Комплексная оценка в задачах управления программами Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 378.1:694.8

КОМПЛЕКСНАЯ ОЦЕНКА В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ПРОГРАММАМИ

И.В. Буркова, Е.А. Власова, И.Ф. Набиуллин, Б.К. Уандыков

Рассматривается задача оптимизации программы по стоимости при ограничении на значения комплексных оценок, отражающих интересы различных органов. Для решения задачи предложен метод сетевого программирования. Сформулирована двойственная задача и доказана ее выпуклость

Ключевые слова: стоимость компании, управление холдингом, инвестиционный процесс, эффективность инвестиций, финансовый кризис, факторный анализ, стоимость капитала

Введение

Задача формирования пакета проектов составляют, пожалуй наиболее популярный класс прикладных задач дискретной оптимизации [1,2] при их постановке, как правило, учитываются три основных параметра: затраты на проект, эффект (доход) от проекта и риск или надежность (вероятность успешной реализации проекта). К простейшим задачам выбора проектов относится так называемая задача о ранце [1] . В этой задаче либо риск не учитывается либо вводится дополнительное ограничение на число проектов с высоким риском [1] . В статье рассматривается более сложный случай, когда под проектом понимается разработка, освоение и выпуск нового продукта, при этом, затраты и эффект зависят от величины выпуска этого продукта. Получается непрерывно-дискретный вариант задачи о ранце, когда необходимо определить не только множество разрабатываемых продуктов, но и объем выпуска каждого из них.

Постановка задачи

Имеются п инновационных проектов (новых продуктов). Обозначим yi объем финансирования 1-го продукта, если он принят к разработке.

Эффект (доход) от выпуска 1-го продукта определяется выражением

0.1 у ^ - 1 'I (1)

где - постоянные затраты на разработку и освоение N го продукта, р\ - рентабельность ьго продукта.

Заданы ограничения у-, < , г = 1,п, где

- максимальный объем финансирования 1-го продукта, определяемый возможностями производства и рыночным спросом.

Задана также величина инновационного фонда Я.

Буркова Ирина Владимировна - ИПУ РАН, канд. техн. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00

Власова Екатерина Анатольевна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Набиуллин Ильгиз Фнунович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 76-40-07

Уандыков Берик Кусманович - ИПУ РАН, канд. техн. наук, тел. (495) 334-79-00

Задача. Определить множество продуктов, принятых к освоению и объем финансирования каждого продукта, так чтобы суммарный доход был максимальным при ограничении на суммарную величину инновационного фонда.

Задача заключается в максимизации

С (у) = (2)

При ограничениях

5(у) (3)

С < Л < С; (4)

Метод решения (первый алгоритм)

Для решения задачи применим метод дихотомического программирования [2].

Сначала докажем простую теорему, позволяющую уменьшить объем вычислений.

Теорема 1. Существует оптимальное решение, такое что все принятые к разработке продукты (за возможным исключением одного продукта) финансируется в максимальном объеме.

Доказательство.

Пусть в оптимальном решении приняты к разработке продукты 1 и причем 0 < у, <С1н О < л < Су

Пусть р1 > р.. Увеличим финансирование продукта I на ^

Соответственно уменьшив на ^ финансирование продукта ]. В этом случае суммарный доход увеличится (если р^ > р) ) или не изменится (если д = р,- ) При этом, либо 35 будет равно Сс либо у-будет равно 0. Теорема доказана.

Следствие. В множестве принятых к разработке продуктов финансирование менее максимального может иметь продукт с минимальной рентабельностью.

Доказательство очевидно.

Примем, что продукты пронумерованы в очередности убывания рентабельностей. Отметим также, что при целочисленных = 1,ч к К

всегда существует целочисленное оптимальное решение.

Рассмотрим структуру дихотомического представления в виде ветки дерева, вершины которого расположены в порядке нумерации продуктов. В этом случае метод дихотомического программирования переходит в метод динамиче-

ского программирования. Обозначим Б(к;р)- максимальный эффект от первых к проектов при величине инвестиционного фонда Р. Уравнение Беллмана имеет вид

/"(£ + 1;р) = тая \Р0с;р — л): е£% ,

0£^5Р

Алгоритм иллюстрируем на примере.

