CC BY
43
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 2 (1), с. 180-189
УДК 517.977.5+519.86+330.35:330.42
МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С УЧЕТОМ НАКОПЛЕНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКОГО КАПИТАЛА ПО СХЕМЕ «LEARNШG-BY-DOШG». II
© 2014 г. Ю.А. Кузнецов, Т.С. Гребенкина
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Yu-Kuzn@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 15.01.2014
Рассматривается один из предельных вариантов общей математической модели экономического роста, сформулированной в первой части работы, и обобщающей ряд моделей экономического роста с учетом накопления человеческого капитала по схеме «1еагт^-Ьу-(^о^у>, включая классическую модель К. Эрроу. Для этого варианта обобщенной модели экономического роста описана постановка задачи о равновесном конкурентном развитии экономики и получены достаточно подробные результаты о структуре и особенностях траекторий сбалансированного роста.
Ключевые слова: экономический рост, физический капитал, человеческий капитал, механизмы формирования человеческого капитала, формирование человеческого капитала в процессе деятельности, оптимальное развитие экономики.
Введение
Важнейшие математические модели экономического роста, связанные с понятием человеческого капитала, в действительности в значительной мере отождествляют человеческий капитал с эффективностью труда экономического агента (в широком смысле), или даже, более узко, с его производительностью труда. В работе [1] построена весьма общая математическая модель экономического роста с учетом накопления физического и человеческого капиталов, которая обобщает ряд известных моделей экономического роста, рассматривающих рост запаса человеческого капитала (а действительности — эффективности труда) как «непреднамеренное» (побочное, by-product) последствие опыта производственной деятельности, а сам механизм накопления человеческого капитала реализуется в виде обучения работников без отрыва от производства (то есть происходит по схеме «learning-by-doing» - обучение в процессе работы или обучение на собственном опыте). Впервые модель такого типа была построена в известной (и давно уже считающейся классической) статье К. Эрроу [2]. Важный вклад в формулировку и исследование моделей экономического роста, связанных с этой концепцией, был сделан в работах [3-13].
Однако, как отмечено в [1], значительный интерес представляет рассмотрение и некоторой «укороченной» (предельной) версии общей математической модели, в одном частном случае рассмотренной в работе [11]. В содержательном плане этой укороченной математиче-
ской модели отвечает одна достаточно специфическая задача о конкурентном равновесии. В этой постановке задачи репрезентативный экономический агент не предпринимает попыток хоть как-то оценить вклад роста эффективности труда в динамику экономического роста, но, тем не менее, ожидает, что делаемый им выбор оптимального (в его понимании) уровня потребления приведет его к конкурентному равновесию. Поэтому, на деле, решая свою задачу об оптимуме, он использует односекторную модель экономики, в которой запас человеческого капитала (уровень навыков) считается экзогенно заданным. Поведение такого репрезентативного экономического агента можно рассматривать как «недальновидное» или «непредусмотрительное». Тем не менее, такая постановка задачи в содержательном плане по-своему поучительна, и именно с неё целесообразно начать исследование общей проблемы (см. соотношения (24) - (30) работы [1]). Кроме того, такая «упрощенная» задача о «недальновидном экономическом агенте» в математическом плане заметно проще общей проблемы и допускает достаточно детальное аналитическое исследование и наглядную экономическую интерпретацию.
В настоящей работе в рамках общего подхода работы [1] рассматривается описанный выше предельный вариант общей математической модели экономического роста. Для этого варианта модели экономического роста кратко описана содержательная постановка задачи о равновесном конкурентном развитии экономики и получены достаточно подробные результаты о
структуре и особенностях траекторий сбалансированного роста. Исследование данных вопросов ведется в соответствии со схемой, изложенной в работе [14], и использует некоторые приемы работы [15], содержащей методически «модернизированное» изложение классической модели Лукаса [16].
Математическая модель экономического роста
Представляется целесообразным сформулировать указанную выше версию задачи независимо от общей постановки задачи (см. соотношения (24)-(30) работы [1]). Это позволит, с одной стороны, установить в явном виде взаимосвязь указанных задач, а с другой - облегчит экономическую интерпретацию получаемых результатов.
