CC BY
95
УДК 338.16.54
ЗАДАЧА ВЫБОРА МНОЖЕСТВА ПРОЕКТОВ ПРИ ВЫПУСКЕ ИННОВАЦИОННОЙ ПРОДУКЦИИ
ИВ. Буркова, М.В. Ткаченко, П.П. Чураков
Рассматривается задача выбора множества проектов по выпуску новых продуктов. Затраты на разработку и подготовку к серийному выпуску состоят из двух частей. Первая часть это затраты, не зависящие от объема выпуска, а вторая часть - зависящая от объема выпуска. Для решения задачи предлагаются два алгоритма, основанные на методе дихотомического программирования
Ключевые слова: стоимость компании, управление холдингом, инвестиционный процесс, эффективность инвестиций, финансовый кризис, факторный анализ, стоимость капитала
Введение
Задача формирования пакета проектов составляют, пожалуй наиболее популярный класс прикладных задач дискретной оптимизации [1,2,3] при их постановке, как правило, учитываются три основных параметра: затраты на проект, эффект (доход) от проекта и риск или надежность (вероятность успешной реализации проекта). К простейшим задачам выбора проектов относится так называемая задача о ранце [1] . В этой задаче либо риск не учитывается либо вводится дополнительное ограничение на число проектов с высоким риском [1] . В статье рассматривается более сложный случай, когда под проектом понимается разработка, освоение и выпуск нового продукта, при этом, затраты и эффект зависят от величины выпуска этого продукта. Получается непрерывно-дискретный вариант задачи о ранце, когда необходимо определить не только множество разрабатываемых продуктов, но и объем выпуска каждого из них.
Постановка задачи
Имеются п инновационных проектов (новых продуктов). Обозначим у1 объем финансирования 1го продукта, если он принят к разработке.
Эффект (доход) от выпуска 1-го продукта определяется выражением
!' (1) где 1, - постоянные затраты на разработку и освоение ¡-го продукта, д - рентабельность ¡-го продук-
Заданы ограничения у; < С",-. г = 1, п, где С,
- максимальный объем финансирования 1-го продукта, определяемый возможностями производства и рыночным спросом.
Задана также величина инновационного фонда Я.
Задача. Определить множество продуктов, принятых к освоению и объем финансирования
Буркова Ирина Владимировна - ИПУ РАН, канд. техн. наук, доцент, тел. (495)276-40-07 Ткаченко Михаил Вадимович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732)76-40-07
Чураков Павел Петрович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732)76-40-07
каждого продукта, так чтобы суммарный доход был максимальным при ограничении на суммарную величину инновационного фонда.
Задача заключается в максимизации
= £Г=1А(й) (2)
При ограничениях
(3)
О < % < с, (4)
Метод решения (первый алгоритм).
Для решения задачи применим метод дихотомического программирования [4,5].
Сначала докажем простую теорему, позволяющую уменьшить объем вычислений.
Теорема 1. Существует оптимальное решение, такое что все принятые к разработке продукты (за возможным исключением одного продукта) финансируется в максимальном объеме.
Доказательство.
Пусть в оптимальном решении приняты к разработке продукты I и]. причем 0 < у, < С. и О < л < С'
Пусть р, > ¿з . Увеличим финансирование продукта I на
Соответственно уменьшив на Л финансирование продукта ]. В этом случае суммарный доход увеличится (если о. > р ) или не изменится (если ^ = г-. ) При этом, либо у. будет равно С. либо будет равно 0. Теорема доказана.
Следствие. В множестве принятых к разработке продуктов финансирование менее максимального может иметь продукт с минимальной рентабельностью.
Доказательство очевидно.
Примем, что продукты пронумерованы в очередности убывания рентабельностей. Отметим также, что при целочисленных а,. С.,: = 1, л и К всегда существует целочисленное оптимальное решение.
Рассмотрим структуру дихотомического представления в виде ветки дерева, вершины которого расположены в порядке нумерации продуктов. В этом случае метод дихотомического программирования переходит в метод динамического про-
граммирования [2]. Обозначим F(k;p)- максимальный эффект от первых k проектов при величине инвестиционного фонда P. Уравнение Беллмана имеет вид
fCt + 1;р) = max [i’Gtrp — ¡у); ¿¡¿+1
= max
_
- niax.Ojij - a^] (6)
Алгоритм иллюстрируем на примере.
