КОНЕЧНЫЕ БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ НЕИНЦИДЕНТНЫХ ПОДГРУПП, НЕ СОДЕРЖАЩИХСЯ В НЕКОТОРОЙ ПОДГРУППЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2020

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(51)

УДК 512.54

Конечные бипримарные группы с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп, не содержащихся в некоторой подгруппе

Я. Д. Половицкий, Т. М. Коневских

Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; 8(342) 239-63-21

Описываются конечные бипримарные группы с условием, указанным в заглавии, на базе результатов, полученных в [2].

Ключевые слова: бипримарная группа; циклическая группа; инцидентная подгруппа. DOI: 10.17072/1993-0550-2020-4-14-23

Введение

В [1] описаны конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп. В [2] введен более широкий класс 5С-групп - это группы, в которых существует такая подгруппа (сепарирующая подгруппа), что для любых подгрупп А и В группы, не содержащихся в АПВ - циклическая группа. Там получен ряд свойств конечных 5С-групп и описаны некоторые подклассы этого класса.

В настоящей работе на базе полученных в [2] и [1] результатов получено описание конечных бипримарных5С-групп.

Все необходимые определения и используемые обозначения смотрите в [2]. Для удобства читателей нумерация лемм, теорем и замечаний настоящей работы является продолжением соответствующей нумерации в [2]. Поэтому в ссылках на леммы и теоремы из [2] мы не будем указывать [2], т. е. если в настоящей работе приводится ссылка на лемму 5, а такой леммы здесь нет, то ее надо понимать, как лемму 5 из [2].

Каким может быть остов разрешимой ненильпотентной группы типа 2

Лемма 15. Пусть разрешимая нениль-потентная 5С-группа С типа 2 имеет остов F и г0 = г(Р). Тогда в = РА (1), где Р (2), А = (3), |я(.Д)| <2 (4) и для F имеет место лишь одна из следующих возможностей (ниже всюду г - простое число):

I. Р = Ргг (5), £ > 2 (6);

II. 3 К (7), такая что 1<К <Р (8), К = (9), К - максимальная подгруппа группы F со свойствами (7) - (9) и выполняется одно из условий:

II«. л(Р) = [г} (10), К = 2о (11), р/к = Ргг (12) - минимальная нормальная подгруппа группы Ь >2 (13);

Пй.

/К1 = г (14), 1<С <К (15), Р - не-

примарная группа, F = В \ Я (16), где 1 < В<К (17), Я^ (18), п(К) = [г} (19), (2г,Щ) = 1 (20), УоПВ) = 1 (21),

С = В\ = В\ЯВ (22), где В =15 (23), п(В) = п(А) = п^/р) (24) и В с Ы(Я) (25).

© Половицкий Я. Д., Коневских Т. М., 2020

Доказательство. По определению «С-группы типа 2 |G| < œ (26). В силу определения 4 и леммы 4 для G выполняются (1)-(4). Для F возможны следующие два случая:

1. F - абелева группа.

Так как F по определению остова нециклическая и не имеет истинных нециклических характеристических подгрупп, то, как нетрудно видеть, выполняются (5) и (6) и F -группа типа I.

2. F - неабелева группа.

Так как F в силу условия леммы разрешима, то 1 < F' < F. Отсюда и из (2) следует, что F' < G, и потому ввиду определения остова F' - циклическая группа. Поэтому существует К > F' (27), что выполняются (7) -(9) и К - максимальная подгруппа группы F, удовлетворяющая этим условиям. В силу (27) ^/]£ - абелева группа.

Пусть 3 L < G (28), такая, что К < L < F (29). Если L - нециклическая группа, то получаем противоречие с минимальностью остова F, а если L циклическая - противоречие с максимальностью К. Значит, таких L не существует. Поэтому ^/¡ç - минимальная нормальная подгруппа группы , а тогда из абелевости ^^ следует справедливость (12).

Покажем, что n(Z0) = (г) (30). Пусть это не выполняется. Тогда для некоторого q Ф г (31) существует ^-подгруппа

Q0 с Z0 (32). Пусть Q - силовская ^-подгруппа группы F. Тогда в силу (31), (32) и (11) Q0 с Q с К, и, так как выполняются (9) и (1), то Q < G (33). В силу определения Q ^/q является q'-группой, и потому F индуцирует в Q q'-группу автоморфизмов Ф. Но в силу (32) Ф действует на Qo тождественно, а тогда, как известно (см., напр., [4] 18.5), Ф = 1, то есть Q с Z0. Поэтому F = QxSo (34), где (|Q|, iSol) = 1 (35) и Q циклическая. Теперь из (2), (34) и (35) получаем, что S0 < G (36). Отсюда и из (33) и (34) получаем противоречие с определением остова F ибо в силу (34) So, как и F, нециклическая. Значит, выполняется (30).

Рассмотрим подгруппу

V = СР(К) = FftC(K) (37). В силу (7) С (К) < G, а тогда из (2) и (37) следует, что

V < G (38). В силу (9) К - циклическая группа. Тогда Aut К - абелева группа, и потому

^/с(К) абелева и С с С (К) (39). Но в силу

(1)-(3) и ^/р абелева, а потому С с F. Отсюда и из (39) и (37) получаем, что С' с V (40). Так как К <У < F и выполняется (38), то из доказанного выше о Ь следует, что возможны лишь два случая: V = F или V = К. Рассмотрим каждый из них.

2.1. V =

Тогда в силу (37), условия 2.1 и неабелевости F имеем: К < 10 < F. Так как 10 < С, то из доказанного выше отсутствия подгрупп Ь следует справедливость (11), откуда в силу

(12) и (30) следует, что выполняется (10) и

(13). Мы получили, что F - группа типа II с условием 11а.

2.2. V = К.

Тогда Ср(К) = К и ввиду (40) и неабелевости С выполняется (15). Поэтому ^/¡^ абелева, а тогда из (12) и доказанной выше минимальности нормальной подгруппы ^/¡^ следует справедливость (14).

