Конечно-элементное моделирование контактного трения в процессах обработки металлов давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.37; 621.7

Д.А. Алексеев, асп. (4872) 35-18-32, Ad16663@yandex.ru,

А.Н. Пасько, д-р техн. наук, доц. (4872) 35-18-32, а1еквеу.п.равко@шаП.щ (Россия, Тула, ТулГУ)

КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ТРЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

На основе метода конечных элементов разработана математическая модель деформирования заготовки из упругопластического материала жестким инструментом. Разработанная математическая модель позволяет учитывать контактное трение между заготовкой и инструментом.

Ключевые слова: метод конечных элементов, упругопластический материал, жесткий инструмент, контактное взаимодействие.

Расчет энергосиловых параметров и формоизменения в процессах обработки металлов давлением существенно образом зависит от условий на контактной поверхности металла с инструментом, при этом контактное трение является едва ли не определяющим фактором и в значительной мере обуславливает усилия контактирования, качество изделия, силовые и экономические показатели процесса, надежность и ресурс технологического оборудования [1].

В основе математической модели используем принцип возможных изменений деформированного состояния. Согласно этому принципу для любого кинематически возможного поля скоростей в произвольный момент времени справедливо условие равенства мощностей внутренних и внешних сил [2]:

-58е[ЛП= | р; , (1)

О £ст

~ . ер

где - компоненты тензора напряжений; 8 - - компоненты тензора скоростей упругопластической деформации; О - объем расчетной области; Р1 - распределенная по площади нагрузка; 5й; - скорость перемещения; £ - площадь поверхности расчетной области.

В качестве конечного элемента используем изопараметрический восьмиузловой элемент [3].

Рассмотрим основные соотношения для этого конечного элемента. Для к -го узла соотношение для функции формы имеет вид

мкп,С)=8(1 + 5к-5» + Пкп» + Ск <),

где 5, П, С - оси нормализованной системы координат.

Аппроксимирующие полиномы для выбранного конечного элемента в матричной форме записи будут иметь вид

X = N • X; (2)

Ли = N •АУ, (3)

где х, Ли - вектор-столбец координат и приращения перемещения произвольной точки конечного элемента соответственно; X, АУ - вектор-столбец координат и приращений перемещений узлов конечного элемента соответственно,

хТ = {х у і}; хТ = {*1 Y2 Zl ••• * 8 Y8 Z8};

АиТ = {Аих Аuy Аиі };

АУТ = = {АУд г), К )1 (АУі )1 ... А )) 8 ) (АУі

■ N1 0 0 ••• 0 0 - N8 0 0 "

N = 0 N1 0 - 0 0 - 0 N8 0

0 0 Щ, ••• 0 0 0 0 N8 _

С учетом уравнения для приращения перемещения (3) соотношения Коши в матричной форме будут иметь вид

где

В

Ас ер = В • АУ,

дN1 0 0 дЩк 0 0 д 00 0 0

дх дх дх

0 дЩ 0 0 дЩк 0 0 д 00 0

ду ду ду

0 0 дЩ 0 0 дЩк 0 0 дЩ

ді ді ді

дЩ дЩ 0 • дЩк дЩк 0 • дЩ8 дЩ8 0

(4)

ду

0

дИ\

ді

дх

дЫ\

ді

0

дЩ

1

ду

дЩ

дх

ду

0

дЩ

ді

дх

дЩк

ді

0

дЩк

ду

дЩ

дх

ду

0

дЩ

ді

дх

дЩ

ді

0

дЩ

8

ду

дЩв

дх

Производные от функций формы в матрице В будем находить по следующему соотношению:

Ик1 \дМк ]

дх д^

► = J—1 дМк

ду дп

дМк дNk

. ді , 1 д^ ]

где J

дх ду ді

д^

дх _ду ді

дп дп дп

дх ду ді

д^

- матрица Якоби.

Координаты точки конечного элемента в матрице Якоби определяются по соотношению (2).

Для описания контактного взаимодействия необходимо выполнить условие непроницаемости, для выполнения этого условия воспользуемся методом штрафных функций, в соответствии с которым к выражению (1) необходимо добавить вариацию интеграла вида [4]

пТ • Ли - Аип) dS.

S,

, JdS,

(5)

аы

где К - штрафной множитель; п - вектор единичной нормали, Лип - приращение нормального перемещения инструмента; Sаu - площадь контакта.

Учитывая выражения (3) - (5) и

о = о * +Ло ; Ло = Бер • Лєер,

где о * - вектор напряжений на і —1 шаге нагружения; Ло - приращение

компонент вектора напряжений на і -ом шаге нагружения; Бер - матрица связи приращений компонент тензоров упругопластической деформации и напряжений, получим

(6)

&/ = 8/0 — 8/р + 8/а* + 8/п = 0.

