Формирование портфеля взаимозависимых проектов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 338.16.54

ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ ВЗАИМОЗАВИСИМЫХ ПРОЕКТОВ О.И. Дранко

Рассматривается задача формирования портфеля проектов, ряд из которых взаимозависимы в том смысле, что включение обоих проектов дает дополнительный эффект (положительный или отрицательный). Для решения задачи предложен модифицированный метод дихотомического программирования

Ключевые слова: вариант, задача, проект, портфель

Введение

Задачи формирования портфеля проектов в детерминированной постановке, в основном связаны с решением задачи о ранце и ее различных модификаций [1,2]. Для решения задач применяются методы динамического, дихотомического и сетевого программирования [3,4].

В статье рассматривается задача формирования портфеля проектов, такая что различные пары проектов взаимозависимы. Включение в портфель таких пар приводит к дополнительному синергетическому эффекту.

Постановка задачи

Имеется п проектов претендентов на включение в состав портфеля. Обозначим аі -

эффект от проекта í, ап - дополнительный эффект, если в портфель включены оба проекта í и ц, Сі - затраты на проект í. Введем переменные х^ =

{0; 1}. Если проект í включен в проект, то Хі = 1, в противном случае х{ = 0. Задача заключается в формировании портфеля проектов, имеющего максимальный эффект при ограниченных средствах Я на реализацию проектов. Предполагается, что аі, аіц, Сі - целые числа для всех і, ц, Я - целое

положительное число.

Математическая постановка задачи имеет вид: максимизировать

А(х) = Е аі Хі + Е ац Хі хі (1)

і і >і

при ограничении

Е СіХі ^ Я

і

Поставленная задача относится к классу задач целочисленного квадратичного программирования, известных своей сложностью [5,6]. Рассмотрим теоретико-графовую интерпретацию задачи. Определим п- вершинный граф взаимосвязей проектов с эффектами ребер ац вершин аі и весами (затратами) вершин с. Задача заключается в определении подграфа, имеющего максимальную сумму эффектов ребер и вершин при ограничении Я на суммарный вес вершин.

Метод решения

Дранко Олег Иванович - ИПУ РАН, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (495) 334-79-00

На практике, как правило, число к проектов, которые влияют на большое число других проектов, не велико (назовем такие проекты многоцелевыми). Рассмотрим ситуацию, когда после исключения многоцелевых проектов, граф взаимосвязей распадается на q компонент с малым числом вершин

п, і=■, q

Еп=п - к. (2)

і=1

Объединим проекты, которым соответствует компонента графа в один комплексный проект, имеющий 2П вариантов реализации. В этом случае для каждого варианта вхождения в портфель многоцелевых проектов (всего таких вариантов 2к), мы получаем задачу формирования портфеля из q независимых комплексных проектов, которая для случая целочисленных весов Сі эффективно решается

методом дихотомического программирования [3].

Дадим описание алгоритма.

Предварительный шаг. Удаляем все многоцелевые проекты и формируем все варианты реализации комплексных проектов. Эвристическим алгоритмом удаления многоцелевых проектов является алгоритм последовательного исключения вершин с максимальной степенью.

Основной шаг. Рассмотрим последовательно 2к вариантов вхождения в портфель многоцелевых проектов. Для каждого такого варианта добавляем к остальным проектам дополнительные эффекты от многоцелевых проектов, входящих в портфель.

Пусть первые к проектов являются многоцелевыми. Тогда эффект остальных проектов корректируется по формуле

к

а++= аі +Е ацХц (3)

і=1

Определяем все варианты вхождения в портфель каждого комплексного проекта и исключаем доминируемые.

Решаем задачу определения вариантов вхождения в портфель комплексных проектов методом дихотомического (или динамического) программирования.

Оценим вычислительную сложность алгоритма. Имеем 2к вариантов вхождения в портфель многоцелевых проектов. Решение задачи для каждо-

го варианта методом дихотомического программирования требует рассмотрения не более (д - 1)Я2 вариантов, где д - число комплексных проектов. Итого, получаем оценку 2к(д - 1)Я2.

Пример

Рассмотрим граф взаимосвязей рисунке.

КП3 состоит из трех проектов 7, 8 и 9 (табл.3). Примем с7 = 4, с8 = 8, с9 = 6.

Таблица 3

N варианта 1(0) ЗД 3(8) 4(9) т т вд 8(7,8,9)

Затраты 0 2 6 9' 8 13 15

Эффект 0 1 і 6 9 10 11 20

Допожэффект отпр.1 0 2 о 5 2 7 5 7

Догш.зффект от пр. 2 0 4 0 0 4 4 0 4

Первый вариант. Ни один из многоцелевых проектов не входит в портфель.

