Анализ применимости гидродинамических моделей течений газовых потоков в сложных трубопроводах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 577.4:551.510.42:574.9:550.3

Р. А. Кантюков, Р. К. Гимранов, И. В. Рыженков, А. М. Кочнев

АНАЛИЗ ПРИМЕНИМОСТИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕЧЕНИЙ ГАЗОВЫХ ПОТОКОВ В СЛОЖНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ

Ключевые слова: нестационарные газовые течения, трубопроводы, моделирование.

Проведено сравнительное исследование одномерных и двухмерных гидродинамических моделей газовых течений в трубопроводах. Показано, что для адекватного прогнозирования вибраций трубопровода необходимо учитывать в двухмерных и трехмерных моделях дополнительные поперечные координаты, которые позволяют анализировать как поперечные пульсации газового потока, так и его вращение при прохождении узлов сложного трубопровода.

Keywords: nonsteady flows, gas pipelines, modeling.

One dimensional and two dimensional hydrodynamic models of gas flow in pipeline had been considered and compared. The results show that to achieve forecasting ability of modeling one should take into account additional cross coordinates which allow more deep analysis of pulsation and rotation processes in gas flow.

Введение

Для моделирования газовых течений в трубопроводах используются одномерные, двухмерные и трехмерные модели. Двухмерные и трехмерные модели используются для моделирования газовых течений в трубопроводах значительно реже. Это обусловлено в основном следующими двумя причинами: во-первых сложностью двухмерных и трехмерных моделей гидродинамики и во-вторых тем, что большинство инженерных расчетов могут быть выполнены в одномерном приближении. Однако, задача моделирования пульсаций газового потока и, как следствие вибраций трубопровода, может быть успешно решена только при анализе поперечных движений потока, для чего необходимо использовать двухмерное или трехмерное моделирование.

Математические модели газо-жидкостных течений в сложных трубопроводах (СТ) можно классифицировать, как по степени детализации описания гидродинамических и физико-химических процессов, происходящих внутри СТ, так и по физико-химическому составу транспортируемых сред. Наименьшей детализацией обладают одномерные модели, далее следуют двухмерные и, наконец, максимальная степень детализации имеет место в трехмерных моделях. В работах сотрудников научной школы чл.- корр. РАН Мешалкина В.П. [1-10] для моделирования нестационарных газовых потоков (НГП) использованы двухмерные модели.

Следует подчеркнуть, что для трубопроводов, геометрия которых имеет выраженную одномерную структуру, наиболее естественно применение одномерных моделей. Этот класс моделей используется для прогнозирования течений в сложных системах разветвленных трубопроводов [Ошибка! Источник ссылки не найден. 1-13]. Дальнейшаяя классификация моделей связана с характером технологических сред внутри СТ: однокомпонентные или многокомпонентные среды, однофазные, двухфазные или трехфазные, инернтые или агрессивные, ньютоновские или неньютоновские и др. Одной из первых математических моделей, разработанных

для расчета одномерных двухфазных течений, является модель Г.Уоллиса [14]. Более сложные модели этого класса описаны в монографиях А.М.Кутепова [15] и Д.Чисхолма [16]. Одномерная математическая модель для моделирования волновой динамики газо-и парожидкостных сред описана в монографии В.Е.Накорякова [17]. Модель В.Е.Накорякова моделирует волновые процессы в СТ с учетом динамики газовых и паровых пузырьков, а также волновой динамики на границе раздела двух сред. Следует подчеркнуть, что одномерные модели не способны учитывать ряд существенных особенностей гидродинамических течений, обусловленных поперечной геометрией СТ. Эти важные отличительные особенности, которые могут быть учтены только в рамках двухмерного и трехмерного моделирования, детально проанализированы в монографии И.Е.Идельчика [18] и характеризуют следующие гидродинамические процессы: пульсирующий отрыв потока, струйное течение, обратная циркуляция, поперечная неоднородность потока и др.

