Комплексы прямых в бифлаговом пространстве 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 513.812

Г.В. Киотина КОМПЛЕКСЫ ПРЯМЫХ В БИФЛАГОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Е32

Методом внешних форм Картана изучаются комплексы прямых в одном из биф-лаговых пространств гиперболического типа, введенных автором. Доказано, что в этом пространстве в окрестности нулевого порядка существуют 6 видов неспециальных комплексов и 4 вида специальных комплексов. Для каждого из них строится подвижный репер I или II порядка.

абсолют, автоморфизмы, группа, дифференцирование внешнее, измерение инвариантное, кривизна, метод внешних форм, окрестность, подвижный репер, канонический репер.

Бифлаговые пространства являются частными видами пространств с обобщенной проективной метрикой, введенных автором [1]. Абсолюты бифлаговых 3-пространств гиперболического типа состоят из двух флагов, соединенных таким образом, чтобы группы их проективных автоморфизмов имели такую же подвижность, что и движения классических неевклидовых пространств. Имеются два типа бифлаговых 3-пространств Е2 и F2з, отличающихся взаимным расположением пар точек по отношению к парам прямых и плоскостей. Комплексы

— 2

прямых в пространстве Е з рассмотрены в [2] и [3]. В данной работе изучаются комплексы прямых в пространстве Е2 .

Абсолют пространства Е2 состоит из абсолюта флагового пространства: Р1 з Р12 з Р02 и плоскости Р2 , занимающей общее положение по отношению к выбранному «флагу». В плоскости Р2 индуцируется «флаг»: Р/ = Р2 п р2 и Р0 = Р2 п Р2 . Очевидно, что абсолют пространства е2 зависит от девяти параметров, следовательно, группа проективных автоморфизмов пространства Е2 зависит от шести параметров.

Выберем подвижный проективный репер R(E0E1E2EзE) проективного 3-пространства таким образом, чтобы квадрика К2 , распавшаяся на плоскости Р2 и Р2, задавалась уравнением х20 - х0 = 0, точка р0 (абсолютная точка первого вида) совпадала с точкой Eз, точка (абсолютная точка второго вида) имела координаты Р2 (1: 1: 1: 0). Прямые Р/ и Р02 будут заданы соответственно уравнениями х0 = х0 = 0 и х0 = х0 = х2 .

Легко проверить, что группа проективных автоморфизмов пространства F2 при таком задании абсолюта будет изоморфна группе матриц следующего вида:

^ а Ь 0 0'

Ь а 0 0

а а1 а 0

1Ь0 Ьі Ь Ь3 ,

(1)

где а2 —Ь2 = +1; а0 + а} + а2 = а + Ь ; Ь0 + Ь2 + Ь2 = 0.

Проективные автоморфизмы пространства F2 будем называть движениями пространства F2 . Из (1) следует, что деривационные формулы и уравнения структуры группы G движений пространства F2 имеют следующий вид:

dEi = (о,]Е.; dю{ = ак л а]к ; I, ], к = 0,3,

где дифференциальные формы о/ удовлетворяют условиям:

Од = о 1 = о2 = о 3 = о2= о 2 = о з = 0 о 1 = о д о о + о ¡ + о2 = Юд о о + о ± = —о2 . (2)

Комплекс прямых - трехмерное подмногообразие четырехмерного многообразия всех прямых пространства F2 - будем изучать методом подвижного репера. Включая элемент комплекса (его прямую и) в репер, то есть полагая, что вершины Е0,-Е2 подвижного репера принадлежат прямой и , выделим его

главные дифференциальные формы ю2

ап

ю1, ю1, обращающиеся в ноль при

неподвижной прямой и .

Так как комплекс - трехмерное многообразие, то главные формы удовлетворяют одному линейному уравнению (уравнению комплекса):

Чаю0 + Чаю<1 = 0 ; 1 = 2,3 ■.

