Задача о максимальном k-подграфе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.172

DOI: 10.14529/^сг180102

ЗАДАЧА О МАКСИМАЛЬНОМ К-ПОДГРАФЕ

12 3

В.Н. Бурков', А.Р. Кашенков2, В.Д. Кондратьев3

1 Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва, Россия,

2 Вологодский государственный университет, г. Вологда, Россия,

3 Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), г. Москва, Россия

Вводится понятие К-подграфа как подграфа, каждая компонента которого содержит не более К вершин. Ставится задача определения максимального К-графа, то есть К-графа с максимальным числом вершин. Дается решение задачи для дерева. Для случая К = 2 предложены два эвристических алгоритма. Приведен пример прикладной задачи формирования портфеля с учетом взаимозависимости проектов, алгоритм решения которой включает этап определения максимального К-подграфа.

Ключевые слова: К-подграф, дерево, эвристические алгоритмы, взаимозависимые проекты.

Введение

Ряд задач дискретной оптимизации эффективно решается для графов, которые состоят из компонент, каждая из которых содержит не более К вершин. Чтобы применить соответствующие алгоритмы для общего случая графов, удалим из графа ряд вершин так, чтобы получившийся подграф состоял из компонент, каждая из которых содержит не более К вершин. Если число удаленных вершин невелико, то рассматриваем все варианты вхождения в решение исходной задачи удаленных вершин (таких вариантов 29, где q - число удаленных вершин). Сравнивая все варианты, выбираем лучший. Таким образом, задача сводится к определению подграфа, каждая компонента которого содержит не более К вершин (такой подграф назван К-подграфом). В статье рассматриваются алгоритмы решения задачи определения К-подграфа с максимальным числом вершин (точный алгоритм для дерева и эвристические алгоритмы для случая 2-подграфа). Приводится пример прикладной задачи формирования портфеля проектов с учетом их взаимозависимости, алгоритм решения которой включает задачу определения максимального К-подграфа.

1. Постановка задачи

Задан неориентированный граф G с вершинами.

Определение 1. К-подграфом графа G называется подграф, каждая компонента которого содержит не более К вершин.

Определение 2. К-подграф с максимальным числом вершин называется максимальным. Заметим, что следует отличать 2-подграф как подграф, который является паросочетанием или паросочетание графа, как подмножество ребер, никакие два из которых не имеют общих вершин. На рис. 1 приведены примеры паросочетания (рис. 1а) и 2-подграфа (рис. 1б). Любой 2-подграф является паросочетанием, но не любое паросочетание является 2-подграфом (ребра паросочетания и ребра 2-подграфа выделены толстыми линиями). Задача. Определить максимальный К-подграф.

Дадим формальную постановку задачи для 2-подграфа. Обозначим xi =1, если вершина i принадлежит 2-подграфу, х^ = 0 в противном случае. Задача заключается в максимизации

Ф( х ) = ^х, (1)

i

при ограничениях

X ^ х< 1, i = 1, п, (2)

где Qi - множество вершин, смежных с вершиной i. Задача является задачей квадратичного программирования, для которой не существует эффективных точных методов решения в общем случае.

а) б)

Рис. 1. Примеры паросочетания

Рис. 2. Пример 1

Определение 3. Степенью куста й называется число его висячих вершин.

Теорема 1. Если степень куста й = k, то существует оптимальное решение задачи такое, что корневая вершина не входит в А-подграф.

Доказательство. Предположим противное, то есть корневая вершина принадлежит А-под-графу. Если удалить эту вершину, то можно добавить не менее одной висячей вершины, что не меняет общего числа вершин А-подграфа. Это доказывает теорему.

Теорема 2. Если степень куста й > k, то корневая вершина в оптимальном решении не входит в подграф.

Доказательство. Пусть корневая вершина входит в А-подграф. Удалим эту вершину. В этом случае можно добавить в А-подграф не менее двух вершин. Это доказывает теорему.

Частный случай. Пусть граф G является деревом. В этом случае имеет место Теорема 3.

