Управление корпоративными бизнесами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378.1:694.8

УПРАВЛЕНИЕ КОРПОРАТИВНЫМИ БИЗНЕСАМИ В.Н. Бурков, С.В. Крюков, Н.Ф. Мирзебалаев, В.Г. Тельных

Рассмотрены различные варианты оптимизации выбора бизнесов строительного холдинга в зависимости от возможностей совмещения различных бизнесов на одном предприятии, ограничений на объемы выпускаемой продукции или услуг

Ключевые слова: бизнес, корпорация, управление

Объединение в корпорацию ряда предприятий приводит к появлению внутри корпорации бизнес-процессов описывающих технологическую связь различных предприятий корпорации. Это порождает дополнительные возможности по организации производства новых товаров и услуг, которые будем называть корпоративными бизнесами. При этом возникает многовариантность в выборе возможных видов бизнеса. Естественно, что принимаемое решение об организации соответствующего корпоративного бизнеса, основанного на технологической связи предприятий, входящих в корпорацию, должно осуществляться оптимальным путем.

Рассмотрим различные постановки задач оптимизации корпоративных бизнесов. Различные варианты бизнесов корпорации можно представить в виде ориентированного графа, вершины которого соответствуют предприятиям корпорации, а дуги отражают возможность организации бизнеса, включающего соответствующую пару предприятий (вертикальная интеграция), рис. 1. Организация каждого бизнеса требует определенных затрат для каждого предприятия, участвующего в этом бизнесе (приобретение и установка необходимого оборудования, реконструкция помещений, подготовка кадров и т.д.)

Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, Москва, д-р техн. наук, профессор, (495) 334-79-00 Крюков Сергей Владимирович - ИПУ РАН, Москва, канд. техн. наук, (495) 349-95-49

Мирзебалаев Назим Фейрудинович - ВГАСУ, аспирант, (4732)76-40-07

Тельных Виталий Геннадьевич - ВГАСУ, аспирант, (4732)76-40-07

Возможны различные варианты оптимизации выбора бизнесов строительного холдинга в зависимости от возможностей совмещения различных бизнесов на одном предприятии, ограничений на объемы выпускаемой продукции или услуг и т. д.

Пусть различные бизнесы несовместимы, то есть каждое предприятие может участвовать не более чем в одном новом бизнесе (или в развитии имеющегося бизнеса).

Обозначим через в множество различных бизнесов корпорации. Так для примера, рис. 1, если рассматривать бизнесы, включающие по 3 предприятия (вертикально-интегрированные

цепочки), то мы получим 4 возможных бизнеса. Первому соответствует путь g1 = (1, 4, 6), второму -^2 = (2, 4, 6), третьему - g3 = (2, 5, 7), четвертому -g4 = (3, 5, 7). Определим симметрический граф Н, вершины которого соответствуют бизнесам. Две вершины соединим ребром в том, и только в том случае, если в соответствующих бизнесах участвует хотя бы одно общее предприятие. Соответствующий граф для бизнесов рис. 1.

приведен на рис. 2.

Рис. 2. Граф Н, вершины которого соответствуют бизнесам

Обозначим через а! - эффект от бизнеса і (существует достаточное число различных

методик, определения эффекта от бизнеса), Ьі -затраты корпоративных финансовых ресурсов на развитие соответствующего бизнеса. Примем, что корпоративный фонд развития равен Я. Задача заключается в определении набора бизнесов, таких что каждое предприятие участвует в не более чем одном бизнесе, обеспечивающего максимальный эффект для корпорации при ограниченном фонде развития Я [3].

В формальной постановке задача заключается в определении независимого множества 0 вершин графа, рис. 2, такого что

А(б)=Е а (1)

/Еб

максимальна при ограничении

Е Ь, < я. (2)

Е

Если бы каждое предприятие могло

участвовать в нескольких бизнесах, то мы

получили бы классическую задачу о ранце. В нашем случае имеем задачу о ранце с условиями несовместимости ряда предметов. Решение задачи становится более сложным [1].

