CC BY
65
УДК 004.896:12
ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ ТИПА МОЩНОСТИ
О.В. Саар, В.Н. Шипилов
В статье рассматривается процедура распределения складируемых ресурсов как задача размещения, представляющая собой широкий класс задач дискретной оптимизации. Причем физическая сущность располагаемых объектов, как правило, оказывает влияние вид ограничений и критерии оптимальности, выбираемые для оценки размещения
Ключевые слова: модель, мощность, распределение, ресурс
Все многообразие ресурсов, используемых в производстве можно разделить на два принципиально различных класса: складируемые или материально-технические ресурсы и не складируемые иначе называемые ресурсами типа мощности. Существует довольно значительное количество моделей, описывающих распределение материальнотехнических ресурсов, но вот по распределению ресурсов второго типа библиография гораздо меньше, хотя в условиях строительного производства, когда фронты работ могут быть разнесены в пространстве на значительные расстояния, такая задача представляется весьма актуальной. Если же учесть особенности линейно-протяженного строительства, то следует признать, что эта задача выдвигается на передний план на стадии организационно-технологического проектирования, когда
осуществляется разработка графика движения бригад по объектам строительства. Процедура распределения складируемых ресурсов может рассматриваться как задача размещения. Задачи размещения составляют широкий класс задач дискретной оптимизации. Причем физическая сущность располагаемых объектов, как правило, оказывает влияние вид ограничений и критерии оптимальности, выбираемые для оценки размещения. Рассмотрим ряд возможных постановок задачи размещения, учитывая, что в качестве объекта размещения рассматриваются производственный подразделения строительной организации, то есть происходит распределение ресурсов типа мощности.
Имеется п возможных мест размещения производственных подразделений предприятия, выполняющих заданную производственную программу. Предположим, что типы всех объектов одинаковы, то есть эффект от их размещения зависит только от пункта размещения.
В целях формального описания задачи введем двоичную переменную х,, которая равна 1, если объект размещается в пункте / и 0 в противном случае. Тогда простейшую задачу оптимального
Саар Ольга Владимировна - РГСУ, аспирант, тел. 8-928212-72-15
Шипилов Василий Николаевич - ВГАСУ, канд. техн. наук, тел. (473) 276-40-07
размещения можно сформулировать следующим образом.
Задача 1. Определить {х,}, / = 1, п, максимизирующие
А(х) = Е , (1)
/
при ограничении
Е ь,х ^ в, (2)
/
где а, - эффект от функционирования подразделения в пункте /; Ь, - затраты на его размещение в
пункте /; В - объем средств, выделенных на размещение объектов.
Рассматриваемая задача (1)-(2) является классической «задачей о ранце», методы решения, которой хорошо разработаны.
Но данная постановка задачи не учитывает ряд условий, которые могут оказаться существенными: очень часто существует ограничение на число объектов, размещаемых в одном районе. В этом случае, соответствующее ограничение имеет вид:
Е х ^ р , (3)
/
где р - максимальное число объектов, которые целесообразно разместить в данном районе.
Если имеется несколько районов возможного размещения ресурсов типа мощности и в к-м районе имеется множество рк возможных пунктов размещения, то получаем систему ограничений:
Е х ^ Рк, к =1 г, (4)
/е р
где рк - максимальное число объектов, которые целесообразно размещать в к-м районе, г - число районов.
В условиях линейно-протяженного строительства существенным является условие неразме-щения двух производственных единиц в близких или соседних пунктах. Для описания ограничений подобного вида удобнее всего с использованием теории графов. С этой целью будем рассматривать граф, вершины которого соответствуют пунктам размещения, а ребра соединяют соседние пункты. Если обозначить через и - множество ребер графа, описывающих расположение соседних пунктов, то
в этом случае ограничения, связанные с неразме-щением двух единиц ресурса типа мощности в соседних пунктах принимают вид
х+х^ 1, (/,Л е и (5)
В том случае если ограничение на величину финансовых средств не учитываются, рассматриваемая задача (1), (5) будет являться задачей нахождения независимого множества вершин графа, характеризуемого максимальной суммой весов а,.
Таким образом, другую возможную постановку задачи можно сформулировать так:
Задача 2. Найти {х,}, / = 1,п , максимизирующие (1) при ограничениях (2) и (4).