Теорема 3. Если степень куста й < k - 1, то существует оптимальное решение такое, что корневая вершина принадлежит А-подграфу.

Доказательство. Пусть корневая вершина не принадлежит А-подграфу. В этом случае вершина 7, смежная с корневой и не принадлежащая кусту, принадлежит А-подграфу (в противном случае корневая вершина была бы включена в А-подграф). Удаляем вершину 7 и включаем в А-подграф корневую вершину. Число вершин А-подграфа не изменилось.

Пример 1. Рассмотрим дерево (рис. 2).

Решаем задачу для К = 2. Согласно теореме 1 существует оптимальное решение, в котором вершины 6 и 3 не входят в 2-подграф. После их удаления остаются изолированные вершины 1, 2, 4, 5 и цепь 8, 7, 9, 10. Удалив, например, вершину 9, получаем 2-подграф с семью вершинами. Пусть А = 3. В этом случае, согласно теореме 3, существует оптимальное решение такое, что вершина 7 не принадлежит 3-подграфу. После ее удаления получаем А-подграф с девятью вершинами. Такое решение является оптимальным для любого 3 < А < 10.

2. Общий случай

В случае произвольного графа G рассмотрим два эвристических алгоритма решения задачи. Для случая А = 2. Предварительно определим для каждого ребра (7, у) е G число вершин ту графа G, смежных с этим ребром.

Алгоритм 1. Определяется ребро (7, у) с минимальным т^ . Это ребро включается в 2-подграф. Удаляются все смежные вершины. Далее процедура повторяется для оставшегося графа до получения 2-подграфа.

Алгоритм 2. Определяется вершина 7 с максимальной степенью. Эта вершина исключается из 2-подграфа. Процедура повторяется до получения 2-подграфа.

Замечание. Если по ходу алгоритма встречаются ситуации теорем 1, 2, 3, то применяем соответствующие операции.

Пример 2. Рассмотрим дерево (рис. 3).

Рис. 3. Пример 2

Применим алгоритм 1. Ребро (2, 8) имеет минимальную «28 = 4. Включаем это ребро в 2-подграф. Исключаем ребра (1, 7), (3, 9) и вершины 6 и 12. Остался подграф из четырех вершин 4, 5, 10, 11. Можно включить только одно ребро (например, (4, 10)). Получили 2-подграф с 4 вершинами.

Применим алгоритм 2. Вершины 6 и 12 имеют максимальные степени dВ = d\2 = 6. Удаляем вершину 6 и затем 12. Теперь максимальную степень имеют вершины 4 и 10, d4 = dw = 5. Удаляем вершину 4 и затем 10. Ребро (5, 11) включаем в 2-подграф. Из оставшихся вершин максимальные степени имеют вершины 2 и 8. Удаляем вершину 2 и затем 8. Получили 2-подграф с шестью вершинами. Алгоритм 2 позволил получить оптимальное решение.

Пример 3. Рассмотрим граф (рис. 4).

Рис. 4. Пример 3

Применим алгоритм 1. Минимальное ту = 2 имеют ребра (4, 3), (7, 11) и (9, 10). Включаем

их в 2-подграф. Удаляем вершины 2, 6 и 8. Осталось ребро (1, 5), которое включаем в 2-подграф. Получили 2-подграф с 8 вершинами. Алгоритм 1 дает возможность получить оптимальное решение.

Применим алгоритм 2. Максимальную степень имеют вершины 1 и 6. Удаляем вершину 1 и затем 6. Вершины 5, 7 и 11 включаем в 2-подграф. Далее можно удалить вершины 2 и 10. Получили 2-подграф с 7 вершинами. Полученное решение является оптимальным.

Приведенные примеры позволяют сделать вывод о целесообразности применять оба алгоритма и из полученных решений выбрать лучшее.

