CC BY
39
ческих анизотропных материалов // Известия ТулГУ. Технические науки.. 2011. Вып. 1.С.
2. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 331 с.
3. Мельников Э.Л. Холодная штамповка днищ. 2-е изд., пераб. и доп. М.: Машиностроение, 1986. 192 с.
S.S. Yakovlev, V.D. Kuhar, V.I. Platonov
THE AXISYMMETRIC FLANGED DETAIL THICKNESS VARIATION IN THE REVERSE DRA WING PROCESS FROM CRYSTALLINE ANISOTROPIC MATERIALS The results of theoretical investigations of axisymmetric flanged detail produced by reverse drawing from anisotropic material thickness variation relative amount are given. The influence of material’s mechanical properties anisotropy and technological parameters on the flanged detail produced by reverse drawing thickness variation ratio is identified.
Key words: reverse drawing, anisotropy, detail, thickness variation, deformation,
stress.
Получено 04.08.11
УДК 539.37; 621.7
А.Н. Пасько, д-р техн. наук, проф. (4872) 35-18-32, [email protected].
Д.А. Алексеев, асп. (4872) 35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕССОВ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ ФОРМОВКИ
На основе метода конечных элементов разработана математическая модель деформирования заготовки из упругопластического материала жидкой средой совместно с жестким инструментом.
Ключевые слова: метод конечных элементов, упругопластический материал, жесткий инструмент, давление.
В настоящее время процессы гидравлической и гидромеханической формовки являются прогрессивными технологиями изготовления полых деталей сложных форм методом холодного пластического деформирования.
Типовая схема гидромеханической формовки изображена на рис. 1, где 1 - заготовка; 2 - полуматрица; 3, 4 - пуансоны; р - давление жидкости.
4 12 3
I
I
I
I
I
Рис. 1. Схема гидромеханической формовки
В основе математической модели используем принцип возможных изменений деформированного состояния. Согласно этому принципу для любого кинематически возможного поля скоростей в произвольный момент времени справедливо условие равенства мощностей внутренних и внешних сил [1]:
far5efVQ= f Pi ■ büjdS, (1)
Q Sa
где Gjj - компоненты тензора напряжений; ¿ff - компоненты тензора ско-J и
ростей упругопластической деформации; Q - объем расчетной области; Pi - распределенная по площади Sö нагрузка; 8иг- - скорость перемещения; S - площадь поверхности расчетной области.
В качестве конечного элемента используем изопараметрический восьмиузловой элемент [2].
Для описания контактного взаимодействия необходимо выполнить условие непроницаемости, для выполнения этого условия используем метод штрафных функций, в соответствии с которым к выражению (1) необходимо добавить вариацию интеграла вида [3]
■ Au-AUnJ dS,
Squ
где К - штрафной множитель; п - вектор единичной нормали; АUп -приращение нормального перемещения инструмента; SGU - площадь контакта.
Для учета сил трения скольжения использовано выражение для работы напряжения трения на перемещение Au
Jx=- [ Au • тdS,
V
31
J„ = K f(nr
где Ли = Дих - Дит - вектор приращения перемещения точки конечного элемента относительно инструмента; Лит - вектор приращения перемещения точки конечного элемента в плоскости, касательной в точке контакта заготовки с инструментом; Дит - вектор приращения перемещения инструмента в плоскости, касательной в точке контакта инструмента с заготовкой; т - вектор напряжения трения скольжения.
Решение задачи будет иметь вид
(К + К,+К„)-ДУ = Р;,+Рг-Р0„ + Г„, (2)
где АУ - приращение перемещения узлов конечно-элементной сетки;
К = [вг-Вер £1
где В - матрица связи приращений перемещений и деформаций; Т)ер - матрица связи приращений деформаций и напряжений;
Кг=2ЦТ Ьі; КВ=2АГ-Т1Ї'-Т1,
где
IV =
0\ ' (ахх'\ 0\ ' ІРху'\
0\ ■ 0\ ■ ^9уу'\
0\ ' (агх'\ 0\ '
О
о
о
о
о
о
Ті =
4А-(пх\
л[А-(пу\
о
о
о
о
о
о
о
о
о
0&'(ахх'\ 08' {аух' )§ 08'(агх\
0%\аху\ 08 ' (яуу ' \
08 ‘ \агу'\
О
О
О
где а такта; п
XX' ’ аух'
X ’ пу ■
агх'’ аху'
п.
а
у/, агу'
л/ї-(«х) 8
лР^\пу\
компоненты касательных в точке кон-
компоненты нормали в точке контакта;
Ок = д/(^х ‘ ^к ’
где - доля площади контактирующей поверхности конечного элемента, приходящаяся на к -й узел; (Кх - величина, значение которой получено
на предыдущем шаге нагружения или предыдущей итерации (в случае уточнения граничных условий),
~ + [(^у\ - АС/у)2 + Д ’
где т I - закон трения; (А¥х<)к, (ЛРу)^, А 17х<, А 17у - приращение компонент перемещения к -го узла заготовки и инструмента в преобразованной системе координат соответственно; А - малое число для предотвращения деления на ноль;
¥р= [ 14^ • рай1; Ес* = [• о * ¿Ю,
где N - матричное выражение для функции формы конечного элемента; р - вектор давления; о * - вектор напряжений на (/— 1 )-м шаге нагружения;
Ет = 2Ьо • Аит; Еи = 2К ■ То -Ди
п ’
где Ди„ - вектор приращения нормального перемещения инструмента;
0\ '0\ '^Рху^ ® ®
0\ ' ^Рух')^ 0\
IV =
(агх'\ 0\ '(ргу'\
0 0
0 0
0 0
~А\\пх) 1 / \
А\\Пу\
А\\пг\
То =
О
о о
о о
о
о
Qs2^(axx')s 682 \аху'\ 0%\^\ 68 2\ауу'\
082 \а2у'\
08 '(агх'\
О
О
о
А8-(пх)8
А8-(”у)8
А8'М8.
