Компьютерный комплекс по качественной теории дифференциальных уравнений для поддержки самостоятельной работы обучающихся Текст научной статьи по специальности «Математика»

Компьютерный комплекс по качественной теории дифференциальных уравнений для поддержки самостоятельной работы обучающихся

Киселева Наталья Владимировна доцент, к.ф.-м.н., доцент кафедры теории управления и динамики систем, Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им.

Н.И. Лобачевского, пр. Гагарина, 23, г. Нижний Новгород, 603600, (8312)462-33-66 natalja.kiseleva@itmm.unn.ru

Аннотация

Разработан учебный контент по качественной теории дифференциальных уравнений в виде программного комплекса для поддержки самостоятельной работы обучающихся. Контент включает описание алгоритмов качественно-численного исследования автономных динамических систем второго порядка, руководство пользователя комплекса и пример.

Learning content on qualitative theory of differential equations in a form of computer complex is developed to support independent work of learners. Content includes description of algorithms of qualitative-numeric's research of autonomous dynamic systems of the second order, user guide and the example.

Ключевые слова

компетенции, учебный контент, качественная теория дифференциальных уравнений, состояние равновесия, фазовый портрет

competencies, learning content, qualitative theory of differential equations, equilibrium state, phase portrait

Введение

Компетентностный подход в современном образовании предусматривает в процессе преподавания дисциплин формирование и развитие у обучающихся общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций [1-3]. Одной из таких компетенций является способность к самоорганизации и самообразованию. Для её развития в читаемом мной курсе «Дифференциальные уравнения» на направлении подготовки «Фундаментальная информатика и информационные технологии» тема «Качественно - численные методы построения фазовых портретов автономных динамических систем второго порядка» раздела «Элементы качественной теории дифференциальных уравнений» излагается в виде обзора и выносится на самостоятельную проработку студентами. Контроль выполняется на научно - практических занятиях, посвященных этой теме, и предусматривает выполнение исследовательских заданий и обсуждение результатов исследования с представлением презентации. С целью учебно - методического обеспечения самостоятельной работы обучающихся разработан электронный учебный контент в виде компьютерного комплекса АВШ.

Комплекс АЭШ предназначен для качественно-численного исследования нелинейных автономных динамических систем второго порядка

|х= Р(х,у,а,Ь) (1)

[ У = б ( х, У, а, Ь )

Здесь х, у - фазовые переменные; а, Ь - параметры. Такие системы возникают, например при исследовании устойчивости распределенных систем в объектах машиностроения [4, 5].

Задача качественно-численного исследования динамической системы (1) состоит в разбиении плоскости параметров а, Ь на области, в каждой из которых система имеет топологически эквивалентный фазовый портрет, и изучении бифуркаций, происходящих на ограничивающих эти области кривых.

Комплекс ЛВШ позволяет выполнить следующие этапы качественно-численного исследования системы (1):

1) Отыскание состояний равновесия

2) Определение типа и характера устойчивости состояний равновесия

3) Построение сепаратрис седловых состояний равновесия (этот этап полезен для выделения областей притяжения устойчивых режимов)

4) Построение фазовой траектории, проходящей через произвольную точку фазовой плоскости (этот этап полезен для обнаружения предельных циклов).

Контент включает краткое описание используемых алгоритмов качественно-численного исследования автономных динамических систем, руководство пользователя комплекса АЭШ и пример.

Алгоритмы качественно - численного исследования автономной динамической системы второго порядка

1. Отыскание состояний равновесия

Будем отыскивать координаты состояний равновесия [6] системы (1), отстоящие друг от друга на расстоянии не менее заданного г , с точностью е в

конечной области Б:{ а < х < в, с < у < п }.

Состояния равновесия находятся из нелинейной алгебраической системы

1Р (х, У) = 0 . (2)

[ б ( х, у ) = 0

Решение этой системы сводится к отысканию с точностью 5 общих точек двух неявно заданных кривых р (х, у) = о и б (х, у) = о , первая из которых является изоклиной г^ вертикального наклона, а вторая - изоклиной г горизонтального наклона. Предлагаемый алгоритм отыскания состояний равновесия системы (1) включает в себя два этапа.

