CC BY
4
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 22. Выпуск 3.
УДК 512.542 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-3-457-463
Конечные группы с Об'-проперестановочными подгруппами1
Е. В. Зубей
Зубей Екатерина Владимировна — кандидат физико-математических наук, Брестский государственный университет имени А. С. Пушкина (Беларусь, г. Брест). e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru
Аннотация
Подгруппа А группы G называется OS-проперестановочной в G, если существует подгруппа В такая, что G = Nq(A)B, АВ является подгруппой группы G и подгруппа А перестановочна со всеми подгруппами Шмидта из В. В этой ситуации подгруппу В будем называть О^-продобавлением к А в G.
В настоящей работе установлена р-разрешимость конечной группы G, в которой силов-ская р-подгруппа Ой'-проперестановочна, где р > 5.
Ключевые слова: конечная группа, р-разрешимая группа, Ой'-проперестановочная подгруппа, подгруппа Шмидта, полунормальная подгруппа.
Библиография: 13 названий. Для цитирования:
Е. В. Зубей. Конечные группы с Об'-проперестановочными подгруппами // Чебышевский сборник, 2021, т. 22, вып. 3, с. 457-463.
хРабота выполнена в рамках выполнения задания 1.1.02 подпрограммы «Математические модели и методы» ГПНИ на 2021-2025 гг. «Конвергенция - 2025» при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 22. No. 3.
UDC 512.542 DOI 10.22405/2226-8383-2021-22-3-457-463
Finite groups with OS'-propermutable subgroups
E. V. Zubei
Zubei Ekaterina Vladimirovna — candidate of physical and mathematical sciences, Brest State A. S. Pushkin University (Belarus, Brest). e-mail: ekaterina.zubey@yandex.ru
Abstract
A subgroup A of a group G is called OS-propermutable in G if there is a subgroup В such that G = Nq(A)B, AB is a subgroup of G and the subgroup A permutes with all Schmidt subgroups of B. In this situation, the subgroup В is called OS-prosupplement to A in G.
In this paper, we proved the p-solubility of a finite group G such that a Sylow p-subgroup of G is OS'-propermutable in G, where p > 5.
Keywords: finite group, p-soluble group, OS'-propermutable subgroup, Schmidt subgroup, seminormal subgroup.
Bibliography: 13 titles. For citation:
E. V. Zubei, 2021, "Finite groups with OS'-propermutable subgroups" , Chebyshevskii sbornik, vol. 22, no. 3, pp. 457-463.
1. Введение
Подгруппа А называется полунормальной в группе G, если существует подгруппа В такая, что G = АВ и АХ — подгруппа для каждой подгруппы X из В. В этой ситуации подгруппу В называют супердобавлением к подгруппе А в группе G. Отдельные свойства полунормальных подгрупп получены многими авторами, см. литературу в [10].
В работе [9] вводится обобщение понятия полунормальной подгруппы. Подгруппа А группы G называется ОS-полунормальной в группе G, если существует такая подгруппа В, что G = АВ и А перестановочна со всеми подгруппами Шмидта из В.
В. С. Монахов и Е.В. Зубей [9] установили для простого числа г > 7 г-разрешимость группы, в которой силовская г-подгруппа Об'-полунормальна; для г < 7 перечислили все неабелевы композиционные факторы такой группы, также доказали разрешимость группы с Об'-полунормальными силовскими 2— и 3-подгруппами.
А. Н. Скиба и И. Сяолян [13] ввели понятие проперестановочной подгруппы: подгруппа А называется проперестановочной в группе G, если существует подгруппа В такая, что G = Ng(A)B и АХ — подгруппа для каждой подгруппы X из В. Подгруппу В в дальнейшем будем называть продобавлением к А в G.
В настоящей работе изучается группа G, в которой силовская р-подгруппа Р перестановочна с подгруппами Шмидта из подгруппы В такой, что G = No(Р)В. В связи с этим вводится следующее понятие.
Подгруппа А группы G называется OS-проперестановочной в G, если существует подгруппа В такая, что G = Nq(A)B, АВ является подгруппой группы G и подгруппа А перестановочна со всеми подгруппами Шмидта из В. В этой ситуации подгруппу В будем называть Об'-продобавлением к А в G.
2. Вспомогательные результаты
Используемые обозначения и определения стандартны, их можно найти в [7, 12].
Напомним, что А° = (А9 | д £ С) — подгруппа, порожденная всеми сопряженными с А подгруппами группы С. Симметрическая и знакопеременная группы степени п обозначаются через Зп и Ап; диэдральная, циклическая и элементарная абелева группы порядков к, т и рг обозначаются через , и Ер1 соответственно, [А]В — полупрямое произведение нормальной подгруппы А и подгруппы В. Подгруппу N нормальную в группе С обозначим через N < С.