где

&/е = |5(ЛУГ )• ВТ • Бер • ЛєepdQ = |5(ЛУГ)• ВТ • Бер • В • ЛVdQ; П П

/р = |8^Т )• NT • pdS;

Sа

Ы а*

|з(аУт )•

О

Ып « з(аУТ )• 2К(цТ • Ті • АУ

ВТ • о * dQ.

Т2Т •Аип),

где

ТТ =

Vа! ' (пх )і ... 0 " " А1 -(пх )1 "• 0 "

л/4 -(пу)1 ... 0 А1 -(пу )1 - 0

Vа!-(п2 )і ... 0 • Т Т = • т2 = А1 \ПГ )1 "• 0

0 ' " л/ А8 ' (пх )8 0 ••• А8 -(пх )8 / \

0 - лД8)8 0 - А8 '(пу )8

0 "• 4^ \п2 )8 _ 0 ••• А8 •(«г^_

Аи П = {Пп )і - (А^п )к - (А^п )8 },

где Лк - доля площади контактирующей поверхности конечного элемента, приходящаяся на к -й узел.

Необходимо отметить, что в приведенных матрицах Т\, Т2 и векторе Аип компоненты определяются для контактирующих узлов, для свободных узлов эти компоненты равны нулю.

Для учета сил трения скольжения рассмотрим работу напряжения трения на перемещение Аи :

Jт = - | Аи • тdS , (7)

V

где Аи = Аит - Аит - вектор приращения перемещения точки конечного элемента относительно инструмента; Аи т - вектор приращения перемещения точки конечного элемента в плоскости, касательной в точке контакта заготовки с инструментом; Аит - вектор приращения перемещения инструмента в плоскости, касательной в точке контакта инструмента с заготовкой; т - вектор напряжения трения скольжения.

Вектор напряжения трения скольжения будем определять по соотношению

Аи

т

|Аїї|

ТЬ •

Аит - Аит

|Аит — Аи т|

(8)

а,

где = т •—?= - закон трения Прандтля; т - фактор трения; ст7-л/3

сивность напряжения в приконтактном слое.

- интен-

Модуль вектора приращения перемещения конечного элемента относительно инструмента можно представить в виде

Дит - Дит| = ^(Аих' - Аих,? + (Диу - ДУу)2 , где Дих«, Диу>, ДУх«, ДУу1 - приращение компонент перемещения заготовки и инструмента в преобразованной системе координат соответственно.

С учетом выражения (8) соотношение (7) будет иметь вид

Л=-| ^(Дит-Ди^ (Дит-Дит)й, (9)

£

аи

где Кт - величина, значение которой получено на предыдущем шаге нагружения или предыдущей итерации (в случае уточнения граничных условий),

т Ь

К

- ДУх) + (Диу. - ДУу )2 +Д

где Д - малое число для предотвращения деления на ноль.

Вариация интеграла (9) после соответствующих преобразований будет иметь вид

&/т * 5(дУГ )• 2^ ■ Ь • ДУ - Ь2Г • Дит), (10)

где

Ь

Г

Ь2Г =

0\ ■ (ахх')] / \ 01 (у' )1 •• 0 0

°1 ■(аух')1 01 (уу'\ •• 0 0

01 ■ (агх') 01 •• 0 0

0 0 °8 ■ (ахх' )8 / \ °8 ■ (ху' (8

0 0 '* 08 ■ (ух' )8 °8 ■ (уу'

0 0 ” °8 ■(агх' )8 °8 ■ (у' Г '8 _

01 ■ (ахх' )1 012 (аху' )1 •• 0 0

01 ■ (аух' )1 012 (уу' )1 •• 0 0

012 ■(агх' )1 012 ■(оД •• 0 0

0 0 ” 082 ■(ахх' )8 08 2 ■( ху'

о

о

о

о

°82 ■(аух )8

082 ■(агх' )8

<^82 ■ (уу’ )8 082 \а2у' )8

1

где ахх>, Оух, а2х', аху, Яуу, а2у - направляющие косинусы,

°к = л/(Кт)к ' Ак .

Аналогично в приведенных матрицах Ь1, Ь2 и векторе Дит компоненты определяются для контактирующих узлов, для свободных узлов эти компоненты равны нулю. При этом будем учитывать трение только для тех узлов, которые принадлежат грани конечного элемента, взаимодействующей всеми своими узлами с инструментом.

Таким образом, вариационное уравнение для конечного элемента имеет вид

Ы = Ы8 - Ыр + Ыа* + Ып + Ыт = 0, (11)

откуда после соответствующих преобразований получим

(К + Кт + кп)■ ДУ = Рр + Рт - Ра. + Р„,

где

К = |ВГ ■ Бер ■ ВСЮ;

Ю

Кт = 2Ь1Г ■ Ь1; Кп = 2К ■ т/ ■ Т1;

Рр = | ^ ■ рс£; Ра* = | ВГ ■ о * СЮ;

£а Ю

Рт = 2Ь2Г-Дит; Р = 2 К ■ Т2Г ■Ди п.