На первом этапе определяются приближенные значения координат состояний равновесия путем дробления области Б на элементарные прямоугольники, выделения в ней некоторых окрестностей, содержащих обе главные изоклины, и установлении пересечения этих кривых в полученных окрестностях.

На втором этапе приближенные координаты уточняются методом Ньютона последовательных приближений [7]. В качестве начального приближения принимаются координаты состояния равновесия, полученные на первом этапе. Состояние равновесия м * (х *, у *) найдено с заданной точностью е, если

р (х *, у * )| + б (х', у ' )| < е. (3)

2. Определение типа состояния равновесия.

Чтобы определить тип [6] найденного состояния равновесия м ' (х', у'), линеаризуем систему (1) в окрестности точки м *, сделав замену переменных % = х - х * = у - у *. Получаем систему линейных уравнений:

5 = а 1 % + Ь1 ^ (4)

= с 1 % + а 1 ^,

где а, = дР /дх\ . , Ь, = дР /дуI . , с, = дО /5х| . , а, =5О /ду| ..

1 1м 1 1м 1 1м 1 ^ ^ 1м

Собственные значения матрицы этой системы являются корнями характеристического полинома

Я2 + аЯ + А = 0, (5)

(6)

где

а = -(^ + ^ ), А =

Эти корни

а 1 Ь!

Я12 = -а /2 ±4а 2 /4 - А (7)

определяют тип состояния равновесия.

Если а * 0 или а > о, а * о , то возможны следующие случаи:

1) Я и Я - действительные и Я1 • Я2 > о .

Состояние равновесия - узел (устойчивый, если Я12 < 0, и неустойчивый, если Я12 > 0). Собственным значениям Я1 и Яг соответствуют два собственных вектора у, иу2 . Все фазовые траектории, кроме двух, стремятся км ' (при г — +да , если Я1 2 < 0, и при г — -да , если Я12 > 0) , касаясь того направления у., которое соответствует меньшему по модулю значению Я . По другому направлению к

состоянию равновесия м подходят две фазовые траектории.

2) Яг и Я2 - действительные иЯ1 ^Я2 < 0 .

Состояние равновесия - седло. Существуют две фазовые траектории, стремящиеся к состоянию равновесия при г — +да , и две фазовые траектории, стремящиеся к состоянию равновесия при г — -да . Это так называемые сепаратрисы. Остальные фазовые траектории огибают состояние равновесия, покидая его окрестность как при г —> +да , так и при г —> -да . Собственные векторы у и у 2, соответствующие собственным значениям Я и Я , определяют направления касательных к сепаратрисам.

3) Я и Я2 - комплексные и Re Я. * 0 .

Состояние равновесия - фокус (устойчивый, если Re Я. < 0, и неустойчивый, если Re Я > 0). Фазовые траектории имеют вид спиралей, по которым фазовая точка движется к состоянию равновесия (при г — +да , если Re Я. < 0, и при г — -да , если Re Я > 0), не имея предельного направления касательной.

Замечание.

с 1 а 1

В случаях сложного состояния равновесия (д = о) или состояния равновесия с чисто мнимыми корнями характеристического уравнения (д > 0;о- = 0) тип состояния равновесия не анализируется.

3. Построение сепаратрис седлового состояния равновесия

Алгоритм численного построения сепаратрис состоит их двух этапов: линейной аппроксимации сепаратрисы в малой окрестности состояния равновесия

м * (х *, у') типа седло и ее численного построения в этой окрестности посредством интегрирования системы (1) методом Рунге-Кутта 4-го порядка [7] с постоянным шагом А 0 по времени t .

Сепаратрисы нумеруются цифрами 1, 2, 3, 4 в порядке их встречаемости в окрестности состояния равновесия при обходе этой окрестности против часовой стрелки, начиная от горизонтальной полупрямой у = у'; х > х'. Построение ' -ой

сепаратрисы сводится к поиску начальной точки м ' на критическом направлении

для каждой ' -ой сепаратрисы (' = 1,4 ) и ее численному построению от м ' . Точки

м ' выбираются так, чтобы выполнялось условие

р(м 0, м ') < й 0,' = 1,4, (8)

где - й 0 заданная величина.

4. Построение фазовой траектории, проходящей через произвольную точку фазовой плоскости.

