CC BY
22
Р. А. Кантюков, канд. техн. наук, докторант, Российский химико-технологический университет
им. Д. И. Менделеева, г. Москва, clogist@muctr.edu.ru
Мультифрактальный анализ изображений турбулентных газовых потоков в газопроводах
Разработан метод и алгоритм анализа амплитудно-частотных характеристик турбулентных газовых потоков по спектрам мультифрактальных размерностей. В качестве объектов исследования использованы визуализации гидродинамических характеристик газовых потоков, полученные с помощью математического моделирования методом «частицы в ячейке». Полученные визуализации использованы для расчета экспонент Холдера. Результаты расчета экспонент Холдера представляют собой так называемые а-изображения. Полученные а-изображения были использованы для расчета мультифрактальных спектров. Расчеты были выполнены для газовых потоков в конфузоре. Полученные мультифракталь-ные спектры использованы для расчета обобщенных фрактальных размерностей, а именно: фрактальной размерности, информационной размерности и корреляционной размерности. Показано, что параболическая аппроксимация мультифрактальных спектров достаточно эффективно описывает особенности турбулентной структуры газовых потоков в конфузоре. Предложено использовать корреляционную размерность для оценки пульсационных характеристик нестационарных сжимаемых газовых потоков в трубопроводе.
Ключевые слова: сложные трубопроводы, турбулентные сжимаемые газовые потоки, конфузор, моделирование методом «частицы в ячейке», мультифрактальные спектры, фрактальная размерность, информационная размерность, корреляционная размерность.
Введение
Одним из важных вопросов обеспечения надежности и безопасной эксплуатации сложных газопроводных систем является вопрос о минимизации гидродинамического воздействия на трубопровод со стороны ударных волн и колебаний потока. Вибрации сложного трубопровода (СТП) обусловлены пульсациями газовых потоков внутри него. Пульсации потоков могут возникать по разным причинам. Одна из причин — нестационарные неустановившиеся процессы, возникающие при распространении импульсов высокого давления по СТП. Вторая важная причина — воздействие на-
гнетательных машин. Пульсации газовых потоков могут сопровождаться такими процессами, как отрыв течения, рециркуляция и противотоки [1]. Для обеспечения вибрационной безопасности СТП можно предложить алгоритм, который должен включать как минимум следующие этапы [2-6]: 1) определение причин возникновения колебаний; 2) определение амплитудно-частотных характеристик газовых потоков; 3) определение резонансных частот и амплитудно-частотных характеристик механических конструкций газопроводных систем; 4) разработка мероприятий по оптимизации и управлению гидродинамическими режимами; 5) принятие управленческих решений.
Для компьютерного моделирования нестационарных сжимаемых газовых потоков разработано большое количество различных методов и комплексов программ, например, пакеты Ansys Fluent [7] или Femlab [8], в которых используются многие известные методы вычислительной гидродинамики. Однако из числа достаточно большого количества вычислительных методов гидродинамики следует выделить метод «частицы в ячейках» [9; 10] в качестве одного из наиболее перспективных методов для расчета амплитудно-частотных характеристик сжимаемых газовых потоков [2-4; 9-13]. Для компьютерного моделирования турбулентных структур газовых потоков также успешно используются методы прямого численного моделирования (Direct Numeric Simulation — DNS), в которых отсутствуют дополнительные предположения о моделях турбулентности [14]. Однако, как показали эксперименты, методы DNS могут быть эффективно использованы только для газовых потоков с небольшими числами Рейнольдса, так как для компьютерного моделирования течений с большими числами Рейнольдса требуются очень мелкие сетки высокого разрешения [14].
Метод «частицы в ячейках» позволяет моделировать турбулентные структуры, которые в этом методе представляются в виде кластеров Лагранжевых частиц. Осцилляции кластеров оказывают воздействие на стенки СТП и являются источником вибрационной опасности при приближении частоты осцилляций к резонансным частотам механических конструкций газопровода [15-17]. Поэтому исследование амплитудно-частотных характеристик и турбулентной структуры газовых потоков является одной из важных задач обеспечения вибрационной безопасности СТП.
В последнее время для исследования характеристик одномерных и двухмерных сигналов широко применяются методы фрактального и мультифрактального анализов [18; 19]. В [20-23] методы фрактального анализа использованы для определения текстурных
характеристик микрофотографий наноком-позитов. Полученные результаты позволили в [23] выделить три типа кластерных элементов на микрофотографиях нанокомпозитов: два различных типа атомных конфигураций и поры.
Авторы статьи [24] разработали методы фрактального анализа для исследования текстурных характеристик газовых потоков в технологических трубопроводах. Фрактальная размерность нестационарных сжимаемых газовых потоков в СТП была рассчитана в данной работе с помощью математической модели «частицы в ячейках» [2; 4; 9; 10] для визуализаций следующих гидродинамических характеристик: коэффициентов Кориолиса и Буссинеска, среднего давления, коэффициентов гидравлического сопротивления, коэффициентов потери скорости в узле, коэффициентов кривизны усредненных линий тока. В статье [24] был получен ряд важных результатов. В частности, на основе анализа фрактальной размерности была установлена важная роль стягивающих кластеров в задачах прогнозирования вибрационной устойчивости СТП. Следует отметить, что ряд важных выводов, установленных в [24], был получен на основе совместного вейвлетно-фрактального анализа, эффективность которого детально обсуждается в [19].
В настоящее время для анализа сложных сигналов все чаще используются мультиф-рактальные характеристики [25-30]. Понятие «мультифрактал» более широкое, нежели понятие «фрактал». Фактически мультифрак-талы представляют собой непрерывную совокупность фрактальных объектов. Если для описания фрактальных объектов достаточно одной характеристики — фрактальной размерности, то для описания мультифрак-талов используется непрерывная функция, описывающая неравномерное распределение фрактальных размерностей. Эта функция получила название мультифрактального спектра. Поясним различие между фракталами и мультифракталами с помощью фор-
[ 43 ]
мул. Фрактальная размерность определяется по следующей формуле:
N(8) -
(1)
где D — фрактальная размерность, е, N — размер и количество ячеек сетки, используемой для покрытия фрактального множества.