Группа С называется: ^-группой, если п(С) С ж; ^'-группой, если п(С) С ж', где ж — некоторое множество простых чисел, п(О) = — множество простых чисел, делящих
порядок группы С.
Субнормальным рядом группы С называется цепочка подгрупп
1 = Со < С! < ... < Ст = С, (1)
в которой подгруппа О г нормальна в группе С1+1 для всех г = 0,1,... ,т — 1. Группа называется ^-разрешимой, если она обладает субнормальным рядом (1), факторы которого являются либо разрешимыми ^-группами, либо ^'-группами.
Напомним, что группой Шмидта называют ненильпотентную группу, все собственные подгрупппы которой нильпотенты [11]. Свойства подгрупп Шмидта можно найти в работах О. Ю. Шмидта [11], В. С. Монахова [8]. Условимся называть 5<р,д>-группой группу Шмидта с нормальной силовской р-подгруппой Р и циклической силовской ^-подгруппой Q. Минимальным добавлением к подгруппе А в группе С называется такая подгруппа В, что С = АВ и АВ1 = С для всех собственных подгрупп В1 из В.
Лемма 1. ([2, лемма 1]) Если К и И — подгруппы группы С, подгруппа И нормальна в К и К/О — в <р,д>-подгруппа, то минимальное добавление Ь к подгруппе И в К обладает следующими свойствами:
(1) Ь — 'р-замкнутая {р, о}-подгруппа;
(2) все собственные нормальные подгруппы в Ь нильпотентны;
(3) Ь содержит Б<р д>-подгруппу [Р^ такую, что не содержится в Б и Ь = ([Р}0:)ь =
= Яь-
Лемма 2. ([4, лемма 11]) Если простая группа С является произведением р-подгруппы Р и подгруппы Шмидта Б, то справедливо одно из следующих утверждений:
(1) р = 2, с ~ РБЦ2,7), р ~ б8, в ~ [г7]г3;
(2) р = 3, С ~ БЬ(2, 8), Р ~ г9, Б ~ [Е8]г7;
(3) р = 5, С ~ РБЬ(2, 5), Р ~ 2Ь, Б ~ А4 ~ [Е4]г3.
Вопрос перестановочности силовской подгруппы с подгруппами Шмидта исследовался Я. Г. Берковичем и Э.М. Пальчиком [1], В. С. Монаховым и В.Н. Княгиной [4]. Так из [4, теорема 1] вытекает следующая
Лемма 3. Если некоторая силовская г-подгруппа группы С перестановочна со всеми подгруппами Шмидта, то группа С г-разрешима.
В работе [3] были получены локальные аналоги результатов работы Я. Г. Берковича и
3.М. Пальчика [1].
Лемма 4. ([6, лемма 5]) Пусть Н, К и N — попарно перестановочные подгруппы группы С. Если Н холлова, то N П НК = (И П Н)(И П К).
Лемма 5. ([12, VI.4.10]) Пусть А и В — подгруппы группы G такие, что G = АВ и АВа = ВаА для всех g е G. Тогда либо AG = G, либо BG = G.
Лемма 6. Пусть А — OS-проперестановочна подгруппа группы G и В ее OS-продобав-ление.
(1) Для любого элемента g е G подгруппа В9 будет OS-продобавлением к подгруппе А в группе G.
(2) Для любого элемента g е G подгруппа Аа будет OS-проперестановочной в группе G, а подгруппы В и Ва — ее OS-продобавлениями.
Доказательство. (1) Пусть g = ba — произвольный элемент из группы G, где b е В, а е А. Ввиду изоморфизма В ~ В9 можно считать, что S9 = Sba — произвольная подгруппа Шмидта из Ва, где S — подгруппа Шмидта в В. Поскольку 5ь < В, то
ASb = SbA, AS9 = ASba = (ASb)a = (SbA)a = SbaA = S9A.
Это означает, что В9 — 05*-продобавление к А в группе G.
(2) Если Т — подгруппа Шмидта в В9, то Т = S9 для некоторой подгруппы Шмидта S из В. По условию AS = SA, поэтому А9S9 = S9А9 и так как G = (NG(A)B)9 = NG(A9)В9, то А9 — OS-проперестановочная подгруппа в G и В9 — ее OS-продобавление. Из пункта (1) следует, что (В9)а = В будет 05*-продобавлением к А9 в группе G. Лемма доказана.
Лемма 7. Пусть А — OS-проперестановочная подгруппа группы G и В — ее OS-продо-бавление.
(1) Если N < G, то AN — OS-проперестановочна в G и В является OS-продобавлением к AN в G.