Пусть F является г-группой, то есть выполняется (10). Рассмотрим

°/с(Р) < АиЬ р (41). Если Ш - тоже

г-группа, то для любой силовской ^-подгруппы Q группы А при q Ф г имеем: Q с С(Р) (42), и так как А абелева и выполняется (1), то тогда Q < С (43). Но силовская г-подгруппа группы С содержит К и ввиду (15) также инвариантна в С, и потому С ниль-потентна, вопреки условию леммы.

Значит, Ш не является г-группой. Так как по определению остова F не имеет истинных нециклических характеристических подгрупп и ввиду (14) и (9) в F есть циклическая максимальная подгруппа, то ввиду леммы 13 F - одна из трех групп класса Ь^А. Но F неабелева, и потому F = Q8. Тогда К = (44), а для любой силовской ^-подгруппы Q группы С при q Ф 2 имеем (в силу (15)): Н = (К \ О) ^ в (45). Но 1АМ К1 = 2 (ввиду (44)), а 2 и потому Н = К хQ. Отсюда и из (45) следует (43) и, как и выше, получаем, что С нильпотентна, в противоречие с условием леммы. Значит, F не является г-группой. Учитывая (14), мы видим, что F представима в виде (16) с условиями (19) и (17) и г| 1В1 (46). Если то F = В хЯ (47) и из

(46) и (2) следует, что Я < С и В<С, а тогда отсюда и из (47) получаем противоречие со свойством остова, отмеченным в замечании 5.

Значит, выполняется (18).

Пусть 2llBI и S1 - силовская 2-подгруппа группы F. Тогда из (16) и (46) следует, что Sl с B и ввиду того, что B циклическая, Sl < G и F- 2'-группа.

Так как, Aut Sl является 2-группой, то F = С X S-, где С < G, и, как и выше, получаем невозможность этого ввиду замечания 5. Значит, 2 \ |B|, и отсюда и из (46) получаем справедливость (20). Из (16), (19) и (46) следует, что (30) равносильно (21).

В силу (2) и (16) по лемме Фраттини G = F ■ N(R) = B ■ N(R) (48). Введем обозначения: Т = N(R) (49). Если BRT = B1*1 (50), то в силу (17), (1) и (9) Bl < G, а тогда из (49) и (50) следует, что B1 \ R = B1 X R, и потому, в силу (16) Bl с Z0, в противоречие с (21). Значит, Bl = 1, а тогда из (48) и (49) получаем: G = B \ Т (51).

В силу леммы 4 G/р - циклическая п-группа, где п = n(Gfp) = п(А) (52), и потому из (51), (49) и (16) следует, что G/f = FT/f -T/tRF = T/r - циклическая п-группа. Тогда в силу следствия леммы 2 T = RD (53), где D имеет вид (23), и, учитывая (52), выполняется (24). Из (51) и (53) получаем (22), а из (53) и (49) следует справедливость (25).

Мы получили, что F - группа типа II с условием IIb. □

Описание конечных бипримарных SC- групп

Теорема 3. Пусть G - конечная нениль-потентная группа, n(G) = {p,q}, Р, Q, соответственно, силовские p- и ^-подгруппы группы группы G, хотя бы одна из них нециклическая, Z = Z(G). Такая группа G является ^С-группой типа 2a тогда и только тогда, когда она - одна из следующих групп (ниже в формулировке теоремы ни одно из полупрямых произведений не может быть прямым):

1. конечная ненильпотентная бипримарная С^-группа, являющаяся ^С-группой типа 2a и имеющая нециклическую силовскую подгруппу;

2. G = Q \ Р, Q = Pqm, т > 2, Р = Zpn и выполняется одно из следующих условий:

2.1. в Q нет собственных ^-допустимых подгрупп.

2.2. т = 2, Q = QlXQ2, Qi < в (I = 1,2) и для любых х,у е С, таких, что Рх Ф Ру, выполняется РХ^РУ = 2.

3. в = ^2 X Р) X Ql, Р = грп, Ql = г^ и выполняется одно из условий:

3.1. ^^ = ЧФ2.

3.2. Q2 = Рч™, т > 2 и в Q2 нет собственных Р-допустимых подгрупп.

4. в = РА

А>Р = Zpn,

F

'¡К = Eq

К = Z(F) = Zql,

l > 2,

всякая

истинная

Р-допустимая подгруппа группы ^ содержится в К и выполняется одно из условий:

4.1. А = Р и Ух,у е С, таких, что Рх Ф Ру, справедливо: (РХПРУ) с С (К).

4.2. A = QlXР,Ql^ , K<Ql<Z.

5. в = Р1) \Р2,^1 = ЯФ2,Р1= 2рп-1, 1Р21 = р, Р2 Ф Си выполняется одно из условий:

5.1. Р1Фг,Р = (Р1 X Р2) = Мрп, рп ф 8.

5.2. С = (Q ХР2)ХР1.

Необходимость. Пусть группа С, удовлетворяющая условиям теоремы, является 5С-группой типа 2а. Тогда в силу определения 3 она имеет сепарирующую подгруппу Б (1), 1С/Б1 = р (2) и Р Ф С (3). Если 5 -циклическая группа, то, очевидно, С есть С^ -группа, то есть С - группа типа 1 теоремы 3.

Пусть Б нециклическая. Из (2) и (1) следует, что Ух е С Рх Ф Б (4). Отсюда и из определения 5С-группы следует, что Ух, уев при Рх Ф Ру имеем: (РХПРУ) = (5), где число 5 зависит от х и у.

В силу замечания 6 в С существует остов F, такой, что Р < Б (6). Тогда по лемме 4 в = РА (7), где либо А = грк (8), либо А = Р1 X Ql (9), Р1 =1ръФР (10),

Qi = Zqt

Ф Р (11). Отметим, что в силу условия теоремы С - ^-группа, где п = п(С) = {р,Ч} (12).