В соответствие со сказанным во Введении, экономический агент (ЭА) для описания процесса накопления физического капитала прибегает к модели односекторной экономики, в которой процесс накопления запаса человеческого капитала g ^) считается экзогенно заданным
(ga(0, Vt е [0,да)). Другими словами, ЭА решает следующую оптимизационную проблему: найти оптимальное потребление (управление) с(}) > 0 , Vt е [0, да), такое, которое максимизирует суммарную дисконтированную полезность на бесконечном горизонте планирования
(
c(t)
1_а Л
Решая оптимизационную проблему (1)—(3) ЭА полагает (!?), что результатом его усилий будет «попадание в конкурентное равновесие» («competitive equilibrium»), то есть «окажется», что ga(t) = g(t), Vt e [0,да), где g(t) - формируемый в этой экономической системе уровень эффективности труда (удельный уровень «индекса человеческого капитала», «learning index», g = G/N), динамика роста которого описывается уравнением
d- = q[AkPg„%-Ic -ук] -цgg . (4)
Здесь ц g =^g + п, причем параметр цg -характеризует влияние «прошлых освоенных» в производстве материальных потоков на текущее значение «индекса человеческого капитала». Уравнение (4) дополняется начальными условиями
g(t)|t=+0 = go > 0 . (5)
Сформулированная задача, очевидно, является одним из вариантов задачи о конкурентном равновесии. Её решение включает в себя ряд этапов (см. подробнее [14-17]).
Первый этап. Функция Гамильтона - Пон-трягина задачи (1) - (5) записывается в виде:
H (к, g, V 0, V к , c, t) =
( cx-° ^ V1 _ст/
+ Уk {Akpg*_ c _Цkk}
(6)
(1)
(2)
V 1 -ст У
на траекториях динамической системы
dк = AkPgl- c -цкк . dt
Здесь к - капиталовооруженность работника, к = KjN, цк = цK + n , цK - коэффициент выведения физического капитала (depreciation rate), n - темп роста численности рабочей силы (населения) N(t), c(t) - душевой (per capita) уровень потребления, р - параметр дисконтирования, ga (t) - индекс удельного уровня человеческого капитала («learning index»),
сте (0,1) и (1, да). В случае ст = 1 условие (1) заменяется на условие I e~р' ln c(t)dt ^ max,
J0
причем, как оказывается (см. ниже, (8)—(10)) необходимые условия оптимальности при этом сохраняют свой вид. Уравнение (2) дополняется начальными условиями
к(t)lt=+0 = к0 > °. (3)
Считая задачу (1) - (5) «невырожденной» (у0 = = 1) с помощью замены переменных
ук ^) = е~р'0к (t) переходим от (6) к «текущему» гамильтониану
H(k, g, 0k, с) =
■0k {Akp g*_ c _
1 _а Ц kk}
(7)
Оптимальное управление с^) > 0, Vt е е [0, да) должно максимизировать «текущий» гамильтониан (7) в каждый момент времени t. При этом «теневая» цена 0к ^) удовлетворяет «сопряженному уравнению» d0l
dt
:0k {(р + ц k) _PAk p_1g^}.
(8)
Следуя принятой в теории экономического роста традиции, ограничиваемся рассмотрением «внутреннего» решения задачи (когда для управления выполнено соотношение с(Х) > 0 , Vt е [0,да)). Тогда необходимые условия экстремума текущего гамильтониана могут быть выражены в виде уравнения Н' (к, g, 0к, с) = 0. Эти условия, очевидно, принимают вид
30
e
c
+
с п = 0к , стє (0,да). (9)
Кроме того, должны удовлетворяться условия трансверсальности
Ііт в-р‘ 0к (г)к (г) = 0. (10)
г ^да
Второй этап. На этом этапе в явном виде используется равенство g(г) = ga(г), V? є [0,да), в результате чего уравнения (2), (4) и (8) записываются в виде:
^к- = Акр g *- с-Цкк, (11)
а?
^ = Ф[Акрg*-5с -ук] -цgg , (12)
аг е
а0к аг
:0k {(р + ц-) _ pAk p-1gI}. (13)
®k = Ak p-1g1
k
Ц k,
®g =Ф[Ak p-1 g1 _E - _у] — _ц g
j0-
= (р + ц k) _ pAkp-1 g1,
Шек = -стШ . (17)
Равенство (17) получается из (9) с помощью «логарифмического дифференцирования»1.
Из определения BGP траектории и соотношений (14)—(17) вытекают некоторые равенства, имеющие место на BGP траектории. Во-первых, из (16) и (14), соответственно, следует, что
л;Р-1 х (Р + ц к ) + СТЮС
АкP 1 gх = ———--------- = const,
s P ’
Akp 1g1------= rak + ц k = const, (18)
k
так что из (18) имеем:
c = (P + Ц k) + a®c k
p
_ (®k + Ц k) = const. (19)
Условия (3), (5), (9) и (10) сохраняют свой вид. Таким образом, для определения оптимальной траектории ЭА должен использовать уравнения движения (11), (12), уравнение (13) для цены капитального ресурса (сопряженная переменная), необходимые условия экстремума (9) и условия трансверсальности (10). Очевидно, что система (11)-(13) формально получается из соотношений (24)-(30) в [1] при условиях s = х и е (t) ■ 0, Vt е [0, да). Следовательно, её можно рассматривать как предельный случай общей системы (24)-(30) [1].