(2) Если N < G, то AN/N — OS-проперестановочна в G/N и BN/N является ОS-продобавлением к AN/N в G/N.
(3) Если А — OS-проперестановочная подгруппа группы G и В — OS-продобавление в G, то AG = A(AG П В) и А OS-проперестановочна в AG и AG П В — OS-продобавление к А в Ag.
Доказательство. (1) Нормальная подгруппа перестановочна с любой подгруппой. Поскольку G = Ng(AN)В и AN перестановочна с любой подгруппой Шмидта из В, то AN — OS-проперестановочная подгруппа группы G и В — ее OS-продобавление.
(2) Известно, что Ng/n(AN/N) = NG(A)N/N. Тогда G/N = Ng/n(AN/N)(BN/N). Пусть D/N — подгруппа Шмидта из BN/N. Тогда D = D П BN = N (В П D), т.е В П D есть добавление к N в D.
По лемме 1 подгруппа В П D содержит подгруппу Шмидта S такую, что SBnD = В П D. Так как S < L < В П D, где L — минимальное добавление к N в D, то А перестановочна с S. Из леммы 6 (1) следует, что А перестановочна с Sx для любого х е G. Поэтому А перестановочна с SL = L и с LN = D. Следовательно, AN/N перестановочна с D/N, т.е. AN/N OS-проперестановочна в G/N и BN/N будет OS-продобавлением к AN/N в G/N.
(3) Так как А — О^-проперестановочна в G, то G = NG(A)B и А перестановочна со всеми подгруппами Шмидта из В. Тогда AG = ANg(A)b = Ав < AB и AG = AG П AB = А(А° П В). Пусть S — произвольная подгруппа Шмидта из П В. Так как S < В — произвольная подгруппа Шмидта из В, то А — 05*-полунормальна в А°, а следовательно, А — OS-проперестановочна в AG. Тогда AG П В — О^-продобавление к А в AG.
Лемма доказана.
3. Основной результат
Теорема 1. Если в группе G силовская р-подгруппа OS-проперестановочная и р > 5, то группа G р-разрешима.
Доказательство. Обозначим силовскую р-подгруппу группы G через Р. Воспользуемся индукцией по порядку группы G.
Пусть N — нормальная подгруппа группы G. Тогда по лемме 7 (2) PN/N OS-пропереста-новочна в G/N. Значит, G/N р-разрешима.
Будем считать, что в группе G нет р-разрешимых нормальных подгрупп.
Если РG < G, то по лемме 7(3) Р — 05*-пропересатновочна в РG, а следовательно, РG р-разрешима. Противоречие.
Значит РG = G. Тогда по лемме 7 (3) G = PY и Р перестановочна с любой подгруппой Шмидта S из Y. Если порядок группы Y делится на р, то можно считать, что силовская р-подгруппа Yp группы Y содержится в силовской р-подгруппе Р группы G.
По теореме Дедекинда Y П PS = (Y П Р)S = YPS = SYP = S(Y П P), т.е. силовская р-подгруппа Yp группы Y перестановочна с любой подгруппой Шмидта S из Y. По лемме 3 группа Y р-разрешима. Значит, существует Yp/ — р'-холлова подгруппа в группе G и G = PYp/. Поэтому можно считать, что Y — р'-подгруппа, причем Y — р1 -холлова подгруппа.
Пусть теперь N — нормальная подгруппа группы G и N не является р-разрешимой. Тогда по лемме 4 N = N П PY = (N П Р)(N П Y) = NP(N П Y), где Np — силовская р-подгруппа в N П Р.
Пусть S < N П Y — подгруппа Шмидта, тогда S — подгруппа Шмидта в Y и Р перестановочна с S. Имеем N П PS = (N П Р)S = NPS = SNP = S(N П P). По индукции N р-разрешима. Противоречие.
Значит, G — простая группа. Очевидно, что PS < G и тогда по лемме 5 либо PG = G, противоречие с выше доказанным, либо SG = G, противоречие.
Следовательно, G = PS. По лемме 2 G ~ PSL(2, 7), или SL(2, 8), или PSL(2, 5). Это значит, что группа G р-разрешима и р > 5, противоречие.
Теорема доказана.
В группах PSL(2, 7), SL(2, 8), PSL(2, 5) соответственно силовские 2-,3-, 5-подгруппы О^-полунормальны, а значит и Об'-проперестановочны, но перечисленные группы не являются р-разрешимыми, где р G {2, 3, 5}.
4. Заключение
В настоящей работе установлен признак г-разрешимости группы, в которой силовская подгруппа перестановочна со всеми подгруппами Шмидта из подгруппы В такой, что С = Ис(А)В. В дальнейшем исследовании планируется описать композиционные факторы группы с Об'-проперестановочными силовскими подгруппами.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Беркович Я. Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. 1967. Т. 8, №4. С.741-753.