Возможным обобщением задач 1 и 2 является учет вида распределяемого ресурса, то есть будем считать, что распределяемые ресурсы типа мощности не являются одинаковыми (распределяемые производственные подразделения имеют специализацию). В этом случае необходимо учесть как пункта размещения, так и специализацию распределяемого объекта. Для этой цели введем еще один индекс, соответствующий типу распределяемого объекта. Тогда примем, что а/, - эффект, Ьц -затраты, если объект /-го типа разместился в пункте -, двоичная переменная хц равна 1, если объект типа / размещается в пункте -, и нулю в противном случае. Пусть число типов объектов равно т.
Задача 3. Определить {х,;}, / = 1, т ,
- = 1, п , максимизирующие
А(х) = Е ацхц , (6)
и
при ограничении
Е Ь-х- < в, (7)
¡и
Е х- < Д-, ] =1 п • (8)
I
Соотношение (8) учитывает ограничение на число размещаемых объектов разных типов в каждом пункте.
В задаче 3 не учитывается так называемый синергетический эффект от размещения объектов разных типов в одном пункте.
С целью учета синергетического эффекта можно рассматривать размещаемые в одном месте разнотипные объекты, как комплекс. Это позволяет учесть синергетический эффект. В этом случае в ограничении (8) следует положить все Д- =1, так как в одном пункте можно разместить не белее одного комплекса.
Анализируя возможность учета ограничения (4) в задаче 3, приходим к заключению, что это является более сложной задачей, так как речь идет
о функционировании комплексов разных типов. Предположим, что в каждом комплексе можно выделить определяющий тип объекта, а все остальные объекты, входящие в комплекс, являются, дополняющими (это равносильно выделению ведущего процесса). Это позволяет учитывать ограничения вида (4) только по определяющему типу объектов,
что существенно упрощает решение исходной задачи, так как в этом случае все сложные объекты (комплексы) разбиваются на непересекающиеся множества по определяющему типу объектов, а ограничения (4) записываются для каждого такого множества объектов.
Рассмотрим возможный подход к решению второй задачи, то есть задачи, в которой учитывались бы ограничения, связанные с нецелесообразностью размещения в одном районе (или в близких пунктах) большого числа объектов.
Рассмотрим множество Р пунктов, в которых целесообразно размещать не более р объектов. Такую ситуацию достаточно удобно описывать с помощью графов. В общем случае, структура такого представления уже не будет является деревом, и поэтому необходимо применение общего метода сетевого программирования. Для этого в общем случае необходимо разделить все вершины множества Р на две, разделив при этом, на две части и величины эффекта (рис. 1):
а, = и, + а / еР. (9)
Такая операция позволяет получить граф в виде дерева, что позволяет использовать метод дихотомического программирования. В этом случае рассматриваются две подзадачи.
Первая заключается в определении {х,}, максимизирующих
Е х а ¡, (10)
i
при ограничении (2), а вторая - в определении {х,}, , еР, максимизирующих
и (х) = Е и х , (11)
,ер
при ограничении (3).
Рис. 1. Сетевое представление задачи размещения
Следует отметить, что решение второй задачи очевидно: для размещения необходимо выбрать пункты с наибольшими и1.
Теперь пусть А(и), и(и) - значения целевых функций (10), (11) в оптимальных решениях соответствующих задач, тогда величина
А (и) + и(и), (12)
является верхней оценкой для целевой функции исходной задачи (1), (2), (3). Оценочная (двойственная) задача заключается в нахождении {и ,}, а значит и
а’=а,-и, , (13)
- минимизирующих оценку (12).
Анализируя рассматриваемую задачу (11), (3), следует отметить, что если в ее решении х, = 0, то положив и= итп, где итп - минимальная величи-
на иі среди і є Р таких, что Хі = 1, мы не увеличим оценку (12), поскольку и(и) не изменится, а А(и) не увеличится. Следовательно, примем иі=итіп для всех ієР таких, что х=0. Рассмотрим любое иі > итіп (очевидно, что хі = 1 в решении задачи (11), (3)) и положим и і= итіп. В этом случае величина и(а) уменьшается на разность иі - итіп, а величина А(и) может увеличиться не более чем на ту же разность иі- итіп. Таким образом, оценка (12) не увеличится, и мы получили оптимальное решение оценочной задачи, в котором иі= и для всех і є Р. Это означает, что в оптимальном решении оценочной задачи все и, одинаковы, то есть иі = и, і є Р. Тем самым оценочная задача сведена к определению и, минимизирующего
ри + тах 2 (я,- - и)хі, (14)
х і
где х= {хі} удовлетворяют ограничениям (2).
