CC BY
25
УДК 51-72:531.572
РЕЛАКСАЦИОННАЯ (СУЩЕСТВЕННО НЕСТАЦИОНАРНАЯ) МОДЕЛЬ ГОРЕНИЯ ПОРОХА
г.в. жижин
Государственный Северо-Западный университет, Санкт-Петербург, Россия
АННОТАЦИЯ, Построена модель горения пороха, описывающая процессы горения на любом удалении от стационарных режимов. Уравнения горения пороха приводятся к автономной системе двух дифференциальных уравнений первого порядка. Обнаружено существование предельной критической скорости горения, при которой теплоподвод от горячего торца, компенсируется теплоотводом, вызванным увеличением скорости горения.
ВВЕДЕНИЕ
В [1-6] была разработана теория горения пороха, в которой основными допущениями были предположения о лимитирующем влиянии на горение пороха тепловых процессов в конденсированной фазе и о применимости при исследовании нестационарных режимов горения стационарного михельсоновского выражения для градиента температуры в конденсированной фазе на её горячем торце. В [2, 3] с помощью анализа эволюции малых возмущений стационарных режимов горения в линейном приближении была исследована устойчивость горения пороха и, в тоже время, отмечалось, что линейное приближение существенно ограничивает исследование, в первую очередь, ввиду присутствия в уравнении теплопроводности нелинейного конвективного слагаемого. В [6] с помощью численного решения уравнения теплопроводности методом моментов исследовались нестационарные моды горения пороха при малых отклонениях системы от стационарных состояний. Нестационарное уравнение теплопроводности сводилось при этом к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В [6] обнаружено, что в определённой области параметров задачи существуют режимы хаотиза-ции скорости горения пороха.
В данной работе построена модель горения пороха, описывающая процессы горения на любом удалении от стационарных режимов. Уравнения горения пороха приводятся к автономной системе двух дифференциальных уравнений первого порядка с независимой переменной временем, т.е. к виду обычному при исследовании динамических систем. Это позволяет представить различные нестационарные режимы горения
траекториями в фазовой плоскости, исследовать поведение траекторий не только в окрестности особых точек - стационарных режимов, но и вдали от них, а также определить характер изменения многообразия положений равновесия при изменении параметров задачи. Такая постановка естественно потребовала отказаться от использования стационарного михельсоновского выражения для градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы. Одно из уравнений системы есть дифференциальное уравнение для скорости горения, оно получено интегрированием нестационарного уравнения теплопроводности. В качестве второго уравнения системы предложено релаксационное равенство для градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы, обобщающее предыдущие исследования по динамике горения пороха [1-6]. В результате исследования полученной модели установлено, что кроме двух особых точек, отвечающих стационарным режимам горения с меньшей и большей скоростью горения и изменяющих свою устойчивость в зависимости от значений параметров задачи, система имеет в фазовой плоскости линию сингулярных точек, в которых одна из фазовых скоростей имеет разрыв ± со. Точки этой линии соответствуют предельным состояниям системы с критической скоростью горения. Предельные состояния возникают либо в начальный момент горения конденсированной фазы, либо в момент полного её сгорания. Линия сингулярных точек разрушает возможные режимы хаотизации скорости и имеет особую точку, через которую существует непрерывный переход при изменении знака разности между тепловым потоком, входящим в конденсированную фазу из зоны реакции, и конвективным тепловым потоком через конденсированную фазу.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СКОРОСТИ ГОРЕНИЯ ПОРОХА
В силу предположения [1] о лимитирующем влиянии процессов передачи тепла в конденсированной фазе на весь процесс горения пороха основным уравнением при описании горения пороха является нестационарное уравнение теплопроводности в конденсированной фазе, которое в одномерном приближении в координатах, связанных с горячим торцом конденсированной фазы, имеет вид
рсдТ/Ы = Лд2Т/ дх2 -ри(Г)сдТ/сЬс, (1)
где / -время; х - пространственная координата; р,с,Л - предполагаемые постоянными плотность, удельная теплоёмкость и теплопроводность конденсированной фазы; и(()-скорость движения конденсированной фазы в направлении оси х , равная по абсолютной величине скорости движения горячего торца конденсированной фазы за счёт выгорания в неподвижной системе координат(будем называть её скоростью горения пороха); Г(/,х) - температура.
Считаем, что в общем случае конденсированная фаза имеет бесконечную протяжённость в область отрицательных значений координаты х, а нулевое значение этой координаты связано с горячим торцом конденсированной фазы и ось х направлена от торца конденсированной фазы во внешнюю область.