Далее отдельно рассмотрим случаи, когда Р примарная группа и Р непримарна. 1. Р - примарная группа.

В силу (12) возможны лишь два случая. Если Р - ^-группа, то из (7)-(10) следует, что Р < С, в противоречие с (3). Значит, F -д-группа, а тогда из (7)-(9) получаем, что С = QXР (13), где Q > Р (14), аР = Р1 (15).

Дальнейшее рассмотрение разобьем на два подслучая: 1.1. Р - абелева д-группа

,

Тогда из леммы 15 следует, что Р = Ец-т (16), т> 2 (17). Как показано выше, для подгруппы А из (7) есть две возможности - (8) и (5). Рассмотрим каждую из них отдельно, учитывая (15).

1.1.1. А = Р = грк.

Тогда Q = Р (18). Если в Q нет собственных Р-допустимых подгрупп, то в силу (16)-( 18) и (13) С - группа типа 2 с условием 2.1 теоремы 3.

Пусть в Q есть собственная Р-допустимая подгруппа Q2. Тогда в силу следствия 2 леммы 4 Q = Q2 х Qз (19), где т = Ч (20) и Qi<G (21), 1 = 1,2.

Так как С неабелева, то из (13) и (19) следует, что хотя бы одна из подгрупп = Qi X Р (22), I = 2,3 неабелева. Если только одна из В1 неабелева, то С - одна из групп типа 3 с условием 3.1. Пусть обе В( неабелевы. Тогда ввиду (22) Р Ф В{ (23), 1 = 1,2.

Предположим, что, например, В2 < С. Тогда из (22) и леммы Фраттини следует, что С = В2- Ы(Р) = Q1X Ы(Р), и, так как в силу (19) и (20) |0| = ц2, то Qn Ы(Р) = Q4 и Q4 с 2. Тогда Q = Q2хQ4 и О - одна из групп типа 3 с условием 3.1.

Пусть теперь В^ Ф С, ¿ = 2,3. Тогда можно считать = 1 (24) - иначе можно было бы выбрать 0^2 с1 и имел бы место рассмотренный выше случай, когда только одна В1 неабелева.

Пусть х,у е С и Рх Ф Ру (25), такие х и у найдутся ввиду (23). Учитывая (4), из леммы 12 при Т = Qi получаем, что ш = (РХПРУ) с с^) (26), 1 = 2,3, а тогда в силу (19) Ш с С($) (27), и, так как в силу (13) G = Q\PX = Q\PУ (28), то из (26) и (28) следует, что Ш <1 (29). Но в силу (24), (26) и (28) 1 < Ш. Отсюда и из (29) получаем, что Ш = 1. Теперь из этого и (13), (19) - (21) получаем, что С - группа типа 2 с условием 2.2 теоремы 3. Случай 1.1.1. рассмотрен.

1.1.2. A = P1хQ1 (см. (9) - (11)).

Тогда С имеет вид (13), где Q = FQl (30) и Р = Р1 (31), а А = Р х Ql (32).

Возможны следующие случаи: 1.1.2.1. В Р нет собственных Р-допустимых подгрупп.

Если Q неабелева, то из (30) и Р < С (по определению остова) следует, что = Р0 Ф 1 и Р0< С, то есть Р0 Р-допустима. Значит, Р0 = Р, т. е. Р с 2^), а тогда, ввиду (11) и (30), Q абелева.

Противоречие доказывает, что в случае 1.1.2.1. Q абелева.

Подгруппа Q2 = FftQ1 в силу (32) Р-допустима, и потому, учитывая условие

1.1.2.1, (11) и нецикличность Р, 0^2 = 1, то есть Q = Р х Q1. Теперь отсюда и из (13) следует:

С = (Р X Р) х Q1 и, учитывая (16), С - группа типа 3 с условием 3.2 (где Р = Q2)■ Случай 1.1.2.1 рассмотрен.

1.1.2.2. В Р есть собственная Р-допустимая подгруппа Р1.

Тогда учитывая (16) и применяя для подгруппы Н = Р X Р (33) теорему Машке, имеем: Р = Р1х р2 (34), где Р-допустимы (I = 1,2). Так как С - неабелева группа, то из (7) и (32) следует, что РФ! (35).

Рассмотрим два подслучая для Q. 1.1.2.2.1. Q - абелева группа.

Тогда из (13), (16), (30) и Р-допустимости р1 следует, что Р( < С (36), (I = 1,2~). Отсюда, из (34), (16) и замечания 5 об остове Р следует, что 1Р{1 = Ц (37) и потому из (34) - (36) следует, что ц Ф 2 (38).

Для Q1 есть две возможности: а). Р^ = 1.

Тогда ввиду (30)

Q = (Р1 х Р2) X Q1 (39), и потому в силу (36) и (37) Т^ = ф XQ1)<Q (40), 1 = 1,2. Так как в силу (35) и (32) Р-допустимы, то из (4), (40), (34) и «С-условия имеем: (^ X Р)П(Р X Р) = р1 X Р - циклические группы, то есть р1 с С(Р), а тогда ввиду (34) Р с С(Р), то есть ввиду (7) и (32) Р с 7, вопреки доказанному выше (35). Значит, случай

a) невозможен.

b). Р^ = Q2Ф1.

В этом случае ввиду (34), (37), (11) и нецикличности Р = Ч (41). Но тогда ввиду условия Ь), (30), (34) и (37)

Ю1 =

= |&| -д, то есть Ql<Q (42), а в

силу (41) и (34), например, Р1Ф Q2. Поэтому отсюда и из (6), (42) и (37) получаем: Q = Р1 х Q1, а тогда ввиду (13) и (32) С = (P1XP)XQ1 и учитывая (37) и (38), С - группа типа 3 с условием 3.1 (при Рг^ = Q2)■ Случай 1.1.2.2.1. рассмотрен. 1.1.2.2.2. Q - неабелева группа.

