализует компромисс между верхним вектором т = (т1 )lеN, где т1 =v(N) — v(N \ I), и нижним вектором р = (р1 )lеN, где Р1 = тах Я(5, I), I е N,
NATURAL SCIENCE. 2017. No. 1
R(Si) _Jv(0, |S|_ 1,
R(S,i) _{v(S) -J\tmj, | S |> 2.
Это решение определено для компромиссно допустимой игры, т.е. игры, удовлетворяющей условию р < m, P(N) < v(N) < m(N) . (1)
Компоненты нижнего вектора - минимально возможные выигрыши агентов в дележах, принадлежащих С-ядру; компоненты верхнего вектора -максимально возможные в С-ядре выигрыши. Решение x(v) удовлетворяет EFF, Sym, IR, NP, COV, но не удовлетворяет A и CS. В классах 1-выпуклых игр и игр большого босса [5] т-значение совпадает с N-ядром и является барицентром С-ядра.
Менее известными, чем упомянутые выше, компромиссными значениями игры (N, v) являются (не имеющие специального названия) решения
.o.^f (v ) + gr (v)
ar (v) = ;
2
(2)
где r e N - фиксированный игрок; fr (v) - вершина множества дележей,
r ív(i), i *r, fir (v) = jv(N) - E v(j), i = r, I jeN \ r
(3)
gr (v) - вершина множества двойственных дележей I*(v) = {x e Rn | xi < mi, i e N} ,
imi, i * r,
v(N) - E m}, i = r.
jeN \ r
(4)
Согласно /г (V) выигрыши всех агентов, кроме г -го, минимально возможные в множестве дележей, а г -й игрок получает остаток распределяемой полезности v(N). Согласно gr (V) выигрыши всех агентов, кроме г -го, максимально возможные в множестве двойственных дележей; а г -й игрок получает остаток v(N). Подставив (3) и (4) в (2), получаем
v(i) + т1
°r (v) н
2
v( N ) -
i * r,
E jeN \ r (v(j) + m] )
(5)
2
для всех г, I е N.
Для сравнения дележей используются отношения доминирования. Пусть х, у е I(у). Тогда х ^ ^ у , если х(5) < v(S) и х1 > у1, I е 5 . Дележ х доминирует дележ у (обозначается х ^ у), если существует такая коалиция 5 е О, что х >5 У . В следующем примере приведена игра, для которой N5^) обладает большим набором желательных свойств, чем основные одноточечные решения
i = r
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
(Sh(y), у(у)) и решения компромиссного типа
(к(у), т(у), стг(у) для г е N ). Пример противоречит существующему мнению о том, что одноточечное С-ядро является наилучшим решением игры (Ы, v).
Пример 1. Дана несупераддитивная, но сбалансированная игра пяти лиц N = {1,2,...,5} с характеристической функцией:
у(1,2) = у(1,2,3) = у(1,2,4) = у(1,2,3,4) = 16, у(1,3) = у(1,4) = у(2,3) = 8 , у(1,3,5) = у(1,4,5) = у(23,5) = 12, у(Ы) = 20, у(5) = 0 в остальных случаях. В игре нет нулевых и симметричных агентов. При любом разбиении множества игроков на собственные коалиции
С = {С1,..., Ср }, рЙ] = N, С] еО, ]=1
С] п С, = 0, ] ф I,
суммарная прибыль 2 у(С] ) меньше, чем при
С] ей
полном объединении. Значение Шепли, М-ядро,
консенсус-значение и М5"-ядро имеют вид
„„ ч 6 11 Л11 „ 1 14,
Sh(y) = (7 — , 5 — , 4—, 3—,--),
15 15 15 15 15
у(у) = (8,8,0,0,4),
ч ,.21 26 11 16 16, к(у) = (5—, 4 —, 4—, 3—, 1—) , 30 30 30 30 30
ту) = (72±,6?6л±±л1А11-6) .
30 30 30 30 30 С-ядро игры - одноточечное й(у) = {у(у)}. Так как р = (0,0,0,0,0) и т = (20,20,20,20,4), то справедливо (1), т.е. игра компромиссно допустима.