'8
Элементарный объем конечного элемента определяется по соотношению
сЮ. = сЬсс1ус12 = сЫ , (3)
где \, Т1, £ - оси нормализованной системы координат; ёе! J - определитель матрицы Якоби J
3 =
Эх Ъу Эz
Эх ду_ Ъ2
Эл Эг| Эг|
Эх Ъу Ъ2
Ж К К
5/.т| і^кнінінк
С учетом соотношения (3) выражения для матрицы жесткости К и вектора внутренних сил Рс* примут вид
111
к = С | |вг-вер-в-ёеалзд^; (4)
-1-1-1 111
| |ВГ • о *. (5)
-1-1-1
Интегралы, входящие в соотношения (4), (5), вычисляются методом численного интегрирования Гаусса - Лежандра:
к=х х ¿вг вер -в-с1еа /=1 у=и=1
Ро*=1 I ? нгн] нк,
1=1]=\к=1 7
где Г|у, - точки интегрирования Гаусса; п - порядок интегрирования; //г-, Н], - весовые коэффициенты.
Интеграл, входящий в выражение для вектора сил ¥р, вычисляется
следующим образом. Предположим, что внешняя нагрузка приложена к стороне элемента с нормализованной координатой £ = 1 (рис. 2), тогда для конечного элемента имеет место равенство [4]
¿/£ = л// Ж-С2 ¿ед, (6)
где
ґдхЛ і + м + 1 ; IV = ґдхл + ґду_^ і +
^Лу ^Лу
/ =
Эх Эх ^ Эу Эу ^ дг дг Э£ Эг|+ Э^ Эт|+ Э£ Эл С учетом (6) выражение для вектора сил ^ примет вид
п п
¿=1 7=1
Ні НГ
где
р = -/; • п^'. 34
где пцг - вектор единичной нормали к грани конечного элемента.
Рис. 2. Схема нагружения конечного элемента
Соотношение (2) является системой алгебраических уравнений для одного конечного элемента. При рассмотрении расчетной области как совокупности элементов полная работа будет представлена в виде суммы ее частей. При этом в каждой точке тела необходимо выполнение условий кинематической совместности и равновесия, тогда система алгебраических уравнений всей расчетной области будет иметь вид
1(К + Кт+К„)е-АУ = 1(р/, + Рт-Ра.+Р„)е, (7)
е е
где АУ - вектор приращения перемещения узлов конечно-элементной сетки; символ Е означает операцию составления ансамбля (сборки глобальной матрицы жесткости и вектора сил).
Решением системы линейных алгебраических уравнений (7) будет АУ, перемещение узлов расчетной области на I -м шаге нагружения будет определяться по формуле N
V = Х(ДУ); ,
1=1
где N - число шагов нагружения.
При решении задачи координаты конечно-элементной сетки должны пересчитываться по формулам
хк =хк *+(дгД; гк =гк *+(л^Д; гк =гк *+(м2)к,
где Х^*, }&*, ¿к* - координаты А:-го узла на (/-1 )-м шаге нагружения.
Приведенные соотношения, при известном законе связи тензоров приращений напряжений и деформаций позволяют моделировать процессы гидромеханической формовки.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №11-01-97516.
Список литературы
1. Рыбин Ю.И., Рудской А.И., Золотов А.М. Математическое моделирование и проектирование технологических процессов обработки металлов давлением. СПб.: Наука, 2004. 644 с.
2. Клованич С.Ф. Метод конечных элементов в нелинейных задачах инженерной механики // Библиотека журнала «Свет геотехники». Запорожье: ООО «ИПО «Запорожье». 2009. Вып. 9. 400 с.
3. Данченко В.Н., Миленин А.А., Головко А.Н. Производство профилей из алюминиевых сплавов. Теория и технология. Днепропетровск.: ДНВП «Системные технологии», 2001. 448 с.
4. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. JI.: Машиностроение, 1983. 212 с.
A.N. Pasko, D.A. Alekseev
FINITE-ELEMENT APPROACH TO MODELING THE PROCESSES OF HYDRO-MECHANICAL FORMING
A mathematical model of deformation of elastic-plastic workpiece material liquid with a rigid tool on the based the finite element method was developed.
Key words: finite element method, elastoplastic material, rigid tool, pressure.
Получено 17.08.11
УДК 621.983; 539.374
С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф., (4872) 35-14-82, [email protected]. К.С. Ремнев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК ИЗ АНИЗОТРОПНОГО МАТЕРИАЛА
Описана математическая модель операции обратного выдавливания толстостенных трубных заготовок из материала, обладающего цилиндрической анизотропией механических свойств. Оценены силовые режимы обратного выдавливания анизотропных толстостенных трубных заготовок.
Ключевые слова: анизотропия, осесимметричное деформирование, напряжение, деформация, сила, разрушение, повреждаемость, толстостенная труба, пуансон, матрица.
В различных механизмах и машинах широко применяются детали типа полых цилиндров, имеющих внутренние полости. Детали такого типа