Тогда (2Щ)№) = Р1< С (43) и Р1Ф1. Из (45), (35) и минимальности Р следует, что Р1 - циклическая группа, и потому ввиду (16) ^ = 4 (44).

Рассмотрим имеющиеся возможности для р2.

a) Ш = Ц.

Рассмотрение этого случая разобьем на два случая: а1) QlФFl.

Тогда в силу (44) Q1ПF1 = 1 и существует Q2 = Р1 х Q1 (45). Так как Q неабелева, а Q2 абелева, то Q2 < Q и потому ввиду (30) и (45) Р Ф Q2, а тогда в силу (45) Q2ПF = (46). В силу (30), (34) и (46) Q = ^2 • 0.2, а тогда ввиду условия а) выполняется 01<0. Тогда $2 < 0 и так как $2 Р-допустима и выполняется (13), то 0^2 < ^■ Поэтому для подгруппы Н1 = 0^2 X Р (47) при любом х е С имеем: Н* = Q2X Р*. Если при некотором х Н* Ф Н1, то Ь = Н*ПН1 з Q2, то есть ввиду (45) Ь - нециклическая группа, в противоречие с «С-условием (ибо Н1 Ф Б и Е1 Ф 5). Значит, Ух е С Н- = Нто есть Н1 < С.

Тогда, так как Н < С (в силу (7), (8) и

(32)), то V = НПН1< С (48). В силу «С-условия V - циклическая группа. Но ввиду

(33), (46) и (48) V = F1XP, и, так как V -циклическая, то V = Р1х Р. Отсюда и из (48) следует, что Р < С вопреки (3). Значит, случай а1) невозможен.

а2) QlЗFl.

Тогда Q = (Р-х F2)Ql = F2Ql (49), и так как Q Ф Q1 (ибо Р нециклическая), то из (49) и условия а) следует, что Q1 < Q, и потому Q1 < Q (50). Так как Q1 с С(Р) (ввиду (32)), то из (50) и (13) следует, Q1 < С (51).

Ввиду (49) и неабелевости Q Р2 Ф ^№1), и потому из отмеченного выше, учитывая (13) и (49), имеем: С^-^ = Q1х Р. Отсюда, так как в силу (50)) < С, сле-

дует, что Р < С, в противоречие с (3).

Значит, случай а2), как и а1) невозможен, и потому невозможен и случай а).

b) Шфч.

Тогда из (16) следует, Р2 нециклическая группа. Рассмотрим подгруппу Н вида (33). Из (33), (7) и (32), так как Р < С (по определению остова), следует, что Н < С. Если Н абелева, то ввиду (33) Р < С, вопреки (3). значит, Н неабелева и потому Н' Ф 1.

Так как в силу (4) и (33) Н Ф Б, то по лемме 3 Н является «С-группой с сепарирующей подгруппой (БПН) з р. Подгруппа р2 из

(34) Р-допустима и потому р2 < Н.

Отсюда и из нецикличности F2 в силу леммы 4, примененной к Н, получаем, что ^/р -

циклическая группа, а тогда Н' < F2. Значит, 1 < Н' < F. Так как Н' < G, то ввиду минимальности остова F Н' - циклическая группа. Так как F2 нециклическая, то Н' < F2. Тогда V = Fix Н' < G, что, так как V нециклическая и V < F, противоречит минимальности остова Р.

Значит, случай b) невозможен, и потому невозможен 1.1.2.2.2. Этим завершено рассмотрение случая 1.1. 1.2. F - неабелева д-группа

Тогда в силу леммы 15 F - группа типа

IIa этой леммы, т.е . Z(F) = К = Zni (52),

ч

^/ß = Fq-m (53) - нециклическая минимальная нормальная подгруппа группы .

Если при х,у Е G Рх Ф Ру, то, применяя к подгруппе К \ Р лемму 12, получаем, что РХПРУ с С(К) (54).

Далее рассмотрим отдельно возможности (8) и (9) для А.

1.2.1. А = Р = Zpn.

Тогда Q = F и (13) принимает вид: G = F \ Р (55). Пусть F1 - произвольная собственная Р-допустимая подгруппа группы Р. Предположим, что Fi Ф К (56).

Тогда подгруппа М = FiK < F Р-допустима, а в силу (53) М < F, и потому М < G. ТогдаМ/к < /^ и в силу минимальности нормальной подгруппы группы ^/¡^, (56) и определения М имеем: М = F, то есть F = FiK (57). Тогда ввиду (52) Fi < F и ввиду Р-допустимости Fi и (55) Fi < G.

В силу минимальности остова F подгруппа Fi циклическая, а тогда из (57) и (52) следует, что F абелева, вопреки условию 1.2. Значит, (56) неверно и поэтому Fi с К. Отсюда и из (52)-(55) следует, что G - группа типа 4 с условием 4.1 теоремы 3.

Случай 1.2.1. рассмотрен.

1.2.2. A = QixP, Zqt, Р = Zpn.

Рассмотрим группу G = (58). В силу (13), (30), (52) и (53) G = Q\ Р (59), где Q = Q/k = FQi (60), F = F/K (61),

Qi = QiK/K (62), P = PK/K = P (63) и F -нециклическая минимальная нормальная подгруппа группы G (ввиду леммы 15).

Так как Р < Q, то Т = Р№(0 Ф 1, и, так как Т < С, то ввиду минимальности Р Т = Р с г^) (64). Так как в силу (53) Р = Е^т (65), а ввиду условия 1.2.2. Q1 = (66), то из (64) и (60) следует, что Q - абелева группа. Значит, С с К (67). Так как I = Q1ПP Р-допустима (ибо Q1 и Р Р-допустимы), то из (59) и абелевости @ вытекает, что I < С, и потому ввиду минимальности Р и Р Ф Q1 (68) (ибо Р нециклическая) I = 1,то есть ввиду (60) Q = Р X Q1 (69).