(3)

где qa , д!а - функции перемещения прямой комплекса. За счет выбора подвижного репера, связанного с прямой комплекса, уравнение (3) в репере первого порядка можно упростить.

1. Комплексы ненулевой кривизны

Теорема 1. Если в уравнении (3) qa■ q1p Ф 0 при /3 Ф а , то уравнение комплекса (3) можно привести к одному из видов:

Доказательство. Так как qaФ 0, то уравнение (3) можно записать в виде

о д = Kw f+Ко wf + K2w д , f, а = 2,3, f Ф а .

При а = 2 получим уравнение

Од = KWj + K оО д + K 2W о . (4)

Дифференцируя внешним образом уравнение (4) с учетом соотношений (2), получим квадратичное уравнение

\dK2 + (K22- l)®0 + (К + K1K2 д + о1 )]Л о1 + ]^К 1 + (к + K1K2 У°0 + K1 (о2 — (5)

— о 3 + K о з^л Од + \dK + (k 2K + K1 )wg + K (о 2 — о з + K о д )]л о о = 0.

Применяя лемму Картана, получим относительно дифференциальных форм о!0 и о2 — о3 и дифференциалов dK3, dK2, dK систему уравнений:

dK2 + iK2 — 3° О = q11°l + (q12 — К — К1К2 )°0 + (q13 — К — К1К2 )°1 ,

dK1 +(К + К1К2 У°0 + К1 °2 —о3 } = q12°l + q22°0 +^123 — (К1 ) 1 , (5)

dK + (КК2 + Ко )&д + К (о2 — оз ) = Цозоо +(q23 — ККо )&д + Цззоо.

При неподвижной прямой комплекса главные формы обращаются в нуль, поэтому с учетом условий (2) в репере I порядка, получим систему трех уравнений относительно двух независимых дифференциальных форм Пд, П3 и трех дифференциалов функций dK, dK3, dK2:

dK2 + \— 1+(K2 )2 П1 = 0,

Ко (п3 — П1)— (K1K2 + КП1 — dKi = 0, (6)

кп3 — кп1 —(ко + к ■ к2 П1 — dK = д,

где П- - дифференциальные формы о/ при неподвижной прямой комплекса,

П2 = П'

П2 ~ Пд ■

Полагая К2 = 0 (при К2 Ф const), из первого уравнения получим П° = 0,

из второго уравнения при Ко ф 0 получим dK3 = П3 = 0 , а из третьего уравнения

будем иметь dK = 0. Таким образом, имеем простейшее решение: К2 = 0, К1 =±1, П0 = П3 = 0 , dK = 0, при котором уравнение (4) принимает вид

Юд = Kaf + Фд .

(7)

Система уравнений (6) при Ко ф const имеет также частное решение: Ко= К2= 0 , П10 = П3 = 0 . Уравнение (4) при этом принимает следующий вид:

Аналогичные результаты получим и при а = 3.

Функцию К в уравнениях (7) и (8) будем называть так же, как и в классических неевклидовых пространствах, кривизной комплекса. При К = const комплексы (7) и (8) будем называть комплексами постоянной кривизны.

Из теоремы 1 вытекает

Следствие. Для комплексов (7) и (8) репер I порядка является каноническим.

Действительно, при доказательстве теоремы 1 установлено, что в репере I порядка все дифференциальные формы П/ = 0 и все формы о/ становятся главными. Репер I порядка полностью определен, то есть является каноническим, К -инвариант I порядка комплексов (7) и (8).

Выясним геометрический смысл выбора канонических реперов комплексов (7) и (8). Рассмотрим нормальную корреляцию, которая порождается прямой и в проективном пространстве Р3. Через каждую точку M прямой и проходит конус прямых комплекса с вершиной в точке M . Касательная плоскость П к этому конусу вдоль прямой и зависит от точки M . Соответствие между точками M прямой и и плоскостями П , проходящими через прямую и , является инволюционным проективным отображением, называемым нормальной корреляцией. В классических неевклидовых 3-пространствах с прямой и комплекса связана полярная ей прямая Uj , которая пересекает плоскость П в некоторой точке Мо . Таким образом, между точками прямых и и ио возникает инволюционное проективное соответствие, которое названо в работе [3] нормальной коллинеацией. В пространстве Ff в репере I порядка роль прямой Ui может выполнять любая из инвариантных прямых Роо или Ро2 .