Теоретическая часть

Рассмотрим отличительные особенности одномерных моделей газожидкостных течений в СТ. Модели этого класса получили наибольшее распространение, в особенности для инженерных расчетов. Простейшая гидродинамическая модель СТ может быть получена в приближении несжимаемых одномерных течений. При этом часто используют метод обобщенных координат Лагранжа [19]. Для одномерного потока несжимаемой жидкости течение может быть представлено в виде плоских элементов постояного объема, скорость которых V определяется расходом Q и площадью поперечного сечения технологического трубопровода 5":

VУ, х) = ) / 5(х), где х - криволинейная координата вдоль оси СТ. При этом все осредненные характеристики потока относятся не к отдельным частицам среды, а к элементарным объемам движущимся внутри СТ. Положение каждого такого объема определяется однозначно обобщенными координатами системы, а движение всей системы элемен-

тарных объемов может быть описано с помощью одного уравнения Лагранжа второго рода:

й й(

( дТ Л

дрх

= е

х

ддх

(1)

где Т - суммарная кинетическая энергия системы, дх, рх - обобщенная координата и импульс системы, Qx -обобщенная сила, действующая на систему вдоль обобщенной криволинейной координаты.

Недостатки такого подхода очевидны. Модель не учитывает как трансформацию элементарных газожидкостных объемов, так и физико-химические и теп-лофизические характеристики среды.

В инженерных расчетах разветвленных систем одномерных сложных трубопроводов часто используют метод гидравлических сопротивлений [11,15,18]. Согласно этому методу суммарная потеря давления в СТ определяется по следующей формуле:

ар=2 на

(2)

где С - коэффициенты местного гидравлического сопротивления узлов трубопровода, р! , ui - плотность и скорость среды в 1-м узле сложного СТ.

Конкретные формулы для расчета местных гидравлических сопротивлений можно найти в специальных справочниках [11,18]. При этом следует учитывать, что эти формулы справедливы только для стационарных установившихся течений. Для получения конкретного вида формул используется следующее соотношение:

С = -

Р1 +ах

ри 1

-Рг-а

ри 2

(3)

ри 1 2

где Р, р и и - давление, плотность и скорость среды, индексы - 1 и 2 описывают параметры потока соответственно во входном и выходном сечениях узла трубопровода, а! и а2 - эмпирические коэффициенты.

С помощью соотношения (3) были получены формулы для расчета местных гидравлических сопротивлений многих узлов СТ. Рассмотрим некоторые из этих формул, применяемые для расчета гидравлических сопротивлений узлов СТ.

Внезапное сужение СТ с большего диаметра Б на меньший диаметр ±

0,5[1 - £?]3'4 <^4, 1 V V

С =

Ре> 104

-

7

1=0 3

10 <Ре< 104

(4)

в=де

/=0 у=0

где а и йу - коэффициенты аппроксимирующих полиномов, которые получают аппроксимацией экспериментальных данных по методике, описанной в [20].

Следующей по сложности математической моделью СТ, которая имеет гораздо большее научно практическое значение, является модель нестацио-

нарной гидродинамики в приближении одномерного идеального сжимаемого газа [21]. В идеальном газе на соприкасающиеся площадки движущихся друг относительно друга объемов газа действуют лишь перпендикулярные к этим площадкам силы давления. При этом полностью отсутствуют лежащие в плоскости площадок касательные силы трения. Таким образом сила давления в идеальной жидкости, действующая на единичную площадку имеет следующий вид:

Е = -Рп

(5)

где Р - газокинетическое давление, п - единичный вектор внешней нормали к поверхности. Уравнения газовой динамики являются уравнениями баланса массы, импульса и энергии. Примем приближение идеального газа, а также предположение о том, что в процессе движения газового потока внутри СТ существенную роль может играть перенос тепла, обусловленный механизмом нелинейной теплопроводности. В рамках этих допущений уравнения газовой динамики, т.е уравнения баланса массы, импульса и энергии газового потока примут следующий вид [21]:

— = - СНУ р, д/

Р = -V ррм у- дгас1 Р,

д

— ре+-р2 )= -сНV ре+-^2 )+РЫ + \Л/ ) ,

(6)

д , 1 — ре + — д/ 2' 2

где р - плотность, V - скорость, Р - давление, е -

удельная внутренняя энерги, W - вектор потока

тепла.

Дифференциальные уравнения (6) называются уравнениями газовой динамики в форме Эйлера. Фактически модель Эйлера описывает движение газового потока относительно неподвижной системы координат.

Для одномерных газовых потоков более удобной является система уравнений в форме Ла-гранжа, которая описывает динамику газового потока относительно связанной с этим потоком подвижной системы координат. Формальное преобразование уравнений из формы Эйлера в форму Лагранжа осуществляется путем введения так называемой субстанциональной или лагранжевой производной, которая имеет следующий вид:

= + ^ (7)

Л

В результате система дифференциальных уравнений (6) преобразовывается с помощью (7) к следующему виду:

йр йГ й\

= -р V,

1

(8)

=--graй Р,

й р

е

а

р 1 :--сНУ V—d¡vW

р

р

В одномерном приближении система уравнений (8) принимает еще более простой вид:

2

dр ды — = ~Р —, dt дх

dы дР

Р— =--,

dt дх

(9)

de

Р ды 1 дЖ

dt р дх р дх где х - координата вдоль оси трубопровода, ы и Ж -горизонтальные компоненты скорости потока и потока тепла.