Приведем описание алгоритма:
1 шаг. Принимаем и = 0 и решаем задачу (10), (2). Если в полученном решении выполняется
условие 2 Хі ^ Р , то это решение является опти-
ієр
мальным. Иначе переходим к шагу 2.
2 шаг. Увеличиваем и на некоторую величину 5 > 0 (выбор шага 5 представляет собой отдельную задачу), и снова решаем задачу (10), (2).
Если в полученном решении 2 Хі = Р, то это реше-
ієр
ние является оптимальным. Если в полученном решении 2 Хі > Р ,то повторяем шаг 2. Если же
іє р
2 Хі < Р, то из двух решений (полученных на даніє р
ном и на предыдущем шаге) берем решение с минимальной величиной оценки (13).
Таким образом, получили метод нахождения верхней оценки для целевой функции исходной задачи (1), (2), (3). Зная оценку сверху, можно применить метод ветвей и границ, либо взять решение, полученное на последнем шаге в качестве приближенного решения.
Приведем еще несколько частных случаев для задачи второго типа, когда удается разработать эффективные алгоритмы.
Рассмотрим возможность учета ограничения на размещения объектов в близких пунктах. В этом случае, как уже отмечалось выше, удобно использовать граф, ребра которого отражают нецелесообразность размещения двух объектов в соответствующих пунктах. Пример такого графа приведен на рис. 2. Особенностью такого графа является отсутствие ребер, имеющих общие вершины.
о—о
Рис. 2. Граф учета ограничения на близость пунктов
Эта особенность позволяет применить метод дихотомического программирования. По заданному графу построим структуру дихотомического представления таким образом, чтобы на нижних уровнях дихотомического дерева находились смежные вершины графа (рис. 3).
Таким образом, на первом шаге решаются задачи оптимизации для смежных вершин, то есть вершин, соединенных ребрами.
В том случае, когда граф, задающий возможные размещения, имеет произвольную структуру, рассмотрим У-множество ребер графа, являющихся паросочетанием (паросочетанием называется множество ребер, не имеющих общих вершин). Получим верхнюю оценку (1) на основе метода сетевого программирования.
Для этой цели определим два частных графа Ох(Х,V) и 02(Х,Ш), где Ш = и/V . В качестве весов вершин в графе 01 примем
аа = а/х = тіп(аі, а/), (і, /) є V , (15)
а в качестве весов вершин в графе 02
Яі2 = аі - ал, і є X . (16)
Обозначим А 1 максимальную величину (1) в графе G1, А2 - максимальную величину (1) в графе 02. Имеет место следующая теорема [3].
Теорема. Выражение Ат=Аі+А2 является верхней оценкой величины (1).
В графе 02(Х ) часть вершин имеет веса, равные 0. Поэтому эти вершины можно исклю-
чить из графа вместе с инцидентными им ребрами. Оставшийся граф будем обозначать G2 (У, Ш), где У
- множество вершин с ненулевыми весами.
Пример. Рассмотрим граф рис. 4. Веса вершин указаны в нижних половинах соответствующих кружков.
Рассмотрим паросочетание (дуги, входящие в данное паросочетание выделены на рис. 4 двойными линиями)
V = {(2.8);(3.4);(5.6);(1.7)}.
Граф G2(Y) приведен на рис. 5.
Рис. 5. Частный граф 02( X ,Ш)
Находим Лі = 10 + 8 + 11 + 15 = 44, А2 = 3 + 10 + 9 + 2 = 24, Ат = 44 + 24 = 68. Следует отметить, что оптимальные решения в графах G1 и G2 совпадают. Из основной теоремы сетевого программирования, следует, что решение Р = (1, 3, 5, 8) является оптимальным решением исходной задачи.