При неподвижной прямой и комплекса инвариантны две принадлежащие ей точки E0 (l: 1:0:0) и E1 (l : — 1 : 0 : 0) , а также точка E2 = P/ П E0 Рд2 .

Примем за вершину E0 подвижного репера комплекса ту точку прямой и , которая в нормальной коллинеации соответствует точке E2 . Выясним, как изменится уравнение (4) за счет такого выбора. При неподвижной вершине E0 кону-

(8)

са прямых комплекса имеем ёЕ0 = 0 , из чего следует, что о'0 = 0 . Так как точка Е1 лежит в касательной плоскости П к конусу прямых в точке Е0, а плоскость П не содержит точку Е3, то dE1 = о°°Е0 + о21Е2 , то есть о1 = 0 . Тогда из уравнения (4) следует, что К2о1 = 0, то есть К2 = 0 . За точку Е1 примем точку, сопряженную для Е0 на прямой и . Точке Е1 в нормальной коллинеации соответствует некоторая точка М прямой Р/ . Если М = Е3, то аналогично предыдущему при ёЕ1 = 0 , dE0 = о10Е1 + о30Е3, из уравнения (4) получим К1о30 = 0, то есть К1 = 0 . Если же М Ф Е3, то точку М примем за точку Е2 (0: 0:1:1).

Уравнения комплекса (4) во втором и первом случаях примут вид (7) и (8).

Рассматривая в нормальной коллинеации вместо прямой Р/ прямую Р1, мы получим тот же результат. Это следует из того, что касательная плоскость П к конусу прямых комплекса с вершиной Е1 пересекает абсолютную плоскость Р2 по прямой Е0М , где М е Р/ , и совпадает с точкой Е3 или Е2 . В первом случае прямая Е0М пересекает прямую Р1 в абсолютной точке Р^ (1:1:1: 0), поэтому точке Р^ прямой Р12 соответствует точка Е0, а точке Е3 прямой Р1 соответствует точка Е1 .

Определение. Точку М1(М2) будем называть абсолютной точкой (абсолютной точкой второго вида) прямой и комплексов (7) и (8), если она соответствует точке Р01 ( Р02 ) абсолюта в нормальной коллинеации, определяемой прямой Р11 ( Р12 ).

На каждой прямой и комплексов (7) и (8) существуют две абсолютные точки. Для комплекса (8) вершины Е0 и Е1 подвижного репера совпадают с абсолютными точками М1 и М2. Из того, что вершины Е0 и Е1 сопряжены относительно абсолютной квадрики К2, следует, что абсолютные точки М1 и М2 на каждой прямой комплекса (8) сопряжены.

Тем самым доказана следующая

Теорема 2. Комплекс (8) характеризуется тем, что абсолютные точки на каждой его прямой сопряжены относительно абсолютной квадрики К2 .

Назовем комплекс (8) абсолютно-сопряженным.

При а = 3 уравнение (3) можно записать в следующем виде:

о0 = Ко1 + К^д + К2о1 . (4 )

Помещая вершину Е0 подвижного репера в абсолютную точку М1, аналогично предыдущему, приведем уравнение (4') к виду

о0) = Ко'2

(9)

или к виду

о3 = КоЗ ± о20 .

(9')

Комплекс (9) является абсолютно-сопряженным.

Комплексы (7) и (9') отличаются тем, что для них вершина Е0 подвижного репера является абсолютной точкой или абсолютной точкой второго вида.