При отсутствии распределенной нагрузки р получим

(К + Кт + Кп)-ДУ = Ет- Ра. + Рп . (12)

Элементарный объем конечного элемента определяется по соотношению

СЮ = йхйуйх = ёй . (13)

С учетом соотношения (13) выражения для матрицы жесткости К и вектора внутренних сил Ра* примут вид

1 1 1

К = | | | ВГ ■ Бер ■ В ■ ёй ^С^; (14)

-1 -1 -1 1 1 1 Г

Ра* =1 I IВ ■ о * ■ ёе1 . (15)

-1 -1 -1

Интегралы, входящие в соотношения (14), (15) будем находить методом численного интегрирования Гаусса - Лежандра:

п п п Т ер

^, п/, СкН*'Н/ 'Нк;

К = Е Е ЕВт ■ Бер ■ в ■ J

I=1 /=1 к=1

ппп

Ра* = Е Е ЕВТ ■ о * ■ ёе! J

I=1 /=1 к=1

^, п/, СкН* ■Н/ ■Нк--

где , п /, С к - точки интегрирования Гаусса; п - порядок интегрирования; НI, Н/, Нк - весовые коэффициенты.

Соотношение (12) является системой алгебраических уравнений для одного конечного элемента. При рассмотрении расчетной области как совокупности элементов полная работа будет представлена в виде суммы ее частей. При этом в каждой точке тела необходимо выполнение условий кинематической совместности и равновесия, тогда система алгебраических уравнений всей расчетной области будет иметь вид

Е( + Кт + К„) ■ ДУ = Е(Рт - Ра* + Рп)е, (16)

е е

где ДУ - вектор приращения перемещения узлов конечно-элементной сетки; символ X означает операцию составления ансамбля (сборки глобальной матрицы жесткости и вектора сил).

Решением системы линейных алгебраических уравнений (16) будет ДУ, перемещение узлов расчетной области на I -м шаге нагружения будет определяться по формуле

N

У = Е(ДУ),

I =1

где N - число шагов нагружения.

При решении задачи координаты конечно-элементной сетки должны пересчитываться по формулам

Хк = Хк * +(Д V*); Ук = Ук * +(Д V, )к; 2к = 2к * +(Д V, ),

где Хк *, Ук *, %к * - координаты к -го узла на I -1 шаге нагружения.

Приведенные соотношения при известном законе связи тензоров приращений напряжений и деформаций позволяют моделировать формоизменение заготовки из упругопластического материала жестким инструментом.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-01-97507.

Список литературы

1. Чумаченко Е.Н., Логашина И.В. Математическое моделирование и оптимизация процессов деформирования металлов при обработке давлением. М.: ООО НПП ЭКОМЕТ, 2008. 400 с.

2. Рыбин Ю.И., Рудской А.И., Золотов А.М. Математическое моделирование и проектирование технологических процессов обработки металлов давлением. СПб.: Наука, 2004. 644 с.

3. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики // Библиотека журнала «Свет геотехники», Вып. 9. З.: ООО «ИПО «Запорожье», 2009. 400 с.

4. Данченко В.Н., Миленин А.А., Головко А.Н. Производство профилей из алюминиевых сплавов. Теория и технология. Днепропетровск.: ДНВП «Системные технологии», 2001. 448 с.

D.A. Alekseev, A.N. Pasko

FINITE ELEMENT SIMULATION OF THE CONTACT FRICTION IN METAL FORMING PROCESSES

A mathematical model of deformation of elastic-plastic workpiece material a blunt instrument on the based the finite element method was developed. The mathematical model allows counting the contact friction between the workpiece and tool.

Key words: finite element method, elastoplastic material, rigid tool, contact interaction.

Получено 16.12.10

УДК 621924

Ю.В. Колотов, канд. техн. наук, доц., 8(499)730 9378, urvas@inbox.ru (Россия, Москва, МГТУ «Станкин»)

МОДЕРНИЗАЦИЯ БЕСШАБОТНОГО МОЛОТА С ГИДРАВЛИЧЕСКИМ МЕХАНИЗМОМ СВЯЗИ

Дан анализ причин разрушения резинометаллического амортизатора, обеспечивающего контакт верхняя баба - боковой шток в бесшаботном молоте с гидравлическим механизмом связи. Приведена новая конструкция гидравлического механизма связи, в которой работает узел контакта шток и верхняя баба без амортизатора между ними.

Ключевые слова: молот, шабот, амортизатор, шток, деформирование.

Бесшаботные молоты с гидравлической связью ударных масс (БШМГС) распространены в зарубежной и отечественной промышленности.