Рассмотрим граф, в котором имеется дуга (1,5) (эта дуга показана пунктиром на рис. 4, 5). В этом случае А2 = 2 + 9 + 10 = 21, Ат = 44 + 21 = 65.
Так как оптимальные решения в графах G1 и G2 не совпадают, то величина А = 65 является только верхней оценкой.
Применяем метод ветвей и границ.
Для ветвления возьмем вершину 5, при этом множество всех решений разбиваем на два подмножества. В первом подмножестве х5=1, то есть вершина 5 входит в искомое множество независимых вершин, а во втором - не входит, то есть х5=0.
Оценка первого подмножества. Если х5=1, то х1=х4=х6=0.
В оставшемся подграфе решение очевидно х3=х7=1, х1=х2=х8=0. Имеем оптимальное решение в первом подмножестве с величиной А = 53.
Оценка второго подмножества. Так как х5=0, то можно положить
а5=0 и применить описанный выше алгоритм получения верхней оценки. Заметим, что граф G2 будет
уже другим, так как а51=а61=0, а52=0, а62=11. Этот граф приведен на рис. 6. Он состоит из четырех изолированных вершин.
Имеем С = 33, С2 = 25, С = 58, причем соответствующее решение
х1 = х3 = х6 = х8 = 1, остальные х, = 0 является оптимальным решением во втором подмножестве. Сравнивая оба решения, видим, что оптимальным решением исходной задачи является решение во втором подмножестве. В целях сокращения объема вычислений граф G2 желательно иметь как можно более простым, следовательно, необходимо выбирать паросочетание с максимальным числом ребер.
Рис. 6. Частный граф G2 для оценки второго подмножества
Приведем описание алгоритма получения верхних оценок.
1 шаг. Строим паросочетание с максимальным числом ребер.
2 шаг. Строим граф G2. Если для этого графа получаем легко разрешимый случай задачи определения независимого множества, с максимальной суммой весов, то определяем величину верхней оценки. В противном случае переходим к шагу 3.
3 шаг. Для графа G2 выполняем шаги 1
и 2.
Так как при построении графа G2 число вершин уменьшается примерно в два раза, то, как правило, после небольшого числа шагов получаем легко разрешимый случай.
Учитывая, что первый шаг алгоритма заключается в построении паросочетания с максимальным числом ребер, приведем алгоритм построения паросочетания с максимальным числом ребер.
Примем Су = 1 , если (i, j) eU , где U -
множество ребер графа и Су = 0 , если (i, j) g U .
Пусть W - произвольное паросочетание. Обозначим ху = 1, если ребро (i, j) e W и ху = 0, в противном
случае. Получаем задачу:
L =Еcvxv ^ max, (п)
(i,j)
при ограничениях
E Xjj < 1, i = 1.n . (18)
j
Следовательно, можно считать, что граф полный и число вершин графа четно (в противном случае всегда можно добавить одну вершину с нулевыми длинами инцидентных дуг).
Описание алгоритма.
1 шаг. Берем произвольное ребро гра-
фа, ясно, что это ребро образует максимальное па-росочетание в подграфе из двух вершин.
k-шаг. Пусть получено оптимальное
паросочетание в подграфе из k вершин. Добавим к подграфу еще одну вершину. Находим чередующийся цикл максимальной длины, проходящей через эту вершину. Если длина этого цикла положительна, то строим новое паросочетание с большим числом ребер.
Вычислительную сложность алгоритма можно уменьшить, если на первых шагах добавлять к подграфу по паре вершин, соединенных ребрами (если это возможно). В этом случае каждый раз будем получать паросочетание с максимальным числом ребер, поскольку в подграфе из 2k вершин число ребер паросочетания не может быть больше k.
На практике часто возникает необходимость определения минимально необходимого числа размещаемых единиц ресурса с целью обеспечения нормального выполнения запланированной производственной программы. Это приводит к необходимости рассматривать так называемую задачу о покрытии множества. Рассмотрим формальную постановку задачи. Пусть имеется n областей, в которых возможно размещение единиц ресурса. Топология возможного размещения может быть задана в произвольном виде: либо в виде фрагмента топографической карты, с указанием квадратов возможного размещения (подобный способ задания легко трансформируется в табличную форму), либо в форме графа и т.п. Введем двоичную переменную Xj, которая принимает значение равное единице, если выбранное решение состоит в том, чтобы в j-ой области расположить единицу ресурса и нулю в противном случае.