Меняя индексы 0 и 1 в уравнениях комплексов (7) и (9'), получим ком-

произвол существования которых также равен одной функции от трех переменных.

Таким образом, получили для комплексов общего вида четыре уравнения, которые отличаются лишь тем, что одна из вершин E0 или E3 их подвижного репера совпадает с абсолютной точкой или абсолютной точкой второго вида.

Аналогично получим четыре вида уравнений для абсолютно-сопряженных комплексов.

Теорема 3. Произвол существования комплексов (7) при К ф const равен одной функции от трех переменных, а при К=const - одной функции от двух переменных; произвол существования комплексов (8) равен одной функции от двух переменных.

Доказательство. Покажем выполнимость критерия Картана. Рассмотрим уравнения (5) и (5') при Ко= 1, К2 = 0 . Получим одно квадратичное уравнение и систему трех независимых линейных уравнений, поэтому S3= 1, q = з, а из того,

что S3 > S2 > S3, следует S3 = S2 = S3 = 1, то есть Q = 6 . Число N также равно 6, так как система уравнений (5') содержит 6 независимых коэффициентов. Критерий Картана выполняется. Произвол существования комплексов общего вида равен 1 функции от трех аргументов.

При К=const dK = 0 и с учетом условий Ко = 1, К2 = 0 получим, что левая часть системы (5') линейно зависима, а именно третье уравнение получим, если сложим первое уравнение, умноженное на К2 — 1, со вторым, умноженным на К . Поэтому q = 2 , S3 = S2 = 1, S3 = 0, Q = 3 . Число N также равно 3, так как 6 независимых коэффициентов уравнений (5') связаны тремя условиями. Отсюда следует, что комплексы (7) постоянной кривизны зависят от одной функции двух переменных.

Для комплексов (8) (К2 = Ко = 0) первые два уравнения системы (5') принимают следующий вид:

плексы

оз = Код + од , оз = Код + оз ,

(7')

(7'')

Kw0 — q12wl + q22w0 + q3 3 ®1 ■

Отсюда следует, что эти уравнения линейно зависимы, а коэффициенты qj

удовлетворяют трем условиям: Kq11+ q12 — 0 Kiq12~ K)+q22 — 0 K[q13- K)+ q33 — 0 .

Поэтому для комплексов (8) N — Q — 3 критерий Картана выполняется, комплексы существуют с произволом в 1 функцию от двух переменных. Для комплексов (8) постоянной кривизны получим тот же результат.

При доказательстве теоремы 3 мы исключили случай, когда коэффициент K2 в репере нулевого порядка является постоянным.

При K2 — const уравнение комплекса (4) запишем в следующем виде:

a3¡ — qa20 + q^! + q2wl . (10)

Уравнение (10) получается из уравнения (3) перенумерованием индексов 0 и 1, то есть комплекс (10) получается из комплекса (3) заменой вершин Е0 ^ E1 в подвижном репере комплекса. Поэтому аналогично предыдущему уравнение

(10) можно привести к одному из видов: a3¡ — qmóo ± w2¡ или ю1 — qm20 , то есть получим комплексы того же вида в другом репере.

В том случае, когда в репере нулевого порядка в уравнении комплекса (3) оба коэффициента K1 и K2 постоянны, то есть dK1 — dK2 — 0, из уравнений (6)

получим (при K2 ф 1 ) dK — 0, K1 — 1, П0 — П^ — 0 , то есть существует канони-

ческий репер I порядка. Уравнение (4) в каноническом репере принимает следующий вид:

сс>0 — Kw 1 + cùq + K 2Ю1 , (11)

K2 - инвариант нулевого порядка.

Произвол существования комплекса (11) при K ф const и K2 ф 1 - одна функция от трех переменных, а при K — const - одна функция от двух переменных, то есть тот же, что и для комплексов (7).

Выясним строение комплекса (11) и геометрический смысл выбора его канонического репера.