Так как К < Б, то в силу леммы 3 С является 5С-группой. Ввиду условия 1.2.2. Q1 с С(Р), и потому из (59) и (68) получаем: С = (РхР)х ^ (70).

Из (61), (62) и (69) следует, что (FПQ1K) = К, и потому

р1 = = к^ (71).

Рассмотрим ] = KQ1 (72). В силу (68) РФ У, а ввиду (11) ] Ф F, и потому ввиду 5С-условия ((Р X Р)П(] X Р)) з К X Р -циклическая группа, и потому К с С(Р) (73).

Из (62) и (72) следует, что Q1 = , и так как ввиду(70) Q1 < С,то ] < С (74).

Рассмотрим В = ] X Р. Так как в силу условия 1.2.2. Q1 с С(Р), то из (73) и (72) следует, что В = ] X Р (75). Если В < С, то, так как в силу (72) р \ |/|, Р < С, в противоречие с (3). Значит, 3 х е С, что Вх Ф В. Ввиду (75) и (4) В Ф Б и Вх Ф Б и потому в силу 5С-условия и (74) (ВПВх) з ] - циклическая группа, а тогда так как ] - д-группа, из (72) и (11) следует, что Q1> К и ввиду (62)

С}1 = к и так как < С (ввиду (70)), то имеем: К < Q1 < С (76). Тогда С< С. Так как Q1 - циклическая группа, то АШ Q1 -абелева группа, и потому ^ абелева.

Тогда С с С^-1), и, так как в силу (7) - (9) и определения остова ^/р абелева, то С с Р, и потому С с Р0 = Р ПС О (77). В силу (76) и (52) К <Р0,ав силу (77) Р0 < С.

Тогда к < , и ввиду минимальности либо Р0 = К (78), либо Р0 = Р, т. е. Р с С^-1), а тогда из (7) и 1.2.2. следует, что Q1сZ (79). В случае (78) ввиду (77) € - абелева группа и из-за минимальности Р имеем: 1Р1 = ц, в противоречие с нецикличностью Р. Значит, выполняется (79).

Пусть в F существует собственная Р-допустимая подгруппа р2, такая что Р2ФК (80).

Тогда Ш = р2^ (81) Р-допустима и ввиду (67) Ш < Q, и потому в силу (13) Ш < С. Значит, Ш = Ш/к <

Так как ввиду (80) и (81) Ш Ф 1, то из минимальности Р следует, что Ш = Р, т. е. Р = Р2К (82). Если Р2 абелева, то в силу (52) Р абелева, вопреки условию 1.2. Значит, неабелева. Тогда из (82) и (52) следует, что р2 ^ Р. Но р2 Р-допустима, и потому из доказанного и (13) следует, что р2 < С. Так как р2 нециклическая, то мы получили противоречие с минимальностью остова Р. Значит, такой р2 в Р нет, т. е. все истинные Р-допустимые подгруппы группы Р содержатся в К.

Из доказанного, учитывая (76) и (79), следует, что в случае 1.2.2. С является группой типа 4 с условием 4.2.

Рассмотрение случая 1 закончено. 2. Р - непримарная группа.

Тогда в силу леммы 15 Р = В X Я (83), где В = !к (84), п(Я) = {г} (85), (86),

(2г, к) = 1 (87) и в (7) можно считать, что А < N(11) (88). Так как в силу (12) 1п(С)1 = 2, то в силу условия 2, (85) и (84) п(Р) = {Ь,г} (89), т. е. ввиду (87)к = (90) и В - примарная группа. Если В с А, то из (83) и (88) следует, что Р = В X Я, вопреки (86). Значит, В ФА (91).

Для А есть две возможности - (8) или (9). Рассмотрим каждую из них. 2.1. А = грп.

В силу (12) либо Ь = ц (92), либо = р (93). Рассмотрим эти случаи. 2.1.1. В = гцт.

Тогда в силу (90) и (87) цф2 (94) и ввиду (89) = р (95). Отсюда и из (7), (88) и условия 2.1. следует, что Р = ЯА (96) - силов-ская ^-подгруппа группы С и С = В X Р (97), причем В ФХ (98), ибо С ненильпотентна по условию теоремы.

В силу (96) для V = С (В) (99) выполняется: V = BXР1 (100), где Р1 = СР(В) (101). Так как V < С, то Ру < С, и потому Ру с (РПРх) Ух ев. Тогда из (5) следует, что Ру =!рв (102). В силу 2.1.1. и (94) АгИ В -циклическая группа, а тогда из (99) следует, что ^/у - циклическая, и потому ввиду (97) и (100) Р/Р = ^р! (103).

Так как Р в силу 2.1.1. и условия теоремы 3 нециклическая, то Р-Ф 1 (104).

В силу леммы 8 Р - одна из следующих групп:

I. Мрп (рп Ф 8);

II. группа типа р х рп-1;

III. Q8.

Дальнейшее рассмотрение разобьем на два случая: Р - типа I или II и Р - типа III. 2.1.1.1. Р - группа типа I или II.

В такой группе Р существует единственная нециклическая максимальная подгруппа М типа рп-2 хр. В силу леммы 8 М < Б, и потому, так как ввиду (6) и (83) В < Б, то из (97) и (4) получаем: Б = В X М (105). Поэтому для любой Р2 < Р, такой, что Р2 - циклическая группа, выполняется Р2 Ф Б (106) (ибо иначе ввиду (105) Р с Б, вопреки (4)). Пусть Р3 < Р, Р3 - циклическая и Р3Ф Р2 (такая в Р найдется). По доказанному выше Р3 Ф Б (107). Рассмотрим ^ = В X Р1 (I = 2,3). В силу (106) и (107) Ф Б, и потому ввиду «С-условия

Т2ПТ3 з В X (Р2ПР3) - циклическая группа, а тогда для Р0 = Р2ПР3 (108) выполняется Р0 с С (В) (109). Но в Р с условием 2.1.1.1. Р0 = Ф(Р) и Р/ф(р) = Ер2 и потому

Р/ро = Ер2 (110). В силу (109) и (101) Р0 < Рг .Но тогда из (110) и (103) следует, что Р/р = Р, то есть Р- < Р. Так как в силу

(102) Р- - циклическая группа, то из определения групп типа I и II следует, что Р = Рг X Р4 (111), где Рг = грП-1 (112), а ^ = р (113). Из (97), (111), (101) и (100) получим: в = (вхP1)x Р4 (114). Если Рг с г, то Р - группа типа рп-1 хр и С = (В X Р4) х Р1 (115).