Каждая точка размещения будет характеризоваться некой двоичной величиной a j, называемой коэффициентом покрытия. Коэффициент покрытия принимает значение равное 1 в том случае, когда i-ая единица ресурса находится в зоне, покрываемой j-ой областью и 0 - в противном случае.
Учитывая, что по условиям подготовки строительного производства требуется определить минимально необходимое число единиц ресурса, предназначенных для размещения в рассматриваемом районе, то поставленная задача сводится к задаче о полном покрытии множества и может быть записана в следующем виде:
2 Xj ^ min,
j=i
Y,aijxj >1 (19)
j=i
i = 1, n, X: = 0; 1, j = 1, n.
У У J 7 J J J
Утверждение 1. Решение задачи (19) эквивалентно решению булева уравнения следующего вида:
п 2a jjxj=1 (20)
i=1 j=1
По условию задачи необходимо таким образом выбрать двоичные переменные, чтобы выполнялись ограничения вида 2 ajXj >1 i =1 n а
j=1
целевая функция принимала минимальные значения. Ясно, что минимум целевой функции будет достигаться в том случае, когда все ограничения будут выполняться в форме равенств, так как отклонение ограничения в сторону большую единицы будет соответствовать тому факту, что появятся дополнительные переменные х: отличные от нуля и увеличивающие значение целевой функции. Это означает, что оптимальному решению будет соответствовать решение, при котором все ограничения будут выполняться только в виде равенств. Это и будет соответствовать решению булева уравнения определяемого соотношением вида (20).
Следовательно, задача (19) свелась к необходимости решения булева уравнения (20), которое позволяет минимизировать число переменных xj, принимающих значение 1 (так как каждое равенство х: = 1 означает, что в j-ой области расположить
точку измерения). Уравнение (20) эквивалентно требованию, чтобы каждое из выражений, заключенных в скобки, равнялось 1 (в каждой зоне должен быть размещен хотя бы один объект).
Упростим выражение (20) с использованием основных соотношений булевой алгебры и, в частности свойства «поглощения».
Если непосредственно раскрыть выражение (20), то получится булевский многочлен m степени. Полученное уравнение будет выполняться тогда, когда одно из слагаемых будет равно 1, а все остальные 0. Таким образом, каждое из слагаемых булева уравнения (20) будет соответствовать одному из возможных вариантов решения поставленной задачи.
Будем осуществлять упрощение на основе свойства «поглощения» до тех пор, пока ни одна пара скобок каждого из слагаемых в левой части рассматриваемого уравнения не будет содержать выражений с совпадающими членами. Это дает возможность понизить степени некоторых слагаемых булева уравнения. В данном случае, показатель степени у переменных Xj будет характеризовать число областей, которые можно охватить, разместив единицу производственного ресурса в рассматриваемом пункте. Понятно, что чем выше сте-
пень у переменной х-, тем большее число пунктов можно обеспечить воздействием, размещаемого в рассматриваемом пункте одного ресурса типа мощности. Учитывая, что максимально возможная степень каждого слагаемого в выражении (20) ограничена величиной п, то увеличение степени у одного из сомножителей слагаемого ведет к уменьшению общего числа сомножителей, входящих в данное слагаемое, что будет соответствовать уменьшению общего числа размещаемых объектов. Следовательно, в каждом слагаемом выражения (20) общее число сомножителей будет соответствовать минимально необходимому числу размещаемых объектов, которые необходимо расположить в точках, характеризуемых этими сомножителями. Таким образом, имеет место следующее утвреждение:
Утверждение 2. Оптимальное решение задачи вида (19) будет определяться слагаемым наибольшей степени выражения (20). При этом минимально необходимое количество единиц ресурса N будет определяться следующим выражением:
(21)
где рк - показатель степени сомножителя; q - число сомножителей.
Если непосредственно раскрыть скобки, то получится многочлен п-ой степени, содержащий все возможные варианты решения поставленной задачи, сводящиеся к тому, что ресурсы необходимо размещать в каждой из рассматриваемых п точке. Сокращение числа используемых единиц ресурса возможно лишь за счет того, что по условиям размещения единиц производственных ресурсов в некоторых точках размещения возможно проведение работ, относящихся сразу к нескольким объектам. Очевидно, что такие случаи при раскрытии скобок в выражении (20) будут характеризоваться наличием показателей степени выше единицы у переменных х-, относящимся к точкам размещения, позволяющим осуществить такое совмещение.
