Конечномерные пространства функций на плоскости, инвариантные относительно группы движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Грошева Л.И. Разложение канонических представлений на плоскости Лобачевского // Вестник Тамбовского ун-та, 2003, том 8, вып. 1, 142—144.

2. Грошева Л.И. Преобразования Пуассона и Фурье, связанные с каноническими представлениями на комплексном гиперболическом пространстве, (см. настоящий том)

КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ НА ПЛОСКОСТИ, ИНВАРИАНТНЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ГРУППЫ ДВИЖЕНИЙ

© Э.Н. Деребизов

В настоящей заметке мы описываем все конечномерные подпространства функций /(х, у) класса С°° на плоскости К2, инвариантные относительно группы С движений плоскости (параллельные переносы и вращения).

Сразу видно, что пространство 5* многочленов от х, у степени ^ к является инвариантным относительно б. Однако, это не все такие пространства. Например, в пространстве 5г размерности 6 содержится инвариантное подпространство размерности 4 с базисом х2 + у2,х,у, 1.

Удобно от переменных х, у перейти к переменным г = х + iy, г = х — гу.

Теорема. Всякое неразложимое С-инвариантное конечномерное подпространство в С00 (К2) задается парой чисел р, <7 € N = {0,1,2,...} и состоит из многочленов /(г, г) степени ^ р по г и степени ^ q по г. Его размерность равна (р + !)(<? + 1).

Доказательство. Алгебра Ли 0 группы (7 имеет своим базисом следующие три дифференциальных оператора:

д_ д_ (

дг' дг' 1 \ дг 2дг)

Соотношения коммутации

Э_ д_

дг' дг

= 0,

= г

дг’

Пусть К - подгруппа в (7, состоящая из вращений. Оператор Ь отвечает этой подгруппе.

Пусть V - конечномерное пространство в С00 (К2), инвариантное относительно (7. В силу компактности группы К пространство V распадается в прямую сумму собственных относительно К подпространств. Возьмем какой-нибудь собственный вектор / из V: Ь/ = гтп/, т Е Ж. Из соотношений коммутации получаем, что векторы (д/дг)} и {д/дг)/ являются собственными для Ь с собственными числами ¿(тп-1) и г(т+1), соответственно. В силу конечномерности V существуют числар и д из N такие, что (д/дг)р+х/ = 0, но {д/дг)р/ Ф 0, и (д/дг)ч+г / = 0, но {д/дг)4} ф 0. Следовательно, / есть многочлен от г и г степени р и <], соответственно. Так как / - собственный для К, то / = Сгргч, так что т = р - </. Действуя на / операторами д/дг и д/дг, мы получим все многочлены от г и г степеней не больше р и <7, соответственно. Полученное подпространство в V неразложимо. □

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

© Э.Л. Казарян

Пусть П - ограниченная область в К", п ^ 2, с гладкой границей 5. Будем говорить, что функция и(х) в области Л удовлетворяет условию Гельдера (непрерывна по Гельдеру) с показателем а € (0,1), если

88