CC BY
37
УДК 621.983; 539.374 П.А. Алексеев, асп. (4872) 33-23-80, AlexeevPA@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ), Е.В. Панченко, д-р техн. наук, проф., (4872) 33-23-80, pmdm@tsu.tula.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ СВЕРХПЛАСТИЧЕСКОЙ ФОРМОВКИ С УЧЕТОМ КОНТАКТНОГО ТРЕНИЯ
Получены базовые соотношения для конечно-элементного моделирования процессов сверхпластической формовки. Предложенный вариант решения технологических задач учитывает трехмерный характер течения деформируемого материала и контактное трение между поверхностями заготовки и формообразующего инструмента.
Ключевые слова: сверхпластическая формовка, метод конечных элементов, функционал полной мощности, контактное трение, давление газовой среды.
Сверхпластическая формовка является прогрессивным методом изготовления изделий из труднодеформируемых сплавов для машиностроения и авиакосмической промышленности. В работе [1] представлены решения технологических задач сверхпластической формовки осесимметричных изделий, основанные на безмоментной теории оболочек. Представленные решения не учитывают контактное трение между заготовкой и формообразующим инструментом. Также одним из недостатков приведенных решений является невозможность их применение для трехмерных задач сверхпластической формовки.
Актуальной задачей является разработка математической модели, которая позволяет решать трехмерные задачи сверхпластической формовки и учитывает контактное трение между заготовкой и формообразующим инструментом.
Математическую модель процесса формоизменения заготовки из вязкопластичного материала будем основывать на принципе возможных изменений деформированного состояния и методе конечных элементов. Так как деформируемый материал является нелинейной средой, то решение поставленной задачи будем производить итерационным методом, который позволяет свести решение нелинейной задачи к последовательности решений линейных задач. В качестве переменного параметра будет выступать эффективная сдвиговая вязкость. Учитывая вышесказанное, функционал полной мощности для конечного элемента можно представить в виде
зе/ = + 3р + 3Т1 + зп, (1)
где
+ (2) ^ = (3)
^ = - /тр-йрйУ; (4)
4!=к„ \(игЩ-ип?аз- (5)
где |и = —— - эффективная сдвиговая вязкость; ое - эквивалентное на-
пряжение; - эквивалентная скорость деформации; н - интенсивность скоростей деформации сдвига; Кг - штрафной множитель, необходимый для поиска решения среди класса функций, которые приближенно удовлетворяют условию несжимаемости; - скорость объемной деформации; Ж - объем конечного элемента; р^ - проекции полного напряжения на оси координат; - проекции вектора скорости перемещения на оси координат; Тр - проекции вектора напряжения трения на оси координат локальной системы координат, у которой оси х! и у1 лежат в плоскости, касательной к поверхности формообразующего инструмента в точке контакта его с конечным элементом; йр - проекции вектора относительной скорости
скольжения точки конечного элемента по поверхности инструмента; кп -штрафной множитель для учета условия непроницаемости; п{ - направляющие косинусы вектора единичной нормали; ип - нормальная скорость перемещения подвижного элемента оснастки в точке контакта с конечным элементом; - поверхность, которая нагружена давлением газовой среды; - контактирующая поверхность конечного элемента.
С учетом конечно-элементной аппроксимации запишем в матричном виде соотношения для нахождения эквивалентной скорости деформации, интенсивности скоростей деформации сдвига и скорости объемной деформации:
^•вг.1).в.уе1-, (6)
(7)
Ъ=ПТ $ = НТ В Уе/=У5 ВТ Н, (8)
где - вектор скоростей деформации; \е] - вектор скоростей перемещения узлов конечного элемента; В = сКа§{1 1 1 0,5 0,5 0,5}; В - мат-
204
рица дифференциального оператора; Н7 ={1 1 1 0 0 0}.
С учетом выражений (6 - 8), соотношение (2) примет вид
^ . (9)
1 ж
Выражение (3), с учетом интерполяционных соотношений [2], представим в виде
Jp=-№rCT. vdS, (10)
s.
'а
где С - матрица интерполяционных функций; р - вектор внешней нагруз-
ки.
