CC BY
51
УДК 621.7, 539.3
А.Н. Пасько, д-р техн. наук, доц., (4872) 35-18-32, aleksey.n.pasko@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ В ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ ГИДРОШТАМПОВКИ
Описана конечно-элементная математическая модель напряжённо-деформированного состояния деформируемого упругопластического тела в трёхмерных задачах обработки металлов давлением. Рассмотрен способ оценки повреждаемости деформируемого металла.
Ключевые слова: трёхмерная задача, конечно-элементная модель, упругость, пластичность, повреждаемость.
Вектор узловых перемещений тетраэдрального конечного элемента с четырьмя узлами в вершинах имеет вид:
5
Произвольная точка элемента получает перемещения в направлении трёх осей х, у и z. Поэтому матрица и имеет вид:
и.
51х 51 у
5 2 х 52у 5 2 z
5 3 х 53у 53 z
54х 54у 5 4 z
и =
и
У
и.
Узловые перемещения 5 и и связаны между собой матрицей аппроксимирующих функций N:
и = N-5.
Наиболее распространен способ получения приближённых решений на основе использования вариационного уравнения по методу Релея - Рит-ца. Он заключается в том, что функции перемещений задаются в виде интерполяционного полинома. Если ограничиться полиномом первой степени, то эти функции будут иметь вид [1]:
их (х, у, z )= а1 + а 2 х + а 3 у + а 4 z;
г ) = а 5 + а 6 х + а 7 у + а 8 z;
(х, у, z ) = а 9 + аю х + ац у + а^ z.
Здесь а - произвольные постоянные. При линейной аппроксимации стороны тетраэдра после деформирования элемента остаются прямыми.
Выразим а через перемещения узлов элемента. В результате матрица N примет вид:
у
и^х,
нг =7^ + ЪгХ + СгУ + )' ЬУ
где V - объём элемента: ЬУ =
1 Х! у1 z1 1 Х2 У 2 2 2 1 Х3 У3 23 1 Х4 у 4 24
Для узла №1 тетраэдрального конечного элемента коэффициенты
а,Ь,с,с1 равны:
=
Х2 Х3 Х4
У2 Уз У4
2 2 23 2 4
1 у2 2 2
, ь = 1 у3 23
1 у4 2 4
Х2 1 2 2 Х2 у2 1
С1 = Х3 1 23 , ^ = Х3 у3 1
Х4 1 2 4 Х4 у4 1
Остальные коэффициенты получаются циклической перестановкой индексов.
Деформированное состояние в любой точке тела описывается тензором малых деформации Коши:
1
8* = 2
V
дц± + диу дХ
дХ а
У
В условиях трёхмерной задачи тензор деформации второго ранга сводится к вектору:
8 2 У Ху
У у2
У 2Х
ди
Х
дХ
ди
у
ду ди2
д2
диХ + диу
ду дХ
диу + ди2
д2 ду
ди2 + диХ
(1)
дХ д2
Связь между составляющими векторов деформации и перемещений можно представить одним матричным равенством:
8
Х
8
8 = В • и,
где В - матричный дифференциальный оператор:
'д / Эх 0 0 "
(2)
В
0
д /
д / ду 0
д /
д / ду 0
д / дх д / 0
0 0 0
д / ду д / дх
Используя (1) и (2), можно выразить деформации через узловые перемещения
8 = В • и = В • N-8 = С-8 . Матрица функций формы С имеет вид:
(3)
С =
6V
0 0 ъ2 0 0 Ъз 0 0 ъ4 0 0
0 С1 0 0 с2 0 0 с3 0 0 с4 0
0 0 dl 0 0 d 2 0 0 d 3 0 0 d 4
С1 ъ 0 с2 ъ2 0 с3 ъ3 0 с4 ъ4 0
0 dl С1 0 d 2 с2 0 d 3 с3 0 d 4 с4
dl 0 Ь1 d 2 0 ъ2 d 3 0 ъ3 d 4 0 ъ4
Вектор напряжений аимеет вид:
а
а = <
х
а
у
а.
"ху
'2х
Выразим с помощью линейного закона, выражаемого матрицей жёсткости, напряжения через узловые перемещения
а = D-8 = D • С-8, (4)
где В - матрица материальных констант.
Потенциальная энергия деформации элемента с учётом (3) и (4):
-е
Ге = 28Т • |СТ • В • С • dV -8. 2 V
(5)
Интеграл в выражении (5) есть матрица жёсткости выбранного эле-
мента
ке = |СТ • В • С • dV,
1
>
Поэтому матрица жёсткости элемента записывается следующим образом:
К = СТ • В • С • V. (6)
С учётом проделанных преобразований уравнение равновесия элемента через узловые перемещения выражается в форме:
Р = К •б,
где К - матрица жёсткости; Р, 8 - векторы внешних сил и узловых перемещений, соответственно.