Условия существования траекторий сбалансированного роста
По определению, оптимальная траектория {к (t), g (t), c(t), ек (t)} есть траектория сбалансированного роста или BGP траектория (balanced growth path, BGP), если темпы роста перечисленных переменных являются постоянным (см. [16, 14]). Отметим, что определение траектории сбалансированного роста неявно предполагает, что на BGP (в соответствии с экономическим смыслом переменных) ш c > 0 и шк > 0. Напомним, что темп роста гладкой функции f (t) > 0 есть, по определению, вели, ч 1 df (t) d ln f (t) чина шf(t)■ 7(7)— = —Л~ ('eR).
Выпишем вытекающие из соотношений (9), (11)—(13) представления для темпов роста переменных {к (tX g(t), c(t), ек(t)}. Имеем:
Здесь в (18) учтено условие (17). Логарифмическое дифференцирование равенства (19) и первого из равенств (18) приводит к соотношениям
®с = ®к, X® g = (1 -РН 20)
соответственно. Далее, соотношение (15) можно представить в виде
(®g + ц g) = s—_ ф g'
(21)
где
S = АкP 1gх - S---у = const. Покажем, что
к
во всех важнейших с прикладной точки зрения вариантах общей задачи I — III (см. примечание 2) имеет место условие S Ф 0 . Действительно, легко видеть (см. (18)—(20)), что
S=
P + Ц k p
Е + (1_ Е)-
V 'p
(14)
(15)
(16)
так что Sj = шк + цк, Sjj = шк + n , SIIX = (р + +ц к + стшк)/ P (здесь тот или иной вариант общей задачи обозначен соответствующей римской цифрой). Если принять также во внимание согласующиеся с экономическим смыслом переменных условия rnc = шк > 0 и n > 0, то получим, что условие S Ф 0 действительно имеет место, во всяком случае, в вариантах I — III общей задачи. Но в таком случае из (21) вытекает
важное соотношение ^g = const, логарифмическое дифференцирование которого приводит к равенству
fflg =Шк. (22)
Из сопоставления (22) и второго из равенств (20) следует, что для существования BGP траекторий с ненулевыми темпами шc = шк и rag =шк необходимо должно быть выполнено условие
P + X = 1, (23)
c
g
то есть производственная функция системы У = Akр gх должна быть положительно однородной (принадлежать классу CRS). Напомним, что это свойство обычно трактуется как отсутствие эффекта масштаба (constant return to scale, CRS). В дальнейшем считаем, что условие (23) выполнено. Наличие «законов сохранения» (19), (21) и справедливость условия (23) позволяет провести в системе (11)—(13) замену переменных, «понижающую» порядок этой системы. Введем «инструментальные» переменные
. Ясно, что в силу (19), (21) на
q — С/ q /k
BGP траектории имеют место равенства q = const, х = const. Используя определение переменных q, х и соотношения (9)—(13), получаем следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений
dx
x{l _ фx)AxP 1 + Yфx +
+ (Цg _цk )-(l_ ф^-*)?}
dt
f - q{(l-,) AxP_1 + q-dc c
p + ц k (1_ a)
а
d- = — {PAxP-1 _(p + ^ k)}. dt а
(24)
(25)
(26)
рованных траекторий (то есть вопросу о существовании, количестве и устойчивости состояний равновесия системы уравнений (24), (25), принадлежащих области R++). Понятно, что, в силу относительной простоты этой системы, ряд такого рода результатов может быть получен и аналитически; наряду с этим, ниже приводятся и результаты ряда «численных экспериментов», проведенных для значений параметров системы (24), (25), характерных для индустриально развитых экономик инновационного типа4. При проведении расчетов использовались пакеты WInSet [20].
Произведем в системе (24), (25) переход к
е Ч
новым переменным С, = фХ , 'П = ^ ^р и новому
масштабу времени т = Лф1 ~р1 , а затем возвратимся к «старым» обозначениям переменных и времени (х , Ч). В итоге система (24), (25) принимает вид:
P-1
+ Tx
— - x{(l _ x)x dt * ’
+ M _ (l _ Ex)q} = P(x, q),
Ясно, что система (24)-(26) обладает специфической структурой - она распадается на две подсистемы (уравнения (24), (25) и уравнение (26)). При этом динамика душевого уровня потребления с(1) > 0, Vt е [0, да) полностью определяется поведением переменной Х(1) > 0,
Vt е [0,да). В свою очередь, динамика переменных х(1) > 0, и ч((1) > 0 Vt е [0, да) описывается системой уравнений (24), (25).