В более общем случае возможны различные ограничения на число возможных бизнесов для каждого предприятия. В этом случае более удобной для исследования задачи и разработки методов решения является другая графовая модель.

Определим двудольный граф в (X, У). Вершины 1 е X соответствуют предприятиям корпорации, а вершины 1 е У - различным бизнесам. Вершину 1 е X соединим дугой (1,]) с вершиной ] е У в том и только том случае, когда предприятие 1 участвует в бизнесе ]. Обозначим Р] -множество предприятий, участвующих в бизнесе

01 - множество бизнесов, в которых может участвовать предприятие 1, т1 - максимальное число бизнесов, в которых может участвовать предприятие 1. Задача заключается в определении множества 0 бизнесов, так чтобы максимизировать

(1) при ограничении (2) и дополнительных ограничениях

|0 П 0^ < т„ 1 = 1,П (3)

(|Х| означает число элементов множества Х).

Будем рассматривать различные структуры бизнесов корпорации. В первую очередь выделим две крайние структуры - полную и независимую.

Полной структурой бизнесов называется структура, такая, что в каждом бизнесе участвуют все предприятия корпорации. Такая структура представляется в виде полного двудольного графа (рис. 3.).

Независимой структурой бизнесов называется структура, в которой никакие два предприятия не имеют общих бизнесов. Такой структуре

соответствует двудольный граф, состоящий из п -компонент (п -число предприятий), причем каждая

компонента является прадеревом, корень которого соответствует предприятию, а висячие вершины -бизнесам этого предприятия (рис. 4.)

Рис. 4. Независимая структура бизнесов

Линейной структурой бизнесов называется структура, состоящая из (п-1) предприятий, каждый из которых имеет свой бизнес и одного предприятия, которое участвует в бизнесах каждого из (п-1) предприятий (рис. 5.)

Иерархической структурой бизнесов называют структуру, такую, что она может быть представлена в виде леса (лесом называется граф без циклов) вершины которого соответствуют предприятиям, причем каждая вершина содержит бизнесы всех вершин нижних уровней, и множества бизнесов независимых вершин, (вершин, не принадлежащих одному пути) не пересекаются.

На рис. 6. представлен двудольный граф «предприятия - бизнесы».

Рис. 6. Двудольный граф «предприятия - бизнесы»

Этой структуре можно поставить в соответствие лес, приведенный на рис. 7. Легко убедиться, что каждая вершина содержит бизнесы всех вершин нижних уровней, и любые две независимые вершины не имеют общих бизнесов.

Рис. 7. Иерархическая структура бизнесов

Заметим, что линейная структура бизнесов, а также независимая структура являются частными случаями иерархической структуры.

Опишем алгоритм определения, является ли структура бизнесов, заданная двудольным графом «предприятия-бизнесы», иерархической.

1 шаг. Выбираем вершину - предприятие і с максимальным числом бизнесов. Рассматриваем все вершины - бизнесы ] є 0^ Для каждой такой вершины определяем множество ^ «вершин-предприятий», имеющих соответствующий бизнес. Проверяем условие.

и и е = а. (10)

1єЄ кєК]

Если это условия выполняется, что исключаем вершину і и повторяем процедуру, (то есть снова берем вершину с максимальным числом бизнесов и т.д.). Если условия (10) не выполняется хотя бы для одной вершины, структура не является иерархической.

Применим алгоритм для двудольного графа (рис. 6.).

1 шаг. Берем вершину 5. Имеем:

05 = (1, 2, 6)

Яі = (1, 5), Я2 = (1,5), Яб = (5)

01 = (1, 2)

01 и 0=(1, 2, 6)=05.

Исключаем вершину 5.

2 шаг. Берем вершину 4. Имеем.

04 = (3, 4, 5)

Яэ = (2, 4), Я4 = (2,4), Яз = (3, 4)

02 = (3,4), 03 = (5)

02 и 03 и 04 = (3, 4, 5).