Пусть (116). Тогда

ЗВ0< В (117), такая, что |В0| = д. Для циклической Р2 < Р выполняется (106), и потому из (4) и «С-условия следует, что (В X Р2)П(В0 X Р) з В0 X Р2 - циклическая группа, то есть В0 с С(Р2), а тогда отсюда и из 2.1.1., (117) и Й<С в силу следствия 1 леммы 6 получаем, что Р2 с С (В). Отсюда и из (101) так как Р = Р-Р2, получаем, что Р с С (В), и ввиду (97) С нильпотентна, вопреки условию теоремы 3. Значит, (116) неверно с учётом (84) и (87) и |B| = q Ф 2. Учитывая это, условие 2.1.1.1, (94), (112) - (114) получаем: при Р-^ФХ С - группа типа 5 с условием 5.1, а при Ргс2 выполняются (115) и С -

группа типа 5 с условием 5.2 (с точностью до обозначений).

Случай 2.1.1.1. рассмотрен. 2.1.1.2. Р = Q8.

В такой группе всего три максимальные подгруппы. Так как выполняется (4), то две из них не содержатся в 5 - пусть это будут Р1, I = 1,2. Как и выше, в конце пункта 2.1.1.1. (рассматривая подгруппы В X Р± и Во X Р), показывается, что |B| = ц. Такая группа С является в силу теоремы 2 из [3] С/М-группой и потому в силу теоремы 3 из [1] С является С^-группой, то есть одной из групп типа 1 теоремы 3.

Случай 2.1.1. рассмотрен. 2.1.2. В = 2рп1.

Тогда в силу (7) и (83) в = (В X Я) •А (117) и Р =ВА (118) - силов-ская _р-подгруппа группы С.

Из леммы 15 следует, что р Ф 2 (119), Я - ^-группа и ЗЯ0 = (ЯПК) = (120) такая, что Я0<Я, Я0<С (121) и

%0Н (122).

Пусть Я0 = 1 (123). Тогда в силу (122) |К| = д. Отсюда и из (83), так как подгруппа Р нециклическая, следует, что С(В)ПР = В (124). Но °/с(В) абелева ввиду

2.1.2., а ^/р абелева ввиду (7) и 2.1., и потому отсюда и из (124) следует, что С с В. Но тогда ввиду (118) Р < С, вопреки (3). Значит, (123) неверно и Я0 Ф 1 (125). В силу (88) и

(121) в С есть подгруппы и = B(R0XA) и Т = Я X А (126). В силу (91) Т. Так как ввиду (4) и 2.1. А Ф Б, то и Ф Б и Т Ф Б, и из «С-условия следует, что UПTз(R0xA) -циклическая группа, т. е. Я0 с С(А) (127). Если Я - циклическая группа, то ввиду следствия 1 леммы 6 Я с С(А). Отсюда и из (117), (118) следует, что Р<в (128) вопреки (3). Значит, подгруппа Я - нециклическая.

Из (121) следует, что Я0 с С (В), а тогда из (118) и (127) получаем, что Яо с С(Р) (129).

Пусть Я неабелева. Тогда из (120) и

(122) следует, что СН(Я0) = Я0 и в силу (129), (127), (117) и (118) С(Я0) = Я0хР, а отсюда и из (121) следует (128), в противоречие с (3).

Значит, Я - абелева группа. Так как она нециклическая, то из (120) и (122) следует, что Я - группа типа цт-1 х ц, и потому существует Яг < Я, такая, что Яг = Еч2. Если Яг Ф Я, то в силу (91) и «С-условия

В(Я1 X А)ПТ з Я1 X А - циклическая группа в противоречие с нецикличностью Я1.

Значит, Я = Яу = Еч2 . Теперь из (121), (122) и теоремы Машке (для Т) имеем: Я = Я0 X Я2 (130), где ввиду (122) 1Я21 = ц и Я2 А-допустима. Тогда из 5С-условия имеем: В(Я2 X А)ПТ = Я2А - циклическая группа, а тогда Я2 с С (А). Отсюда и из (127), (130) и (126) получаем: Т = Я X А. Отсюда и из (118), (117) следует, что Р < С, вопреки (3). Поэтому (125) невозможно.

Значит, случай 2.1.2. невозможен. Рассмотрение случая 2.1. закончено. 2.2. А = Р1X Q1 и выполняются (10) и (11).

Тогда в силу (83) и (7) в = (В X Я)(Ру X О) (131), где РуФБ (132).

Пусть В является ^-группой. Тогда Р = ВР1 (133) - силовская ^-подгруппа группы С, а Я - д-группа. В силу 5С-условия и (132) (Р ЯПЯ А) з Я X Р1 - циклическая группа, и потому Я с С(Р1). Поэтому ввиду (133) Р < Ш = РЯ, и так как Ш < С, то Р < С, вопреки (3). Значит, В не является ^-группой.

Как отмечено в начале пункта 2, В - примарная группа, и потому В является д-группой. Тогда Я - ^-группа и в силу (88) Р = ЯРу (134) - силовская ^-подгруппа группы С. В силу (91) BР%РQ1, и в силу 5С-условия (BРПРQ1) з Р - циклическая группа, а тогда из (134) следует, что Я с Р1 (135), то есть Р = Р1. Теперь отсюда, из (134) и (131) следует: С = (BQ1)Р и Q = BQ1 < С (136) (ибо абелева), то есть С = QхР (137). Но ввиду (2) Q с Б, а из (137) и условия теоремы 3 следует, что Q нециклическая. Поэтому в силу (136) в Q можно выбрать остов Р1 группы С, являющийся примарной группой. Такие 5С-группы, удовлетворяющие условиям теоремы 3, описаны выше в пункте 1 настоящего доказательства (в том числе и вида (137)).