Для мультифрактального спектра используется следующее определение:
N (а) ~ е-1(а), (2)
где Nе (а) — количество ячеек сетки, необходимое для покрытия мультифракталь-ного множества при значениях параметра ае(а, а +^ а).
Параметр а называется мерой мультиф-рактального множества, а / (а) — мультиф-рактальным спектром. Для практических расчетов фрактальной размерности и мультиф-рактального спектра используются следующие формулы:
D = ЦП,11!®,
е^о 1п (е-1)
= lim
da^Q
f (a) =
ln ( N8(a + d a)-N8(a-d a))
lim-7—г-
8^Q ln (8-1 )
(3)
Для расчетов по формулам (3) необходимо вычисление пределов. По этой причине фрактальные размерности и мультифрактальные спектры называются также сингулярностями.
Элементы теории мультифракталов
Теория мультифракталов достаточно подробно изложена в [18; 19]. Рассмотрим ключевые элементы этой теории, необходимые для описания разработанных алгоритмов.
При расчете мультифрактальных спектров мультифрактальное множество, состоящее из N точек, покрывается расчетной сеткой, размер ячейки которой равен е.
Рассматриваются только те ячейки, в которые попадает хотя бы один элемент множества. Количество занятых ячеек М (е) зависит от размеров ячейки. Введем вероятность попадания точки множества в 7-ю ячейку
/ ч г п, (е) / ч
р, (е) = Ьт —— , где п. (е) — количество
N
точек множества, попавших в 7-ю ячейку, 1 < 7 < М (е).
По аналогии со статистической механикой с помощью введенных вероятностей построим так называемую статистическую сумму
М (е)
г(д, е) = £ Р1 (е), (4)
1=1
где 1 — любое вещественное число < 1 < .
Рассмотрим следующий предел, который получил название скейлинговой экспоненты
[19]:
М (е)
1п £ р1 (е)
. (5)
ln z(q, 8) ,=i
T(q) = lim———- = lim 1 1
Е^0 1п е Е^0 1п е
Через скейлинговую экспоненту определяются так называемые обобщенные фрактальные размерности D = Т(1) . Если D не за-
1
висит от 1, то фрактальное множество представляет собой обычный фрактал. В случае зависимости Dq от 1 множество является муль-тифракталом. При этом обобщенные фрактальные размерности показывают, насколько неоднородным является фрактальное множество. Из определения (5) следует формула для нахождения скейлинговой экспоненты
z(q,8)-
8T(q )
(6)
В процессе покрытия исходного множества точек сетками различного масштаба это множество разделяется на подмножества, каждое из которых описывается своими скейлинговыми экспонентами вида (2). При
этом формулы (2) и (3) могут быть использованы для расчета мультифрактальных спектров /(а). Для практических расчетов иногда используется так называемое преобразование Лежандра от переменных (д, т (д)) к переменным (а, / (а))
Лт^) ч
а=—^=в (дХ = в(а)
dq . (7)
/ (а) = qа - T(q) = ag - (а) - т (g-1 (а))
В данной статье использован метод прямого вычисления мультифрактальных спектров.
Алгоритм мультифрактального анализа нестационарных сжимаемых газовых потоков в сложных трубопроводах
Блок-схема алгоритма мультифракталь-ного анализа нестационарных сжимаемых газовых потоков в сложных трубопроводах представлена на рис. 1.
Этап 1. На первом этапе алгоритма осуществляется компьютерное моделирование газовых потоков методом «частицы в ячейках». Результатом моделирования являются визуализации расположения Лагранжевых частиц по сечению СТП.
Этап 2. На втором этапе алгоритма осуществляется преобразование кластеров Лагранжевых частиц в изображения. При этом на визуализацию распределения частиц накладывается сетка заданного разрешения. Каждая ячейка сетки представляет собой отдельный пиксель изображения. В качестве яркости пикселя можно использовать количество частиц, находящихся в данной ячейке сетки. Полученное изображение можно нормализовать на заданный интервал яркости. Дальнейший анализ мультифрактальности газовых потоков основан на мультифракталь-ности полученных изображений.
Этап 3. На третьем этапе осуществляется мультифрактальный анализ полученных изображений. Третий этап включает пять шагов.
Рис. 1. Блок-схема алгоритма мультифрактального анализа газовых потоков
Fig. 1. Flow block chart of multifractal analysis of gas flows in pipes
Шаг 3.1. На первом шаге выбирается одна или несколько фрактальных мер, с помощью которых рассчитываются экспоненты Холдера для каждого пикселя исходного изображения. Выбранная мера должна наилучшим образом характеризовать локальную конфигурацию пикселей изображения. Различные фрактальные меры характеризуют различные геометрические свойства фрактального множества. Для фрактального множества каждая фрактальная мера должна подчиняться степенному закону
М-0', j, d) = C • d
a (i, j)
(8)
= E E
r=i-d/2 p=j - d/2
j, d) = b(i, j) — b(r,p)\
b(i, j)
< £
(9)
где ц — фрактальная мера, у — координаты пикселя, d — размер локальной квадратной области (окна), окружающей пиксель, С — коэффициент пропорциональности, а(,',}) — локальная экспонента Холдера.