В нормальной коллинеации, связанной с прямой комплекса (11), вершинам Е2 и Е3 соответствуют точки Ы2 [1: -K2 : 0:0), М3 [1 : K : 0: 0 ), а так как K2 — const, то на каждой прямой комплекса (11) имеется абсолютная инвариантная точка М2, а при K — const - две абсолютные инвариантные точки М2 и М 3.

Комплекс (11) при К ф const назовем абсолютно-инвариантным комплексом, а при К = const абсолютно-инвариантным комплексом постоянной кривизны.

С каждой прямой комплекса (11) связано число (e0E1M2M3 )= К2/К, характеризующее отклонение абсолютных точек от вершин Ед и Ео канонического репера. Число К2/К назовем второй кривизной комплекса (11).

При неподвижной прямой из уравнений (6) следует, что для комплекса

(11) существует репер I порядка.

Рассмотрим комплекс (11) при К2 = 1. В этом случае первое уравнение системы (5') обращается в тождественный нуль ввиду линейной независимости главных форм, поэтому q11 = 0, q12 = К ± 1.

Отсюда следует, что q = 2 , N = Q = 3 . Критерий Картана выполняется, комплекс существует и зависит от 1 функции двух переменных.

Уравнение комплекса принимает следующий вид:

о20 = Ко3о±о21 ±о3 . (12)

Для комплексов (12) также существует репер I порядка при любом К2 Ф 1.

Выясним строение комплекса (12). В нормальной коллинеации при К = —1 точка Е2 соответствует точке E0 (1: 1: 0: 0), которая описывает поверхность (абсолютную плоскость Ро2). Отсюда следует, что касательная плоскость к конусу прямых комплекса с вершиной в точке E0 проходит через точку Е2 (0: 0: 1: 0),

т^о

а так как она проходит и через точку E , то все касательные плоскости к конусу в точке E0 проходят через инвариантную точку Pgj (1: 1: 1: 0) (неподвижную точку абсолюта), то есть конус вырождается в пучок прямых. Комплекс (12) расслаивается (согласно [4, С. 120]) в двухпараметрическое множество пучков прямых с центрами в точках плоскости Р2 .

При К2 = 1 точке Е2 соответствует точка E1 (1: —1: 0:0). Касательная плоскость к конусу с вершиной в точке E1 содержит прямую ЕоЕд и точку Е2 и, следовательно, проходит через точку Рд2 . Имеем комплекс того же вида, центры пучков которого принадлежат плоскости P2 абсолюта. В соответствии с [4, С. 120] комплексы (12) назовем особыми квазиспециальными комплексами.

Частным видом комплексов (12) являются комплексы кривизны К2 = 1.

В этом случае комплекс (12) принимает следующий вид:

о20 = ±о31±о0) ±

(13)

Рассмотрим все возможные виды комплексов (4), для которых

К2 = Kf = К22= 1.

Теорема 4. Для комплексов (3) при всех qa и q'a постоянных, не равных нулю, существует канонический репер тогда и только тогда, когда произведения qf ■ qf и q30 ■ qf имеют разные знаки.

Доказательство. Учитывая, что все коэффициенты в уравнении (3) отличны от нуля, мы можем записать уравнение комплекса в виде (4), где К , К1 , К2 - const, при этом в каноническом репере, который является репером I порядка, уравнение (4) имеет вид (12) при К = const, не равном нулю. В том случае, когда К = ±1, уравнение комплекса (4) принимает вид (13).

Рассмотрим комплексы, для которых выполняется условие теоремы

а) К = К і = К f = 1, ю о =ю ^ ю q . (14)

Система (5') принимает вид:

2ю0 + Ю2 — Ю3 = q12ml + q22m0 +(q23 — 1)Ю 1 , (14')

1 2 3 2 Ґ \ 3 3

2яо + я2 —Юз = q13я1 +\q23 — 1Уй0 + q33Ю1 ,

где q12 = 413 = 2 .

