CC BY
14ном соответствии с физическими представлениями о тепломассообмене в псевдоожиженном слое.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научных проектов №14-01-31177 мол_а и №15-08-01684
ЛИТЕРАТУРА
1. Mizonov V., Mitrofanov A., Tannous K., Ogurtzov A. //
Particulate Science and Technology: 2014. V. 32. N 2. P. 171-178.
2. Митрофанов А.В., Мизонов В.Е., Овчинников Л.Н. //
Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2014. Т. 57. Вып. 7. С. 101-103;
Mitrofanov A.V., Mizonov V.E., Ovchinnikov L.N. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2014. V. 57. N 7. P. 101-103 (in Russian).
3. Бобков С.П. // Изв. вузов. Химия и хим. технология. 2005. Т. 48. Вып. 7. C. 105-112;
Bobkov S.P. // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Khim. Khim. Tekhnol. 2005. V. 48. N 7. P. 105-112 (in Russian).
4. Berthiaux H., Mizonov V., Zhukov V. // Powder Technology. 2005. V.157. P. 128-137.
Кафедра прикладной математики
УДК 577.4:551.510.42:574.9:550.3 Р.А. Кантюков1, О.Б. Бутусов2, В.П. Мешалкин3, Р.К. Гимранов1, А.Г. Попов1, И.В. Рыженков1
КОМПЛЕКСНЫЙ ФРАКТАЛЬНО-ТЕКСТУРНЫЙ АНАЛИЗ ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУКТУРЫ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ В КОНФУЗОРАХ СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
О ООО «Газпром трансгаз Казань», 2Московский государственный машиностроительный университет, Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева)
e-mail: butusov-1@mail.ru
Проведен анализ кластерной структуры двухмерных модельных газовых течений в двухмерном конфузоре, основанный на оценках фрактальной размерности и текстурных характеристик газовых потоков. На основании компьютерных экспериментов установлено, что при распространении ударной волны в вейвлет-спектрах показателей модельных газовых потоков в конфузоре наибольшей вибрационной опасностью обладают стягивающие перколяционные кластеры, простирающиеся от одной стенки трубопровода до другой. Модель использована для моделирования газовых потоков в трубопроводе крупнотоннажного производства этилена.
Ключевые слова: нестационарные модельные двухмерные газовые течения, трубопровод, математическое моделирование, конфузор
ВВЕДЕНИЕ
На основе результатов компьютерного моделирования и вычислительных экспериментов в работе [1] разработана новая процедура анализа и диагностики колебательных характеристик газовых потоков в сложных трубопроводах (СТ), основанная на оценках фрактальной размерности и текстурных характеристик нестационарных газовых потоков (НГП), которая может быть использована для расчетов и прогнозирования вибрационной устойчивости СТ. В работе [1] были исследованы текстурные и фрактальные характеристики газовых потоков в поворотном колене сложно-
го трубопровода газофакельной установки и были рассчитаны следующие показатели кластерной структуры: энергия, энтропия, коэффициент инерции, коэффициент однородности, коэффициент кластерного эксцесса, коэффициент кластерной асимметрии, информационная мера корреляции кластеров [2]. В предлагаемой статье аналогичные исследования проведены для двухмерного конфузора сложного трубопровода. Также как в работе [1], исследования кластерной структуры газовых течений в конфузоре основаны на использовании двухмерной компьютерной модели нестационарных сжимаемых газовых течений в тру-
бопроводах, подробно описанной в [3]. Использованная в этих работах компьютерная модель основана на классических моделях гидродинамики: "частицы в ячейке" [4] и Мак Кормака [5]. Компьютерная модель [3] позволяет моделировать сложные гидродинамические течения в различных узлах трубопровода для различных комбинаций начальных и граничных условий, а также при различных физико-химических свойствах транспортируемых газов.
Известно, что одной из важных проблем гидродинамики газовых потоков в трубопроводах является проблема их вибрационной устойчивости. Одной из причин возникновения вибраций трубопровода являются пульсации давления газового потока, которые существенно возрастают при прохождении импульсов давления через узлы СТ такие как поворотные колена, диффузоры и кон-фузоры. При этом некоторые пульсационные свойства газового потока могут быть описаны с помощью фрактальных показателей. Следует отметить, что структура турбулентных вихревых потоков в СТ при больших числах Рейнольдса имеет значительный практический интерес в связи с мощными ударными и вибрационными воздействиями этих потоков на трубопроводы, и продолжают в настоящее время интенсивно изучаться как методами математического моделирования, так и экспериментальным путем [6].