По формуле (8) для каждого пикселя исходного изображения рассчитывается величина локальной экспоненты Холдера. В результате получаются так называемые а-изображения [19], каждое из которых соответствует выбранной фрактальной мере. В качестве фрактальных мер могут быть предложены любые статистические численные оценки, характеризующие локальную геометрию пикселей. Простейшими фрактальными мерами являются: максимальное, минимальное, обратное минимальное и среднее значения пикселей окна, количество пикселей в окне, разница между максимальным и минимальным значениями и пр. В качестве более сложных фрактальных мер могут использоваться [24] такие меры, как градиент, энергия, энтропия, коэффициент однородности, коэффициент инерции, коэффициенты кластерной асимметрии и кластерного эксцесса, информационная мера корреляции кластеров и пр. В данной статье в качестве фрактальной меры использована мера, характеризующая подобие пикселей, расположенных в окне, центральному пикселю, так называемая КО-мера, вычисляемая по следующей формуле:
где b(i, j) — яркость пикселя,
\b(i, j) - b(r,p)\ „
J-L<ee-!0,H, s — заданный
b(i, j) 1 ;
процент подобия пикселей.
Шаг 3.2. На этом шаге вычисляется локальная экспонента Холдера для каждого пикселя исходного изображения. Для вычисления используется формула (8), которая в результате логарифмирования принимает следующий вид:
log |i(7, j,d) = C + a(i, j) logd . (10)
В логарифмической шкале формула (10) является линейной. Как следствие экспонента Холдера может быть рассчитана с помощью метода наименьших квадратов (МНК):
a(i, j )=
n n n
nE(i к j)dk j ))-Eik & j >Edк(i, j)
k=1
k=1
k=1
(11)
Edk2(i,j)- Edk(i,j)
V k=1
k=1
2
где к = 1, n , n — заданное количество размеров окна.
Результатом данного шага является a-изображение, представляющее собой совокупность локальных экспонент Холдера для каждого пикселя исходного изображения.
Шаг 3.3. На этом шаге вычисляются муль-тифрактальные спектры, представляющие собой зависимость скейлинговых показателей от величины а. Вначале на a-изображении находят amax = max (а(/, j)) и ат1П = min (а(/, j)).
а — а
Затем по формуле Да = —-—
N
опреде-
ляют размер ступени изменения величины а, где N — заданное количество уровней. Далее на каждом уровне а на а-изображении вырезается слой, в который попадают только пиксели, величина которых а е [а, а + d а). Эти пиксели рассматриваются как фрактальное множество. Далее для этого множества рассчитывают фрактальную размерность. В данной статье фрактальные размерности рассчитаны методом «box-counting». Совокупность всех фрактальных размерностей для всех сечений а-изображения и является мультифрак-тальным спектром.
На этом шаге с помощью обратных преобразований Лежандра также вычисляется муль-тифрактальная скейлинговая экспонента x(q) d T(q)
и ее производная
dq
df (а) d а
= g (а) ^а = g -1(q),
T(q) = а fa- -f (а) = ф(а) = ф( g-1 (q)). (12)
d T(q) d ф( g-1(q))
dq
dq
y( x) = ax2 + bx + c,
n
X (ax,2 + bx, + c - y, )2 ^ min,
X =
\xit xn
(13)
= (Xr • X )-1 •(Xr • y)
вания, xt, yt — опорные точки МНК, вектор неизвестных коэффициентов.
Шаг 3.4. На этом шаге осуществляется параболическая аппроксимация мультиф-рактальных спектров. Известно [18; 19], что функция мультифрактального спектра является унимодальной и вблизи своего максимума может быть аппроксимирована параболой. По аналитической формуле параболы могут быть рассчитаны основные мультиф-рактальные показатели: скейлинговая экспонента и обобщенные фрактальные размерности. Для параболической аппроксимации используют МНК (см. (13)).
Шаг 3.5. На этом шаге вычисляют обобщенные фрактальные размерности с помощью полученных на предыдущем шаге аппроксимаций мультифрактальных спектров D
Обобщенная фрактальная размерность D1 называется информационной размерностью. Для расчета D1 необходимо найти решение уравнения f (а) = а. Достаточно точный результат можно получить, используя параболическую аппроксимацию для f (а). При этом решение задачи сводится к решению квадратного уравнения
ах2 + Ьх + с - х = ах2 + х(Ь -1) + с = 0 , (14)
где обозначено х = а. Решение уравнения (14) имеет вид
где у ^) — параболическая аппроксимация мультифрактального спектра, надстрочный индекс Т обозначает операцию транспониро-
-(Ь -1) (Ь -1)2 - 4ас Dl = ^ ---. (15)
2а
В формуле (15) числитель отрицательный. Для того чтобы решение было положительным, необходимо, чтобы коэффициент а был отрицательным.
Обобщенная размерность D2 называется корреляционной размерностью. D2 можно рассчитать по следующей формуле:
D =Ä q q -1
(16)
При q = 2 из (16) получаем корреляционную размерность
D2 =т(2) = 2а(2) -f (а(2)). (17)
Для расчета по формуле (17) используем Данное соотношение следует из определения параболическую аппроксимацию:
= = — (аа2 +Ьа + с) = 2аа + Ь . (18) d а d а
Из формулы (18) находим а(д): q - Ь
скейлинговой экспоненты т (q):
Z(q, £) ~ £T(q),
(24)
M (£)
a(q) = -
2a
(19)
Из формулы (19) следует, что 2-b
a(2) = -
2a
f (a(2)) = a
2 — b
v 2a
u2 — b
+ b-+ c.
2a
(20)
где 2е) = ^ pq , что при q = 1 приводит
1=1
к следующему:
N (е) N(е)
2 (1, е) = ^ р1 = ^ р1 = 1. Следовательно,
1=1 1=1
т(1) должно быть равно нулю: т(1) = 0.