Пример 1. Имеются 4 продукта, данные о которых приведены в табл. 1

______________________________________Таблица 1

1 1 2 3 4

щ 10 8 6 3

с, 15 12 10 7

3 2 1 0,5

Примем Я=24

1 шаг. Рассматриваем первые два продукта. Составим табл. 2

________________________________________Таблица 2

12; 8 23; 11 24; 14

11; 6

10; 4

9; 2 24; 17

0; 0 11; 3 12; 6 13; 9 14; 12 15; 15

В этой таблице первое число в каждой клетке соответствует объему финансирования, а второе эффекту. Рассматриваются только «разумные» варианты. Так, например, варианты финансирования в объеме не более постоянных затрат рассматривать не имеет смысла, так как при этом эффект равен 0. Исключены также внутренние клетки, так как в силу теоремы 1 соответствующие варианты не могут входить в оптимальное решение. Наконец, исключены клетки, в которых объем финансирования превышает К

Составим результирующую табл. 3, исключив доминируемые варианты.

Таблица 3

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Затра- ты 0 9 10 11 12 13 14 15 23 24 25 26 27

эф- фект 0 2 4 6 8 9 12 15 11 17 19 21 23

2 шаг. Рассматриваем первые три предприятия

Таблица 4

10;4 19; 6 20; 8 21; 10 22;12 23 ;13 24; 16 - - -

9; 3 21; 11 24;18

8; 2 20; 10 23; 17

7; 1 19; 9 22; 16

1,2 0; 0 9 ;2 10; 4 11; 6 12; 8 13; 9 14 ;12 15 ;15 23; 11 24 ;17

3 + + +

Плюсом внизу таблицы отмечены столбцы, в которых допускается финансирование третьего продукта менее максимальной величины. Пустыми оставлены клетки, варианты которых либо противоречат теореме 1, либо превышают имеющийся фонд Я.

Составляем итоговую таблицу, исключая доминирующие варианты.

№ варианта 1 2 3 4 5 6

Затраты Р 0 7 8 9 10 11

Эффект Б( З;Р) 0 1 2 3 4 6

№ варианта 9 10 а 12 13 11

Затраты Р 14 15 20 21 22

Эффект Б( З;Р) 12 15 9 10 и 16

3 шаг. Рассматриваем все четыре продукта (табл. 5).

Таблица 5

24: 1В'

23; 17

22; 16

+ 15; 15 19; 15,5 20; 16 21; 16,5 22; 17

14; 12

13; 9

+ 12; 8 16; 8,6 17; 9 18; 9,5 19; 10

11; 6

+ 10; 4 14; 4,5 15; 5 16; 5,5 17; 6

9; 3

8; 2

7; 1

+ 0; 0 4; 0,5 5; 1 6; 1,5 7; 2

В таблице находим клетку с максимальным вторым числом (эффектом). Это клетка (24; 18). Оптимальное решение определяем методом «обратного хода». А именно, клетке (24;18) табл. 4 соответствует клетка (9,3), то есть финансирование третьего продукта на уровне 9 единиц и клетка (15,15) из табл. 3. Этой клетке, в свою очередь, соответствует в таблице 2 максимальное финансирование первого продукта и нулевое финансирование второго. Окончательно, получаем оптимальное решение ^ = 15, =0,з^ = 9. у4 = 0. с суммар-

ным эффектом =18.

Метод решения (второй алгоритм).

Рассмотрим другой алгоритм решения задачи, так же использующий теорему 1. А именно, поскольку только один продукт может выпускаться с финансированием менее максимального, то рассмотрим п задач.

В 1-й задаче принимается, что продукт 1 может выпускаться с финансированием менее максимального. Исключая этот продукт, мы получаем классическую задачу о ранце. Для оставшихся продуктов, как известно, решение задачи о ранце дает одновременно и оптимальное решение для

всех меньших величин і. Обозначим Ф;(р) Ф^ ОО = тах^^р^д [ Фі (р): д піп (С^, Я - р)] максимальный эффект в I задаче в зависимости от финансирования Р. Максимальный эффект с учетом продукта определяется выражением

шіп (С,;й -р)]

ОїрїЯ

Сравнивая решения п задач, определяем оптимальное решение. Таким образом, необходимо решить п задач о ранце. Однако применение метода дихотомического программирования позволяет существенно уменьшить это число. Действительно, если например, решена задача о ранце для первых (п-1) продуктов, то для решения задачи без продукта (п-1) достаточно взять решение для первых (п-2) продуктов и решить еще только одну задачу, добавив продукт п.

Рассмотрим соответствующую структуру дихотомического представления для задач о ранце для случая п=5.

Поясним эту структуру. Сначала решаются задачи о ранце без продукта 5 и без продукта 1. Для получения решения задачи без продукта 4 решаем всего одну задачу для объединенного продукта (1, 2, 3) и продукта 5. Для получения решения для задачи без продукта 3 решаем также только одну задачу для объединенных продуктов (1,2) и (4,5).