Исключаем вершину 4.

После исключения вершин 4 и 5 мы получили независимую структуру, которая является иерархической. Следовательно, и вся структура является иерархической.

Сначала рассмотрим алгоритм решения задачи при отсутствии ограничений на число допустимых бизнесов. Как уже отмечалось в этом случае, мы получаем классическую «задачу о ранце».

Дихотомическое представление задачи имеет структуру дерева [2].

Покажем, что оптимальной в смысле объема вычислений является структура, максимально близкая к симметричной.

Объем вычислений пропорционален суммарному числу клеток матриц дихотомического

представления. На рис. 8 приведено

дихотомического представление для случая п=4 и двух крайних структур. Структура рис. 8а. является ветвью дерева (она максимально ассиметрична), что соответствует методу динамическое программирования Беллмана [1]. Максимальное число клеток (элементов) каждой матрицы равно произведению элементов нижележащих матриц (максимальное число элементов указано в скобках у вершин дерева).

Рис. 8. Дихотомическое представление для случая п=4

Для структуры рис. 8а имеем три матрицы (уь у2 и 7) с суммарным числом элементов.

4+8+16=28.

Для структуры рис. 8б также имеем три матрицы с суммарным числом элементов.

4+4+6=24<28.

Нетрудно вычислить суммарное число элементов для любого п.

Для структуры рис. 8а.

^(п) = N (п-1)+2п

Для структуры рис. 8б имеем: если п=2к, то М2(п) = 2^(к)+2п; если п=2к+1, то М2(п) = М2(к) + ^(к+1)+2п.

Таблица значений ^(п) и М2(п) для различных п приведена ниже в табл. 1.

Таблица 1

Значения N1(11) и Ы2(п)

а 4 5 6 7 в 9 10 11 12 13

N1 28 60 124 252 508 1020 2044 4092 8188 16380

N2 24 48 88 164 304 584 1120 2184 4272 8444

Легко видеть, что при больших п максимально симметричная структура примерно в два раза эффективнее Беллмановской структуры

[2].

Пример. Пусть п=6. Данные о бизнесах приведены в табл. 2.

Таблица 2

Данные о бизнесах к примеру

і 2 3 4 5 б

зц 15 12 6 4 3 2

7 б 4 3 2 1

Пусть фонд развития корпорации Я=9.

1 шаг. Решаем задачу оптимизации для первого и второго бизнесов. Для этого стоим матрицу (у1), первая строка которой соответствует вариантам для первого бизнеса (включать его в программу развития или не включать), а первый

столбец - соответствующим вариантам для второго бизнеса. В каждой клетке матрицы записаны два числа. Верхнее число равно эффекту от бизнеса, а нижнее - затратам на его развитие. В клетке на пересечении второй строки и второго столбца естественно записывается суммарный эффект от развития двух бизнесов и суммарные затраты на их развитие (клетка на пересечении первой строки и первого столбца соответствует ситуации, когда ни один бизнес не развивается).

40 ^ \ ^ \

Х2 / Хі 15 У 7

2 шаг. Решаем задачу для третьего и четвертого бизнесов.

3 шаг. Решаем задачу оптимизации для пятого и шестого бизнесов.

4 шаг. Решаем задачу для первых четырех бизнесов.

5 шаг. Решаем задачу для всех бизнесов.

5 X X з 9 X X 6 11X"'""' X 7 17х'"' X 9 20іХ /110 21 X Ъ

а/ X 2 7 X _х 5 9 X Xе 15 / а К 19у" X 11

2 X X 1 6 X X 4 а X / 5 14х" X 7 17Xх X 3 18Xх 10

Уз/ /її 4 X X з 6 X X 4 12х" X б К 16х" X 9

Оптимальное решение Атах = 18. Для

определения этого решения движемся с конца, начиная с матрицы (у5): определяем у5 = (18;9), у4 = (15;7), уз = (3;2).