Итак, исследование системы (11) - (13) сводится к изучению системы уравнений (24), (25) в области R + переменных ( х, ч)3: только в этой области указанные переменные имеют ясный экономический смысл. Таким образом, область R+ является естественным фазовым пространством системы уравнений (24), (25).
Некоторые особенности структуры фазового портрета системы (24), (25)
Ниже приводятся некоторые результаты исследования структуры фазового пространства («фазового портрета») системы уравнений (24), (25) для вариантов I — III общей задачи. В связи со спецификой содержательной постановки задачи, основное внимание при этом уделяется вопросу о существовании, количестве и устойчивости «внутренних» оптимальных сбаланси-
dq
dt
+ q_R
(27)
■ = Q( х q),
(28)
где Г = у/Аф1-Р, M = (цg -|ak)/Аф1-р , R =
= (p + ц (1- ст))/Аф1 -рст . Уравнение (26) при этом запишется в виде dc с
t -{“-Ч r - . (29)
Аф
Естественным фазовым пространством системы (27), (28) также является первый квадрант R + плоскости R2 переменных (х, ч) .
Исследование системы (27)-(29) предполагает рассмотрение целого набора вариантов, которые определяются теми или иными сочетаниями значений параметров р, ст , у, Г , М, Е и R . Величины и знаки параметров М и R определяются исходным набором параметров р, ст , Р, ф , Л , п, цк = цК + п и цg = цс + п, фигурирующих в системе (24) - (26), и имеющих ясный экономический смысл. Параметры Г и Е определяются вариантом I - III общей задачи. Легко видеть, что представляет интерес рассмотрение следующих условий, влекущих за собой качественные различия в динамике системы (27), (28):
1®. 0 <ст<р ; ст = р ; 0 <р<ст<ст0, а = а0,
ст0 = 1 + — (R > 0); ст>ст0 (R < 0). ц к
2е. ц*-Ці <0 (М <0); ц* =Ці (М = 0); Ц* -Цк > 0 (М > 0).
Таким образом, в общем случае необходимо рассмотреть весьма обширный набор сочетаний параметров. Не представляется возможным описать все эти сочетания в настоящей работе. Поэтому ниже приводятся краткие характеристики и фазовые портреты для только некоторых, наиболее интересных с прикладной точки зрения сочетаний параметров4, тем более, что некоторые из подобных сочетаний вообще не наблюдаются в реальных экономических системах. Установим ряд простых утверждений о свойствах состояний равновесия (х„,д„) системы (27), (28). Они основаны на качественных особенностях изоклин этой системы уравнений [21-23]. В области R ++ уравнения изоклин вертикальных наклонов (Р(х, q) = 0) и горизонтальных наклонов (Q( х, q) = 0) [21, С. 41] представляются соответственно в виде
(1 - х)хр-1 +Гх + М-(1 -Ех)д = 0, £- 1ІхР-1 + д - Я = 0.
(30)
Кроме того, h - изоклиной является прямая q = 0 (ниже используются более краткие термины, h - изоклина или горизонтальная изоклина и V - изоклина или вертикальная изоклина). Уравнение h - изоклины (30) во всех случаях I -III может быть записано в виде
д = Н (х) = (1 х р-1 + R, х > 0. (31)
Уравнение V - изоклины (30) в случае I (Е = 1, Г = 0) записывается в виде
д = и(х) = хр-1 + , М , , х > 0, х Ф1, (32)
I1 - х ]
в случае II (Е = 0, Г = 0) - в виде
д = г(х) + М, г(х) = (1 - х)хр-1, х > 0, (33)
и, наконец, в случае III (Е = 1,
_Цк Аф1
1о (1 - х)
Г=Гк =т^>0) - в виде
д = W (х) = V (х) - Гк , V (х) = хР-1 + —
Р е (0,1), х > 0, х ф 1. (34)
В представлении (34) учтен явный вид пара-
Аф1
смотрим сначала случай III. Ясно, что при
х > 0, х Ф1
метров системы (27), (28), Гс = ^ ^-р > 0. Рас-
V '(х) = -(1 -Р)хр-2 +Г0 (1 - х)-
V (х) = (1 - Р)(2 - Р)хр-3 + 2Г0(1 - х)-3. (35)