Фазовая траектория строится из заданной точки м (х , у0) методом Рунге-

Кутта 4-го порядка сначала в сторону возрастания времени t с шагом а = а , затем в сторону убывания времени с шагом а = - А , где а - заданная величина.

Руководство пользователя комплекса АБК

Комплекс ЛВШ является Windows-приложением. После запуска исполняемого файла adis.exe на мониторе появляется главное окно программы, представленное на рис. 1.

Учебный лабораторный

Файл Опции Помощь Х=|2"И№-а)

у = |у"2-Ь"к"2

а = |0

Ь= |4

А -5

<=х<= 5

с -5

<=У<= 5

В р

Найти состояния равновесия Информация о состояниях равновесия

ш Шаг ИО метща Рунге-Кутта

_сепаратрисы и Крит, наклоны_|

□ чистить координатную сеткч от кривым |

V

3.72

2.40

1 24

■4.96 ■3.72 ■2.43 ■1.24 10.00 1 24 2.48 3.72 X

■1.24

■2.48

■3.72

П осгроигь Фазовую траекторию, проходящую через данн^Яточку

Рис. 1. Главное окно комплекса ЛЮК

Опишем каждый элемент окна подробнее.

Ниже заголовка окна располагается меню, содержащее следующие пункты: Файл^Сброс системы:

Отменяет все построения, очищает всю информацию о состояниях равновесия, но сохраняет значения правых частей последней системы. Файл^Загрузить систему:

Вызывает стандартный диалог загрузки файла. Загружает сохраненные систему, данные системы, отрезки поиска и константы расчетов с указанного пользователем файла. Файл^Сохранить систему:

Вызывает стандартный диалог сохранения файла. Сохраняет на диске в указанный пользователем файл правые части системы, отрезки поиска, константы расчетов.

Файл^Сохранить фазовый портрет:

Вызывает стандартный диалог сохранения файла. Сохраняет на диске в указанный пользователем файл текущее изображение фазового портрета системы. Файл^Выход

Выход из программы. Опции^Константы:

Вызывает диалог изменения констант и позволяет пользователю управлять расчетами с различной точностью (см. рис.2).

Рис. 2. Окно «Константы расчетов»

При нажатии на кнопку «Применить» диалог закрывается, а данные, записанные в полях ввода, используются при расчетах. Кнопка «Отмена» не сохраняет введенные значения при данном вызове этого диалога, программа будет использовать текущие значения. Рекомендованные значения констант расчетов указаны по умолчанию. Опции—Расчет производных:

Позволяет пользователю выбрать метод вычисления частных производных правых частей системы: численный метод и аналитическое задание вида производных. Опции—Показывать главные изоклины:

Позволяет показать или скрыть графики главных изоклин на фазовой плоскости. Помощь—Теория:

Содержит описание алгоритмов качественно - численного исследования автономных динамических систем второго порядка. Помощь—Работа с программой:

Содержит описание пунктов меню, полей окон, правил ввода выражений.

Вверху слева расположены поля ввода правых частей системы (1). По умолчанию они заполнены некоторыми выражениями, что не должно смущать пользователя. Ввод выражений, определяющих правые части системы, осуществляется по установленным правилам. Разрешено:

• х, у - две переменные

• а, Ь - два параметра;

• операции: «+» - сложение

«-» - вычитание

«*» - умножение

«/» - деление

«Л» -возведение в степень;

• использование круглых скобок;

• функции: соз(х), вш(х), tg(x), ^(х), аЬз(х), sgn(x) ^п(х)], sqrt(x), 1п(х), ехр(х),

arcsin(x), arccos(x), arctg(x), arcctg(x), sh(x), ch(x), th(x), cth(x), heaviside(x) [h(x)].

Выражение может, например, выглядеть так: xA2+(y-2*cos(x))A4-sqrt(x+2). При вводе неверного выражения выдается сообщение об ошибке в формуле: «Error in formula».

Чуть правее находятся поля задания параметров a и b. При вводе чисел в любые поля чисел следует использовать запятую для разделения целой и дробной частей. При попытке ввести некорректное число выдается сообщение об ошибке.

Ниже находятся четыре числовых поля для задания области D, в которой отыскиваются состояния равновесия.

Кнопка «Найти состояния равновесия» запускает алгоритм поиска состояний равновесия системы.