Из линейной зависимости системы (14') следует, что 422 = 423 —1 = 433, то есть имеем одно линейное уравнение, зависящее от одной функции 4 = 423. Учитывая (2) и уравнение комплекса (14), получим

Зф 0) — ф з = 4{а0 + ф 4® 1, (15)

а при неподвижной прямой 3Пг0 — пЗ = 0 .

Отсюда следует, что дифференциальные формы ф!0 и ®3 в репере I порядка не становятся главными, канонический репер I порядка не существует.

Продолжая уравнение (15) и учитывая (2) и (14), получим квадратичное уравнение

+ (д + 4)ю10 — 4®3 + {4 — 4 ')ю21 ]л{<»3 + ф^ ). (16)

Применяя лемму Картана, при неподвижной прямой имеем

dq + 4 )П о — qn 3 = 0

ёц + (4 — 2ц^По — 0 .

(16')

При 4 ф 2 уравнение (16') имеет простейшее решение = 0, Пг0 = 0, а значит и пЗ = 0. Репер II порядка для комплекса (14) при 4 ф 2 является каноническим. Комплекс (14) существует с произволом в 1 функцию от одного аргумента, так как для него N = Q = 1 и критерий Картана выполняется.

Заметим, что при = 0 4 = 2 и уравнение (16) после подстановки в него выражения ®3 = 3®°°° — 4фЦ — 2 шмает вид

то есть устанавливается связь между главными формами. Комплекс (14) в этом случае не существует.

Аналогичный результат получим для других комплексов, удовлетворяющих условию теоремы:

Для всех этих комплексов система уравнений (5') состоит из двух зависимых уравнений и для них существует канонический репер II порядка. Произвол существования этих комплексов - одна функция от одного аргумента.

На каждой прямой комплексов а) - г) абсолютные точки совпадают с точками Е0 и Е1, которые описывают поверхности (абсолютные плоскости), поэтому они являются одновременно квазиспециальными и абсолютноинвариантными. Назовем эти комплексы абсолютно-квазиспециальными.

Рассмотрим такие комплексы (13), для которых условие теоремы 4 не выполняется. Для всех этих комплексов К, К1, К2 < 0, и поэтому система уравнений (5') не зависит от дифференциальной формы и канонический репер для них не существует.

Рассмотрим, например, комплекс вида

а ) Фд = —ф3—ф1 — фЗ0 . (17)

В системе (5') для комплекса (17) 411 = 412 = 413 = 0, 423 = 422 = 433, и поэтому она состоит из одного уравнения

б) фд —ф ¡—ф^і — фо ,

в) ф д — —ф \—О\ ^ О0 ,

Г) (Од — —ф ¡+ф 1 — фд .

Г) ф

2 3 I 3 3 \

ф2 —ф3 — Чзз фо — фі),

При неподвижной прямой получим решение Пг0 = П3 , формы Ф!0 и ®3 через главные формы не выражаются, репер I порядка не является каноническим.

Продолжая уравнение (18) и применяя лемму Картана, получим при неподвижной прямой такое же уравнение. Методом полной математической индукции докажем, что канонический репер для комплекса (18) не существует.

Аналогичный результат получим для комплексов б ) ф20 =фЗ1—ф21 + ф3,

в ) Фд =Ф 1+Ф1 — Фд , г ) Фд = —Ф 1+Ф1 + Фд .

Комплексы а) - г) состоят из связок прямых с центрами, принадлежащими линиям, которые описывает точка Е0 или точка Е1 в абсолютных плоскостях Р2 и Р2 . Касательные к этим линиям пересекают абсолютную прямую Р/ в точке Е2 (0: 0:1:1) или в точке Е3 (0: 0:1: —1). Такие комплексы назовем вырожденными комплексами.

Доказана следующая теорема.