(1 - ь)2
Из этого условия следует, что с =-,
4а
а также, что а и с должны быть одного знака, что позволяет разложить т на множители:
Подстановка (20) в (17) приводит к следу- т^) = -1 ^ - Ь - 2^ас )(q - Ь + 2у[ас). (25)
ющему выражению для D2:
D2 = 2а(2) - (аа(2)2 + 6а(2) + с) = = -аа(2)2 + (2 - Ь)а(2) - с.
Подстановка соотношения 2^[ас =±(1 - Ь) в (25) дает два одинаковых разложения (21) для х^):
С помощью аппроксимирующей параболы можно построить графики Dq и т Расчетные формулы имеют следующий вид:
т(д) = да(д) - /(а(д)), Dq = (22)
T(q) = -1 (q — b — 2*Jac )(q — b + 2 Vac) =
1
= — (q — b — 1 + b)(q — b +1 — b) =
=4a (q—1)(q—2b+1),
Выражение для а (q), полученное в фор- т^) =—^ - Ь - 2уОС- Ь + 2у[0С) = муле (19), подставим в (22): 4а ^ '
(26)
T(q) = q
f
q — b
1
= —a
q — b 2a
q — b 2a
2a
2
q — b
+ b--+ c
2a
2
+ (q —b) — c =
(q—b)2+(q—b)2
4a
2a
2a
c=
= — (q -Ь +1 -Ь)^ -Ь -1 + Ь) =
=4а ^ - 2Ь+l)(q -1).
Формулы (26) можно использовать для построения графика т^) . При этом с по-(23) мощью (26) можно получить линейное приближение для расчета D зависящее только от двух параметров — а и Ь:
(q—ь)2
4a
^ = "4 (я — 1) f (Я — 2b +1) =
q — 1 q — 1 4a
— c.
В формуле (23) учтем, что т (1) = 0, т. е. единица является корнем уравнения: т^) = 0.
D =
=4a (q—2b+1).
т(2)
При этом D2 = = т (2).
(27)
Этап 4. На этом этапе алгоритма осуществляется анализ полученных результатов с целью использования рассчитанных мультиф-рактальных характеристик для оценки пуль-сационного воздействия турбулентных газовых потоков на конструкцию СТП.
Результаты мультифрактального анализа газовых потоков в конфузоре
Этап 1. Рассмотрим протекание сжимаемых турбулентных газовых потоков через конфузор СТП. Конфузор представляет собой переход трубопровода с большего диаметра на меньший и моделируется в виде двух блоков. Больший диаметр равен 0,8 м, меньший диаметр — 0,4 м. На вход трубопровода поступает импульс высокого давления величиной 6 бар при температуре 650С. Начальное давление в трубопроводе — 1 бар при температуре 200С. Для компьютерного моделирования использован метод «частицы в ячейках». Временной шаг моделирования Д7 = 5 • 10-5 сек. Результат моделирования газовых потоков после 500 итераций [2-4] представлен на рис. 2.
Как следует из рис. 2, расположение ла-гранжевых частиц имеет кластерную структуру и является фрактальным множеством.
Этап 2. Каждый из двух блоков конфу-зора представляется в виде двух отдельных изображений. Для этого каждый блок покрывается расчетной сеткой размером 100 * 50 узлов. Каждая ячейка расчетной сетки — это пиксель результирующего изображения.
Яркость пикселя должна быть пропорциональна выбранной мере фрактального множества, в данной работе — количеству лагран-жевых частиц в ячейке. Изображения нормализованы на стандартный интервал яркостей: 0-255. Полученные изображения для левого и правого блоков конфузора представлены на рис. 3.
Этап 3. Все использованные на данном этапе вычислительные алгоритмы интегрированы в виде единой компьютерной системы, пользовательский интерфейс которой представлен на рис. 4.
Шаг 3.1. Фрактальная мера выбирается по критерию наилучшего представления наиболее характерных особенностей кластерной структуры лагранжевых частиц. В данной работе использована ISO-мера, которая, с одной стороны, является количественной характеристикой локальной однородности, а с другой, хорошо описывает изменение этой однородности при переходе к описанию дальнего порядка. Таким образом, ISO-мера одинаково хорошо приспособлена для описания структурных особенностей как ближнего, так и дальнего порядка.
Шаг 3.2. а-изображения, рассчитанные по формулам (9) — (11) с помощью ISO-меры для обеих блоков конфузора, представлены на рис. 5.
Шаг 3.3. Мультифрактальные спектры были рассчитаны с помощью метода «box-counting». Результатом каждого а-сечения полученных а-изображений является фрактальное множество, размерность которого вычис-
Рис. 2. Вихревая структура газовых потоков в конфузоре после 500 итераций
Fig. 2. Turbulent structure of convergent tube gas flow after 500 iterations
Контрастная визуализация кластерной структуры Контрастная визуализация кластерной структуры
Рис. 3. Нормализованные изображения кластерной структуры лагранжевых частиц в конфузоре:
а — левый блок, б — правый блок
Fig. 3. Images of Lagrange particles clusters in convergent tube for: a — left block, б — right block
ляется методом «box-counting». Сущность метода заключается в последовательном покрытии фрактального множества сетками все более мелкого масштаба.
При этом для каждого покрытия вычисляется количество ячеек сетки, необходимых для покрытия всего фрактального множества. Это количество подчиняется степенному закону следующего вида:
N(£) = C -Е-D, (28)
где s — размер ячейки сетки покрытия, D — фрактальная размерность Хаусдорфа.
Для нахождения фрактальной размерности использован алгоритм, аналогичный алгоритму для вычисления экспоненты Холдера (см. формулы (8) и (11)). Результаты расчета мультифрактальных спектров для левой и правой половин конфузора представлены на рис. 6.
Шаг 3.4. На рис. 6 представлены также результаты параболической аппроксимации мультифрактальных спектров.