Методика расчета фрактальных и текстурных показателей газовых потоков
Как отмечено выше, для изучения влияния фрактально-статистических показателей на структуру газовых потоков использована двухмерная компьютерная модель нестационарных сжимаемых газовых течений в трубопроводах, подробно описанная в [3]. Статистические характеристики случайных фракталов хорошо описываются спектром мощности, который характеризуется свойством самоподобия [7]:
С
г(Ь) = -СГ, (1)
где Р(к) - спектр мощности, к - волновое число в спектре быстрого дискретного преобразования Фурье, м-1, й - показатель самоподобия спектра мощности, С - постоянная.
Из (1) может быть получена фрактальная размерность - В, которая связана с показателем самоподобия следующим соотношением:
В = 2,5 -й, 2
(2)
Фрактальная размерность траектории газовой частицы должна быть в диапазоне: 1<Б<2. Данное соотношение выражает тот факт, что из-
ломанность траектории повышает размерность гладкой линии, однако при этом фрактальная размерность все же остается меньше размерности двухмерных объектов.
Для двухмерных полей турбулентных газовых потоков формула (1) имеет следующий вид
[7]:
Р(кх, к 2) =
С
к2 + к22
й/2
(3)
где к2 - волновые числа в спектре быстрого дискретного преобразования Фурье изображения.
Аналогичным образом из (3) может быть получена фрактальная размерность, которая связана с показателем самоподобия:
В = 4 - ±, 2
(4)
Фрактальная размерность изображения должна быть в диапазоне: 2<В<3. Данное соотношение выражает тот факт, что изломанность ярко-стного поля изображения превышает размерность гладкой поверхности, однако при этом фрактальная размерность двухмерного изображения все же остается меньше размерности трехмерных объектов.
Для анализа текстурных характеристик газовых потоков были использованы статистические характеристики, получаемые с помощью так называемой текстурной матрицы, которая определяется как накопленная в результате обработки всего изображения совместная вероятность значений пикселей (или коэффициентов вейвлет-преобразо-вания) в скользящем окне заданного размера [8]. Для расчета текстурных матриц предварительно необходимо выполнить квантование изображения на заданное число уровней. Элемент Сё(],к) текстурной матрицы определяется, как совместная вероятность встречаемости квантованного вейв-лет-коэффициента В,=] и квантованного вейвлет-коэффициента 0,=к, причем расстояние Я между этими коэффициентами должно быть: Я<5. Обычно в качестве 5 используют значения <5=1 или 2, поскольку относящаяся к малым элементам текстуры корреляция пикселей проявляется на малых расстояниях [8].
С помощью текстурных матриц были рассчитаны следующие показатели текстуры: коэффициент инерции, энергия текстуры, энтропия, коэффициент однородности, коэффициент кластерной асимметрии, коэффициент кластерного эксцесса и информационная мера корреляции кластеров. Коэффициент инерции может быть рассчитан по следующей формуле:
С1 = Е (] - к)2 С( ^ к) (5)
],к=1
Коэффициент инерции характеризует моза-ичность изображений, кластеры которых состоят из пикселей существенно различной яркости. Текстуры, состоящие из кластеров с приблизительно одинаковой яркостью пикселей, имеют близкий к нулю показатель инерции. Для некоррелированного белого шума инерция максимальна. Для однородного фона - равна нулю. Энергия текстуры может быть рассчитана по следующей формуле:
С 2 = £С 2(], к),
C7 =
(6)
j,k=1
j, k=1 P
C6 = X ( j - Mx + k - My)4 C( j, k),
(10)
j ,k=1 P
C3 - H y max(Hx, Hv )
(11)
Энергия текстуры характеризует степень периодичности яркостного поля пикселей. Для идеальной периодической структуры или однородного фона этот показатель максимален. Для белого шума - минимален.
Энтропия текстуры может быть рассчитана по следующей формуле:
С3 = -£с(/, к)1о8(С(7, к)), (7)
],к=1
Энтропия характеризует разнообразие пикселей. Также как и коэффициент инерции, она максимальна для белого шума и минимальна для однородного фона.