, ч ,„16 „16 16 16 20
Значит, т(у) = (4—, 4—, 4—,4—,—).
21 21 21 21 21
Согласно формуле (5), которая для данной игры
становится проще
т, 2 ,
2 ]еЫ \ гт]
< (v) =
Г Ф I,
20--
2
получаем a1 (v) = (-12,10,10,10,2)
a2(V)=
= (10,-12,10,10,2);
a3(v) = (10,10,-12,10,2);
ст4(у) = (10,10,10,-12,2); ст5(у) = (10,10,10,10,-20) . Значение Шепли не принадлежит I(у). В Sh(y) выигрыш пятого агента отрицательный, несмотря на то что без его участия достижимая прибыль не
превышает 16 < у(Ы) = 20. Векторы стг (у), г е N , не принадлежат I (у). В у(у) выигрыши третьего и
четвертого агентов - нулевые, хотя без кооперации с ними остальные агенты не могут получить прибыль, превышающую 16 <v(N). Распределение v(N) в y(v) и i(v) не согласуется с предпочтительностью агентов. В частности, 1 у v 2, но У1 (v) = 12 (v), T1 (v) = T2 (v). Консенсус-значение и NS-ядро не имеют перечисленных недостатков, но NS(v) доминирует k(v). Максимальный эксцесс
13
max e(NS(v),S) =e(NS(v),{ 1,2}) = 1— SeQ 30
относительно NS(v) меньше, чем максимальные эксцессы
13
max e(k(v), S) =e(k(v),{1,2}) = 5— ,
SeQ 30
max e(T(v), S) =e(x(v),{ 1,2}) = 6— SeQ 21
относительно k(v) и x(v). Таким образом, в NS(v) минимальные требования коалиций учитываются в большей степени, чем в k(v) и i(v).
Следующий пример противоположен предыдущему. Он показывает, что существуют игры, для которых k(v) более соответствует интуитивному понятию справедливости, чем NS(v).
Пример 2. Рассмотрим двухсторонний рынок с одним продавцом (игрок 1), двумя покупателями (игроки 2, 3) и одной неделимой единицей товара, стоимость которой равна 1 д.е. Нужно определить, состоится ли сделка и как ее участники распределят прибыль. Получаем игру (N, v) с характеристической функцией v(i) = 0, i e N = {1,2,3},
v(1,2) = v(1,3) = v(N) = 1, v(2,3) = 0. Это - игра большого босса с игроком 1 в качестве босса, в которой p = m = (1,0,0), I (v) =
* i = conv{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, I (v) = I(v), u(v) = (0,1,0),
u3(v) = (0,0,1). y (v) = z(v) = CT1 (v) = (0,1,0), N(v) = {y(v)}. N-ядро является единственным элементом не только С-ядра, но также переговорного множества и k -ядра. Однако, согласно дележу (1,0,0), всю прибыль получает продавец, несмотря на то что без кооперации хотя бы с одним из покупателей сделка невоз-
2 11
можна. Значение Шепли Sh(v) = (—,—,—) большую
3 6 6
часть прибыли отдает продавцу, а суммарный выигрыш покупателей равен одной третьей стоимости
товара. NS-ядро, NS(v) = , увеличивает
долю продавца по сравнению с Sh(v). Сила союза покупателей равна силе продавца, а покупатели -симметричные игроки. В данной игре консенсус-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2017. No. 1
значение к(V) = (-1, —, 1) наиболее согласовано с 2 4 4
моделируемой ситуацией (половину стоимости товара получает продавец, а остальная часть v(Ы) поровну распределяется среди покупателей).
Если для конкретной игры какое-либо решение не принадлежит I, то в этой игре его использовать нельзя. Приведем достаточное условие, при котором Sh(v) й I(^ , а Л®(у) е I(у).
Утверждение 1. Пусть v е GN и Sh(v) й I (v). Если 0-форма v0) игры (N, ^ удовлетворяет условию 1(v0) |< у,(v0), I еу е N1(v0) < 0}, то Л®^) е I (v) .