Шаг 3.5. Графики скейлинговой экспоненты и обобщенных мультифрактальных размерностей были рассчитаны с помощью обратных преобразований Лежандра (см. формулы (12)) по упрощенным формулам (26)
В UIJA/umt - X ("мчет мспоненш Холоди-
.а Вы&ерит« вид меры оля рлсччмя
экелоивнты Хопдаро
Вввсги юоЬроженж; Рпсчет ЭХ
Гвсчег муиыифрамвиыкт ризмаржлчк
RuGpnii. фдйп ЭХ Расчет ПФР
mtlaju jhomlp* ol в"' едииг ими фа ни л с МФР
2 Ьееции? сшпеиь ашгДОхсиинрующе »m—
Пм&рлск файл МФР Грлфмс МФР
Рис. 4. Диалоговое окно пользовательского
интерфейса компьютерной системы мультифрактального анализа изображений
Fig. 4. User interface of computer system of multifractal image analysis
и (27). Визуально графики скейлинговой экспоненты и графики обобщенных фрактальных размерностей для левого и правого блоков кон-фузора различаются мало, поэтому на рис. 7 представлены графики только для правого блока конфузора. Различие мультифракталь-ных характеристик турбулентной структуры газовых потоков левого и правого блоков кон-
Рис. 5. а-изображения, рассчитанные с помощью ISO-меры для мультифрактального анализа турбулентной структуры газовых потоков: а — левый блок и б — правый блок конфузора
Fig. 5. а-images, calculated using ISO-measure for multifractaL analysis of turbulent structure of gas flows in convergent tube for: a — left block and б — right block of
фузора проявляются только в численных значениях обобщенных фрактальных размерностей, которые представлены в табл. 1.
Этап 4. Представленные в табл. 1 первые три обобщенные фрактальные размерности
могут быть предложены в качестве численных характеристик пульсационно-вибраци-онных свойств турбулентных газовых потоков в СТП. Для наглядности данные табл. 1 представлены на рис. 8 в виде графиков.
а б
Рис. 6. Мультифрактальный спектр турбулентной структуры газовых потоков: а — левый и б — правый блоки конфузора
Fig. 6. Multifractal spectrum of turbulent structure of gas flows: a — left block and б — right block of convergent tube
Спектр скейпингоаых экспонент t(q) Мерз: ¡so Спектр обобщенных размерностей D . Мера: ¡so.
■10 -8 -6 4 -2 0 2 4 6 8 10 ч
аб
Рис. 7. Графики: а — скейлинговой экспоненты и б — обобщенных фрактальных размерностей для газовых потоков в правом блоке конфузора
Fig. 7. Drawings of: a — scaling exponent and б — generalized fractal dimensions for gas flows in right block of convergent tube
Таблица 1. Обобщенные фрактальные размерности нестационарных сжимаемых газовых потоков в конфузоре
Table 1. Generalized fractal dimensions for unsteady compressible gas flows in convergent tube
Обобщенные фрактальные Фрактальная Информационная Корреляционная
размерности размерность, D0 размерность, Dl размерность, D2
Левый блок конфузора 1,0652 0,8417 0,6181
Правый блок конфузора 0,9761 0,7369 0,4978
Рис. 8. Графическое представление первых трех обобщенных мультифрактальных размерностей для блоков конфузора
Fig. 8. Drawings of first three generalized multifractal dimensions for left and right blocks of convergent tube
Из табл. 1 и рис. 8 следует, что величина обобщенных фрактальных размерностей для левого блока конфузора больше соответствующих значений для правого блока. Физический смысл этого результата в том, что в левом блоке конфузора газовые потоки взаимодействуют с отражающими стенками при входе в правый блок конфу-зора. Струйные эффекты отражения приводят к разрывам потока и, следовательно, к увеличению фрактальной размерности, т. е. структура потока в левом блоке становится более фрактальной.
Наибольшее периодическое воздействие на стенки СТП оказывают кластерные структуры. Для количественной характеристики кластерной структуры используют корреляционный интеграл или парную корреляцион-
ную функцию. В [18] показано, что имеет место следующее соотношение:
I(е) = lim — У 0(е — \гя — т |) = eD,
v ' N^^ N2 ^ \ 1 n т\>
(29)
где I (е) — корреляционный интеграл, £ — численный параметр, характеризующий размер кластера, гп, гт — радиусы-векторы п-й и т-й точек фрактального множества, N — количество точек фрактального множества,
6(х) = {0 ^ Хх; 00 — ступенчатая функция
Хевисайда.
Из (29) следует, что корреляционный интеграл равен количеству точек фрактального множества, расстояние между которыми не больше е. Таким образом, чем больше D2, тем больше величина корреляционного интеграла и, следовательно, в газовом потоке имеется больше кластеров с размером ~ е. Поэтому обобщенная фрактальная размерность D2 получила название корреляционной размерности. Количество кластеров и их размеры непосредственно связаны с периодическими воздействиями газовых потоков на стенки СТП и могут служить мерой вибрационных характеристик газовых потоков.
Заключение
Итак, основные результаты, полученные в данной работе, выглядят следующим образом.
1. Разработан алгоритм анализа амплитудно-частотных характеристик турбулентных газовых потоков в сложном трубопроводе, основанный на расчете мультифрак-тальных спектров частиц, составляющих газовый поток.
2. Полученные результаты основаны на компьютерном моделировании нестационарных сжимаемых газовых потоков в сложном трубопроводе методом «частицы в ячейках».
3. Предложен алгоритм преобразования фрактального множества газовых частиц в изображения.
4. Рассчитаны мультифрактальные спектры турбулентной структуры газовых потоков на основе использования для расчета структурных особенностей пикселей изображений ISO-меры.
5. Разработаны алгоритмы и компьютерные программы, с помощью которых проанализированы результаты параболической аппроксимации мультифрактальных спектров.