Коэффициент однородности текстуры может быть рассчитан по следующей формуле: Р 1
С 4 =1 ——У С( и к), (8) и,к=11 + (и - к)
Коэффициент однородности также как и коэффициент инерции характеризует степень мо-заичности изображения, однако в противоположность последнему этот коэффициент имеет малые значения для мозаичных структур и максимален для однородного фона. Коэффициенты кластерной асимметрии и кластерного эксцесса могут быть рассчитаны по следующим формулам:
С5 = £ (и - Мх + к - Му)3 С (и, к), (9)
где: Hy = -£ C(j,к)log(SI(j)Sy(к)),
j ,к=i
Sx (j) = £c (j, к), Sy (к) = ±C (j, k),
к=1 j=1
Hx =-i^Sx (j)log Sx (jb Hy =--[jSy (к )log Sy (к)
j=1 к=1
Информационная мера корреляции кластеров одновременно характеризует размеры кластеров и контрастность их внутренней структуры. Для белого шума, для которого каждый пиксель является отдельным кластером и при этом без всякой внутренней структуры, величина этого коэффициента - минимальна. Для однородного фона информационная мера корреляции кластеров не определена.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
На рис.1 представлена визуализация газового потока в виде полутоновых изображений распределения внутренней энергии в двухмерном конфузоре сброса избыточного давления на факел установки крупнотоннажного производства этилена. Светлые участки изображения соответствуют большим, а темные - малым значениям величины внутренней энергии. В правом верхнем углу конфузора хорошо выделяется темная область, которая соответствует застойной зоне с характерной малой энергией газового потока.
где: Мх = X С (и, к), Му = X кС(и, к).
и,к=1 и,к=1
Коэффициенты кластерной асимметрии и кластерного эксцесса оба имеют нулевое значение для однородного фона. Коэффициент кластерной асимметрии характеризует асимметрию распределения черных и белых кластеров на изображении. Он принимает положительные и отрицательные значения и близок к нулю для белого шума. Информационная мера корреляции кластеров может быть рассчитана по следующей формуле:
Рис. 1. Визуализация газового потока в конфузоре сложного трубопровода сброса избыточного давления на факел установки крупнотоннажного производства этилена Fig.1. Visualization of gas flow in convergent tube of complex pipe of pressure release to output jet of ethylene production plant
Временной ряд для коэффициента гидравлического сопротивления конфузора представлен на рис. 2а, а на рис. 2б - график его фрактальной размерности. На рис. 2б полужирной линией изображена также полиномиальная аппроксимация графика. Результаты вейвлет-преобразования временного ряда для коэффициента гидравлического сопротивления конфузора представлены на рис. 3.
Профиль: Коэффициент сопротивления
200 300 400 500 Итерации
а
Фрактальная размерность: Коэффициент сопротивления
2,05
о о г
CL 4) 2
0 <5 О.
К (В Г
il Ц
1 <0 о.
е
1,95
1,85
1,75
250 350 Итерации
450
б
особенность конфузора будет присутствовать на всех вейвлет спектрах исследованных характеристик газового потока.
100
250 350 Итерации
а
ИЗОЛИНИИ. В ей влет-спектр: Коэффициент сопротивления
450
Рис. 2. Структура газовых потоков в конфузоре: а - временной ряд коэффициента гидравлического сопротивления и б -график его фрактальной размерности Fig. 2. Gas flow structure in convergent tube: a - time series of hydrological resistance coefficent and б - its fractal dimension chart
Как следует из рис. 2б, фрактальная размерность временного ряда уменьшается, что обусловлено затуханием нестационарных особенностей течения после прохождения ударной волны.
Для вейвлет-спектра временного ряда коэффициента гидравлического сопротивления конфузора (рис.3) характерно наличие множества подобных фигур, что непосредственно указывает на фрактальный характер нестационарных процессов, протекающих при распространении ударной волны через конфузор.
Характерной особенностью спектра, представленного на рис. 3а, является наличие яркой белой расширяющейся полосы. На графике коэффициента гидравлического сопротивления в этом месте наблюдается максимум и резкое увеличение величины фрактальной размерности. Яркие конусообразные полосы подобного типа на вейвлет спектрах всегда свидетельствуют о разломах или разрывах сигналов. На рис. 3 также отчетливо видно различие в турбулентной структуре потока в конфузоре до сужения и после. Эта характерная
б
Рис. 3. Структура газовых потоков в конфузоре: вейвлет-спектр коэффициента гидравлического сопротивления: а -в виде полутоновой диаграммы б - в виде изолиний Fig. 3. Gas flow structure in convergent tube: wavelet spectrum of hydrological resistance coefficient: a - as gray half-tone chart and б - as contour lines
Коэффициенты гидравлического сопротивления зависят в основном от входных и выходных характеристик потока в данном узле СТ и не учитывают сложную гидродинамическую структуру течения. Для учета неравномерности гидродинамической структуры потока и его деформации при протекании через конфузор были использованы коэфициенты Кориолиса и Бусси-неска [9].