Список «Информация о состояниях равновесия» отражает найденные состояния равновесия в виде (x, y): [тип состояния равновесия], где x и y -координаты состояния равновесия на фазовой плоскости. Выделяя указателем мыши ту или иную строчку в данном списке, пользователь имеет возможность узнать корни Xl, X характеристического полинома и тангенсы tgl, tg2 углов наклона критических направлений у , у выделенного состояния равновесия (в случае действительных корней). Вся эта информация появляется ниже данного списка.

Еще ниже располагается числовое поле ввода шага й0 метода Рунге-Кутта

численного интегрирования системы, который влияет на точность построения сепаратрис и фазовых траекторий.

Кнопка «Очистить координатную сетку» стирает все ранее проведенные построения на фазовой плоскости, оставляя лишь координатные оси и сетку.

В нижней части главного окна располагается кнопка «Построить фазовую траекторию из заданной точки». В начале работы кнопка выключена. Кнопка выполняет построение фазовой траектории из заданной пользователем точки на фазовой плоскости. Для этого следует подвести курсор мыши к нужной точке фазовой плоскости (вид курсора примет вид «крестика») и произвести нажатие левой кнопки мыши. На фазовой плоскости фиксируется точка, из которой будет происходить построение фазовой траектории. Выключенная кнопка «Построить фазовую траекторию из заданной точки» включается. Нажатие на данную кнопку выполняет построение.

Рекомендуется следующая последовательность выполнения команд:

1. Ввести правые части системы.

2. Задать нужный набор параметров.

3. Найти состояния равновесия.

4. Построить сепаратрисы седловых состояний равновесия (если они существуют).

5. Построить изображения критических наклонов для состояний равновесия типа узел (если они существуют).

6. Построить фазовые траектории из разных точек фазовой плоскости.

Пример использования комплекса ЛЮК

Исследовать параметрический и фазовый портрет системы:

х = ( х + у) — а

'у = — у — ах + Ь

Найдем состояния равновесия этой системы:

(х + у )2 — а = 0 — у 2 — ах + Ь = 0

(9)

(10)

Из (10) получаем (х + у)2 = а, следовательно, состояния равновесия существуют только при а > о . Исключая х, получаем уравнение

у — ау + а л] а — Ь = 0.

имеющее корни

- + а \\ а + Ь

(11)

(12)

' 2 \| 4

2

Проверяя условие — + а + ь > о , находим, что в случае а > о при ь > —

существуют два состояния равновесия системы (9), при ь >--+ ал/а - чет^1ре

4

состояния равновесия. В случае а = о , ь > о имеются два состояния равновесия, в случае а = ь = о - одно состояние равновесия.

Таким образом, параметрический портрет системы (9) имеет вид, представленный на рис 3. Число состояний равновесия указано цифрой в кружочке. В закрашенной части плоскости нет состояний равновесия.

Рис. 3. Параметрический портрет системы (9)

Фазовые портреты, отвечающие значениям параметров из областей , В 2, В 3 (см. рис. 3), представлены на рис. 4, рис. 5 и рис. 6 соответственно. Эти значения параметров отмечены на рис. 3 звездочками.

а

= — +

а

у

а

— ала

4

4

2

Рис. 4. Фазовый портрет системы (9) при значениях параметров из области Б1 ^—1^—1)

Рис. 5. Фазовый портрет системы (9) при значениях параметров из области Б2 ^=10^—4)

Рис. 6. Фазовый портрет системы (9) при значениях параметров из области Б3 ф=1, Ь=4)

Образец задания информации, необходимой для получения рис. 6 с помощью программного комплекса АЭШ, показан на рис. 7.

Рис. 7. Фрагмент панели главного окна программного комплекса ЛЮК

Заданы правые части системы, значения параметров, область поиска состояний

равновесия.