Пример 1- имеются 4 продукта, данные о которых приведены в табл. 1
Таблица 1
i 1 2 3 4
10 8 6 3
Ci 15 12 10 7
pL 3 2 1 0,5
Примем Я=24
1 шаг. Рассматриваем первые два продукта. Составим табл. 2.
Таблица 2
12; 8 23; 11 24; 14
11; 6
10; 4
9; 2 24; 17
0; 0 11; 3 12; 6 13; 9 14; 12 15; 15
В этой таблице первое число в каждой клетке соответствует объему финансирования, а второе эффекту. Рассматриваются только «разумные» варианты. Так, например, варианты финансирования в объеме не более постоянных затрат рассматривать не имеет смысла, так как при этом эффект равен 0. Исключены также внутренние клетки, так как в силу теоремы 1 соответствующие варианты не могут входить в оптимальное решение. Наконец, исключены клетки, в которых объем финансирования превышает Я.
Составим результирующую табл. 3, исключив доминируемые варианты.
Таблица 3
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Затраты p 0 9 10 11 12 13 14 15 23 24 25
эф- фект 0 2 4 6 8 9 12 15 11 17 19
2 шаг. Рассматриваем первые три предпри-
ятия.
Составляем итоговую таблицу, исключая доминирующие варианты (табл. 4).
Таблица 4
№ варианта 9 10 и а 13
Затраты P 14 15 30 21
Эффект F( З;Р) 12 15 9 10 И
(табл. 5).
3 шаг. Рассматриваем все четыре продукта
Таблица 5
1ST
23; 17
22; 16
15; 15 19; 20; 21; 22;
15,5 16 16,5 17
14; 12
13; 9
12; 8 16; 17; 18; 19;
8,6 9 9,5 10
11; 6
10; 4 14; 15; 16; 17;
4,5 5 5,5 6
9; 3
8; 2
7; 1
0; 0 4; 5; 1 6; 7;
0,5 1,5 2
В таблице находим клетку с максимальным вторым числом (эффектом). Это клетка (24; 18). Оптимальное решение определяем методом «обратного хода». А именно, клетке (24;18) табл. 4 соответствует клетка (9,3), то есть финансирование третьего продукта на уровне 9 единиц и клетка (15,15) из табл. 3. Этой клетке, в свою очередь, соответствует в табл. 2 максимальное финансирование первого продукта и нулевое финансирование второго. Окончательно, получаем оптимальное решение Vj = 15, у: = 0, у3 = 9, у* = 0, с суммарным эффектом =18.
Метод решения (второй алгоритм) Рассмотрим другой алгоритм решения задачи, так же использующий теорему 1. А именно, поскольку только один продукт может выпускаться с финансированием менее максимального, то рассмотрим n задач.
В i-й задаче принимается, что продукт i может выпускаться с финансированием менее максимального. Исключая этот продукт, мы получаем классическую задачу о ранце. Для оставшихся продуктов, как известно, решение задачи о ранце дает одновременно и оптимальное решение для всех меньших величин i. Обозначим Ф^.р)
= ш=Ь^д[Ф;(р):д min (Ct:Ä - р»
максимальный эффект в I задаче в зависимости от финансирования P. Максимальный эффект с учетом продукта определяется выражением
шах
>;д rr.in (Cj-.R -
Сравнивая решения п задач, определяем оптимальное решение. Таким образом, необходимо решить п задач о ранце. Однако применение метода дихотомического программирования позволяет существенно уменьшить это число. Действительно, если например, решена задача о ранце для первых (п-1) продуктов, то для решения задачи без продукта (п-1) достаточно взять решение для первых (п-2)
+
+
+
+
продуктов и решить еще только одну задачу, добавив продукт п. Соответствующая структура дихотомического представления для задач о ранце приведена на рисунке (для случая п=5).
Структура дихотомического представления
Поясним эту структуру. Сначала решаются задачи о ранце без продукта 5 и без продукта 1. (Левая и правая ветки на рисунке). Для получения решения задачи без продукта 4 решаем всего одну задачу для объединенного продукта (1, 2, 3) и продукта 5. Для получения решения для задачи без продукта 3 решаем также только одну задачу для объединенных продуктов (1,2) и (4,5).