Рассмотрим применение приведенного алгоритма на примере. Пусть возможная схема возможного размещения единиц производственных ресурсов задана графом, приведенном на рис. 4. В этом случае задача о покрытии множества запишется в следующем виде: минимизировать соотношение
х!+ х2+ х3+ х4+ х5+ х6+ х7+ х8^тт, при ограничениях на размещение:
(х^+ х4+ х7)>1;
(х2+ хэ+ х8)>1;
(х3+ х4+ х2)>1;
(х4+ х5+ х! +х3)> 1;
(х5+ х6+ х4)>1;
(х6+ х7+ х5)>1;
(х7+ х8+ хг +х6)> 1;
(х8+ х2+ х7)>1; х-=0,1 -=1,2,___8.
Исходя из условия, что в каждом из пунктов, возможно размещение одной единицы ресурса
типа мощности, приходим к необходимости решения следующего булева уравнения:
(Х1+ Х4+ Х7)-(Х2+ Х3+ Х8)-(Хэ+ Х4+ Х2НХ4+ Х5+ Х1+Хэ)-(Хз+ Х6+ Х4)'(Х6+ Х7+ Хз)'
•(Х7+ Х8+ Х1+Хв)'(Х8+ Х2+ Х7)=1.
Используя утверждение 2, можно найти слагаемое, содержащее переменные Х/ в степени, более высокой, чем первая. Если раскрыть скобки, то легко установить, что такими членами будут:
(22)
где р (Х1 , Х2, Х3, Х4, Х5, Х6, Х7, Х8 )
4 3 4 3 4 3
Х4 • Х7 • Х2 + Х4 • Х7 • Х3 + Х4 • Х7 • Х8 +
+ р (х1 , Х2 , Х3, Х4, Х5 , Х6 , Х7 , Х8 ) = 1
остаток исходного многочлена степени п.
Анализируя выражение (22), приходим к заключению, что минимально необходимое количество единиц ресурса будет равняться трем. При этом возможно только одно решение:
Х4 = 1, Х7 = 1, Х2 = 1, то есть ресурсы необходимо
размещать во втором, четвертом и седьмом пунктах.
Два других решения
Х4 = 1, Х7 = 1, Х3 = 1, Х4 = 1, Х7 = 1, Х8 = 1, не приемлемы, так как нарушают ограничения на близость располагаемых производственных подразделений.
К сожалению, получение полиномиальной формы (22) путем преобразования уравнения (20) по оценкам [6] с трудом поддается программированию, если даже и осуществляется без всяких затруднений «вручную». Если же число областей и единиц распределяемого ресурса было бы значительно больше, для решения задачи потребовался бы алгоритм, предполагающий применение ПЭВМ. Можно было бы, например, заменить условие Хі = 0 или 1 і =1,2, ..., 12 условием 0<х. < 1 и искать решение путем обычного линейного программирования, которое, наверняка, не привело бы к оптимальному решению в целых числах. Однако можно было бы округлить до 1 все значения х, < 1;
полученное при этом решение, вообще говоря, могло бы оказаться неоптимальным, но зато задача решалась бы просто. Так, например, для случая, когда имеется 100 областей и 30 единиц ресурса типа мощности, для получения с помощью ПЭВМ решения, оптимального в смысле обычного линейного программирования, потребовалось бы всего несколько секунд. Однако для решения задач, аналогичных рассмотренной выше, рассмотрим специальный алгоритм, приведенный ниже.
Предварительный шаг. Создать матрицу размерностью т х п и заполнить ее нулями. Число строк в данной матрице будет равно количеству ресурсов типа мощности, предполагаемых для размещения, то есть числу ограничений задачи, а число столбцов числу рассматриваемых областей.
Задать номер строки и номер столбца введенной матрицы равный нулю, то есть і=0, /=0. Максимально возможный показатель степени также принимается равным нулю, то есть д=0.
к=1
1 шаг. Увеличиваем номер рассматриваемой строки на единицу, то есть задаем і=і+1.