Рассмотрение пункта 2 закончено. Необходимость доказана.

Достаточность (здесь мы используем новую нумерацию).

Пусть С - группа одного из типов теоремы 3. Все они разрешимы и ненильпотент-ны. Во всякой из этих групп найдется Б < С (1), такая, что = р (2) - вид Б для каждого типа свой. Ниже мы покажем, что С является 5С-группой с этой сепарирующей подгруппой Б и, так как ее силовская

^-подгруппа Р во всех типах неинвариантна в С,то С будет 5С-группой типа 2а.

В силу (2) и (1) Ухе в Рх Ф Б (3), а РХПБ = Р-х < Рх (4).

Пусть 1<Н1<С (5), Н1ФБ (6), I = 1, 2, и Ну^ Н2 (7). Для доказательства того, что С - 5С-группа, надо проверить, что Т = Н-ПЪ (8) циклическая, или показать, что таких пар Н-, Н2 нет в группе С.

Очевидно, Нi можно считать нециклическими. Иногда для изучения вида Нi мы будем рассматривать произвольную нециклическую подгруппу Н, для которой 1 < Н < С (9) и Н Ф Б (10).

Перейдем к рассмотрению каждого из типов 1-5 теоремы 3.

1. С - группа типа 1.

Так как всякая С^-группа является 5С-группой и С удовлетворяет условиям теоремы 3, то С - 5С-группа типа 2а. Ее разрешимость следует из бипримарности в силу теоремы Бернсайда.

2. С - группа типа 2 - 4.

Тогда Р = 2рп (11) и для Н с условиями (9) и (10) в силу (4) и единственности максимальной подгруппы группы Р выполняется Н з Рх (12) для некоторого хе С.

Дальнейшее рассмотрение этих типов продолжим отдельно.

2.1. С - группа типа 2.

Тогда G = QхР = QхРХ (13) Ух ев. Из (12) и (13) следует Н = Q0хРХ (14), где Q0 = НnQ (15) Рх-допустима и

1 <Q0<Q (16) - ибо выполняется (9). Если С - группа типа 2.1., то таких Н (нециклических) у нее нет, и потому С - 5С-группа.

Пусть С - группа типа 2.2. Тогда из (16) и определения группы типа 2.2. следует, что К0| = ц. Тогда для любых двух Нi вида (14) с условиями (5) и (6) имеем: Нi = Qi X РХ1 (17), где = ц (18), 1 = 1,2.

Если Q1 Ф Q2, то Т - ^-группа и в силу (11) Т циклическая. Пусть Q1 = Q2■ Тогда в силу леммы 11 Т = Q1х (Рх1ПРХ2), и, так как по определению группы типа 2.2. РХ1ПРХ2 = I и выполняются (11) и (18), то Т - циклическая группа. Значит, С - 5С-группа.

2.2. С - группа типа 3.

Положим Б = (Q2 X Р-) X Q1.

Рассмотрим 1 = Q2хР = Q2хРХ (19) (ибо I < С). Так как Нi нециклические, то из (19) и определений групп типа 3.1. и 3.2. следует, что Нi з I (20), Ь = 1,2 (ибо в Q2 нет

собственных Р-допустимых и Р*-допустимых подгрупп).

Но = , и потому из (20) следует, что Н2, вопреки их выбору (см.(7)). Значит, С - «С-группа. 2.3. С - группа типа 4.

Л/А1

Р-

Положим 5 = РАг, где

Для Н с условиями (9) и (10) выполняется (12). Так как Р < С (21), то из определения группы типа 4 следует, что все истинные Рх-допустимые подгруппы группы Р содержатся в К = 2(Р). Так как К циклическая, то все ее подгруппы вместе с Р - это и есть все Рх-допустимые подгруппы группы Р. Так как Н нециклическая, а А циклическая, то В =

НПР ФlиH>T0 = BxPx.

Пусть С - группа типа 4.1. Тогда В < Р и Н = То- Поэтому если для Н1 (£ = 1,2) выполняются (5)-(7), то из отмеченного выше следует, что Hi = KiX РХ1, где К1<К2<К (ибо К -примарная циклическая). Тогда в силу леммы 11 Н1ПН2 = К1(Ру1ПРу2), а это - циклическая группа в силу одного из свойств группы типа 4.1. Значит, С является «С-группой.

Пусть С - группа типа 4.2. Покажем, что Н з р (22). Предположим, что Н Ф Р (23). Тогда В Ф Р (24) и так как ^/р циклическая, то НР/р = Н/НПр = Н/в - циклическая группа. Но так как В в силу (21) Рх -допустима, то из сказанного выше следует, что В < К и потому в силу свойств группы типа 4.2. В < Q1 < I (25), а тогда из сказанного о Н/^ следует, что Н абелева. Отсюда и из (25) получаем, что V = HQ1 (26) абелева. В силу определения группы типа 4.2. С = РАХ (27), где, учитывая (25), Ах = д1х Рх (28). Так как ввиду (26), (12) и (28) V > Ах, то из (27) следует: V = иАх (29), где и = РПУ (30). Из абелевости V, (21), (28) и (30) следует, что и - абелева Рх -допустимая подгруппа группы Р. Так как Р неабелева, то из определения группы типа 4.2. следует, что и < К. Отсюда, из (29), (28) и (25) имеем: V < KQ1PX = Ах - циклическая группа, а тогда ввиду (26) и Н циклическая, вопреки её выбору. Значит, (23) неверно и выполняется (22).