Наконец, для получения решения задачи без продукта 2 решаем еще одну задачу для продукта 1 и объединенного продукта (3,4,5). Всего решается 3 (п-2) подзадач, вместо п (п-1) при их независимом решении.
Пример 2
Рассмотрим задачу с данными из примера 1. Поскольку п = 4, то необходимо решить 6 подзадач.
Первый шаг.
Решаем подзадачу для продуктов 1 и 2 (табл.6).
_______________ Таблица 6
12; 8 -
0; 0 15; 15
Второй шаг.
Решаем подзадачу для продукта 3 и объединенного продукта (1,2) (табл.7).
________________________ Таблица 7
10; 4 22; 12 -
0; 0 12; 8 15; 15
Составляем таблицу, исключая доминируемые варианты (табл.8).
Таблица 8
№ варианта 1 2 3 4
Затраты Р 0 10 12 15
Эффект Б( З;Р) 0 4 8 15
Эффект от продукта 4 2 2 2 2
Третий шаг.
Решаем подзадачу для объединенного продукта (1,2) и продукта 4.
Составляем табл. 9, включая дополнительный эффект от продукта 3.
Таблица 9
№ варианта 1 2 3 4 5
Затраты Р 0 7 12 15 22
Эффект Б( З;Р) 0 2 8 15 17
Дополнительный эффект 4 4 4 3 20
Суммарный эффект 4 6 12 18 17
Четвертый шаг.
Решаем подзадачу для объединенного продукта (3,4) и продукта 2.
Составляем табл. 10, включая дополнительный эффект от продукта 1.
Таблица 10
№ варианта 1 2 3 4 5 6
Затраты Р 0 7 10 17 19 22
Эффект Б( З;Р) 0 2 4 6 10 12
Дополнительный эффект 15 15 0 0 0 0
Суммарный эффект 15 17 4 6 10 12
Шестой шаг.
Решаем подзадачу для объединенного продукта (3,4) и продукта 1.
Составляем табл. 11, включая дополнительный эффект от продукта 2.
Таблица 11
№ варианта 1 2 3 4 5
Затраты Р 0 7 10 15 22
Эффект Б( З;Р) 0 2 4 15 17
Дополнительный эффект 8 8 8 0 0
Суммарный эффект 8 10 12 15 17
Сравнивая все 4 задачи, определяем оптимальный вариант. Он состоит в финансировании продукта 3 ниже максимального (шаг 4 алгоритма). Максимальный эффект равен 18.
Методом «обратного хода» определяем оптимальное решение у: = 15, = 0, у* = 9, у4 = 0,
что совпадает с результатом, полученным первым способом.
Заключение
Рассмотренные методы можно обобщить на случай возрастающих выпуклых функций эффекта, поскольку в этом случае остается справедливой теорема 1 и факт существования целочисленного оптимального решения (при целочисленных С;, г = 1.Н и К). Что касается сравнения двух алгоритмов решения задачи, то это требует дальнейших исследований. Сравнение суммарного числа рассмотренных клеток во всех таблицах для примеров 1и 2 показывает, что второй способ гораздо эффективнее, но что будет при больших N сказать трудно.
Литература
1. Андронникова Н.Г., Баркалов С.А., Бурков В.Н., Котенко А.М. Модели и методы оптимизации региональных программ развития. (Препринт) - М.: Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2001.
2. В.И. Алферов, Баркалов С.А., Бурков В.Н., Курочка П.Н., Хорохордина Н.В., Шипилов В. Н. Прикладные задачи управления строительными проектами. - Воронеж «Центрально - Черноземное книжное издательство» 2008. - 712 с.
Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
PROBLEM OF THE CHOICE OF SET OF PROJECTS AT RELEASE NOVELTYS
OF PRODUCTION
I.V. Burkova, M.V. Tkachenko, P.P. Churakov
The problem of a choice of set of projects in release of new products is considered. Expenses for development and preparation for serial release consist of two parts. The first part is expenses, not dependent on volume of release, and the second part - depending from volume of release. For the decision of a problem it is offered two algorithms based on a method of dichotomizing programming
Key words: cost of the company, management of holding, investment process, efficiency of investments, financial crisis, the factorial analysis, cost of the capital