Нетрудно видеть, что при х ^ +0 V(х) ^ +да и V'(х) ^ -да , а при х ^ 1 - 0 V (х) ^ +да и V' (х) ^+да . Кроме того, при х е (0,1) V"(х) > > 0. Следовательно, при х е (0,1) функция д = V (х) строго выпукла и обладает единственной точкой минимума хш1п е (0,1). Заметим, далее, что V(х) > 0 при х е (0,1). При изменении параметра цк (следовательно, и Гк) величина = V (хш1п) может изменяться в весьма широких пределах и, в частности, принимать отрицательные значения (аналогичным образом влияет на величину дш1п и изменение параметра цс ). Далее, при х ^ 1 + 0 имеем: V(х) ^ -да,
V' (х) ^+да ; при х ^да V (х) ^ 0 и V' (х) ^ ^ 0. Можно показать, что существуют точки х0,х1,х2 е (1,да) такие, что V(х0) = 0, V'(х1) = 0, V" (х2) = 0, причем х0 < х1 < х2. При этом V" (х) < 0 при х е (1, х2) и V" (х) > 0 при х е (х2, да). Таким образом, в точке х1 е (х0, х2) достигается максимум функции V(х); как и выше, при изменении параметра цк (Гк) величина дтах = У(хтах) хтах = х1 е (^ х2)) может
изменяться в весьма широких пределах; при этом, при больших значениях параметра цк (Гк) в области (1, да) возможно существование одного или двух нулей функции д = V (х), а так же их отсутствие. Качественный вид графика функции д = V(х) представлен на рис. 1. Вид графика функции д = Н (х) (h - изоклины (31)) во всех случаях I - III существенно зависит от
Р
величины отношения —; его качественный вид ст
представлен на рис. 2 при ст > ст0 (ст0 = 1 + —),
ц к
когда параметр R > 0 ((а) р<ст и(Ь) ст<р). Ясно, что в случае (а) Н'(х) < 0 и Н" (х) > 0 при х е (0, да), а в случае (Ь) Н' (х) > 0 и Н" (х) < 0 при х е (0, да).
Как показывает анализ графиков, представленных на рис. 1 и 2, в варианте III возможно существование одного или двух «внутренних» состояний равновесия (лежащих в области И++ ), а так же их отсутствие. При этом могут существовать одно или два «граничных» состояния равновесия (лежащих на границе
2
Рис. 1. Вид графика функции q = W (х)
! / / / / / / 1 / і / / 1 / / . / У
1 / / /7 л/7 \
1 / /' // 1 \\ // /// / / /
<Л /
Рис. 3. Фрагмент фазового портрета системы (27), (28) в случае III (а < Р, х1 = х , х2 = q )
Рис. 4. Фрагмент фазового портрета системы (27), (28) в случае III (Р < а, х1 = х , х2 = q)
множества R+). Все эти состояния равновесия являются седлами или неустойчивыми узлами. Особой точкой является также начало координат. Во всех рассматриваемых случаях структура фазового пространства в его окрестности вполне аналогична структуре фазового пространства в окрестности седла или неустойчивого узла. При этом, ни при каких значениях параметров системы (27), (28) она не имеет (в варианте III) устойчивых «внутренних» состояний равновесия. Типичные примеры «фазового портрета» системы (27), (28) представлены на рис. 3 (значения параметров ф = 0.25, Л = 0.1,
Р = 0.48, цК = 0.013, п = 0.013, ^ = 0.023,
ц к = 0.1015, а = 0.4032, р = 0.0134 характерны для экономики Германии; случай а<Р; «внутренние» состояний равновесия - седло и неустойчивый узел, «граничные» состояния равновесия - устойчивый узел (х1 = 0.5592) и седло (х1 = 0.5943), начало координат - особая точка типа неустойчивого узла) и рис. 4 (от предыдущего набора параметров отличается только параметр а = 1.5465 ; он характерен для экономики США; случай а > Р ; «внутренние» состояний равновесия - седло и неустойчивый узел, «граничные» состояния равновесия - устойчивый узел и седло, начало координат - особая точка типа седла).