Тогда из (22) и (12) следует, что Н з О = Р X Рх (31). Так как ввиду (27), (28) и (31) С = DQ1, то в силу (25) О<С и С/0 -циклическая д-группа. Но тогда любые две нециклические подгруппы Н1и Н2 с условия-

ми (5) и (6) инцидентны (ибо они по доказанному выше содержат О) и потому С является «С-группой. 2.4. С - группа типа 5.

Тогда в = ^ х Рг) X Р2 (32), где либо Р =P1xP2^ Мрп (33), рп Ф 8, либо р = р1хР2 (34) - группа типа рп-1 хр. В обоих случаях Ф(р) = Р3 с г(Р) (35), где Р3<РЪ С = QxP (36) и Ю^ц (37). Значит, Ф(Р) < Рг (38) и ввиду (32) и (35) Ф(Р) с г (39).

Возьмем 5 = (QxP2)хP3 (40). Тогда РПБ = (Р2 х Р3) - единственная нециклическая максимальная подгруппа группы Р, и в Р вне (РПБ) содержатся только подгруппы Р и циклические = 2рп-1 < Р (41). Поэтому для непримарных и Н], учитывая (36), (37) и (41), имеем: либо Н1 = Q X М*1 (42), 1 = 1,2, либо Hi = Qx Рх! (43),у = 3,4.

Для подгрупп Нг и Н2 вида (42) при Ф Н2 в силу леммы 11 Н1ПН2 = Q(Ml^1ПM^2) (44).

Для групп Р вида (33) и (34) Ф(Р) = грп-2 (45), Ф(Р) < М1 (46), и потому ввиду (39) Ф(Р) < Мр, а тогда М^ПМ*2 = Ф(Р). Значит, (44) принимает вид: Н1ПН2 = Q -Ф(Р) и ввиду (45) и (39) (Н1ПН2) - циклическая группа.

Пусть Н1 - вида (42), Н3 - вида (43) и Н1 г Н3 (47). Тогда Ь = Н1ПН3 = Q X Р0 (48), где Р0 - ^-группа. Так как = рп-1 (вви-

ду (41)) и Н-Ф Н3, то ^ < рп-2 (49). Ввиду (39) и (46) Ф(Р) < (М11ПРХз) < Ь, а тогда в силу (39) и (48) Ф(Р) < Р0 (50). Но так как ввиду (46) и (41) |Ф(Р)| = рп-2, то отсюда и из (49) и (50) следует, что Р0 = Ф(Р). Теперь отсюда и из (45), (48) и (39) следует, что I -циклическая группа.

В силу (32) Рг < С, а тогда Рг с Рх (51)

V х е С. Так как Рг< Р (по определению группы типа 5), то в силу (51) при Рх Ф Ру

V = РхПРу = Рг= грП-1 (52).

Ввиду сказанного в начале пункта 2.4. все примарные нециклические подгруппы группы С, не принадлежащие 5 - это группы Рх, и ввиду (52) для любой пары таких различных подгрупп Рх и Ру «С-условие выполняется.

Рассмотрим С = Н3ПН4 (53), где Н3 и Н4 - вида (43) иН3ФН4 (54).

Тогда, так как в силу (43) ^^ = |H4|, то из (54) следует, что Н3 г Н4.

В силу леммы 11

Ш = Н3ПН4 = Q X (РУ ПРу4), а ввиду (32) и (52) W = QXР1 = QXР1 - циклическая группа.

Пусть Н%РУ и Н - вида (42) или (43). Рассмотрим НПРУ = Р4. Очевидно, что Р4 - /»-группа, и потому Р4 < Р5 (55), где Р5 -силовская /-подгруппа группы Н. Тогда Р4 с (Р5 ПРУ) (56). Если Н - вида (42), то в силу (41) Р5 - циклическая группа, а тогда ввиду (55) Р4 циклическая. Если же Н - вида (43), то Р5 = РУ) и ввиду (56) и (52) Р4 с (Ру]ПРУ) = Ру -циклическая группа. Значит, для таких пар Н, РУ «С-условие выполняется.

Мы рассмотрели все возможные случаи пересечений неинцидентных нециклических подгрупп, не содержащихся в Б. Все такие пересечения циклические, и потому С «С-группа. □

Следствие. В «С-группе С каждого из типов 2.1., 3 и 4.2. теоремы 3 существует такая подгруппа Б, что любые две нециклические подгруппы группы С, не содержащиеся в Б, инцидентны.

Справедливость этого утверждения установлена при доказательстве достаточности для этих типов в теореме 3.

Если из типов См -групп, полученных в теореме 1 из [1] и «С-групп, полученных в теоремах 1 и 2 из [2], выделить бипримарные группы, то вместе с типами 2-5 теоремы 3 получаем следующее описание конечных бипримарных «С-групп.

Теорема 4. Конечные бипримарные «С-группы - это следующие группы, и только они (некоторые типы могут пересекаться):

1. Конечные бипримарные См-группы: группы типов 1 - 3 теоремы 1 из [3], типов I - IV и VII теоремы 2 из [3], типа 2 теоремы 4 из [1];

2. бипримарные группы теоремы 1 из [2];

3. группы типа 3 теоремы 2 из [2];

4. группы типов 2 - 5 теоремы 3.

Заключение

На базе результатов этой работы и работы [2] будет получено описание конечных разрешимых «С-групп.

Список литературы

1. Половицкий Я.Д., Коневских Т.М. О группах с циклическими пересечениями неинцидентных (максимальных) подгрупп // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 3(46). С. 22-31.

2. Половицкий Я.Д., Коневских Т.М. О конечных группах с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп, не содержащихся в некоторой подгруппе // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2020. Вып. 3(50). С. 5-16.

3. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 2. С. 22-35.

4. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с.

Finite biprimary groups with cyclic intersections of non-incident subgroups that are not contained in some subgroup

Ya. D. Polovitsky, T. M. Konevskikh

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru;_8(342) 239-63-21

We described a finite biprimary groups with the condition indicated in the title.

Keywords: biprimary group; cyclic group; incident subgroup.