6. Показано, что параболическая аппроксимация мультифрактальных спектров достаточно эффективно описывает особенности турбулентной структуры газовых потоков в СТП.
7. Предложено для оценки пульсационных характеристик нестационарных сжимаемых газовых потоков в СТП использовать корреляционную размерность D2.
Список литературы
1. Миркин А. З., УсиньшВ. В. Трубопроводные системы. Справочник. М.: Химия, 1991. — 236 с.
2. Бутусов О. Б, КантюковР. А., МешалкинВ. П. Компьютерное моделирование полей температуры и давления нестационарных турбулентных газовых течений в технологических трубопроводах // Химическая промышленность. 1998. № 7. С. 433-438.
3. Кутепов А. М, Кантюков Р. А., Артамонов Н. А., Бутусов О. Б., Мешалкин В. П. Применение вихревого аппарата для интенсификации процесса регенерации насыщенного раствора абсорбента // Химическая промышленность. 1998. № 8. С. 461-467.
4. Кантюков Р. А., Бутусов О. Б, Дови В. Г, Мешалкин В. П. Компьютерное моделирование течения сжимаемых газов через сложные технологические трубопроводы // Химическая промышленность. 1998. № 12. С. 784-790.
5. Кафаров В. В., Мешалкин В. П. Проектирование и расчет оптимальных систем технологических трубопроводов. М.: Химия, 1991. — 368 с.
6. Мешалкин В. П. Экспертные системы в химической технологии. М.: Химия, 1995. — 368 с.
7. БруякаВ. А. Инженерный анализ в Ansys Workbench: учеб. пособие. Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2010. — 271 с.
8. PryorR. W. Multiphysics modeling using COMSOL: A First Principles Approach. United States, Massachusetts: Jones & Bartlett Publishers, Inc., 2011. — 872 p.
9. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 316-342.
10. Григорьев Ю. Н., Вшивков В. А., Федорук М. П. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках. Новосибирск: Издательство СО РАН, 2004. — 360 с.
11. Бутусов О. Б.,МешалкинВ. П. Компьютерное моделирование нестационарных потоков в сложных трубопроводах, Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 550 с.
12. Бутусов О. Б, Кантюков Р. А., Мешалкин В. П. Компьютерный анализ гидродинамики нестационарных потоков в газотранспортных системах. СПб: Недра, 2014. — 29 с.
13. Бутусов О. Б., Гимранов Р. К., Кантюков Р. А., Мешалкин В. П., Попов А. Г., Рыженков И. В. Комплексный фрактально-текстурный анализ турбулентной структуры газовых потоков в конфузорах сложных трубопроводов // Известия вузов: Химия и химическая технология. 2015. Т. 58. № 4. С. 78-84.
14. Wagner C., Friedrich R. Low-Reynolds-Number effects derived from direct numerical simulation of turbulent pipe flow // Computers and fluids. 2001. Vol. 30. P. 581-590.
15. Саркисов П. Д., Бутусов О. Б, Мешалкин В. П. Реконструкция аттрактора турбулентной структуры модельных газовых потоков в технологических трубопроводах // Теоретические основы химической технологии. 2009. T. 43. № 5. С. 483-490.
16. Бутусов О. Б., Мешалкин В. П. Компьютерное моделирование нестационарных газовых потоков в сложных трубопроводах кругового сечения // Теоретические основы химической технологии. 2008. Т. 42. № 1. С. 88-99.
17. Бутусов О. Б., Мешалкин В. П. Компьютерный расчет интегральных показателей турбулентной структуры нестационарных газовых потоков в трубопроводах с использованием вейвлет-преобразований // Теоретические основы химической технологии. 2008. Т. 42. № 2. C. 170-175.
18. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультиф-ракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. — 128 с.
19. Павлов А. Н., Анищенко В. С. Мультифрактальный анализ сложных сигналов // Успехи физических наук. 2007. Т. 177. № 8. С. 859-876.
20. Саркисов П. Д., Бутусов О. Б, Мешалкин В. П., Севастьянов В. Г., ГалаевА. Б. Компьютерный метод анализа текстуры нанокомпозитов на основе расчета изолиний фрактальных размерностей // Тео-
ретические основы химической технологии. 2010. Т. 44. № 6. С. 620-625.
21. Саркисов П. Д., Бутусов О. Б, Мешалкин В. П. Компьютерные инструментальные средства молекулярной инженерии и вейвлетно-морфометрический анализ текстуры наноматериалов // Теоретические основы химической технологии. 2011. Т. 45. № 1. С. 3-14.
22. Саркисов П. Д., Бутусов О. Б., Мешалкин В. П. Декомпозиционный вейвлетно-морфометрический алгоритм анализа микрофотоизображений текстуры твердофазных наноматериалов // Доклады Академии наук. 2010. Т. 434. № 5. С. 651-655.
23. Галаев А. Б., Бутусов О. Б, Мешалкин В. П., Орлова О. А., Севастьянов В. Г. Логико-статистический алгоритм идентификации сквозных пор и его применение для анализа структуры наноматериала // Прикладная информатика. 2013. № 2 (44). С. 42-48.
24. Бутусов О. Б., Мешалкин В. П. Текстурные и фрактальные методы анализа характеристик нестационарных газовых потоков в трубопроводах // Теоретические основы химической технологии. 2006. T. 40. № 3. C. 313-327.
25. Lopes R., Bhouri I., Maouche S., Dubois P., Bedoui M. H., Betrouni N. Multidimensional models for methodological validation in multifractal analysis // Mathematical modeling of natural phenomena. 2008. Vol. 3. No. 6. P. 33-47.
26. Brandenburg A.,ProcacciaI., SegelD., Vincent A. Fractal level sets and multifractal fields in direct simulation of turbulence // Physical review A. 1992. Vol. 46. No. 8. P. 4819-4828.