Выражение (4) в матричной форме запишем в виде
rel
Jf=-ju -TdS, (11)
v
где и = 11^— их - вектор относительной скорости скольжения точки конечного элемента по поверхности формообразующего инструмента;
lx' м/} ~~ вектор скорости перемещения конечного элемента в плоскости, касательной к поверхности формообразующего инструмента в точке контакта его с конечным элементом; U^ = |ух■ Uу | - вектор скоТ f 1
рости перемещения подвижного элемента; т = |Txi Tyj - вектор напряжения трения скольжения.
Вектор напряжения трения будем определять как
т = -ту-1Т, (12)
где if~ модель контактного трения; = /у | - вектор направляющих
косинусов вектора относительной скорости скольжения точки конечного элемента по поверхности инструмента.
Вектор 1Т можно определить по соотношению
_и_ _uf-UT
1 Т I I "
U
ueJ - U„
(13)
С учетом соотношений (12), (13), выражение (11) будет выглядеть следующим образом:
J
е1
= / -^т— ■(- е - и Т) к - и >.
S.
аи
е1 тт и т - V.
(14)
Представим соотношение (14) в виде
J
е1
= | кт-1 -(и?7 - и Т) ■ (и е - ,
(15)
где к!-\ =
с/
е1 тт
их - их
+ 5
- коэффициент, значение которого получено на
предыдущей итерации; 5 - заданное наперед малое число, которое необходимо для предотвращения деления на ноль; / - номер итерации.
Соотношение (5) для учета условия непроницаемости запишем в матричном виде
К1 = Кп 1(ие/ ■п - ип ^,
(16)
£
где
пГ = К
п
У
}
аи
п2( - вектор единичной нормали.
Интегралы (15), (16) можно вычислять приближенно по формулам
J
е/
N
I
k=1
■ -4-к - V k j ■(у* - иk)
г
I N
Jen/ = I
*=1
кп ■ а*■ (у* -ип
(17)
(18)
где А* - площадь контактирующей поверхности конечного элемента, приходящаяся на к -тый узел; N - число узлов конечного элемента, контакти-
; (у*) = {у* Уу } - вектор скорости перемеще-
рующих с инструментом ния к -того узла; (и* ) = Ц* Цку'}
вектор скорости перемещения
*
элемента оснастки в точке контакта с * -тым узлом; Уп - нормальная скорость перемещения * -того узла; и* - нормальная скорость перемещения подвижного элемента оснастки в точке контакта с * -тым узлом.
Скорости перемещения У*', У/, У* в соотношениях (17), (18) будут определяться по формулам
' ' ' ' ' ' (19)
(20) (21)
V* = У* ■ 4Х,+ V* ■ акуХ'+ У* ■ а*.;
Уу = У* ■ ак*у + У* ■ауУ+У* ■ аку; У* = У* ■ пк + У* ■ п* + У* ■ пк
где У^, Уу , гЗ - скорости перемещения к -того узла в глобальной систе-
к к к к к к ме координат; ахх*, аух*> а2х}> аху'> ауу}> агу' ~ направляющие косинусы
соответственно осей х1 и у1; , л у, - направляющие косинусы оси направление которой совпадает с направлением вектора единичной норма-
С учетом формул (19) - (21), запишем выражения (17), (18) в виде матричных соотношений:
Т т т
(22)
4 = К„ ■ (У5 • Т[ ■ Т[ • \е1 - 2\Те1 • Т2Г • и„ + итп ■ Т3 • 11„), (23)
где
0\' а1х' 0\ а\х< 0\' а\х*
ух 1
01аху' <2\ ауу' 0\ а
О О 1
У1 •ахх'
уу
о о
1
0\ -а
п2 А
ху
О О
п2 А 0\ а
О
о
ух 1
уу'
1ту
О О
г2 1
0\ ■а1х'
п2 А 0\ а
О О
о о
~ 8 Ш ' ахх'
■ аху'
о о
8
0% ' ахх'
О О
" аух' £?8 ' а%' О О
„2 8 08 -а
ух
О О
^ 8 0% ■ а2Х'
08 'а
О
О
/->2 8
0В ■а1у' 08 а
<каё{а2 а2
Qk 0*
•ж Й 082
4а'п\ урь-Пу
ООО
(41
о
о
о
V* -и*
о
+ 8
?-1
О
о
л/^8 ' пу л/'^8
ООО
^8-4 А%'п1
а2 а3 а4 а5 а6 а1 л8Ь
и1у ... иу ... '4 и%л
и2„ и3 п и4„ и5 яи п и6 ^ п и7„ и1\
и;
= {4
И
и2- = ь1
^ п п
Условие стационарности функционала (1) запишется в виде
дЗе1
дув +Л
)
0.