Рассмотрим теперь случай II. Уравнение V -изоклины в этом случае имеет вид (33). Ясно, что при х ^+0 Z(х) ^+да и Z'(х) ^-да , а при х ^да Z(х) ^-да и Zг(х) ^ 0. Кроме того, при х е (0, да) Z'(х) < 0 и Z " (х) > 0. Следовательно, при х е (0, да) функция q = Z(х) + М строго выпукла и её график имеет единственную точку пересечения как с прямой q = 0, так и с графиком функции q = Н(х) (график последней см. на рис. 2). Вид графика функции q = Z(х) + М представлен на рис. 5. Несложный анализ показывает, что «внутреннее» состояние равновесия - седло, «граничное» состояние равновесия - устойчивый узел, а начало координат - особая точка типа неустойчивого узла. При этом, ни при каких значениях параметров системы (27), (28) она не имеет (в варианте II) устойчивых «внутренних» состояний равновесия. Типичный фазовый портрет системы (27), (28) в случае II приведен на рис. 6. Он соответствует набору параметров ф = 0.25, Л = 0.1,
Р = 0.48, цК = 0.013, п = 0.013, = 0.023,
ц к = 0.0405, а = 0.4032, р = 0.0134 и достаточно близок к характерному для экономики Германии. В рассматриваемом случае а < Р. «Внутреннее» состояние равновесия - седло, «граничное» состояние равновесия - устойчи-
Рис. 5. Вид графика функции д = Z (х) + М в случае II (Z (1) = 0 )
Рис. 6. Фрагмент фазового портрета системы (27), (28) в случае II (а<Р , х1 = х, х2 = д )
Рис. 7. Вид графика функции д = и(х) в случае I (М < 0)
Рис. 8. Фрагмент фазового портрета системы (27), (28) в случае I (х1 = х , х2 = д ; ц = 1.645 ; седло и неустойчивый фокус в R++ )
вый узел, а начало координат - особая точка типа неустойчивого узла.
В случае I построение графика функции д = и (х) (см. (32)) вполне аналогично построению графика функции д = V(х) (см. (34)). Основное отличие состоит в том, что параметр
л /Т ц & — ц к ( ^
М = ^ 1—р (в отличие от параметра 1Г =
ц Г Л ч
= ^ 1—р > 0) может принимать и отрицательные
значения (при ц& < цк ). Легко показать, что при М < 0 функция д = и(х) такова, что и'(х) < 0 при х е (0,1) и (1, да); существует точка перегиба х* е (0,1), причем и"(х) > 0 при х е (0, х*) и и(1, да) и и"(х) < 0 при х е (х* ,1). Вид графика функции д = и (х) при М < 0 представлен на рис. 7 (при М > 0 его вид вполне аналогичен графику функции д = W (х), см. рис. 1).
В случае I наблюдается гораздо большее разнообразие вариантов фазового пространства системы (27), (28) и бифуркаций, происходящих при изменении структуры фазового пространст-
ва. Быть может, наиболее интересные явления в данном случае - бифуркация рождения цикла из петли сепаратрисы внутри области R + и бифуркация Андронова - Хопфа. Из петли сепаратрисы рождается устойчивый предельный цикл, размеры которого уменьшаются с ростом параметра ц& ; при некотором критическом значении этого параметра происходит бифуркация Андронова - Хопфа, в результате которой устойчивый предельный цикл «влипает» в состояние равновесия, в результате чего рождается устойчивый фокус (см. рис. 8-10, на которых представлены некоторые этапы описанной последовательности бифуркаций в случае фиксированного набора параметров ф = 1.65, Л = 1,
Р = 0.5, ц к = 0.21, а = 0.4, р = 0.02075 (случай а < Р) и изменения параметра ц& е R + ; во всех представленных случаях имеется «граничное» состояние равновесия - устойчивый узел, а начало координат - особая точка типа неустойчивого узла). Таким образом, в условиях случая I существуют устойчивые сбалансированные траектории. Этим модель К. Эрроу процесса «1еагт^-Ьу^о1^» принципиально отличается
Рис. 9. Фрагмент фазового портрета системы (27), (28) в случае I (x1 = x , x2 = q ; цg = 1.6491; сед-
ло, устойчивый предельный цикл и неустойчивый фокус в R++ )
от других аналогичных моделей. Данный факт позволяет, в принципе, найти «экспериментальные» основания для выбора наиболее адекватного механизма процесса «learning-by-doing». Впрочем, наблюдаемые в реальных экономических сбалансированные траектории далеко не всегда являются устойчивыми, и даже в случае их устойчивости, вообще говоря, нельзя утверждать, что сгенерировавший их механизм напрямую связан с процессом «learning-by-doing» (см. [24-26]).
Примечания
1. См., например, Кудрявцев Л.Д., Курс математического анализа. В 2-х томах: Учебник для университетов и втузов. М.: Высшая школа, 1981, Т. 1. 687 с., С. 181.
2. См. [1]. Напомним их определения: I. Е = 1, у = 0; II. I = 0, у = 0 ; III. I = 1, у = цK .
3. Здесь и далее R+ = [0, да), R++= (0, да).
4. Речь идет об экономиках типа экономик США и Германии (см., например, [7-9, 11, 18, 19]).
Список литературы
1. Кузнецов Ю.А., Гребенкина Т.С. Модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала по схеме «learning-by-doing». I // Вестник Нижегородского государственного университета им.
Н.И. Лобачевского. 2013. № 2(1). С. 142-151.