Доказательство. Игры (N,v) и v0) связаны соотношением V0 (5) ^(5) — £ v(l), 5 е 2N \ {0},
т.е. стратегически эквивалентны. Из у^) е I(v) и
аксиомы COУ вытекает у(^) е I. Значит,
у, (v0) > v0 (I) = 0 для всех I е N. При выполнении условия теоремы из формулы для ЛЗ-ядра вытекает, что Ш, ^0) > 0, I е N. Следовательно,
) е I(^). ЛЗ-ядро удовлетворяет COV, поэтому Л®^) е I (v) .
ЛЗ-ядро может не совпадать ни с одним из рассмотренных компромиссных решений и быть предпочтительнее относительно « У », чем другие.
Утверждение 2. Существуют игры, в которых
Л®^) *k(v) *x(v) Фа1 (v) *... *стп(v) (6) и Л®^) доминирует те компромиссные решения, которые принадлежат I .
Доказательство. Для игры из примера 1 выполняется (6). В этой игре к^), т^) е I , аг й I (v) для всех г е N. Нетрудно проверить, что Л®^) У{—,2} кМ и Л®^) У{—,2} тМ . Следовательно, Л®^) У к^) и Л®^) У тМ .
Область применения ЛЗ-ядра содержит игры, в которых Sh(v) й I, | Й^) |= 1, а у^) дает контринтуитивный исход. Однако численный эксперимент на случайно генерируемых данных показал, что в играх большого босса с одноточечным С-ядром Л®^) может доминироваться консенсус-значением или коалиционным консенсус-значением [6].
Аналогично обобщенному консенсус-значению
k(v) = XSh(v) + (1 - X)ESD(v), X е [0,1], можно ввести обобщенное NS-ядро - выпуклую комбинацию значения Шепли и N-ядра
NS(v) = XSh(v) + (1 - X)y(v), X е [0,1].
Значение X можно выбрать так, чтобы обобщенное NS-ядро принадлежало множеству дележей, если значение Шепли ему не принадлежит; C-ядру сбалансированной игры, если значение Шепли ему не принадлежит.
Литература
1. Schmeidler D. The nucleolus of a characteristic function game // SIAM J. Appl. Marh. 1969. Vol. 17. P. 1163-1170.
2. Shapley L.S. A value for n-person games // Annals of Mathematics Studies. 1953. Vol. 28. P. 307-317.
3. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games // Social Choice and Welfare. 2006. Vol. 28, № 4. P. 85-703.
4. Driessen T.S. H., Tijs S.H. The т -value, the nucleolus and the core for a subclass of games // Methods Oper. Res. 1983. Vol. 46. P. 395-406.
5. Muto S., Nakayama M., Potters J., Tijs S. On big boss games // The economic studies quarterly. 1988. Vol. 39, № 4. P. 303-321.
6. Зинченко А.Б. Аксиоматическое обоснование новых операторов значения для игр с коалиционной структурой // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2011. № 1. С. 5-8.
References
1. Schmeidler D. The nucleolus of a characteristic function game. SIAM J. Appl. Marh. 1969, vol. 17, pp. 1163-1170.
2. Shapley L.S. A value for n-person games. Annals of Mathematics Studies. 1953, vol. 28, pp. 307-317.
3. Ju Y., Born P., Rays P. The consensus value: a new solution concept for cooperative games. Social Choice and Welfare. 2006, vol. 28, No. 4, pp. 85-703.
4. Driessen T.S.H., Tijs S.H. The т-value, the nucleolus and the core for a subclass of games. Methods Oper. Res. 1983, vol. 46, pp. 395-406.
5. Muto S., Nakayama M., Potters J., Tijs S. On big boss games. The economic studies quarterly. 1988, vol. 39, No. 4, pp. 303-321.
6. Zinchenko A.B. Aksiomaticheskoe obosnovanie novykh operatorov znacheniya dlya igr s koalitsionnoi strukturoi [Axiomatic justification of new value operators for games with a coalitional structure]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki. 2011, No. 1, pp. 5-8.
Поступила в редакцию /Received
12 сентября 2016 г. /September 12, 2016