2 шаг. Просматриваем і-ое ограничение с целью нахождения номеров переменных входящих в состав этого ограничения. При нахождении в данном ограничении переменной с произвольным номером к в к-ом столбце /-ой строки проставляется единица.
3 шаг. Проверяется, остались еще строки исходной матрицы, подлежащие заполнению. Если строки остались, то происходит переход на 1 шаг. Если строк для последующего заполнения нет, то переходят к четвертому шагу.
4 шаг. Подсчитывается сумма по столбцам и выбирается столбец с максимальной суммой. Номер столбца и сумма фиксируется, а максимально возможный показатель степени увеличивается на единицу, то есть д=д+1.
5 шаг. Строки найденного столбца с максимальной суммой, в которых стоят единицы, обнуляются. Проверяется выполнение условия д=т. Если условие выполняется, то вычисление заканчивается, если нет, то происходит переход на 4 шаг.
Анализируя полученные решения можно сформулировать эвристическое правило, позволяющее находить пункты возможного размещения объектов при определении минимально необходимого их числа.
Эвристическое правило 1. В качестве пунктов возможного размещения производственных ресурсов выбираются вершины максимальной степени (то есть вершины, имеющие максимальное число инцидентных дуг).
Следует отметить, что полученное в этом случае решение, удовлетворяя требованиям минимальности необходимого числа размещаемых единиц ресурса, в общем случае не будет соответствовать оптимальному размещению при других критериях, например минимизации на размещение затрат на размещение или же максимизации эффекта, получаемого от данного размещения ресурсов типа мощности. Поэтому приходится решать соответствующую задачу комбинаторного программирования.
В этом случае, для получения решения, близкого к оптимальному, можно рекомендовать использование следующего эвристического правила:
Эвристическое правило 2. Для размещения ресурсов типа мощности пункты выбираются по возрастанию (убыванию) эффекта (затрат) от размещения. В том случае, если не удается разместить все ресурсы, предназначенные для размещения, то размещение необходимо начать с пункта, имеющего более низкие характеристики.
Например, если необходимо разместить 4 единицы производственного ресурса, причем схема размещения задана графом, приведенным на рис. 3.1.4. Используя эвристическое правило 2, в качестве исходной точки для размещения выбираем точку с максимальным значением эффекта, то есть точку 5 с эффектом 21. Такое размещение обеспечивает влияние на точки 4 и 6, которые исключаются из дальнейшего рассмотрения. Далее, наиболее выгодно использовать для размещения точку 1 с эффектом 18. Затем 3 и 8. В итоге получаем решение совпадающее с оптимальным и дающим эффект 21+18+17+12=68.
Литература
1. Алферов, В.И. Прикладные задачи управления строительными проектами. [Текст] / В.И. Алферов, С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, Н.В. Хорохордина, В.Н. Шипилов // Воронеж «Центрально -Черноземное книжное издательство», 2008. - 712 с.
2. Курочка, П.Н. Моделирование задач организационно - технологического проектирования [Текст] / П.Н. Курочка // Воронеж, ВГАСУ, 2004. 204 с.
3. Бурков, В.Н. Задачи дихотомической оптимизации [Текст] / В.Н. Бурков, И.В. Буркова // М.: Радио и связь. - 2003. - 156 с.
4. Баркалов, С.А. Системный анализ и его приложения. [Текст] / С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, П.Н. Курочка, В.И. Новосельцев - Воронеж «Научная книга» 2008. - 439 с.
5. Баркалов, С.А. Системный анализ и принятие решений. [Текст] / С.А. Баркалов, П.Н. Курочка, И.С. Суровцев, А.И. Половинкина // Ворнежский гос. Университет 2010г. - 652 с.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Ростовский государственный строительный университет
ORGANIZATIONAL-TECHNOLOGICAL MODEL DISTRIBUTIONS OF RESOURCES OF TYPE OF CAPACITY О.В. Saar, V.N. Shipilov
In clause procedure of distribution of stored resources as the problem of accommodation representing a wide class of problems of discrete optimization is considered. And the physical essence of had objects, as a rule, influences a kind of restrictions and the criteria of an optimality chosen for an estimation of accommodation
Key words: model, capacity, distribution, a resource