Решения уравнения (1) должны удовлетворять граничным условиям
Т U=Th (0, дт / ах |л=0 = <p(t), Т =Т0,дТ/дх = 0. (2)
Особенность граничных условий (2) состоит в том, что функции Th{t\q>(t) являются неизвестными функциями и должны быть определены в результате решения задачи. Причём, если следовать работам [2-4], то эти функции должны быть найдены из решений уравнения (1) с использованием экспериментальных данных по горению пороха в стационарных условиях. В частности, эти данные, согласно [6] , могут быть представлены в виде зависимостей
мА=5ехр(ДГ/Х (3)
и* = ^ехр(ДГ0), (4)
где 4 2?,/?,,/? - экспериментально определяемые параметры, а индекс 5 указывает на то, что значения скорости горения и температуры горячего торца конденсированной фазы соответствуют стационарному режиму горения.
Согласно [2-4], эмпирические значения коэффициентов, входящих в (3), (4), наилучшим образом аккумулируют в себе сложную кинетику как процессов газификации в узком пограничном слое между чисто конденсированной фазой и газовой фазой, так и химических реакций в газовой фазе. Уравнение (1) в стационарных условиях имеет вид
М2Т' /сЬс2 - реи*ОТ* /дх = 0 (5)
и его решение хорошо известно (решение Михельсона)
Тх = Т0 +(Г/ -Т0)ехр(хрилс/Л). (6)
В стационарных условиях значения температуры и производной от температуры по пространственной переменной на горячем торце конденсированной фазы связаны равенством
ри*с(Т1;-Т0) = Л<р\ (7)
Оно означает, что входящий в конденсированную фазу через горячий торец тепловой поток полностью затрачивается на повышение температуры конденсированной фазы от
начальной То до конечной Т^ . Согласно предложению в работе [1] , это равенство можно использовать и в нестационарных условиях. Однако в нестационарных процессах, строго говоря, вместо равенства (7) следует использовать равенство тепловых потоков с обеих сторон горячего торца конденсированной фазы, выполняющегося в любой момент времени, т.е. равенства тепловых потоков, выходящего из зоны кинетических процессов и входящего в конденсированную фазу. Покажем, что использование равенства (7) в нестационарных процессах приводит к противоречию. Введём переменную
у(0= )(Т«,х)-Т0)ск. (8)
-со
Интегрируя (1) по х, используя (2), получим
рсду/Л = Хер- рис(Ть -Т0). (9)
Если использовать равенство (7) и при нестационарных значениях Т1пи,(р, то из (9)
следует, что переменная у не зависит от времени, но это противоречит определению у равенством (8), как функции времени в нестационарном процессе. Значение переменной у в стационарном процессе легко найти из (8), применяя (6),
у' =(Г/ -Г0)Л/(/ж'с). (10)
Переменная у по определению (8) в каждый момент времени ^ в плоскости (Г,х) представляет собой площадь (рис.1), ограниченную осью ординат, функцией Т(х) и прямой Т = Т0. Соответственно величина у8 есть площадь, ограниченная решением Михельсона (6) , осью ординат и прямой Т = Т0. В силу этого, принимая, что разница между значениями температур Т и Тх убывает при удалении от горячего
Рис. 1. График распределения температуры под поверхностью горения
торца конденсированной фазы по координате х экспоненциально с характерной длиной Л /(рис) (так как процесс нестационарный), представим у в виде суммы
о
у = у* + |(ГЛ - ГЛА) ехр(хрис / Л)с!х. (11)
-со
Вычисляя интеграл в (11), имеем
у = у*+(Т„-Т;)Л/(рис). (12)
Дифференцируя (12) по получим
с1у/Ж = Л(рис)'1 аТИ /Ж - (Т„ - ТИ*)Л(ри2с)'] йи/Л. (13)