При наличии упругих и пластических деформации связь между напряжениями и деформациями нелинейна. Решение нелинейной системы уравнений весьма трудоемко. Поэтому при использовании деформационной теории часто используют кусочно-линейный закон связи напряжений и деформации. Тогда при решении задачи в приращениях напряжений Ли и деформации Лб, связь между которыми можно считать линейной, получаем систему линейных уравнений:
ЛР = К • Л8.
Одним из способов решения задачи в приращениях является метод последовательных нагружений. Для квазистатической задачи приращения внешних сил ЛР вычисляются на шаге по времени Лt. При этом вектор внешних сил Р в момент времени t равен:
п
Р = 1ЛР; ,
I=0
где п - шаг нагружения.
Таким образом, с учётом вышеизложённого, вариационное уравнение равновесия в матричной записи принимает вид:
г г
£ЛР = £(к •Лб),
00
где Л8 - вектор приращений перемещений.
В пределах упругости связь между приращениями напряжений и деформаций выражается законом Гука. Согласно ему компоненты приращений деформаций являются линейными функциями приращений напряжений. Пластическое состояние материала описывается теорией малых уп-ругопластических деформаций Ильюшина. Принимается теория изотропного упрочнения. Объёмная деформация в пластической зоне остается упругой и для нее выполняется объёмный закон Гука:
0 = ЗвСр = 8х + 8у +82 = КиСр,
где 0 - относительное изменение объёма, иСр - среднее напряжение.
Объёмный модуль упругости К для изотропного тела имеет вид:
Е
К = -(-г. (7)
3(1-2у)
Модуль сдвига G связан с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона V формулой: G =—-г в упругой области и G = — в пластиче-
2 -(1 + V ) 3
ской.
Здесь — - касательный модуль упрочнения. Коэффициент Ляме - X определяется формулой:
X = К - - G. 3
Таким образом, матрица упругих констант D имеет вид:
D
1 X X 0 0 0
X 1 X 0 0 0
X X 1 0 0 0
0 0 0 G 0 0
0 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G
Следует особо отметить, что использовать матрицу жёсткости в таком виде для пластического состояния можно, только связывая приращения деформации и напряжений.
Зная текущее состояние элемента, предел текучести, накопленную деформацию и приращения внешних сил, можно определить изменение напряжённо-деформированного состояния на шаге приращения перемещений Ли и сил АР, используя для вычисления К по формуле (6) упругое или пластическое представление матрицы жёсткости.
Пластическая деформация твердого тела рассматривается в рамках деформационной теории пластичности. Приняты следующие исходные положения:
тело изотропно;
относительное изменение объёма мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению: 0 = Каср или
А0 = КАаср;
полные приращения составляющих деформации Ае^ складываются из приращений составляющих упругой деформации Аеец и пластической деформации Ав^:
Ави =Авей +Аври ; девиаторы приращений напряжения и деформации пропорциональны: ЛDg = .
Напряжённо-деформированное состояние элемента на 1+1 шаге характеризуется интенсивностью деформации в:
= ~гуу?+ (гуу -гzzf + ~ 8хг )2 + + 8 уг + )
где ву - компоненты тензора деформации.
Если интенсивность деформации какого - либо конечного элемента превысила текущий предел упругости по деформациям то этот
элемент переходит из упругого в пластическое состояние. Если материал упрочняется при пластическом деформировании, то соответствующая пределу упругости деформация ее увеличивается на величину Аве:
Н
Аге
к
Ав;
к
Е
Вычисление предела упругости по деформациям ге^9 достигнутого на шаге А: определяется суммированием:
еек = ^Агек " к
Накопленная пластическая деформация определяется разностью интенсивностей полной деформации и деформации £е, соответствующей пределу упругости:
Итерационные методы для достижения удовлетворительной сходимости решения требуют соблюдения непрерывности и гладкости кривой упрочнения. Поэтому в конце упругого участка кривой упрочнения (10% от £е) введён нелинейно упругий участок [2], на котором текущие значения модуля упрочнения М, коэффициента Пуассона V и модуля сдвига С вычисляются по формулам, приведённым в таблице. Объёмный модуль К является константой и во всех случаях определяется формулой (7).
Значения на границе нелинейно упругом участке
Модули Упругость Упруго-пластический переход Пластичность
Касательный модуль упрочнения М - Е М = £ + 8*~8/" (Я Е) ге - гг М = Н
Коэффициент Пуассона ге -8/ ( 1 ^ ее-е, У2 ) 1 V = — 2
Модуль сдвига 2'0 + уе) г■(\ + v) 3
Здесь - текущая интенсивность деформации; г^ - интенсивность деформации, соответствующая пределу пропорциональности; V - текущий коэффициент Пуассона; г - коэффициент Пуассона в области упругих деформаций.