Примем Я= 14.

Применяем метод дихотомического программирования (в данном случае он эквивалентен методу динамического программирования [ 3]).

1 шаг. Рассмотрим КП1 и КП2 (табл. 4).

Таблица 4

В вершинах графа указаны эффекты а (в нижних половинах), а на ребрах дополнительные эффекты щ. . Удаляя вершины 1 и 2 с максимальными степенями, получим трехкомпонентный граф, в котором две компоненты имеют по две вершины, а третья - три вершины. Поскольку к = 2, то необходимо рассмотреть 4 варианта вхождения в портфель многоцелевых проектов.

Сформируем комплексные проекты (КП).

КП1 состоит из проектов 3 и 4. Следовательно, у него имеются не более 4 вариантов вхождения в портфель.

Данные о них приведены в табл. 1. Примем с3 = 6, с4 = 3. В скобах в первой строке указаны проекты, которые входят в портфель в данном варианте.

Таблица 1

N варианта 1(0) 2(4) 3(3) 4(3 ;4)

Затраты 0 3 6 9

Эффект 0 2 4 14

Дополн.эффек1 от пр.1 0 4 1 5

Допол.эффект от пр. 2 0 3 0 3

4 9; 14 13;23 -

3 6; 4 10; 13 -

2 3; 2 7; 11 -

1 0; 0 4; 9 12; 14

КПі 1 2 4

Вариант 3 комплексного проекта КП2 исключаем, поскольку он доминируется вариантом 2.

В результате получаем комплексный проект КП4, включающий проекты 3, 4, 5 и 6м. Данные о КП4 приведены в табл. 5 (доминируемые варианты исключены).

Таблица 5

N варианта 1 2 3 4 5

Затраты 0 3 4 9

Эффект 0 2 9 11 14

2 шаг. Рассмотрим КП3 и КП4 (табл. 6).

Таблица 6

5 9; 14 1:1 ¡15 - - -

4 7; И 9; 12 13; 17 - -

3 4; 9 6; 10 10; 15 12; 19 -

2 3; 2 5; 3 9; 8 11; 12 -

1 0;0 2; 1 б; б 3; 10 13; И

КГЦ /ІСП; 1 2 4 €

В последних двух строках указаны дополнительные эффекты от проектов 1 и 2. Так, например, в варианте 2 в портфель входит 4-й проект. Дополнительный эффект от проекта 1 равен 4, а от проекта 2 равен 3 (рис. 1)

КП2 состоит из проектов 5 и 6 (табл.2). Примем с5 = 4, с6 = 8

Таблица 2

N варианта 1(0) 2(5) 3(6) 4(5;б)

Затраты 0 4 3 12

Эффект 0 9 2 14

Дополн.эффект от пр.1 0 0 0 0

Допол.зффекі от пр. 2 0 2 6 я

В результате получаем комплексный проект КП5. Данные о КП5 приведены в табл. 7 (доминируемые варианты исключены).

Таблица 7

N варианта 1 2 3 4 5 6

Затрата 0 2 3 4 6

Эффект 0 1 2 9 10 11

Оптимальный вариант номер 9, которому соответствуют затраты 12 и эффект 19.

Второй вариант. В портфель входит многоцелевой проект 1.

Примем с1 = 4.

1 шаг. Рассмотрим КП1 и КП2.

Добавляем к эффектам проектов 3 и 4 дополнительные эффекты от проекта 1 (табл. 1). Таблица 4 в данном случае принимает вид (табл. 8).

Таблица 8

4 9; 11 - -

2 3; 6 7; 15 -

1 0; 0 4; 9 -

КПі ,^кгъ 1 2 4

В данном случае из комплексного проекта КПі исключаем доминируемый вариант 3. В результате получаем комплексный проект КП4, данные о котором приведены в табл. 9.

Таблица 9

N варианта 1 2 3 4

Затраты 0 3 4

Эффект 0 6 9 15

2 шаг. Рассмотрим КП3 и КП4. Добавляем к эффектам проектов 7 и 9 дополнительные эффекты от проекта 1.

Формируем комплексный проект КП5 (табл.

10).

Таблица 10

4 7;15 9- 13 - -

3 4; 9 6; 12 10; 20 -

2 3; б 5; 9 9; 17 -

1 0;0 2; 3 6; 11 3; 17

ЕП, .. 1 2 3 4

Оптимальный вариант соответствует клетке (10;20) с затратами 10 и эффектом 20. Добавляя эффект 6 от проекта 1, получаем суммарный эффект 26.