Так как скорость горения в основном определяется максимальной температурой конденсированной фазы, т.е. температурой на горячем торце конденсированной фазы, контактирующей с зоной кинетических процессов, разумно считать, что зависимость (3) можно использовать и для нестационарных процессов
и = 5ехр(ДГ/;). (14)
Дифференцируя (14), имеем
= (15)
Сопоставляя (9), (13), (15), получим дифференциальное уравнение для скорости горения
йи = Л(рсУ'<р-и(ТИ -Т0)
иск л{рису\р;х-гЛ+г/У
в котором Т]}, согласно (14), есть функция скорости горения и .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ГРАДИЕНТА ТЕМПЕРАТУРЫ НА ГОРЯЧЕМ ТОРЦЕ КОНДЕНСИРОВАННОЙ ФАЗЫ
Уравнение (16) содержит переменную ср - градиент температуры на горячем торце конденсированной фазы. В силу отказа от стационарного условия (7) для замыкания системы уравнений необходимо иметь уравнение, связывающее нестационарные значения градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы и скорости горения и . Прежде чем получить такое уравнение обратимся предварительно вновь к
анализу стационарного режима горения пороха. Исключим из равенства (7) Т/г\Т0 с помощью (3), (4)
где т = А/Вуг = р//Зг
Так как обычно (см. [2-4]) г < 1, то из (3), (4) , учитывая, что Г/ >Г0, следует, что ш>1. График уравнения (17) (см. рис. 2) представляет собой в плоскости {(р\их) линию с максимумом, проходящую через две точки на оси и* :а}(рсВЛ~х/Г11пт;#),
а2(рсВЛ~{1пт;Вт]/{]~г)). Таким образом, каждому значению <рх ниже максимума отвечают два значения скорости. Дифференцируя (17) можно найти координаты максимума и/ = (А/ВГУ'(]~Г)е~\<р/ =н/(\-г)рс1(Л(3). Как показано в [2-4] с помощью линейного анализа из двух стационарных решений, отвечающих некоторому значению градиента <р\ решение с меньшей скоростью горения неустойчиво, а стационарное горение с большей скоростью горения устойчиво, т.е. градиент температуры (р возвращается к стационарному значению срх при отклонении от него на правой ветви функции (рх{их) и ср уходит от стационарного значения (рх при отклонении от него на левой ветви функции (рх{их). Следует однако отметить, что при движении по графику функции (рх{их) в соответствии с (3), (4) изменяются температуры ТИ\Т() (уменьшаются при уменьшении их). Причём, при значении их = Вт на левой ветви функции (р'\их) То = 0. Таким образом, физическое значение имеет только часть зависимости (рх(их),
лежащая при их > Вт (сплошная часть графика (рх{их) на рис. 2). Используемый в теории горения пороха (см. [1 ]) параметр
(17)
к=/з(т,;-т0)
(18)
5
рсВ1пт /а ^ АР ^-
В
Вт
Рис. 2. График уравнения градиента температуры на горячем торце
также изменяется вдоль функции <рх(их). Параметр к уменьшается с ростом ихи равен 1- г при их = м/, т.е. к>\-г, если Вт < их < и/, и к < 1 - г, если ВтЩ1-г) >и* >и/.
с
Характер изменения градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы ср при отклонении от стационарных значений можно отразить уравнением релаксации, которое часто используется в различных задачах физики и механики (см., например, [7]). В простейшем виде уравнение релаксации можно записать так
с!(р/с1( = (<р* -<р)/тг (19)
где т/ - некоторое эффективное время релаксации.
В данном случае необходимо учесть изменение знака правой части (19) при переходе скорости горения через значение и/ (характер изменения ср различен в окрестности правой и левой ветвей функции <рх(и*)). Поэтому равенство (19) перепишем в таком виде
(1(р и -и/ <рх -(р
(И ' и* т
(20)
о
где т0 = А/(рсВ~) - простейший параметр с размерностью время, который можно образовать из постоянных параметров задачи.