3. Пример прикладной задачи

Рассмотрим пример задачи, в решении которой применяется алгоритм определения максимального К-графа. Речь идет о формировании портфеля проектов. Каждый проект описывается эффектом а1 и затратами с1. При этом некоторые проекты взаимозависимы в том смысле, что если два проекта i, у включены в портфель, то возникает дополнительный (синергетический) эффект ау . Определим граф G взаимозависимостей. Вершины графа соответствуют проектам. Две

вершины i, у соединены ребром длины а у, если соответствующие проекты взаимозависимы. Обозначим XI = 1, г = 1, п , максимизирующие

Еал (3)

i i, у

при ограничении

Тс.х, < R, (4)

i

где R - величина инвестиционного фонда. Ниже будет показано, что если граф G является паро-сочетанием, то задача эффективно решается при целочисленных значениях параметров методом дихотомического программирования [1, 2]. Возникает идея исключить из графа ряд вершин так,

чтобы получить паросочетание, то есть 2-подграф. Далее рассматриваем все варианты включения в портфель исключенных проектов (таких вариантов 29 , где q - число удаленных вершин, и затем выбрать лучшее решение). При небольших 9 метод достаточно эффективен. Таким образом, задача свелась к определению максимального 2-подграфа.

Пример 4. Имеются 7 проектов - претендентов на включение в портфель. Данные об эффектах и затратах приведены в табл. 1.

Таблица 1

7 1 2 3 4 5 6 7

а. 12 10 14 9 8 10 6

Сг 3 4 7 6 8 12 9

Примем R = 30. Граф взаимозависимостей представлен на рис. 5.

Рис. 5. Граф взаимозависимостей

I этап. Определяем максимальный 2-подграф. Применяем алгоритм 1. Ребра (2, 3), (3, 4), (5, 7) и (6, 7) имеют минимальные ту, равные 2. Включаем в 2-подграф. Например, ребра (2, 3) и

(5, 7). Удаляем вершины 4, 1 и 6. Получили 2-подграф с четырьмя вершинами. Поскольку число удаленных вершин 9 = 3, то необходимо рассмотреть 23 = 8 вариантов.

II этап. Рассматриваем 8 возможных вариантов.

Вариант 1. Ни один из проектов 4, 1 и 6 не включен в портфель. Применяем метод дихотомического программирования [1, 2]. Возьмем структуру дихотомического представления так, чтобы на нижнем уровне рассматривались пары взаимозависимых проектов (рис. 6).

Рис. 6. Дихотомическое представление

1 шаг. Рассматриваем взаимозависимые проекты 2 и 3. Решение приведено в табл. 2. Первое число в клетках - это эффект, второе - затраты. В клетке (26; 11) к суммарному эффекту 24 добавлен дополнительный эффект 2. Результаты сведены в табл. 3.

Таблица 2 Таблица 3

Объединенный проект I

1 14; 7 26; 11

0 0 10; 4

3 1 0 1

Вариант 0 1 2 3

Эффект 0 10 14 26

Затраты 6 4 7 11

2 шаг. Рассматриваем проекты 5 и 7. Решение приведено в табл. 4. Результаты сведены в табл. 5. Вариант (6; 9) исключен, поскольку он доминируется вариантом (8;8).

Таблица 4 Таблица 5

Объединенный проект II

1 6; 9 17; 17

0 0 8; 8

7 5 0 1

Вариант 0 1 2

Эффект 0 8 17

Затраты 0 8 17

3 шаг. Рассматриваем объединенные проекты I и II. Решение приведено в табл. 6.

Таблица 6

2 17; 17 27; 21 31; 24 43; 28

1 4; 2 18; 12 22; 15 34; 19

0 0 10; 4 14; 7 26; 11

II I 0 1 2 3

Максимальный эффект 43 достигается при затратах 28.

Вариант 2. Проект 1 включен в портфель. Решаем задачу аналогично предыдущему варианту, добавив к эффектам проектов 2 и 5 дополнительные эффекты 1 и 2 соответственно. Приведем только результат. Максимальный эффект равен 35 при затратах 22.

Вариант 3. Проект 4 включен в портфель. Добавляем к эффектам проектов 2 и 3 дополнительные эффекты 2 и 3 соответственно. Приведем результат. Максимальный эффект равен 32 при затратах 26.

