Классификация гиперкомплексов прямых в в репере первого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514 О.В. Зацепина

КЛАССИФИКАЦИЯ ГИПЕРКОМПЛЕКСОВ ПРЯМЫХ В '£ 5 В РЕПЕРЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Многообразие прямых в «-мерном пространстве зависит от 2п - 2 параметров. Одно дополнительное условие на плюккеровы координаты задает 2п - 3 параметрическое множество прямых, которое в п-мерном пространстве называется гиперкомплексами прямых, а в 3-мерном - комплексами прямых. Несмотря на то, что в настоящее время комплексы прямых в неевклидовых пространствах и гиперкомплексы прямых либо совсем не изучены, либо изучены мало ( в зависимости от вида пространства), начали появляться работы по теории комплексов в пространствах с обобщенной проективной метрикой [3-5]. В данной работе изучаются гиперкомплексы прямых в 5-мерном пространстве Лобачевского. Изучение гиперкомплексов ведется методом внешних форм Картана. Задается репер в окрестности первого порядка гиперкомплекса прямых и выясняется геометрический смысл его выбора. В пространстве 1S5 выделяются и отдельно рассматриваются собственные и идеальные гиперкомплексы общего вида, собственные и идеальные гиперком-

© Зацепина О.В., 2013 е спеДиальные гипеPкомплексы,

вырожденные специальные г иперкомплексы*

гиперкомплексы прямых 5-мерного пространства Лобачевского, линейные дифференциальные формы, метод внешних форм Картана, окрестность первого порядка.

Гиперкомплексом прямых в 5-мерном пространстве Лобачевского ^5 называется многообразие прямых, зависящее от 7 параметров. В данной работе проводится классификация гиперкомплексов в ^5 в окрестности первого порядка. При этом под точками пространства ^5 понимаются векторы х мнимой длины псевдоевклидова 6-мерного пространства 1Е6. Точки автополярного репера пространства !£5 представляются векторами ортонормированного репера

пространства 1Е6, причем /02 = -1, /2а = 1, а = 1,5 .

Деривационные формулы и уравнения структуры пространства 5 имеют

вид:

й1г = т!/],

° = 0, °° = ^ ° ( = -°(, (1)

Dа ■ = ак л а.; DюlJ = ак л а1.; г, у = 0,5, а, ( = 1,5.

Включение элемента гиперкомплекса в репер означает такой выбор подвижного репера /■ , при котором две его вершины (Ео Е,) расположены на прямой гиперкомплекса. Тем самым выделяются главные линейные формы а 0 , &0 , удовлетворяющие одному линейному уравнению

каа0 + к\ а 0 = 0, а = 2,5. (2)

1. Комплексы общего вида

Теорема 1. Если в уравнении (2) к а • к( Ф 0 при ( Ф а , а, ( = 2,5 , то

уравнение гиперкомплекса прямых в репере первого порядка можно привести к виду

а а = к а(, где к Ф 0. (3)

Доказательство. Пусть к2 • к3г Ф 0 . Тогда уравнение (2) можно записать в виде

а02 = ki а'0 + к) а/ , г = 3,5, у = 2,5. (4)

Дифференцируя внешним образом уравнение (4), используя его и применяя лемму Картана, при неподвижной прямой получим систему из семи

уравнений относительно дифференциалов dki, dk,. и семи вторичных дифференциальных форм я ■ (я/ обозначает форму а/ при неподвижной прямой комплекса).

При к3 Ф 0 за счет выбора вторичных параметров можно все остальные коэффициенты уравнения (4) привести к нулям и тогда получим:

1

я24= я34 = я2 =я35 = я23 = = я1 = 0, dk3 = 0 (к3 = ^3).

Уравнение гиперкомплекса прямых принимает вид

а02 = ка13 (а02 = ка0, а02 = ка15),

(5)

где k - инвариант окрестности второго порядка называемый кривизной гиперкомплекса. Аналогичный результат получим при а = 3, 4, 5.

Продолжая уравнение (5) и применяя лемму Картана, получим

о

п + k о^ — k _ о

3

4 — k4 о*

2

0 —

3

оі - — k2 оо

о

о2 — ks о*

- k о3 — ks о

(5')

о — 1,7 о о - главныеформы.

Отсюда следует, что дифференциальные формы а0, ®1, а4, а\, а34,

а3 перемещения гиперкомплекса становятся главными, а форма а 4 главной не является.

Репер первого порядка для гиперкомплекса (5) не является каноническим, он зависит от одного параметра. Заметим, что в пространстве ^4 для гиперкомплекса вида (5) существует канонический репер первого порядка [2].