Величину срх в правой части (20) можно выразить через постоянные параметры, используя (18), (6), (3), (4)
срх = рскВГ]/3-]е-к,{1-г)тЩ1-г). (21)
Уравнения (16), (20) представляют собой искомую замкнутую систему дифференциальных уравнений. Предполагая, что эта система качественно верно описывает нестационарные режимы горения пороха, учитывая, что в количественном отношении уравнения системы могут уточняться в дальнейших исследованиях (например, более точно
может быть определено характерное время релаксации г0, входящее в уравнение (20)), ограничимся качественным исследованием полученной системы уравнений. При этом отметим, что сама конструкция уравнений (16), (20), такова, что её решения не связаны только с окрестностью стационарных режимов горения.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОГО ГОРЕНИЯ ПОРОХА
Для качественного исследования системы уравнений (16), (20) необходимо перейти к безразмерным переменным. Введём безразмерную скорость горения
= ), безразмерное время г = /рсВ2 / Я, безразмерный градиент темпе-
ратуры на горячем торце конденсированной фазы = (рЛрхг(рсВкти^~г))~хек/(]~г). Тогда система (16), (20) принимает вид
с1т 1 — £(1 —г)-1 + м>
— = (1-Л(^1+и'-1). (23)
ат
Система (22), (23) автономна и её решения могут быть представлены траекториями в фазовой плоскости (Г, \у). Расположение траекторий на фазовой плоскости определяется нулевыми изоклинами:
линией ^ = гк-'е"+к,{Х-г){ч>+кг-\\-гУ*\ на которой (1ч>!с1т = 0; (24)
прямыми м; = —1, Р = 1, на которых (1РI дт = 0;
а также линией сингулярных точек м> = 1 - к{\ - г)"1 = , (25)
на которой производная дм! <1т имеет разрыв ± оо. Точки пересечения нулевых изоклин являются положениями равновесия системы, отвечающие стационарным режимам горения. Существуют два положения равновесия
а)™а=-\,Ри=е-'{(\-гУ -гк~х\ (26)
б)(1-г)-' +гГЧ =1. (27)
Кроме того, на нулевой изоклине (24) существует точка с, через которую проходит линия сингулярных точек (25)
с) м>с = , Ге = (г к+ 1)е. (2.8)
В этой точке производная с1м>/(1т имеет неопределённость, т.е. она есть особая точка не только в фазовой плоскости, но и в интегральном пространстве. В точке с наруша-
ется однозначность как траекторий, так и интегральных кривых, и она является непрерывно проходимой по независимой переменной т. Такого рода особые точки характерны, например, для динамических систем газовой динамики. Именно через такие особые точки осуществляется переход от дозвуковых к сверхзвуковым течениям сжимаемых сред [8-10].
Определим собственные числа особых точек - положений равновесия. Из дискриминанта системы (22), (23) в окрестности точки а находим собственные числа
ш^ч , о 0-1(2?)
а1Л 2(1 -г)г<?2(1 + и>*) V 4(1 -г)2г2е4(1 + и>*)2 г(1 + мО*2
Из (29) следует, что при к <\-г собственные числа 2 вещественны и разных знаков, т.е. особая точка а имеет тип седла. Причём, если к < г( 1 - г), то Ра < 0 и положение равновесия а отсутствует в физической части фазовой плоскости. В диапазоне 1 - г < к < 2(1 - г) положение равновесия а устойчиво. Причём, при
м21^г)к
>(1 -г) 1 -гк 1 собственные числа вещественны и от-
4г(1 - г)2 е2 (\ + м\)
рицательны, т.е. положение равновесия а имеет тип устойчивого узла. Если же т2/«-г)к
4г(1 - г)2 е2(\ + м>»)
дательной вещественной частью, т.е. положение равновесия а имеет тип устойчивого
т2!{х~г)к
узла. Если же -—--< (1 - г)"1 - гк~х - е ** собственные числа
4г(1 — г) е (1 +14>,)
%аХ 2 комплексны с отрицательной вещественной частью, т.е. положение равновесия а имеет тип устойчивого фокуса. Если к > 2(1 - г), собственные числа 2 вновь вещественны и разных знаков, т.е. положение равновесия а вновь имеет тип седла. Из дискриминанта системы (22), (23) в окрестности точки Ъ имеем
= 1 ■Льг = -т-'^е^ (30)
ж* -
причём, как следует из (27), < 0.
Из (30) следует, что можно выделить три диапазона | ууь | с различными знаками собственных чисел:
1) 0 <| щ |< ми, здесь < 0,&2 < 0 и положение равновесия Ъ имеет тип устойчивый узел;
<(1-г)~ -гк -е^ собственные числа 2 комплексны с отри-
2) ж <| м>л |< 1 , здесь < 0,£/;2 > 0 и положение равновесия Ъ имеет тип седла;
3) 1 <| м?ь \<\ + кг~\\-гу], здесь > 0,£Л2 >0 и положение равновесия Ь имеет тип неустойчивый узел.
Можно показать, что при | м>() |> 1 + кг~1 (1 - г)"1 уравнение (27) не имеет корней.
Рассмотрим теперь проходную особую точку с. В данном случае [9] необходимо раскрыть неопределённость производной с1м>/дт в точке с. Раскрывая эту неопределённость по правилу Лопиталя, находим, что в точке с могут быть два собственных направления
(¿^/¿г)1Л =-0,5£±7О,25£2 -т2/{]-г)кг-'е-1-2^(е]+^ -1)(1 -/-¿Л"1 -е"1), (31)
где К = т2,^~г)е2"'* (2-кг~])-\1>* .