2. Княгина В. Н., Монахов В. С. Конечные группы с полунормальными подгруппами Шмидта // Алгебра и логика. 2007. Т. 46, №4. С. 448-458.
3. Княгина В.Н., Монахов В. С. О перестановочности максимальных подгрупп с подгруппами Шмидта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, №4. С. 126-133.
4. Княгина В.Н., Монахов В. С. О перестановочности силовских подгрупп с подгруппами Шмидта // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, №3. С. 130-139.
5. Княгина В. Н., Монахов В. С. О перестановочности n-максимальных подгрупп с подгруппами Шмидта // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, №3. С. 125-130.
6. Княгина В.Н., Монахов В. С. О ^'-свойствах конечной группы, обладающей ^-холловой подгруппой // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, №2. С. 297-309.
7. Монахов В. С. Введение в теорию конечных групп и их классов. Минск: Вышэйшая школа, 2006.
8. Монахов В. С. Подгруппы Шмидта, их существование и некоторые приложения // Труды Укр. матем. конгресса 2001. Киев. 2002. Секция №1. С. 81-90.
9. Монахов В. С., Зубей Е. В. О композиционных факторах конечной группы с Об'-полунор-мальной силовской подгруппой // Тр. Ин-та математики НАН РБ. 2018. Т. 26:1. С. 90-94.
10. Монахов В. С., Трофимук А. А. О сверхразрешимости группы с полунормальными подгруппами // Сибирский математический журнал. 2020. Т. 61, №1. С. 148-159.
11. Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Матем. сб. 1924. Т. 31. С. 366-372.
12. Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin, Heidelberg, New York, 1967.
13. Yi X., Skiba A.N. On S'-propermutable subgroups of finite groups // Bull. Malays. Math. Sci. Soc. 2015. Vol. 38, №2. P. 605-616.
REFERENCES
1. Berkovich, Ya. G., Pal'chik, Je. M. 1967, "On the commutability of subgroups of afinite group", Sibirskii matematicheskii zhurnal, vol. 8, no. 4, pp. 741-753.
2. Kniahina, V. N., Monakhov, V. S. 2007, "Finite groups with seminormal Schmidt subgroups", Algebra i logika, vol. 46, no. 4, pp. 448-458.
3. Knyagina, V. N., Monakhov, V. S. 2011, "On the permutability of maximal subgroups with Schmidt subgroups", Trudy Instituta matematiki i mekhaniki Ural'skogo otdelenija Rossijskoj akademii nauk, vol. 17, no. 4, pp. 126-133.
4. Knyagina, V. N., Monakhov, V. S. 2010, "On permutability of Sylow subgroups with Schmidt subgroups", Trudy Instituta matematiki i mekhaniki Ural'skogo otdelenija Rossijskoj akademii nauk, vol. 16, no. 3, pp. 130-139.
5. Knyagina, V. N., Monakhov, V. S. 2012, "On the permutability of n-maximal subgroups with Schmidt subgroups", Trudy Instituta matematiki i mekhaniki Ural'skogo otdelenija Rossijskoj akademii nauk, vol. 18, no. 3, pp. 125-130.
6. Knyagina, V. N., Monakhov, V. S. 2011, "On the У-properties of a finite group possessing a Hall ^-subgroup", Siberian Math. J., vol. 52, no. 2, pp. 234-243
7. Monakhov, V. S. 2006, "Vvedenie v teoriju konechnyh grupp i ih klassov", Vyshjejshaja shkola, Minsk.
8. Monakhov, V. S. "The Schmidt subgroups, its existence, and some of their classes", Trudy Ukrainskogo matematicheskogo kongressa: sbornik trudov. Kiev, 2002, pp. 81-90.
9. Monakhov, V. S., Zubei, E.V. 2018 "On composition factors of a finite group with OS-seminormal sylow subgroup", Proceedings of the Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of the Republic of Belarus, vol. 26, no. 1, pp. 90-94.
10. Monakhov, V. S., Trofimuk, A.A. 2020, "On the supersolvability of a group with seminormal subgroups", Sibirskii matematicheskii zhurnal, vol. 61, no. 1, pp. 148-159.
11. Shmidt, O. Ju. 1924 "Groups, whose all subgroups are special", Matematicheskii sbornik, vol. 31, no. 3-4, pp. 366-372.
12. Huppert, B. 1967 "Endliche Gruppen I", Berlin, Heidelberg, New York.
13. Yi, X., Skiba, A. N. 2015 "On 5-propermutable subgroups of finite groups", Bull. Malays. Math. Sci. Soc., vol. 38, no. 2, pp. 605-616.
Получено 31.05.21 г. Принято в печать 20.09.2021 г.