(24)
д\е1
Используя условие (24) и учитывая соотношения (9), (10), (22), (23)
получим матричное уравнение
(к1 + к2).уе/ = г1 + г2,
(25)
где
К,
I2Ц-В^
Ж
ж
К2=2ь1-Ь1+2^-Т1Г.Т1; = ]СГ-р^;
р2 = 21.2 ' + 2кп ■ т^ • 11
п ■
Матрица К2 и вектор Е2 в соотношении (25) должны рассчитываться для контактирующих элементов, вектор Г^ должен определяться для конечных элементов, к которым приложено давление газовой среды.
Соотношение (25) является системой алгебраических уравнений для одного конечного элемента. Для расчетной области, представляющей собой совокупность конечных элементов, система алгебраических уравнений будет иметь вид
1(к1+к2).у = 1(р1+р2),
е! е1
где V - вектор скоростей перемещения узлов расчетной области; символ X означает операцию составления ансамбля (сборки глобальной матрицы жесткости и вектора сил).
На основе вышеприведенных соотношений выполнено моделирование процесса формообразования конической оболочки. В качестве модели контактного трения использована зависимость [3]
л/3
1
ехр
-1,25-
9е У
где - фактор трения; ап - нормальное контактное напряжение.
На рис. 1 представлена конечная форма оболочки из сплава Ть6А1-4У с визуализацией распределения накопленной степени деформации при ту = 0,9.
Рис. 1. Конечная форма оболочки Рис. 2. Схема конической оболочки
Наибольшая накопленная степень пластической деформации £тах «124,22 наблюдается в полюсе конической оболочки (рис. 1). На рис. 3 представлены графические зависимости, характеризующие накопление степени деформации в рассматриваемых точках заготовки (рис. 2) при mf = 0,1 и mf = 0,9.
а б
Рис. 3. Изменение степени деформации в рассматриваемых точках
заготовки: а т f = 0,1; т г = 0,9
V"
При факторе трения тf = 0,1 в контактирующих точках интенсивность накопления деформации выше, чем при факторе трения т f = 0,9. При т f = 0,9 в рассматриваемых точках степень деформации после образования контакта практически перестает накапливаться, что говорит о том, что в этих точках после образования контакта реализуются граничные ус-
ловия близкие к прилипанию.
Таким образом, предложенный подход к решению технологических задач сверхпластической формовки, позволяет адекватно описать трехмерное течение деформируемого газовой средой материала с учетом действия сил контактного трения между заготовкой и формообразующим инструментом.
Список литературы
1. Панченко Е.В., Селедкин Е.М. Пневмоформовка листовых заготовок в режиме сверхпластичности. Решение технологических задач. Тула: ТулГУ, 2004. 304 с.
2. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики / Библиотека журнала «Свгг геотехшки», Вып. 9. 2009. 400 с.
3. Чумаченко Е.Н., Логашина И.В. Математическое моделирование и оптимизация материалов при обработке давлением. М.: ООО «НПП ЭКОМЕТ», 2008. 400 с.
P.A. Alekseev, E. V. Panchenko
APPROACH TO SOLVING THREE-DIMENSIONAL SUPERPLASTIC FORMING PROBLEMS WITH ALLOWANCE CONTACT FRICTION
The basic relations for the finite-element simulation of superplastic forming are obtained. The proposed variant of the solution of technological problems take into account the three-dimensional character of the flow of a deformable material and the contact friction between the surfaces of the workpiece and form-building tools.
Key words: superplastic forming, finite element method, functional full power, contact friction, pressure of the gas medium.
Получено 20.07.12