Наконец, для получения решения задачи без продукта 2 решаем еще одну задачу для продукта 1 и объединенного продукта (3,4,5). Всего решается 3 (п-2) подзадач, вместо п (п-1) при их независимом решении.

Пример 2

Рассмотрим задачу с данными из примера 1. Поскольку п = 4, то необходимо решить 6 подзадач.

Первый шаг.

Решаем подзадачу для продуктов 1 и 2.

Таблица 6

12: 8 -

0;0 15; 15

Второй шаг.

Решаем подзадачу для продукта 3 и объединенного продукта (1,2).

________________________ Таблица 7

10; 4 22; 12 -

0; 0 12; 8 15; 15

Составляем таблицу, исключая доминируемые варианты.

______________________________________Таблица 8

№ варианта 1 2 3 4

Затраты P 0 10 12 15

Эффект F( З;Р) 0 4 8 15

Эффект от продукта 4 2 2 2 2

Третий шаг.

Решаем подзадачу для продуктов (3,4).

Таблица 9

7; 2 17; 6

0; 0 10:4

I

Четвертый шаг.

Решаем подзадачу для объединенного продукта (1,2) и продукта 4.

Таблица 10

7; 2 19; 10 22; 17

0;0 12; 8 15; 15

Составляем таблицу, включая дополнительный эффект от продукта 3.

Таблица 11

№ варианта 1 2 3 4

Затраты P 0 7 12 15

Эффект F( З;Р) 0 2 8 15

Дополнительный эффект 4 4 4 3

Суммарный эффект 4 6 12 18

Пятый шаг.

Решаем подзадачу для объединенного продукта (3,4) и продукта 2.

Таблица 12

12; 8 19; 10 2.2; 12 -

0;0 7; 2 10; 4 17; 6

Составляем таблицу, включая дополнительный эффект от продукта 1.

________________________________________Таблица 13

№ варианта 1 2 3 4 5 6

Затраты P 0 7 10 17 19 22

Эффект F( З;Р) 0 2 4 6 10 12

Дополнительный эффект 15 15 0 0 0 0

Суммарный эффект 15 17 4 6 10 12

Шестой шаг.

Решаем подзадачу для объединенного продукта (3,4) и продукта 1.

Таблица 14

15; 15 22; 17 - -

0;0 7; 2 10; 4 Г"" Ч 1

Составляем таблицу, включая дополнительный эффект от продукта 2.

_______________________________________Таблица 15

№ варианта 1 2 3 4 5

Затраты P 0 7 10 15 22

Эффект F( З;Р) 0 2 4 15 17

Дополнительный эффект 8 8 8 0 0

Суммарный эффект 8 10 12 15 17

Сравнивая все 4 задачи, определяем оптимальный вариант. Он состоит в финансировании

продукта 3 ниже максимального (шаг 4 алгоритма). Максимальный эффект равен 18.

Методом «обратного хода» определяем оптимальное решение У1 = 15. уч = 0. = 9, ул = 0,

что совпадает с результатом, полученным первым способом.

Заключение

Рассмотренные методы можно обобщить на случай возрастающих выпуклых функций эффекта, поскольку в этом случае остается справедливой теорема 1 и факт существования целочисленного оптимального решения (при целочислен-

ных (?г1 =1,-пиЕ). Что касается сравнения двух алгоритмов решения задачи, то это требует дальнейших исследований. Сравнение суммарного чис-

ла рассмотренных клеток во всех таблицах для примеров 1и 2 показывает, что второй способ гораздо эффективнее, но что будет при больших N сказать трудно

Литература

1. Андроникова Н.Г., Бурков В.Н., Леонтьев С.Н. Комплексное оценивание в задачах регионального управления. - М.: Научное издание ИПУ РАН, 2002.

2. Андроникова Н.Г., Баркалов С.А. Бурков В.Н., Котенко А.М. Модели и методы оптимизации региональных программ развития. - М.: Препринт ИПУ РАН, 2001.

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

COMPLEX ESTIMATION IN PROBLEMS OF MANAGEMENT OF PROGRAMS

I.V. Burkova, E.A. Vlasova, I.F. Nabiulin, B.K. Uandykov

The problem of optimization of the program in costs is considered at restriction on values of the complex estimations reflecting interests of various bodies. For the decision of a problem the method of network programming is offered. The dual problem is formulated and its camber is proved

Key words: cost of the company, management of holding, investment process, efficiency of investments, financial crisis, the factorial analysis, cost of the capital