Геометрический смысл выбора репера комплекса (5) состоит в следующем. В работах [1, 6] показано, что с каждой прямой и гиперкомплекса прямых пространства Рп связана проходящая через неё (п — 2) плоскость П п—2 , являющаяся пересечением гиперплоскостей, касающихся гиперконусов, состоящих из прямых гиперкомплекса с вершинами в точках этой прямой. При п = 5 будем иметь трехмерную плоскость П3, проходящую через

прямую и и прямую и1, полярную для П3 относительно абсолютной квадрики. Через каждую точку М0 прямой и проходит гиперконус прямых гиперкомплекса (5).

Касательная плоскость к этому конусу вдоль прямой и пересекает прямую и1 в точке М1. Инволюционное соответствие / (м 0 ) = М1 является проективным и названо так же, как в [6], нормальной коллинеацией.

На прямой и1 возникают, таким образом, две инволюции: точке М1 прямой и1 соответствует точка N1, полярная для точки М1 на прямой и1, и точка N', которая соответствует точке N в нормальной коллинеации, где N - полярная для точки М на прямой и . Если прямая и - собственная, то и1 - несобственная, и инволюция попарно-сопряженных пар точек является эллиптической.

Поэтому на прямой и1 всегда существует общая пара точек Р1, Q1 рассмотренных инволюций. Им соответствуют в нормальной коллинеации точки Р

и Q, которые названы, как в [6], центрами прямой гиперкомплекса, а точки р, Q1 - коцентрами.

Если вершины Е0 и Ej поместим в центры, а вершины Е2 и Е3 в коцен-тры, то уравнение гиперкомплекса примет вид

ю02 = k ю3. (6)

Действительно, если точка Е0 неподвижна, то dE0 = 0, то есть (д10 = 0,

i = 1,5, а dE1 = ю10Е0 + tajЕ2 + tajЕ4 + ю\Е5 , т.е. af = 0 .

Касательная гиперплоскость к конусу прямых в точке Е0 пересекает прямую Е2Е3 в точке Е2. Значит точка Е3 ей не принадлежит. Из уравнения (4)

получим, что k2 = kj = kj = 0 .

При неподвижной точке Е1 получим: dE1=0, aj=aj=ю13=ю14=ю15=0, dE0 = = ©0Е1+ю0Е3+ ю4Е4 + ®1Е5= 0, то есть ю2 = 0. Отсюда следует, что k3= k4 = k5=0 .

Получим уравнение (6).

Если в центры поместим вершины Е0 и Е1 , а в коцентры вершины Е , Ер , то получим уравнение (3).

Разделив обе части уравнения (3) на k, получим

юр= qa* , (3')

1

где q = — k.

Геометрический смысл выбора канонического репера гиперкомплекса прямых (3') состоит в том, что точки Ер , Е а являются центрами прямой гиперкомплекса, а точки Е0, Е1 - коцентрами. Прямая Е0Е1 гиперкомплекса принадлежит в этом случае идеальной области пространства 1S5. Гиперкомплекс

(3') назовем идеальным.

Гиперкомплексы (3) и (3') будем называть гиперкомплексами общего

вида.

В том случае, когда в гиперкомплексах (3) и (3') k = const, то есть k является инвариантом нулевого порядка, гиперкомплексы (3) и (3') будем называть гиперкомплексами постоянной кривизны. В этом случае dk = 0 и система (5') будет состоять из 6 уравнений, из которых следует, что репер

первого порядка зависит от одного параметра так же, как и для комплексов общего вида.

2. Специальные комплексы

Рассмотрим случай, когда все ka • kp = 0 при Р Фа .

Теорема 2. Если в уравнении (2) все произведения ka • kp = 0 при Р Ф а , то уравнение (2) в общем случае можно привести к одному из видов: Юд = 0

или ю12 = 0, которые задают специальные гиперкомплексы. Реперы первого порядка этих гиперкомплексов зависят от трех параметров.

Доказательство. Пусть, например, в уравнении (2) k2 Ф 0 . Тогда из условия теоремы следует, что k31= k4= k51= 0 и уравнение (2) при k21Ф 0 имеет вид

ю02 = k ю12, (7)

а при k21 = 0

ю02 = k3 ю0+ k4 ю04+ k5 ю1. (7')

Дифференцируя уравнение (7' ), используя его и применяя лемму Картана, после фиксирования главных параметров, получим

^ ^

dk3 = (k32 -1)^2+k3k4я24 + k4^34 + k3k5^2 + k5^35,

dk 4 = (k 4 — 1)^2+ k 3k 4Я2 + k 2Я3+ k 4 k5^2 + k5^4, (8)

dk5 = —k3^35 + k4 k5^24 + k 4я45 +(k 52 — 1)^.