Система дифференциальных уравнений (9) не является замкнутой и должна быть дополнена уравнением, выражающим связь между термодинамическими величинами, т.е. уравнением термодинамического состояния. Из законов термодинамики известно, что для равновесных процессов имеются только две независимые величины. Это могут быть плотность и температура, температура и давление и др. Выберем в качестве независимых переменных давление и плотность. Тогда удельная внутренняя энергия будет выражаться через эти переменные следующим образом:

1 Р

е =

У —1 Р

(10)

где у - отношение удельных теплоемкостей (показатель адиабаты).

Горизонтальная компонента потока тепла будет связана с этими переменными следующим образом:

Ж = —к

дТ дх

к де Су дх

к

д I Р

С р — Су дх \р

(11)

где к - коэффициент теплопроводности, Ср, Су - теплоемкости соответственно при постоянном давлении и объеме.

Часто при моделировании одномерных газовых потоков в СТ принимается адиабатическое приближение, при котором пренебрегают теплообменом с окружающей средой (надежная теплоизоляция СТ). В этом приближении последнее уравнение системы уравнений (9) сводится к следующему закону сохранения:

dt

I р ^

Р

= о

(12)

Результирующая система дифференциальных уравнений одномерного газового потока в СТ в адиабатическом приближении имеет следующий вид:

dр

ды

= —Р —, dt дх

dы дР

Р— =--■

dt дх

(13)

а_ dt

I Р ^

Р

= 0.

Численное решение системы уравнений (13) осуществляется следующим образом. Каждый узел расчетной сетки, который представляет границу между соседними ячейками, строиться таким образом, чтобы он двигался с локальной скоростью среды:

х] = х]-1 + ып

где п - нумерует шаги по времени,} - нумерует узлы расчетной сетки, 8 - переменная интегрирования.

При этом расстояние между узлами сетки будет изменяться:

А ] = х!+1 х!

(15)

Поскольку границы ячеек движутся со скоростью среды перетока массы между ячейками не происходит. Таким образом, масса вещества внутри каждой ячейки сохраняется в течение всего расчетного времени. Это условие может быть представлено следующим уравнением:

(ра) = о

(16)

Результирующая система конечно разностных уравнений одномерной модели газового потока в СТ, необходимых для численного компьютерного моделирования имеет следующий вид:

хп = хп - + ып

Р! = Р

хп—1 — п—1 1—1 х!+1 х! ' хп — хп !+1 х]

(17)

РП = !

( / Рп—

/ п—1

п+1/2 п—1/2 ы! = ы]

2At (Р] —Р]—1)

Р +Р]—1) (х] — х]—1)

Движущуюся сетку Лагранжа можно представить как последовательность частиц-маркеров, совпадающих с узлами сетки. При этом расположение узлов сетки иллюстрирует гидродинамические явления в СТ. Колебательные процессы и звуковые волны будут выглядеть на сетке в виде последовательных сгущений и разряжений узлов. Кроме того движение узлов приводит к тому, что в некоторых критических областях, таких как фронт ударной волны, будут происходить сгущения узлов, в результате чего точность расчета в этих областях будет увеличиваться.

Выводы

Более детальное описание гидродинамических процессов в СТ достигается с помощью двухмерных и трехмерных моделей. Эти модели позволяют проводить детальный анализ газовых течений в узлах сложного технологического трубопровода. Важное значение в свете прогнозирования вибраций СТ имеет введение в двухмерных и трехмерных моделях дополнительных поперечных координат, которые позволяют анализировать как поперечные пульсации газового потока, так и его вращение при прохождении узлов сложного СТ.

Литература

1. Бутусов О.Б., Кантюков Р.А., Мешалкин В.П. Компьютерное моделирование полей температуры и давления нестационарных турбулентных газовых течений в технологических трубопроводах // Химическая промышленность. - 1998. - N7. - с. 433-438.

2. Кантюков Р.А., Бутусов О.Б., Дови В.Г., Мешалкин В.П. Компьютерное моделирование течения сжимаемых

газов через сложные технологические трубопроводы // Химическая промышленность. - 1998. - N 12. - с.784-790.