Важной характеристикой газовых потоков в конфузоре является потеря скорости в узлах сложных трубопроводов. Временной ряд для потери скорости в конфузоре представлен на рис. 4а, а на рис.4б представлен график его фрактальной размерности. Результаты вейвлет-преобразования временного ряда для потери скорости в конфузоре представлены на рис. 5. Как следует из рис. 4а, потеря скорости совершает значительные колебания вблизи нулевого значения.
л 160
ç s
§120 CL
С
80
40
0
О 100 200 300 400 500 Итерации
а
Фрактальная размерность: Потеря скорости
л
о 1,95
0
z
1 1,85
M
Î51>75
X
л
¡5 1,65
ni
CL
® 1,55
100 200 300 400
Итерации
б
Рис. 4. Структура газовых потоков в конфузоре: а - временной ряд потери скорости в узле и б - график его фрактальной размерности
Fig. 4. Gas flow structure in convergent tube: a - time series of velocity losses coefficient and б - its fractal dimension chart
Средняя величина фрактальной размерности кривизны D~1,7. Как показали численные эксперименты, величина фрактальной размерности потери скорости меньше величины фрактальной размерности коэффициента Кориолиса в широкой части конфузора. Это обусловлено тем, что эти две характеристики отражают различные свойства газовых потоков: коэффициент Кориолиса - неоднородность потока по сечению, а потеря скорости - неоднородность потока вдоль оси трубопровода.
Как следует из рис. 5а, спектр вейвлет-преобразования потери скорости газового потока имеет две хакрактерные особенности в начале переходного процесса, что обусловлено интенсивным характером протекания нестационарных газовых течений на начальной фазе формирования газовых потоков в ударной волне.
Исследование газовых потоков с помощью фрактально-статистических характеристик позволяет обнаружить структурные переходы с образованием и разрушением кластерных диссипатив-ных структур типа ячеек Рэлея-Бенара, которые возникают в подогреваемом снизу слое жидкости. На рис.6 представлены визуализации различных
показателей кластерной структуры НГП: а - энергия текстуры, б - энтропия, в - коэффициент инерции, г - коэффициент однородности.
96 S6 ш 76
Е
э 66 J 56 46 36 26 16 6
50 150 250 350 450 Ите рации
а
ИЗОЛИНИИ, Вей влет-спектр; Потеря скорости
100 80 60 40
20
50 150 250 350 450
б
Рис. 5. Структура газовых потоков в конфузоре: вейвлет-спектры потери скорости в узле: а - в виде полутоновой диаграммы б - в виде изолиний Fig. 5. Gas flow structure in convergent tube: wavelet spectrum of velocity losses coefficient: a - as gray half-tone chart and б - as contour lines
На всех без исключения визуализациях проявились яркие и четкие текстурные образования. Важной отличительной характеристкой текстуры является ее ячеистый характер, что, возможно, обусловлено процессами, аналогичными процессам, приводящим к формированию ячеек Рэлея-Бенара.
Турбулентные структуры на рис.ба (энергия текстуры) гораздо менее заметны в случае конфузора по сравнением с другими узлами трубопровода. В то же время эти структуры на рис. 6б (энтропия) имеют гораздо более отчетливый характер. В широкой части конфузора на изображении энтропии хорошо заметны две турбулентные структуры темного цвета. Эти же структуры хорошо проявились также на графике инерции рис. 6в.
В отличие от других узлов трубопровода в конфузоре отсутствуют ярко выраженные шестиугольные ячейки Рэлея-Бенара. Однако очень хорошо просматриваются вертикальные полосы, ко-
Профиль: Потеря скорости
торые имеют волнообразный строго периодический характер и которые, по всей вероятности, обусловлены явлениями, аналогичными тем, которые приводят к образованию стоячих волн при отражении гидродинамических потоков. Эти полученные нами в процессе текстурного анализа результаты указывают на то, что турбулентные структуры имеют различный характер в зависимости от конкретного вида узлов СТ: шестиугольные ячейки Бенара в поворотном колене и стоячие волны в конфузоре. При распространении ударных волн вдоль СТ происходит постоянное образование и разрушени турбулентных структур с обменом энергией между ними и ударной волной.
Рис. 6. Визуализации текстурных показателей в узле конфу-зор: а - энергия текстуры, б - энтропия, в - коэффициент
инерции, г - коэффициент однородности Fig. 6. Texture indices visualization in convergent tube: a -texture energy, б - entropy, в - inertia coefficient, г -homogeneity coefficient
Как следует из рис. 6, турбулентная и волновая структуры газового потока, распростра-
няющегося через конфузор, проявлена достаточно отчетливо, что является одной из причин колебательности газовых потоков и вибрации СТ.