Если в репере нулевого порядка kt Ф const (i = 3,5 ), то система (8) имеет простейшее решение

k3= k4=k5= 0, я,°= я2= Я = ^2= 0 , (8')

при котором уравнение (2) принимает вид

ю02= 0

(9)

Из (8') следует, что вторичные дифференциальные формы ю0, ®з , ю4, ю2, становятся главными, а формы ю4, главными не являются. Репер

первого порядка не является каноническим, он зависит от трех параметров.

Гиперкомплекс является специальным, точка Е0 описывает поверхность V4, а прямая Е0Е1 касается ее в точке Е0.

Заменяя точку Е2 точкой Et, i = 3,5 , получим другие уравнения специального гиперкомплекса: ю0= 0 , ю 4= 0, ю0= 0.

Полагая в уравнении (2) k21 Ф 0 , из условия теоремы получим, что уравнение гиперкомплекса при k2 = 0 имеет вид ю12 = k3ffl3+ k4ffl4+ k5a15 , которое при

(k°) Ф const (i = 3,5 ) за счет выбора вторичных параметров приводится к виду

ю12= 0. (9')

Дифференцируя уравнение (9') имеем:

da12= ю°л ю02 + ю13 л ю32 + ю14 л ю2 + ю,5 л ю52 = 0.

Применяя лемму Картана, получим, что формы ю(°°, ю^, ю4, становятся главными для комплекса (9' ), а формы ю 4, главными не являются. Точка Е1

описывает поверхность V1, а прямая Е0 Е1 касается этой поверхности в точке Е1.

Так как точка Е1 принадлежит идеальной области пространства 1 S5 , то

и поверхность V принадлежит идеальной области. Гиперкомплекс (9') назовем идеальным специальным гиперкомплексом прямых, полярно-сопряженным для гиперкомплекса (9). Аналогично получим специальные идеальные гиперкомплексы

ю13= 0, ю14= 0, ю15= 0.

Дифференцируя внешним образом уравнение (7) и применяя лемму Кар-тана, после фиксирования главных параметров получим:

dk = (k2 — 1)я1= 0, ж\= 0, kn^= 0, n\ = 0, kn 4 = 0, n52 = 0, kn\ = 0. (10)

При k2 Ф 1 эта система имеет простейшее решение:

к= 0 , л\= к\= п\ = к2= 0

(10')

Уравнение гиперкомплекса принимает вид (9).

Уравнение (9) является частным случаем уравнения (6) при к= 0 . Поэтому гиперкомплексы (9), а также гиперкомплексы (9') назовем гиперкомплексами нулевой кривизны.

Геометрический смысл выбора репера первого порядка гиперкомплекса (9) состоит в следующем. Прямая Е0Е1 гиперкомплекса касается поверхности

У4 в точке Е0, точка Е1 находится как полярно-сопряженная для точки Е0, а точка Е2 находится как сопряженная для касательной гиперплоскости Р4 к гиперповерхности У4. Для прямой Е0 Е1 в Р4 находится единственная

2 плоскость П 2, в которой вершины Е3, Е4, Е5 образуют автополярный трех-вершинник. Для его задания, как известно, требуются три параметра.

При к= ±1 уравнение (7) имеет вид

о02 = ±ю12. (11)

Из (10) следует, что четыре дифференциальные формы о0, ®34, ®э, ®4 не являются главными в репере первого порядка.

Выясним строение гиперкомплекса (11) при к= 1 . Так как о 2 = ®2, то вершина Е2 репера описывает четырехмерную поверхность У4, касательная плоскость которой в точке Е2 имеет уравнение о 2 — О = 0.

Так как d(Е0 + Е1 ) = — (Е0+ Е1 ) + (О + ОЕ, аЕ 2 = о20 (Е0 + Е1)+ ю\Е,,

/ = 3,5 , то точка Е0+Е1 принадлежит касательной плоскости к поверхности У4 в точке Е2 и описывает трехмерную поверхность У3 на абсолютной квадрике, а луч Е1Е2 гиперкомплекса пересекает поверхность У3 в точке Е0+Е1.

Тем самым доказали, что гиперкомплекс (11) состоит из трехпараметрического множества связок прямых с центрами на поверхности У3 , которая

принадлежит абсолютной квадрике, а прямые Е2Е3 , Е2Е4 , Е2Е5 репера касаются поверхности У4 в точке Е2, то есть образуют специальный гиперкомплекс. Такой гиперкомплекс назовем вырожденным специальным гиперкомплексом.