Из (31) следует, что при г < (е- 1)(е - 0,5)-1 точка с по характеру расположения траекторий в её окрестности имеет тип седла. Однако направление изменения независимой переменной на траекториях при проходе траекторий через точку с не изменяется, т.е. точка, изображающая состояние системы, при движении вдоль траектории не асимптотически приближается или удаляется от точки с, а проходит через точку с при
конечном значении времени. При г > (е -1)(е-0,5)_1 точка с может иметь тип узла, фокуса или центра (К = 0). Однако, различие между фокусом и центром в данном случае существенного значения не имеет, так как все траектории разрезаются линией сингулярных точек, проходящей через точку с. На этой линии направление изменение независимой переменной изменяется на противоположное при конечном значении времени. Существование линии сингулярных точек означает существование предельной
критической скорости горения пороха = 1 - к(\ - г)"1, достижение которой возможно при полном сжигании конденсированной фазы или в начале её горения, подобно существованию предельной критической скорости движения газа в каналах, равной местному значению скорости звука, достигаемой на концах канала ограниченной длины [11]. Физически предельная критическая скорость горения пороха соответствует такой скорости горения, при которой увеличение температуры конденсированной фазы (при каждом значении пространственной координаты), вызванное увеличением температуры горячего торца конденсированной фазы, компенсируется уменьшением температуры конденсированной фазы, вызванное увеличением скорости горения (см. уравнение (13)). Переход через предельную критическую скорость горения, который возможен при непрерывном переходе через точку с, происходит тогда, когда тепловой поток, входящий в конденсированную фазу через горячий её торец, компенсируется конвективным тепловым потоком, проходящим через конденсированную фазу (см. уравнение
(16)). В газовой динамике это соответствует изменению знака суммы внешних воздействий на поток газа [11, 12] (закон обращения воздействий).
Суммируя результаты анализа особых точек, нулевых изоклин и линии сингулярных точек, можно выделить четыре качественно различных вариантов фазового портрета системы (22), (23), изображённые на рис. За, б, в, г. Эти четыре фазовых портретов различаются друг от друга прежде всего взаимным расположением особых точек я,6, с и линии сингулярных точек. Вариант 1 (рис.За) существует при к < г(\-г). В этом случае положения равновесия а нет, положение равновесия Ъ имеет тип устойчивого узла, а проходная точка с имеет тип седла. Линия предельных состояний ж = расположена правее положения равновесия Ь. Стрелки у нулевых изоклин, изображённых пунктиром на рис.3, указывают области положительного значения производных от соответствующих фазовых переменных. Вариант 2 (рис.36) существует при г(1-г) < к < 1 -г . В этом варианте, в отличие от предыдущего, появилось положение равновесия а, имеющее тип седла, и расположенное левее положения равновесия Ъ. Возможен переход из положения равновесия а в положение равновесия Ъ по сепаратрисе Вариант 3 (рис.Зв) существует при 1 -г < к < 2(1-г). Положение равновесия Ь в этом случае расположено левее положения равновесия а, и положения равновесия изменили свою устойчивость. Положение равновесия Ъ из устойчивого узла превратилось в неустойчивое седло. Положение равновесия а стало устойчивым. Оно может иметь как тип устойчивого фокуса (изображенное на рис. Зв), так и тип устойчивого узла. Возможен переход из положения равновесия Ь а положение равновесия а по сепаратрисе ^. Вариант 4 (рис.Зг) существует при к > 2(1 -г). В этом случае проходная особая точка с расположена между положениями равновесия а и Ъ и может иметь тип как узла (изображено на рис. Зг), так и фокуса или центра (в предыдущих вариантах точка с имела тип седла). Возможен переход из положения равновесия Ъ в положение равновесия а по сепаратрисе, проходящей через точку с. Существенно, что в этом варианте оба положения равновесия (стационарные режимы горения) неустойчивы, а, следовательно, практически стационарные режимы горения не реализуются и нестационарные процессы завершаются достижением предельной скорости горения в момент полного сгорания конденсированной фазы. Переход от варианта 1 к варианту 4 фазового портрета системы сопровождается сдвигом линии предельных состояний из области положительных значений скорости горения в область отрицательных значений скорости м>Ф (но не и*), т.е. постепенным ростом параметра к. В вариантах 1 -3 фазового портрета системы возможен непрерывный переход через предельную скорость горения как с возрастанием, так и с уменьшением скорости горения, но с обязательным уменьшением градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы. В варианте 4 (при к> 2(1 - г)), в котором отсутствуют устойчивые стационарные режимы, реализуются нестационарные процессы с непрерывным переходом от допредельных