Теорема 5. В бифлаговом пространстве F2 существуют 6 типов комплексов прямых ненулевой кривизны:

1) комплексы общего вида,

2) абсолютно сопряженные комплексы,

3) особые квазиспециальные комплексы,

4) абсолютно инвариантные комплексы,

5) абсолютно-квазиспециальные комплексы,

6) вырожденные комплексы.

Для каждого из первых четырех типов комплексов существует канонический репер I порядка, для комплекса 5 существует репер II порядка, а для вырожденных комплексов канонический репер не существует.

2. Специальные и вырожденные специальные комплексы

Рассмотрим комплексы, для которых 4а ■ 4^ = 0 при а, 3 = 2,3, а ф 3 .

а) При 42 ф 0 уравнение (3) при указанном условии можно записать в виде

(19)

или в виде

Чистое замыкание уравнения (19) имеет вид

Применяя лемму Картана и учитывая (19), при неподвижной прямой получим

Простейшим решением этой системы является

П = о, п) = о,

откуда следует, что репер I порядка является каноническим, а уравнение комплекса (19) приводится к виду

Комплекс (21) является специальным, вершина Е0 подвижного репера описывает поверхность f, касательная плоскость которой в точке Е0 задается уравнением (21) и пересекает инвариантную прямую Р/ в точке Е2 (о :0:1:1) или в точке Е3(0:0:1: —1).

Выбор канонического репера заключается в следующем. Вершина Е0 находится как точка касания прямой и комплекса поверхности f; вершина Е1 сопряжена для точки Е0 на прямой и .

Единичная точка находится как точка пересечения прямой Е0Е2 с инвариантной прямой Р1.

Существование комплекса (21) следует из существования поверхности f, произвол существования которой - одна функция двух переменных.

Внешнее дифференцирование уравнения (20) дает

П1 = 0 ; к (п1 — П)) + dk = О

Фо = ±Фо>.

(21)

(22)

По лемме Картана получим

ф° — dkl = 1ф1.

(23)

При неподвижной прямой имеем

При ^ * 1 простейшим решением этого уравнения является

п1 = ол = О,

откуда следует, что ф!0 становится главной формой, а ф33 не является главной формой.

Репер I порядка не является каноническим.

Уравнение комплекса (20) принимает вид

Продолжая уравнение (24), с помощью метода полной математической индукции убеждаемся в том, что канонический репер для комплекса (24) не существует.

Вершина Е0 комплекса (24) описывает поверхность f, касательные плоскости к которой проходят через инвариантную точку первого вида (Е3), то есть f является тангенциально-вырожденной поверхностью (конической поверхностью). Назовем комплекс (24) тангенциально-вырожденным специальным комплексом первого рода.

Из (22) и (23) следует, что комплекс (24) существует с произволом в одну функцию одного аргумента, что соответствует произволу существования конической поверхности в Р3.

При ^ = 1 уравнение комплекса (20) принимает вид

Комплексы (25) состоят из связок прямых с центрами на кривых, которые

Г' О Г-1

описывают точки Е и Е в инвариантных плоскостях, при этом касательные к этим кривым проходят через точку Е2. Такой комплекс назовем вырожденным специальным комплексом.

При q2 = О уравнение (3) имеет один из видов:

(24)

Ф0 =±®1.

(25)

(26)

или

ф1 = k1ф1.

(27)

Внешнее дифференцирование и применение леммы Картана к уравнению (26) дает

При неподвижной прямой получим

1 - к2) ПО + с1к — о .

Простейшим решением при к2 ф 2 является к — О, П°2 — О. Репер I порядка для комплекса (26) не существует. Продолжая уравнение (28) при к — О, получим

Оо — О0 )л О2

]лт! — 0 .