При к= — 1 гиперкомплекс задается уравнением

22 оо = — о

и отличается от гиперкомплекса (11) лишь тем, что касательная гиперплоскость к поверхности V4, которую описывает точка Е2, содержит точку Е0 — Е1, то

есть получается из (11) перенумеровыванием точек Е0 — Е1 и Е0+Е1.

Аналогичное строение имеют гиперкомплексы, задаваемые уравнениями:

= ±ю13 , ю4 = ±ю14 , = +0J5 .

Все их можно привести к виду (12) или (11) перенумеровыванием вершин репера.

Геометрический смысл выбора репера первого порядка для гиперкомплекса прямых (11) состоит в следующем.

При неподвижной прямой гиперкомплекса (Е0 Е1) известна точка Е0 или

Е1 и касательная 3-плоскость Р3 к поверхности, которую эта точка описывает.

Трехмерное пространство П3, сопряженное в 1S5 прямой Е0Е1, пересекает Р3,

как следует из (11), по плоскости P2 =A3A4A5. Точка Е2 является сопряженной

для Р2 в пространстве Р3. С помощью одного параметра зададим точку Е0 на

известной прямой и найдём с помощью трех параметров точки A3, A4, А5 из

условия их сопряженности в плоскости Р2.

Если гиперкомплекс задается уравнением ю02 = k№ 12, где k - инвариант

нулевого порядка и k Ф +1,0 , то в этом случае точка Е0 — kffl°Е1 описывает четырехмерную поверхность, то есть гиперкомплекс является специальным и его репер первого порядка зависит от трех параметров.

Аналогичный вид имеют гиперкомплексы прямых, задаваемые уравнениями

ю0 = kffl!, ю\ = k&1, i Ф j, i, j = 3,5 при k= const.

Гиперкомплексы, задаваемые уравнениями ю0 = kffl^, также являются

специальными при k= const. С помощью замены базиса их можно привести

к виду (9). Тем самым доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. В пространстве 1S5 в репере первого порядка существует

7 типов гиперкомплексов: собственные и идеальные гиперкомплексы общего вида, собственные и идеальные гиперкомплексы постоянной кривизны, собственные и идеальные специальные гиперкомплексы, вырожденные специальные гиперкомплексы.

При этом репер первого порядка для гиперкомплексов общего вида и гиперкомплексов постоянной кривизны зависит от одного параметра, для специальных гиперкомплексов - от трех параметров, а для вырожденных специальных - от четырех параметров.

Теорема 4. Для гиперкомплексов общего вида, гиперкомплексов постоянной кривизны и специальных гиперкомплексов существует канонический репер второго порядка. Для вырожденных специальных гиперкомплексов канонический репер не существует.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гринцевичюс, К.И. Дифференциальная окрестность второго порядка луча комплекса в многомерном проективном пространстве [Текст] // Литовский математический сборник. - 1960 - Т. 52 - № 4 - С. 991-1020.

2. Зацепина, О.В. Инфлекционно-метрический комплекс прямых в четырёхмерном пространстве Лобачевского [Текст] // Вестник РГПУ. - 2005. № 1. - С. 91-98.

3. Киотина, Г.В. Комплексы прямых в пространствах E32, Арэ0, 1S3 [Текст] / Г.В. Киотина, О.В. Зацепина, Н.В. Жмурова // Геометрия в целом. Преподавание геометрии в ВУЗе и школе : материалы Всерос. науч.-метод. конф. - Великий Новгород, 2004.

4. Киотина, Г. В. Классификация комплексов прямых в репере первого порядка в пространстве E32 [Текст] // Известия Саратовского университета. - 2011. -Т. 11.

5. Киотина, Г.В. Комплексы прямых в бифлаговом пространстве [Текст] // Вестник Рязанского государственного университета имени С.А. Есенина. - 2012. - № 35.

6. Розенфельд, Б.А. Гиперкомплексы прямых в евклидовом и неевклидовых пространствах [Текст] / Б.А. Розенфельд, О.В. Зацепина, П.Г. Стеганцева // Известия вузов. Математика. - 1990. - № 3. - С. 57-66.

O.V. Zatsepina

CLASSIFICATION OF FIVE-DIMENSIONAL HYPERCOMPLEXES OF LINES OF THE FIRST ORDER NEIGHBORHOOD

In Lobachevskian geometry semiparametric complexes of lines are called hypercomplexes of lines. Hypercomplexes of lines are investigated by Elie Cartan’s method of external forms. The paper specifies hypercomplex vectors and provides a geometric interpretation of their choice. The paper deals with intrinsic and ideal hypercomplexes of lines, constant scalar curvature, degenerated hypercomplexes of lines.

hypercomplexes of lines in Lobachevskian five-dimensional space, linear differential forms, Elie Cartan’s external forms, first order neighborhood.