27. Moisy F., Jimenez J. Geometry and clustering of intense structures in isotropic turbulence // Journal of fluid mechanics. 2004. Vol. 513. P. 111-133.
28. Farge M., Kevlahan N., Perrier V., GoirandE. Wavelets and turbulence // Proceedings of IEEE. 1996. Vol. 84. No. 4. P. 639-668.
29. Ihlen E. A. F. Introduction to multifractal detrended fluctuation analysis in Matlab // Frontiers of physiology. 2012. Vol. 3. — 19 p. Available at: http://www.ncbi. nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3366552/
30. Чумак О. В. Энтропии и фракталы в анализе данных. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. — 164 с.
References
1. Mirkin A. Z., Usin'sh V. V. Truboprovodnye sistemy. Spravochnik [Pipeline systems. Hand-book]. Moscow, Himija, 1991. 236 p.
2. Butusov O. B., Kantjukov R. A., Me-shalkin V. P. Komp'juternoe modelirovanie polej temperatury i davlenija nestacionarnyh turbulentnyh
gazovyh techenij v tehnologicheskih truboprovodah [Computer modeling of temperature fields and pressure of unsteady turbulent gas flows in technological pipelines]. Himicheskaja promyshlennost', 1998, no. 7, pp. 433-438.
3. Kutepov A. M., Kantjukov R. A., Artamonov N. A., Butusov O. B., Meshalkin V. P. Primenenie vihrevogo apparata dlja intensifikacii processa regeneracii na-syshhennogo rastvora absorbent [The use of a vortex apparatus for intensifying the process of regeneration of the adsorbent saturated solution]. Himicheskaja Promyshlennost', 1998, no. 8, pp. 461-467.
4. Kantjukov R. A., Butusov O. B., Dovi V. G., Meshalkin V. P. Komp'juternoe modelirovanie techenija szhimaemyh gazov cherez slozhnye tehnologicheskie truboprovody [Computer simulation of the flow of compressible gases through complex technological pipelines]. Himicheskaja Promyshlennost', 1998, no. 12, pp. 784-790.
5. KafarovV. V., Meshalkin V. P. Proektirovanie i raschet optimal'nyh sistem tehnologicheskih truboprovodov [Design and calculation of optimal systems of technological pipelines]. Moscow, Himija Publ., 1991. 368 p.
6. Meshalkin V. P. Jekspertnye sistemy v himicheskoj tehnologii [Expert systems in chemical technology]. Moscow, Himija Publ., 1995. 368 p.
7. Brujaka V. A. Inzhenernyj analiz v Ansys Workbench: ucheb. posobie [Engineering analysis in Ansys Workbench]. Samara, Samar. gos. tehn. un-t, 2010. 271 p.
8. Pryor R. W. Multiphysics modeling using COMSOL: A First Principles Approach. United States, Massachusetts: Jones & Bartlett Publishers, Inc., 2011. 872 p.
9. Harlou F. H. Chislennyj metod chastic v jachejkah dlja zadach gidrodinamiki [Numerical method of particles in cells for hydrodynamics]. Vychislitel'nye Metody v Gidrodinamike. Moscow, Mir Publ., 1967, pp. 316-342.
10. Grigor'ev Ju. N., Vshivkov V. A., Fedoruk M. P. Chislen-noe modelirovanie metodami chastic-v-jachejkah [Numerical simulation methods of particle-in-cell]. Novosibirsk, Izdatel 'stvo SO RAN, 2004. 360 p.
11. Butusov O. B., Meshalkin V. P. Komp'juternoe modelirovanie nestacionarnyh potokov v slozhnyh truboprovodah [Computer modeling of unsteady flow in complex pipe systems]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2005. 550 p.
12. Butusov O. B., Kantjukov R. A., Meshalkin V. P. Komp 'juternyj analiz gidrodinamiki nestacionarnyh potokov v gazotransportnyh sistemah [Computer analysis of unsteady hydrodynamic flow in the gas transportation system]. Saint Petersburg, Nedra Publ., 2014. 296 p.
13. Butusov O. B., Gimranov R. K., Kantjukov R. A., Meshalkin V. P., Popov A. G., Ryzhenkov I. V. Komplek-
snyj fraktal'no-teksturnyj analiz turbulentnoj struktury gazovyh potokov v konfuzorah slozhnyh truboprovodov [Complex fractal texture analysis of the turbulent structure of the gas flows in convergent tubes of complex pipelines]. Izvestija VUZov: Himija i Himicheskaja Tehnologija, 2015, vol. 58, no. 4, pp. 78-84.
14. Wagner C., Friedrich R. Low-Reynolds-Number effects derived from direct numerical simulation of turbulent pipe flow. Computers and fluids, 2001, vol. 30, pp. 581-590.
15. Sarkisov P. D., Butusov O. B., Meshalkin V. P. Rekon-strukcija attraktora turbulentnoj struktury model'nyh gazovyh potokov v tehnologicheskih truboprovodah [Reconstruction of the turbulent structure of the attrac-tor modeling in gas flows in technological pipelines]. Teoreticheskie Osnovy Himicheskoj Tehnologii, 2009. vol. 43, no. 5, pp. 483-490.
16. Butusov O. B., Meshalkin V. P. Komp'juternoe modelirovanie nestacionarnyh gazovyh potokov v slozhnyh truboprovodah krugovogo sechenija [Computer modeling of unsteady gas flows in complex pipes of circular cross section]. Teoreticheskie Osnovy Himicheskoj Tehnologii», 2008, vol. 42, no. 1, pp. 88-99.