Применяя лемму Картана, при неподвижной прямой получим при q ф О простейшее решение

Отсюда следует, что для комплекса (26) существует канонический репер II порядка и при к2 ф 2 его можно привести к виду

Комплекс (29) имеет следующее строение: вершина Е0 прямой комплекса описывает некоторую поверхность f, касательная плоскость к которой в точке Ео пересекает абсолютную прямую Р22 в точке Е2, а прямую Р2 - в абсолютной точке Р0 , поэтому поверхность f является тангенциально-вырожденной. Комплекс (29) назовем тангенциально-вырожденным специальным комплексом второго рода.

Комплекс (27) получается из комплекса (19) заменой точки Е0 на Е2, поэтому он имеет то же строение, что и комплекс (19), то есть для него при к2 ф О существует канонический репер I порядка и его можно привести к виду

Вершина Е2 описывает поверхность f, касательная плоскость которой в точ-

ся специальным, и его произвол существования - одна функция от двух аргументов. При к — О комплекс (27) имеет вид

(29)

(30)

ке Е2 пересекает абсолютную прямую Р22 в точке Е2 или Е3. Комплекс (30) являет-

Комплекс (31) так же, как и комплекс (24), является тангенциальновырожденным специальным комплексом первого рода. Канонический репер этого комплекса так же, как и комплекса (24), не существует.

Рассмотрим комплексы (26) при к2 — 2 . Они имеют вид

(О ±а? — О. (32)

Дифференцируя внешним образом уравнение (32), получим связь на главные формы - (юО — ю2)л(®3 + ю?) — О.

Это означает, что комплексы (32) не существуют.

Заменяя в комплексе (29) индекс 0 на 1, получим комплекс вида

ю? — О . (33)

Комплекс (33) отличается от комплекса (29) тем, что вершина £1 описывает поверхность f . Поэтому для комплексов (33) так же, как и для комплексов (29), существует репер II порядка, а произвол существования комплексов (33) -функция одного аргумента.

Комплексы (33) будем называть, как и комплексы (29), тангенциальновырожденными специальными комплексами второго рода.

Во всех случаях получили комплексы, обе кривизны которых равны нулю. Поэтому рассмотренные комплексы называют также комплексами нулевой кривизны.

Таким образом, нами доказана.

Теорема 5. Существуют четыре типа комплексов нулевой кривизны: специальные комплексы, тангенциально-вырожденные специальные комплексы первого и второго родов, вырожденные комплексы. При этом для специальных комплексов существует канонический репер I порядка, а для тангенциально-вырожденных специальных комплексов второго рода существует репер II порядка, для двух других типов специальных комплексов канонический репер не существует.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Киотина, Г.В. Группа движений обобщенно-галилеева пространства [Текст] // Вестник Рязанского государственного педагогического университета. - Рязань, 2004. -С. 117-126.

—2

2. Киотина, Г.В. Комплексы прямых в бифлаговом пространстве F3 [Текст] // Труды вторых Колмогоровских чтений. - Ярославль, 2004. - С. 338-344.

3. Киотина, Г.В. Классификация комплексов прямых в репере нулевого порядка в пространстве [Текст] // Известия Саратовского университета. Новая серия. - 2011. -Т. 11. - Вып. 3. - Ч. 2. - С. 11-15.

4. Кованцов, Н.И. Теория комплексов [Текст]. - Киев : Изд-во КГУ, 1963. - 292 с.

5. Розенфельд, Б.А. Гиперкомплексы прямых в евклидовых и неевклидовых пространствах [Текст] / Б.А. Розенфельд, О.В. Зацепина, П.Г. Стеганцева // Известия вузов. Математика. - Казань, 1990. - № 3. - С. 57-66.

G.V. Kiotina COMPLEXES OF LINES IN BIFLAG SPACE F32

Complexes of lines in hyperbolic type of one of biflag spaces introduced by the author are studied by the method of external Cartan forms. We prove that six non-special variants of complexes and fore variants of special complexes exist in mentioned space in zero order neighborhood. For every complex a first-order moving flag or a second-order moving flag were drawn.

absolute, automorphism, group, frame: moving, canonical; measurement invariant differentiation external, neighborhood, space biflag.