Вариант 4. Проект 6 включен в портфель. Добавляем к эффектам проектов 5 и 7 дополнительные эффекты 4 и 5. Приведем результат. Максимальный эффект равен 26 при затратах 23.

Вариант 5. Проекты 1 и 4 включены в портфель. Добавляем к проктам 2, 3 и 5 дополнительные эффекты 3, 3 и 2 соответственно. Учитываем также дополнительно эффект 4 взаимозависимых проектов 1 и 4. Приведем результат. Максимальный эффект равен 67 при затратах 28.

Вариант 6. Проекты 1 и 6 включены в портфель. Добавляем к проектам 2, 5 , 7 дополнительные эффекты 1, 6, 5 соответственно. Приведем результат. Максимальный эффект равен 28 с затратами 30.

Вариант 7. Проекты 4 и 6 включены в портфель. Добавляем к проектам 2, 3, 5, 7 дополнительные эффекты 2, 3, 4 и 5 соответственно. Учитываем дополнительный эффект 4 взаимозависимых проектов 1 и 6. Приведем результат. Максимальный эффект равен 33 при затратах 29.

Вариант 8. Проекты 1, 4 , 6 включены в портфель. Добавляем к проектам 2, 3, 5, 7 дополнительные эффекты 3, 3, 6 и 5 соответственно. Учитываем также дополнительно эффекты 4 и 4 от

взаимозависимых проектов 1, 4 и 1, 6 соответственно. Приведем результат. Максимальный эффект равен 25 при затратах 28.

Сравнивая, получаем, что наилучшим является вариант 5 с эффектом 67, то есть в портфель включены проекты 1, 2, 3, 4, 5.

Рассмотрим теперь возможность решения задачи на основе 3 подграфов. Из рис. 5 видно, что, удалив вершину 1, мы получаем 3-подграф из 6 вершин. В данном случае необходимо рассмотреть два варианта вместо 8 в предыдущем случае. Однако при этом требуется определенная модификация метода дихотомического программирования. Рассмотрим ее на примере более подробно.

Вариант 1. Проект 1 не включен в портфель.

1 шаг. Рассматриваем компоненту 1 из вершин 2, 3, 4. Возьмем структуру дихотомического представления задачи, представленную на рис. 7.

Рис. 7. Структура дихотомического представления

Рассматриваем проекты 2 и 3. Решение приведено в табл. 7. Результаты приведены в табл. 8.

Таблица 7 Таблица 8

Объединенный проект I

1 14; 7 26; 11

0 0 10; 4

3 2 0 1

Вариант 0 1 2 3

Эффект 0 10 14 26

Затраты 6 4 7 11

Эффект от 4 0 2 3 5

Последняя строка показывает эффект от проекта 4, если он будет включен в портфель. В этом суть модификации метода дихотомического программирования. Рассматриваем объединенный проект I и проект 4. Решение приведено в табл. 9. Результаты приведены в табл. 10.

Таблица 9 Таблица 10

Компонента 1

1 9; 6 21; 10 26; 13 40; 17

0 0 10; 4 14; 7 26; 11

4 „^ I 0 1 2 3

Вариант 0 1 2 3 4 5

Эффект 0 10 14 21 26 40

Затраты 0 4 7 10 11 17

2 шаг. Рассматриваем компоненту 2 из вершин 5, 6, 7. Рассматриваем проекты 5 и 6. Решение приведено в табл. 11. Результаты представлены в табл. 12.

Таблица 11

1 10; 12 22; 20

0 0 8; 8

6 5 0 1

Таблица 12 Объединенный проект I

Вариант 0 1 2 3

Эффект 0 8 10 22

Затраты 0 8 12 20

Эффект от 7 0 2 4 6

Рассматриваем объединенный проект I и проект 7. Решение приведено в табл. 13. Результаты представлены в табл. 14.