Соотношения таблицы 1 реализуют пропорциональное изменение модуля упрочнения при переходе от упругого состояния к пластическому. Предел упругости по напряжениям в этом случае будет определяться соотношением:
77 Н~Е
--
где sep- деформация в области нелинейной упругости:
^ер ~ ^е ~ ^t •
Вектор приращений компонент тензора напряжения на шаге к в пластическом состоянии определяется по приращениям компонент деформации :
Д(Т£ = D • .
Вектор компонент напряжения на шаге к в упругом и пластическом состоянии суммируется по приращениям:
к
Интенсивность напряжений определяется по компонентам тензора напряжения Gif
ai = д/ (с хх (Gvy ~ Gzz Y + (°zz ~ a xx ? + *[*% + a yz + °2zx )■
Если интенсивность деформации уменьшилась, то материал разгружается и переходит в упругое состояние:
При последующем нарушении этого неравенства вновь происходит переход элемента в пластическое состояние.
Диаграмма неактивного нагружения материала заготовки для описываемой модели упруго-пластических деформаций приведена на рисунке.
Для оценки деформируемости и прогнозирования разрушения заготовок в процессах обработки давлением получила развитие феноменологическая теория разрушения, использование которой основано на полученных опытным путем диаграммах пластичности и информации о напряжённо-деформированном состоянии в процессах обработки металлов давлением.
Оценку деформируемости заготовок, а также расчёт предельных технологических параметров проводят с помощью деформационных критериев, в основу которых положены ограничения, накладываемые на деформации. При этом для процессов, сопровождающихся монотонным, но сложным деформированием, в качестве меры повреждений принимают обычно некоторую скалярную характеристику.
Если влиянием истории деформирования пренебречь, то можно использовать критерий Смирнова-Аляева:
Технологии и оборудование обработки металлов давлением Либо, нормируя на единицу, получим меру повреждений у:
¥
е/
<1,
,(пГ '
где 8р(г|) - предельная деформация в момент появления первых трещин, обнаруживаемых визуально; г| - показатель напряжённого состояния:
За
П
где а - среднее нормальное напряжение; 0{ - интенсивность напряжении.
Изменение предела упругости по деформациям при упрочнении
Для учёта влияния истории деформирования для простого нагруже-ния, примем за меру повреждений \|/ выражение (критерий Колмогорова):
1|/= ]-
оМп)'
где г\ - степень деформации к рассматриваемому моменту; - предельная деформация, определяемая по диаграммам пластичности соответствующих материалов [3].
Добавление в конечно-элементную модель критерия деформируемости позволило проводить контроль на разрушение заготовки во время деформирования, а также прогнозировать состояние получаемой детали.
Статья выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-97516-р_центр_а.
Список литературы
1. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред. Нью-Йорк, 1967 / пер. с англ.
A.П. Троицкого, А.П. Соловьёва под ред. докт. техн. наук Ю.К. Зарецкого. М.: «Недра», 1974. 240 с.
2. Холодная объёмная штамповка осесимметричных заготовок: Монография / А.Н. Пасько. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004. 252 с.
3. Колмогоров В.Л. Напряжения. Деформации. Разрушение /
B.Л. Колмогоров. М.: Металлургия, 1970. 229 с.
A.N. Pasko
MATHEMATICAL MODEL OF ELASTO-PLASTIC DEFORMATIONS IN THREE-DIMENSIONAL PROBLEMS OF HYDROSTAMPING
The finite-element mathematical model stress-strain condition of a deformable elasto-plastic body in three-dimensional problems of metals processing by pressure is described. The determination way of damageability of deformable metal is considered.
Key words: three-dimensional task, finite-element model, elasticity, plasticity, damageability.
Получено 20.11.12
УДК 621.7, 539.3
А.Н. Пасько, д-р техн. наук, доц., (4872) 35-18-32, aleksey.n.pasko@mail.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
А.Н. Троицкий, канд. техн. наук, доц., antroitsky@yandex.ru (Россия, Тула, ТулГУ),
Л.В. Муравлева, канд. техн. наук, доц., mmila22 @mail. т (Россия, Тула, ТулГУ)
ПОДГОТОВКА ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ТРЁХМЕРНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОФОРМОВКИ
Рассмотрены некоторые аспекты математического моделирования процесса взаимодействия деформируемой заготовки с жидкой средой и жёстким неподвижным инструментом в задачах гидроформовки.
Ключевые слова: трёхмерная задача, конечно-элементная модель, граничные
условия.
Одним из процессов обработки металлов давлением является гидравлическая штамповка, которая позволяет получать полые детали различной конфигурации высокого качества с наименьшими потерями металла.
80