2. Arrow K.J. The Economic Implications of Learning by Doing // Review of Economic Studies. 1962. V. 29. № 1. P. 155-173.
3. Frankel M. The production function in allocation and growth: a synthesis // American Economic Review. 1962. V. 52. № 5. P. 996-1022.
4. Shell K. Toward A Theory of Inventive Activity and Capital Accumulation // American Economic Review. 1966. V. 56. № 1-2. P. 62-68.
5. Romer P.M. Increasing returns and long-run growth // J. Political Economy. 1986. V. 94. № 5. P.1002-1037.
Рис. 10. Фрагмент фазового портрета системы (27), (28) в случае I (х1 = х , х2 = д ; ц& = 1.6535 ; седло
и устойчивый фокус в R++ )
6. Romer P.M. Endogenous Technological Change // Journal of Political Economy, 1990. V.98. № 5. P. S71-S102.
7. Lucas R.E., Jr. Making a miracle // Econometrica. 1993. V.61. № 2. P. 251-272.
8. Eicher T., Turnovsky S.J. Convergence in Two-Sector Nonscale Growth Model // Journal of Economic Growth. 1999. V. 4. № 4. P. 413-428.
9. Eicher T. Turnovsky S.J., Transition Dynamics in a Two-Sector Nonscale Growth Model // Journal of Economic Dynamics and Control. 2001. V. 25. № 1-2. P. 85-113.
10. Gocke M. Learning-By-Doing Und Endogenes Wachstum. Heidelberg: Springer, Physica-Verlag, Wirt-schaftswissenschaftliche Beitrage Nr. 180. 2000. 224 p.
11. Greiner A. On the dynamics of an endogenous growth model with learning by doing // Economic Theory. 2003. V. 21. № 1. P. 205-214.
12. Christiaans T. Neoklassische Wachstumstheorie. Darstellung, Kritik und Erweiterung. - Norderstedt: Books on Demand GmbH, 2004. 356 p.
13. Tsur Y., Zemel A. On the Dynamics of Knowledge-Based Economic Growth // J. Optimization Theory and Applications. 2007. V. 135. № 1. P. 101-115.
14. Кузнецов Ю.А. Оптимальное управление экономическими системами. - Нижний Новгород: Издательство Нижегородского госуниверситета, 2008. 449 с.
15. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and Indeterminacy: On the Dynamics of Endogenous Growth // Journal of Economic Theory. 1994. V. 63. № 1. P. 113-142.
16. Lucas R.E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. V. 22. № 1. P. 3-42.
17. Seierstad A., Sydsster K. Optimal Control Theory with Economic Applications. Amsterdam: North Holland, 1987. 452 p.
18. Gomez M.A. Equilibrium dynamics in the one-sector endogenous growth model with physical and human capital // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. V. 28, № 2, P. 367-375.
19. Steger T.M. Welfare Implications of Non-scale R&D-based Growth Models // The Scandinavian Journal of Economics. 2005. V. 107. № 4. P. 737-757.
20. Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. Использование программы WInSet для визуализации динамических систем. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2007. 102 с.
21. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 56S с.
22. Gandolfo G. Economic Dynamics / 3rd, completely revised edition. - Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1997. 675 p.
23. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990. 4SS с.
24. Solow R.M. Learning from «Learning by doing»: Lesson for Economic Growth. Stanford (California): Stanford University Press, 1997. 94 p.
25. Кузнецов Ю.А., Мичасова О.В. Обобщенная модель экономического роста с учетом накопления человеческого капитала // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. № 4. С. 46-57.
26. Кузнецов Ю.А. Человеческий капитал, производительность труда и экономический рост // Экономический анализ: теория и практика. I. 2012. № 43 (298). С. 2-17; II. 2012. № 44(299). С. 2-14.
ECONOMIC GROWTH MODEL WITH CONSIDERATION FOR HUMAN CAPITAL ACCUMULATION
THROUGH LEARNING-BY-DOING. II.
Yu.A. Kuznetsov, T.S. Grebenkina
We consider a limiting version of the general mathematical model of economic growth formulated in the first part of the work, which generalizes a number of economic growth models taking into account human capital accumulation through learning-by-doing including K. Arrow’s classical model. For this generalized model, traditional problem settings (the social planner and competitive equilibrium) are described. A general optimal problem covering the main traditional problem settings is formulated.
Keywords: economic growth, physical capital, human capital, human capital formation mechanisms, human capital formation through learning-by-doing, optimal development of an economy.
References
1. Kuznecov Yu.A., Grebenkina T.S. Model' ehko-nomicheskogo rosta s uchetom nakopleniya chelove-cheskogo kapitala po skheme «learning-by-doing». I // Vestnik Nizhegorodskogo gosudarstvennogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo. 2013. № 2(1). S. 142-151.