Дальнейшая обработка текстурных изображений проводилась с помощью самоорганизующейся нейронной сети Кохонена. Нейронная сеть была использована для получения бинарной декомпозиции текстурных изображений.
Так, например, бинарные кластеры, полученные декомпозицией текстурного изображения коэффициента однородности, представлены на рис. 7.
Рис. 7. Бинарные кластеры, полученные декомпозицией текстурного изображения коэффициента однородности Fig.7. Binary clusters obtained by homogeneity coefficient texture image decomposition
Первый кластер (рис.7а) содержит крупномасштабные турбулентно-волновые структуры. Во втором кластере (рис.7б) выделяется достаточно малое количество мелких турбулентно-вихре-
а
б
г
вых образований. Третий и четвертый кластеры (рис. 7в и г) содержат промежуточные турбулентно-вихревые структуры. Перколяционные оценки показывают, что наибольшим процентом стягивающих бинарных кластеров обладают первый и третий кластеры, а наименьшей - четвертый. Что касается второго кластера, то в нем стягивающие бинарные кластеры полностью отсутствуют.
Таким образом, из результатов бинарной декомпозиции следует, что образующиеся в турбулентных газовых потоках кластерные структуры различаются не только по масштабу величины, но и по своим воздействиям на стенки трубопровода. Как отмечено выше, наибольшей вибрационной опасностью обладают стягивающие кластеры, простирающиеся от одной стенки трубопровода до другой, из чего следует вывод о том, что антивибрационные мероприятия должны быть направлены в первую очередь на компенсацию колебаний, порождаемых турбулентными структурами первого (рис. 7а) и третьего (рис. 7в) типов.
ВЫВОДЫ
Разработана новая методика анализа и диагностики колебательных характеристик газовых потоков в трубопроводах, основанная на оценках фрактальной размерности и текстурных характеристик газовых потоков, которая может быть использована для расчетов и прогнозирования вибрационной устойчивости сложных трубопроводов.
Установлено, что при распространении ударной волны в вейвлет-спектрах газовых течений в конфузоре имеется множество подобных фигур, что указывает на наличие иерархической структуры и фрактальный характер этих течений.
Установлено, что в модельных газовых течениях в конфузоре могут возникать структуры, подобные шестиугольным ячейкам Рэлея-Бенара.
В результате бинарной декомпозиции текстурных изображений газовых потоков в конфузоре установлено, что наибольшей вибрационной опасностью обладают стягивающие кластеры, простирающиеся от одной стенки трубопровода до другой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Бутусов О.Б., Мешалкин В.П. // Теоретич. основы хим. технологии. 2006. Т. 40. № 3. С.313-327;
Butusov O.B., Meshalkin V.P. // Theoretical foundations of chemical engineering. 2006. V. 40. N 3. P. 291-304.
2. Haralick R.M. Statistical and structural approaches to texture // Proceedings of IEEE. 1979. V. 67. N 5. P. 768-804.
3. Кантюков Р.А., Бутусов О.Б., Дови В.Г., Мешалкин В.П. // Химическая промышленность. 1998. N 12. С. 784790;
Kantukov R.A., Butusov O.B., Dovi V.G., Meshalkin V.P.
// Khimicheskaya promyshlennost. 1998. N 12. P. 784-790 (in Russian).
4. Harlow F.H. The particle-in-cell method for numerical sollution of problems in fluid dynamics// Proc. of Symp. in Applied Mathematics. 1963. V.15. P. 269-288.
5. Маккормак Р.В. // Аэрокосмическая техника. 1983. Т.1. № 4. С. 114-123;
Makkormak R.V. // Aerokosmicheskaya tehnika. 1983. V. 1. N 4. P. 114-123 (in Russian)
6. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А., Федорук М.П. Численное моделирование методом частиц-в-ячейках. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2004. 360 с.;
Grigoriev Yu.N., Vshivkov V.A., Fedorchuk M.P. Numeric modeling using particle in cell method. Novosibirsk: Izd-vo SO RAN. 2004. 360 p. (in Russian).
7. Voss R.F. Random fractals: Characterization and measurement. Boston: PWS-Kent. 1992. 302 p.
8. Unser M. // IEEE Transactions on Image Processing,1995. V. 4. N 11. P. 1549-1560.
9. Идельчик И.Е. Аэрогидродинамика технологических аппаратов. М.: Машиностроение. 1983. 351 с.; Idelchik I.E. Aerohydrodynamics of technological apparatus. M.: Mashinostroenie. 1983. 351 p. (in Russian).