Третий вариант. В портфель входит многоцелевой проект 2.

Примем с2 = 3.

1 шаг. Рассмотрим КП и КП2.

К эффектам проектов 4, 5, 6 добавляем дополнительные эффекты от проекта 2 (см. таблицы 1 и 2).

Формируем комплексный проект КП4 (табл.

11).

Таблица 11

4 9; 19 -

2 3; 7 7; 13

1 О; О 4; 11

КПі , 1 2

В данном случае из проекта КП1 исключен доминируемый вариант 3, а из проекта КП2 также исключен доминируемый вариант 3 и вариант 4, поскольку он не удовлетворяет ресурсному ограничению (на проект 2 требуется 3 единицы ресурса, поэтому остается 11, что меньше 12).

В результате получаем комплексный проект КП4, данные о котором приведены в табл.12.

Таблица 12

N варианта 1 2 3 4 і

Затраты 0 3 4 7 9

Эффект 0 7 11 13 19

2 шаг. Рассмотрим КП3 и КП4.

Добавляем к эффекту проекта 7 дополнительный эффект от проекта 2.

Формируем комплексный проект КП5.

Таблица 13

5 9;19 11;24 - -

4 7;1Я 9:23 - -

3 4; 11 6; 16 10;17 -

2 3;7 5;12 9;13 11:21

1 0;0 2:5 6:6 3; 14

КГЦ 1 2 4 6

Оптимальный вариант соответствует клетке (11,24) с затратами 11 и эффектом 24. Добавляя эффект 5 от проекта 2 получаем суммарный эффект 29.

Четвертый вариант. В портфель входят оба проекта 1 и 2. Остаток средств составляет 7 единиц.

1 шаг. Рассмотрим КП1 и КП2. Добавляем к эффектам проектов 3, 4, 5, 6, 7, 9 дополнительные эффекты от проектов 1 и 2. ( табл. 1 и 2).

Формируем комплексный проект КП4 (табл.14).

Таблица 14

2 3; 9 7; 20

1 О; 0 4; 1 1

КП] 1 2

Варианты 3 исключены из проектов КП1 и КП2, как доминируемые, а варианты 4 этих проектов не удовлетворяют ограничениям на ресурсы. В результате получаем комплексный проект КП4, данные о котором приведены в табл. 15.

Таблица 15

N варианта 1 2 3 4

Затраты 0 3 4 7

Эффект 0 9 11 20

2 шаг. Рассмотрим КП3 и КП4.

Добавляем к эффекту проекта 9 дополнительный эффект от проекта 1, а к эффектам проекта 7 дополнительный эффект от проектов 1 и 2 (см. таблицу 3).

Таблица 16

4 7:20 - -

3 4;11 6; 13 -

2 3;9 5; 16 -

1 0;0 2;7 б; 11

КГЦ /■¿Пі 1 2 4

Оптимальный вариант соответствует клетке (7; 20) с затратами 7 и эффектом 20. Добавляя эффект 11 от проектов 1 и 2, получаем суммарный эффект 31.

Сравнивая все четыре варианта, определяем оптимальный вариант 4, которому соответствует включение в портфель проектов 1, 2, 4, 5 с суммарным эффектом 31 и затратами 14.

Литература

1. Прикладные задачи управления строительными проектами /монография/ - В.И.Алферов (и др.). Воронеж: ОАО «Центрально-Черноземное книжное издательство», 2008 - 765 с.

2. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Как управлять организациями. М: Синтег, 2004 - 400 с.

3. Бурков В.Н., Буркова И.В. Метод дихотомического программирования в задачах дискретной оптимизации. Научное издание, ЦЭМИ РАН - М: 2003 - 43 с.

4. Буркова И.В. Метод сетевого программирования в задачах нелинейной оптимизации. Автоматика и телемеханика, № 12, 2010.

5. Соколов А.В., Токарев В.В. Методы оптимальных решений. Т1. - М: ФИЗМАТЛИТ, 2010 - 564 с.

6. Корнеенко В.П. Методы оптимизации - М: Высшая школа, 2007.

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)

FORMATION OF THE PORTFOLIO OF INTERDEPENDENT PROJECTS

O.I. Dranko

The problem of formation of a portfolio of projects is considered, a number from which are interdependent in the sense that inclusion of both projects gives additional effect (positive or negative). For the decision of a problem the modified method of dichotomizing programming is offered

Key words: a variant, a problem, the project, a portfolio