2. Arrow K.J. The Economic Implications of Learning by Doing // Review of Economic Studies. 1962. V. 29. № 1. P. 155-173.
3. Frankel M. The production function in allocation and growth: a synthesis // American Economic Review. 1962. V. 52. № 5. P. 996-1022.
4. Shell K. Toward a Theory of Inventive Activity and Capital Accumulation // American Economic Review. 1966. V. 56. № 1-2. P. 62-68.
5. Romer P.M. Increasing returns and long-run growth // J.Political Economy. 1986. V. 94. № 5. P.1002-1037.
6. Romer P.M. Endogenous Technological Change // Journal of Political Economy, 1990. V.98. № 5. P. S71-S102.
7. Lucas R.E., Jr. Making a miracle // Econometrica. 1993. V.61. № 2. P. 251-272.
8. Eicher T., Turnovsky S.J. Convergence in Two-Sector Nonscale Growth Model // Journal of Economic Growth. 1999. V. 4. № 4. P. 413-428.
9. Eicher T. Turnovsky S.J., Transition Dynamics in a Two-Sector Nonscale Growth Model // Journal of Economic Dynamics and Control. 2001. V. 25. № 1-2. P. 85-113.
10. Gocke M. Learning-By-Doing Und Endogenes Wachstum. Heidelberg: Springer, Physica-Verlag, Wirt-schaftswissenschaftliche Beitrage Nr. 180. 2000. 224 p.
11. Greiner A. On the dynamics of an endogenous growth model with learning by doing // Economic Theory. 2003. V. 21. № 1. P. 205-214.
12. Christiaans T. Neoklassische Wachstumstheo-rie. Darstellung, Kritik und Erweiterung. - Norderstedt: Books on Demand GmbH, 2004. 356 p.
13. Tsur Y., Zemel A. On the Dynamics of Knowledge-Based Economic Growth // J. Optimization Theory and Applications. 2007. V. 135. № 1. P. 101-115.
14. Kuznecov Yu.A. Optimal'noe upravlenie ehkono-micheskimi sistemami. - Nizhnij Novgorod: Izdatel'stvo Nizhegorodskogo gosuniversiteta, 2008. 449 s.
15. Benhabib J., Perli R. Uniqueness and Indetermi-
nacy: On the Dynamics of Endogenous Growth // Journal of Economic Theory. 1994. V. 63. № 1.
P. 113-142.
16. Lucas R.E., Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. V. 22. № 1. P. 3-42.
17. Seierstad A., Syds^ter K. Optimal Control Theory with Economic Applications. Amsterdam: North Holland, 1987. 452 p.
18. Gomez M.A. Equilibrium dynamics in the one-sector endogenous growth model with physical and human capital // Journal of Economic Dynamics and Control. 2003. V. 28, № 2, P. 367-375.
19. Steger T.M. Welfare Implications of Non-scale R&D-based Growth Models // The Scandinavian Journal of Economics. 2005. V. 107. № 4. P. 737-757.
20. Dragunov T.N., Morozov A.D. Ispol'zovanie programmy WInSet dlya vizualizacii dinamicheskih sistem. N. Novgorod: Izd-vo NNGU, 2007. 102 s.
21. Andronov A.A., Leontovich E.A., Gordon I.I., Majer A.G. Kachestvennaya teoriya dinamicheskih sis-tem vtorogo poryadka. M.: Nauka, 1966. 568 s.
22. Gandolfo G. Economic Dynamics / 3rd, completely revised edition. - Berlin - Heidelberg: Springer-Verlag, 1997. 675 p.
23. Bautin N.N., Leontovich E.A. Metody i priemy kachestvennogo issledovaniya dinamicheskih sistem na ploskosti. M.: Nauka, 1990. 488 s.
24. Solow R.M. Learning from «Learning by doing»: Lesson for Economic Growth. Stanford (Califor-
nia): Stanford University Press, 1997. 94 p.
25. Kuznecov Yu.A., Michasova O.V. Obobshchen-
naya model' ehkonomicheskogo rosta s uchetom nakop-leniya chelovecheskogo kapitala // Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Ser. 10. Prikladnaya mate-matika. Informatika. Processy upravleniya. 2012. № 4.
S. 46-57.
26. Kuznecov Yu.A. Chelovecheskij kapital, proiz-voditel'nost' truda i ehkonomicheskij rost // Ehkonomi-cheskij analiz: teoriya i praktika. I. 2012. № 43 (298).
S. 2-17; II. 2012. № 44(299). S. 2-14.