17. Butusov O. B., Meshalkin V. P. Komp'juternyj raschet integral'nyh pokazatelej turbulentnoj struktury nestacionarnyh gazovyh potokov v truboprovodah s ispol'zovaniem vejvlet-preobrazovanij [Computer calculation of integral indicators of turbulent structure of unsteady gas flows in pipelines using wavelet transforms]. Teoreticheskie Osnovy Himicheskoj Tehnologii, 2008, vol. 42, no. 2, pp. 170-175.
18. Bozhokin S. V., Parshin D. A. Fraktaly i mul'tifraktaly [Fractals and multyfractals] Izhevsk: NIC «Reguljar-naja i haoticheskaja dinamika». 2001. 128 p.
19. Pavlov A. N., Anishhenko V. S. Mul'tifraktal'nyj analiz slozhnyh signalov [Multifractal analysis of complex signals]. Uspehi Fizicheskih Nauk, 2007, vol. 177, no. 8, pp. 859-876.
20. Sarkisov P. D., Butusov O. B., Meshalkin V. P., Sevast'janov V. G., Galaev A. B. Komp'juternyj metod analiza tekstury nanokompozitov na osnove rascheta izolinijfraktal'nyh razmernostej [Computer method for analyzing the texture of nanocomposites based on the calculation of contour lines of fractal dimensions]. Teoreticheskie Osnovy Himicheskoj Tehnologii, 2010, vol. 44, no. 6, pp. 620-625.
21. Sarkisov P. D., Butusov O. B., Meshalkin V. P. Komp'juternye instrumental'nye sredstva molekul-jarnoj inzhenerii i vejvletno-morfometricheskij analiz tekstury nanomaterialov [Computer tools for molecular engineering and wavelet-texture morphometric analysis of nanomaterials]. Teoreticheskie Osnovy Himicheskoj Tehnologii, 2011, vol. 45, no. pp. 1, 3-14.
22. Sarkisov P. D., Butusov O. B., Meshalkin V. P. Dekom-pozicionnyj vejvletno-morfometricheskij algoritm analiza mikrofotoizobrazhenij tekstury tverdofaznyh nanomaterialov [Decomposing Wavelet-morphometric algorithm for analysis of mikrophotography texture of solid phase nanomaterials]. Doklady Akademii Nauk, 2010, vol. 434, no. 5, pp. 651-655.
23. Galaev A. B., Butusov O. B., Meshalkin V. P., Or-lova O. A. Sevast'janov V. G. Logiko-statisticheskij algoritm identifikacii skvoznyh por i ego primen-enie dlja analiza struktury nanomateriala [Logical and Statistical algorithm of through pores identification and its application to the analysis of the nanomaterial structure]. Prikladnaja Informatika — Journal of Applied Informatics, 2013, no. 2 (44), pp. 42-48.
24. Butusov O. B., Meshalkin V. P. Teksturnye i fraktal'nye metody analiza harakteristik nestacionarnyh gazovyh potokov v truboprovodah [Textural and fractal methods of analysis of characteristics of steady gas flows in pipes]. Teoreticheskie OsnovyHimicheskoj Tehnologii, 2006, vol. 40, no. 3, pp. 313-327.
25. Lopes R., Bhouri I., Maouche S., Dubois P., Bedoui M. H., Betrouni N. Multidimensional models for methodological validation in multifractal analysis. Mathematical Modeling of Natural Phenomena, 2008, vol. 3, no. 6, pp. 33-47.
26. Brandenburg A., Procaccia I., Segel D., Vincent A. Fractal level sets and multifractal fields in direct simulation of turbulence. Physical review A, 1992, vol. 46, no. 8, pp. 4819-4828.
27. Moisy F., Jimenez J. Geometry and clustering of intense structures in isotropic turbulence. Journal of Fluid Mechanics, 2004, vol. 513, pp. 111-133.
28. Farge M., Kevlahan N., Perrier V., Goirand E. Wavelets and turbulence. Proceedings of IEEE, 1996, vol. 84, no. 4, pp. 639-668.
29. Ihlen E. A. F. Introduction to multifractal detrended fluctuation analysis in Matlab. Frontiers of physiology, 2012, vol. 3. 19 p. (Online publication. http://www. ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3366552/).
30. Chumak O. V. Jentropii i fraktaly v analize dannyh [Entropy and fractals in data analysis] Izhevsk, NIC «Reguljarnaja i haoticheskaja dinamika», 2011. 164 p.
R. Kantjukov, Dmitry Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, Moscow, Russia, clogist@muctr.edu.ru
Algorithms of multifractal image analysis of turbulent gas flows in pipelines
Method and algorithm had been developed for analysis of amplitude-frequency characteristics of turbulent compressible gas flows using the multifractal spectra. In multifractal analysis we used images of hydrodynamic characteristics of gas flows that had been calculated by computer modeling. In this case the «particles in cells» model had been used. The resulting images of hydrodynamic characteristics were used to calculate Holder exponent. As a result of Holder exponent calculation we have got so called a-images. These a-images were used further to calculate multifractal spectra. The calculations were made for gas flows in the convergent tube. The multifractal spectra were used to calculate generalized fractal dimensions, namely: fractal dimension, information dimension and correlation dimension. It had been demonstrated that parabolic approximation of multifractal spectra is sufficient to describe frequency characteristics of turbulent gas flows in the convergent tube. It had also been proposed to use the correlation dimension as one of the frequency estimation criteria for turbulent compressible gas flows in pipes.
Keywords: complex pipe lines, turbulent compressible gas flows, convergent tubes, simulation method «particles in cells», multifractal spectra, fractal dimension, information dimension, correlation dimension.
About authors:
R. Kantjukov, PhD in Technique, Associate Professor For citation:
Kantjukov R. Algorithms of multifractal image analysis of turbulent gas flows in pipelines. Prikladnaya Informatika — Journal of Applied Informatics, 2016, vol. 11, no. 4 (64), pp. 42 - 56 (in Russian).