в) 1-г <к< 2(1-г)
Рис. 3. Фазовые диаграммы
скоростей горения к сверхпредельным скоростям горения с постоянным увеличением градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы. Обнаруженные ранее в квазистационарной модели режимы хаотизации скоростей горения пороха [6], соответствуют именно условию к > 2(1 - г). Однако, как показало исследование существенно нестационарной модели горения пороха, проведённое в данной работе (рис.Зг), режимы хаотизации скорости горения не возможны. Главной причиной разрушения режимов хаотизации скорости горения является установленное в данной работе существование предельной критической скорости горения пороха. Многообразие предель-
ных состояний с критической скоростью горения пороха расположено вдали от стационарных состояний и не могло быть обнаружено в квазистационарных моделях. Существование предельных состояний имеет существенное значение, так как именно они разрывают решения, расположенные при к > 2(1 - г) между стационарными состояниями.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Построена нестационарная модель горения пороха, состоящая из замкнутой системы двух дифференциальных уравнений, относительно изменяющихся во времени скорости горения и градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы. Уравнение для скорости горения получено из нестационарного уравнения теплопроводности с использованием экспериментальных зависимостей скорости стационарного горения от начальной температуры и температуры горячего торца конденсированной фазы. В качестве уравнения для градиента температуры на горячем торце конденсированной фазы предложено релаксационное уравнение, обобщающее результаты известных [1-5] исследований об устойчивости стационарных режимов горения пороха. Проведено качественное исследование решений модели и систематизированы качественно различные многообразия решений в зависимости от параметров к,г , обычно используемых в теории горения пороха. Исследование не ограничивается окрестностью стационарных режимов горения, а охватывает всю возможную область значений переменных. В существенно нестационарной области решений обнаружено существование предельной критической скорости горения, при которой увеличение температуры конденсированной фазы, вызванное увеличением температуры горячего торца конденсированной фазы, компенсируется уменьшением температуры конденсированной фазы, вызванное увеличением скорости горения. Предельная критическая скорость горения достигается в момент полного сгорания конденсированной фазы или в начальный момент горения за исключением случая, когда достижение критической скорости горения сопровождается одновременным изменения знака разности между тепловым потоком, входящим через горячий торец конденсированной фазы, и конвективным тепловым потоком через конденсированную фазу. В этом случае становятся возможными нестационарные процессы горения со скоростями горения, превышающими критическую скорость горения, внутри конечного временного интервала от начала горения до полного сгорания конденсированной фазы (шашка топлива реального конечного размера). Показано, что при больших значениях параметра к(к > 2(1 - г)) в системе отсутствуют устойчивые стационарные режимы горения. Эта область параметров отвечает режимам хаотизации скорости горения, обнаруженные в [6] при исследовании квазистационарной модели горения пороха. Однако в данной нестационарной модели в этой области параметров режимы хаотизации скорости горения отсутствуют. Они разрушены существованием
предельной критической скорости горения, характерной для существенно нестационарных процессов горения пороха.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зельдович Я.Б.// ЖЭТФ, 1942.Т.12. № 11/12. С. 448.
2. Новожилов Б.В.//ЖПМТФ, 1965. № 4. С. 157.
3. Новожилов Б.В.//ЖПМТФ, 1966. № 5. С. 31.
4. Новожилов Б.В. Нестационарное горение твёрдых ракетных топлив. М.: Наука, 1973.
5. Зельдович Я.Б., Лейпунский О.И., Либрович В.Б. Теория нестационарного горения пороха. М.: Наука, 1975.
6. Новожилов Б.В.//Химическая физика, 2004. № 5. С. 68.
7. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Наука, 1966.
8. Куликовский А.Г., Слободкина Ф.А. ПММ, 1967. № 4. С. 593.
9. Жижин Г.В. Качественное исследование одномерных стационарных течений. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛПИ, 1972.
10. Вулис Л.А., Гусика П.Л., Жижин Г.В. ЖПМТФ, 1972. № 5. С. 143.
11. Вулис Л.А. Термодинамика газовых потоков. М.: Госэнергоиздат, 1957.
12. Жижин Г.В.// Жизнь и безопасность, 2004. № 2-За. С. 366.
SUMMARY. A model of powder burning describing processes at any distance from steady-state conditions is developed. Equations of powder burning reduced to system of two first-order differential equation. An existence of maximum critical burning rate, at which heat supply from hot end compensates by heat sink through burning rate increasing, is found out.