3. Бутусов О.Б., Мешалкин В.П. Компьютерное моделирование нестационарных потоков в сложных трубопроводах. - М.: Издательство Физматлит, - 2005. - 550с.

4. Бутусов О.Б., Мешалкин В.П. Текстурные и фрактальные методы анализа характеристик нестационарных газовых потоков в трубопроводах // Теоретические основы химической технологии. - 2006. - т.40. - N3. - с.313-327.

5. Бутусов О.Б., Мешалкин В.П. Компьютерное моделирование нестационарных газовых потоков в сложных трубопроводах кругового сечения // Теоретические основы химической технологии. - 2008. - т.42. - №1. -С.88-99.

6. Бутусов О.Б., Мешалкин В.П. Компьютерный расчет интегральных показателей турбулентной структуры нестационарных газовых потоков в трубопроводах с использованием вейвлет-преобразований // Теоретические основы химической технологии. - 2008. - т.42. - №2. -С.170-175.

7. Саркисов П.Д., Бутусов О.Б., Мешалкин В.П. Реконструкция аттрактора турбулентной структуры модельных газовых потоков в технологических трубопроводах // Теоретические основы химической технологии. - 2009. - т.43. - N5. - с.483 - 490.

8. Булкатов А.Н., Бутусов О.Б., Мешалкин В.П. Интегральные индексы как обобщенные показатели математического моделирования нестационарных гидродинамических процессов в аппаратах химической технологии // Известия вузов. Химическая технология. - 2002. -N1. - с.111-117.

9. Мешалкин В.П., Булкатов А.Н., Бутусов О.Б. Алгоритм оптимальной аппроксимации траекторий частиц при фрактальном анализе течений в аппаратах химической

технологии // Известия вузов. Химическая технология. -2002. - N1. - с.121-124.

10. Бутусов О.Б., Мешалкин В.П., Сельский Б.Е., Смотрич С.А. Применение траекторной статистической модели "Трек" для анализа распространения газовых выбросов химических и нефтехимических предприятий с учетом теплового подъема газового шлейфа // Химическая промышленность. - 1997. - N 2. - с.122-129.

11. КафаровВ.В., Мешалкин В.П. Проектирование и расчет оптимальных систем технологических трубопроводов. - М.: Химия, 1991. - 368с.

12. Миркин А.З., Усиньш В.В. Трубопроводные системы. Справочник. - М.:Химия, 1991. - 236с.

13. Справочник по проектированию магистральных трубопроводов / Под ред. А.К.Дерцакяна. - М.: Недра,1977. - 519с.

14. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. - М.: Мир, 1972. - 440с.

15. Кутепов А.М., Полянин А.Д., Запрянов З.Д., Вязьмин А.В., Казенин Д. А. Химическая гидродинамика. Справочное пособие. - М.:Бюро Квантум,1996. - 336с.

16. Чисхолм Д. Двухфазные течения в трубопроводах и теплообменниках. - М.: Недра,1986. - 204с.

17. Накоряков В.Е., Покусаев Б.Г., Шрейбер И.Р. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. -М.: Энер-гоатомиздат, 1990. - 248с.

18. Идельчик И.Е. Аэрогидродинамика технологических аппаратов. - М.: Машиностроение,1983. - 351с.

19. Логов И. Л. Метод расчета одномерных гидромеханических систем //Химическое и нефтегазовое машиностроение. - 1998. - N7. - с.15-19.

20. Идельчик И.Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. - М.:Машиностроение,1975. - 560с.

21. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. -М.:Наука,1973. - 848с.

© Р. А. Кантюков, к.т.н., генеральный директор ООО «Газпром трансгаз Казань», [email protected]; Р. К. Гимранов, гл. инж., ООО «Газпром трансгаз Казань», [email protected]; И. В. Рыженков, зам. ген.о директора по ремонту и капитальному строительству, ООО «Газпром трансгаз Казань», [email protected]; А. М. Кочнев, д.п.н., профессор, зав. каф. Технологии синтетического каучука КНИТУ, [email protected].

© R. A. Kantyukov, Ph.d in Engineering Science, Main chief, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», [email protected]; R. K. Gimranov, Main Engineer, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», Gimran @tattg.gazprom.ru; I. V. Ryjenkov, Main chief assistant of Repair and capital construction, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», [email protected]; A М. ^chnev, Professor Department of technology of synthetic rubber, KNRTU, [email protected].