Из матрицы (у4) получаем: у1 = (15;7), у 2 = (0;0)

(бизнесы 3 и 4 не развиваются, т.к. у2 = (0;0)). Из матрицы (у3) получаем: х5 = 1; х6 = 0.

Из матрицы (у1) получаем х1= 1; х2 = 0.

Итак, в программу развития включаются два бизнеса - первый и пятый с эффектом А=18.

Учтем теперь ограничения несовместимости бизнесов. Пусть несовместимыми являются бизнесы (1;5), (1;6), (5;6). Применим метод ветвей и границ.

1 шаг. Разбиваем множество всех решений на два подмножества. В первом бизнес 1 включается в программу, а во втором - не включается.

Оценка первого подмножества очевидна А(1) = 15, так как при включении бизнеса 1 в программу больше ни один бизнес не может быть включен.

Оценка второго подмножества. Решаем задачу о ранце без первого бизнеса. Для этого применяем уже полученные матрицы, исключив из них все клетки, соответствующие бизнесу 1. Так в матрице (у!) исключается второй столбец, в матрице (у4) - третья строка, а в матрице (у5) -пятый столбец.

Теперь оптимальное решение А(1) = 17.

2 шаг. Выбираем второе подмножество.

Соответствующее решение х2 = х5 = х6 = 1,

остальные х1 = 0. Поскольку бизнесы 5 и 6 несовместимы, то разбиваем второе подмножество на два. В первом из них бизнес 5 включается в программу, а во втором - не включается.

Оценка первого подмножества. Поскольку х5 = 1, то х6 = 0. Поэтому исключаем из матрицы все строки и столбцы, соответствующие значению х6 = 1. а именно, в матрице (у3) исключаем вторую строку, в матрице (у5) - первую и третью строки (заметим, что поскольку х1=0, то в матрице (у5) был также исключен пятый столбец). Получаем решение с величиной А(1 ;5) = 15.

Оценка второго подмножества. Поскольку х5 = 0, то исключая из матриц соответствующие строки и столбцы, получаем

,4(Т, 5)= 14.

Выбираем первое подмножество. Ему соответствует следующее решение: х2 = х6 = 1,

остальные х1 = 0. Поскольку бизнесы 2 и 6 совместимы, то полученное решение является допустимым, а значит оптимальным. Дерево ветвлений приведено на рис. 9.

Рис. 9. Дерево ветвлений

Мы получили два оптимальных решения с величиной эффекта А = 15:

1) х1 = 1, остальные х1 = 0;

2) х2 = х6 = 1, остальные х1 = 0.

Интересно отметить, что в обоих решениях

средства используются не полностью.

Рассмотрим второй вариант задачи, в котором для каждого предприятия заданы

ограничением на число бизнесов, в развитии которых оно может участвовать. Описанный выше алгоритм естественным образом обобщается на этот случай. Если в результате решения задачи о ранце, получено решение, в котором нарушается какое либо из ограничений (3), то производится разбиение множества всех решений на подмножества, в каждом из которых это ограничение выполняется.

Литература

1. Баркалов П.С., Буркова И.В., Глаголев А.В., Колпачев В.Н. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами. - М.: Научное издание, 2002.

2. Бурков В.Н., Буркова И.В. Задачи дихотомической оптимизации. - М.: Радио и связь, - 2003. - 156 с.

3. Бурков В.Н., Заложнев А.Ю., Новиков

Д.А. Теория графов в управлении

организационными системами. - М.: СИНТЕГ, -2001. - 265 с.

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва) Воронежский государственный архитектурно-строительный университет

MANAGEMENT CORPORATE BUSINESS V.N. Burkov, S.V. Krukov, N.F. Mirzebolaev, V.G. Telnuh

Various variants of optimization of a choice бизнесов building holding depending on opportunities of overlapping various бизнесов at one enterprise, restrictions on outputs or services are considered

Key words: business, corporation, management