После нажатия кнопки «Найти состояния равновесия» выдается список найденных состояний равновесия с указанием их координат и типа, а при выделении любого из них - информация о корнях характеристического уравнения и критических наклонах (см. рис. 8):

Информация □ состояниям равно ее сия

0.791; -1.7311; седло

[2.303; -1.303); неустойчивый фок

[-1.303; 2.303); седло

[-3.791; 2.791); устойчивый узел

Состояние равновесия: х = 0.791; у = -1.791 Тип: седло

1гмЫ = (real: -2.338; image: 0) Imd2 = (real: 3.92; image: 0) tg1 =0.169 tg2 = -2.96

"Информация о состояниям равновесия

[0,791 ; -1.791); седло

2.303; -1,3031; нечстойчивый ФоИ

[-1,303; 2,303); седло [-3,791; 2,791); устойчивый узел

Состояние равновесия: к = 2,303; у = -1,303 Тип: неустойчивый Фокус 1гпЫ = (real: 2,303; image: -1,381) Imd2 - (real: 2,303; ¡mage: 1,381 )

Состояние равновесия: к = -1,303; у = 2,303 Тип: седло

Imbi = (real: -4,288; image: 0) Irnd2 = (real: 1,682; image: 0) tgl =-3,144 tg2 = -0,159

Состояние равновесия: x = -3,791; у = 2,791

Тип: устойчивый узел

1тЫ = (real: -6,073; image: 0]

Imd2 = [real: -1,509; image: 0]

tgl = 2,037

tg2 = -0,246

Рис. 8. Фрагменты панели главного окна программного комплекса ADIS с выделенными состояниями равновесия

Анализ корней характеристического уравнения, соответствующих состояниям равновесия, и построение фазовых портретов системы (6) с помощью программного комплекса А01Б позволили установить, что бифуркационные кривые

2 2

а I— а I—

Ь ■ Ь =---ал/а и Ь ■ ь =--+ а\]а соответствуют возникновению сложного

1 4 2 4

состояния равновесия типа седло-узел; кривая ьз ■ а = 0, ь > 0 - двух сложных состояний равновесия типа седло-узел.

Заключение

Описанный компьютерный комплекс может использоваться как для изучения системы (1) при конкретных значениях параметров а, Ъ, так и для выяснения ее эволюции и бифуркаций в зависимости от параметров и построения параметрического портрета на плоскости а, Ъ.

Комплекс может также использоваться для самостоятельной исследовательской работы студентов при выполнении ими курсовых и выпускных квалификационных работ.

Компетенции, навыки и умения, формируемые у обучающихся в процессе использования комплекса А01Б на научно - практических занятиях по курсу «Дифференциальные уравнения», создают платформу для освоения последующих дисциплин и практик основной профессиональной образовательной программы высшего образования по направлению подготовки «Фундаментальная информатика и информационные технологии». В частности, эти компетенции, умения и навыки необходимы для выполнения раздела учебной практики «Моделирование в современном естествознании», где предусмотрен лабораторный практикум [8,9] в пакете АпуЬо^с.

Литература

1. Ключевые ориентиры для разработки и реализации образовательных программ в предметной области «Информационно-коммуникационные технологии» / И.Ю.

Петрова, В.М. Зарипова, Е.Г. Ишкина, А.В. Маликов, В.А. Варфоломеев, И.В. Захарова, О.А. Кузенков, Н.В. Курмышев, С.К. Милицкая - Бильбао, 2013. - 87 с.

2. Захарова И.В., Кузенков О.А. Опыт реализаций требований образовательных и профессиональных стандартов в области ИКТ в российском образовании // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2016. - Т. 12. -№ 3-1. - С. 17-31.

3. Гергель В.П., Гугина Е.В., Кузенков О.А. Разработка образовательного стандарта Нижегородского госуниверситета по направлению "Фундаментальная информатика и информационные технологии" // Современные информационные технологии и ИТ-образование. - 2010. - Т. 1. - № 6. - С. 51-60.

4. Грезина А.В. Об устойчивости одной распределенной системы // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2013. - № 6(1). - С.180-184.

5. Грезина А.В., Комаров В.Н. О гашении крутильных колебаний в одной механической системе // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2013. - № 6(1). - С.185-188.

6. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. - Н. Новгород: ННГУ, 1996.

7. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. - М.:Бином. Лаборатория знаний, 2017.

8. Математические модели в естествознании и технике. Лабораторный практикум в пакете AnyLogic. Часть 1 / А.В. Островский, А.С. Ефимов, О.А. Морёнов, А.Н. Половинкин. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2007.

9. Математические модели в естествознании и технике. Лабораторный практикум в пакете AnyLogic. Часть 2 / А.В. Островский, Д.К. Боголепов, С.В. Ливерко, А.Н. Половинкин. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2007.