Таблица 13 Таблица 14

Компонента 2

1 6; 9* 16; 17 20; 21* 34; 29

0 0 8; 8 10; 12 22; 20

7 I 0 1 2 3

Вариант 0 1 2 3 4 5

Эффект 0 8 10 16 22 34

Затраты 0 8 12 17 20 29

3 шаг. Рассматриваем компоненты 1 и 2. Решение приведено в табл. 15.

Таблица 15

5 34; 29 - - - - -

4 22; 20 32; 24 36; 27 43; 30 - -

3 16; 17 26; 21 30; 24 37; 27 42; 28 -

2 10; 12 20; 16 24; 19 31; 22 36; 23 50; 29

1 8; 8 18; 12 22; 15 29; 18 34; 19 48; 25

0 0 10; 4 14; 7 21; 10 26; 11 40; 17

2 1 0 1 2 3 4 5

Максимальный эффект равен 50.

Вариант 2. Проект 1 включен в портфель. Рассматриваем компоненту 1. Берем структуру дихотомического представления рис. 7. Рассматриваем проекты 2 и 3, добавляя к проекту 2 дополнительный эффект от проекта 1. Решение приведено в табл. 16. Результаты представлены в табл. 17.

Таблица 16 Таблица 17

Объединенный проект I

1 14; 7 27; 11

0 0 11; 4

3 2 0 1

Вариант 0 1 2 3

Эффект 0 11 14 27

Затраты 0 4 7 11

Эффект от 4 0 2 3 5

Рассматриваем объединенный проект I и проект 4. Решение приведено в табл. 18. Результаты представлены в табл. 19.

Таблица 18 Таблица 19

Компонента 1

1 13; 6 26; 10 30; 13 45; 17

0 0 11; 4 14; 7 27; 11

4 / I 0 1 2 3

Вариант 0 1 2 3 4 5 6 7

Эффект 0 11 13 14 26 27 30 45

Затраты 0 4 6 7 10 11 13 17

2 шаг. Рассматриваем компоненту 2 из вершин 5, 6 и 7. Рассматриваем проекты 5 и 6. Решение приведено в табл. 20. Результаты представлены в табл. 21.

Таблица 20 Таблица 21

Объединенный проект I

1 14; 12 28; 20

0 0 10; 8

6 5 0 1

Вариант 0 1 2 3

Эффект 0 10 14 28

Затраты 0 8 12 20

Эффект от 7 0 4* 5 9

Рассматриваем объединенный проект I и проект 7. Решение приведено в табл. 22. Результаты представлены в табл. 23.

Таблица 22 Таблица 23

Компонента 2

1 6;9* 20;17 25;21* 43;29

0 0 10;8 14;12 28;20

7 „^ I 0 1 2 3

Вариант 0 1 2 3 4

Эффект 0 10 14 20 28

Затраты 0 8 12 17 20

3 шаг. Рассматриваем компоненты 1 и 2. Решение приведено в табл. 24.

Таблица 24

4 28; 20 39; 24 41; 26 42; 27 - - - -

3 20; 17 31; 21 33; 23 34; 24 46; 27 47; 28 - -

2 14; 12 25; 16 27; 18 28; 19 40; 22 41; 23 44; 25 -

1 10; 8 21; 12 23; 14 24; 15 36; 18 37; 19 40; 21 55; 25

0 0 11; 4 13; 6 14; 7 26; 10 27; 11 30; 13 45; 17

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Максимальный эффект равен 55 + 12 = 67. Выбираем вариант 2. Состав портфеля определяем методом обратного хода. Клетке (55, 25) соответствует вариант 7 компоненты 1 и вариант 1 компоненты 2. Варианту 7 компоненты соответствует включение в портфель проектов 2, 3 и 4. Варианту 1 компоненты 2 соответствует включение в портфель проекта 5. Вместе с проектом 1 получаем, что в портфель включаются проекты 1, 2, 3, 4, 5, что и было получено ранее.

Заключение

Введенное понятие К-подграфа оказалось полезным, как показывает решение задачи формирования портфеля взаимозависимых проектов, особенно при решении целочисленных задач квадратичного программирования. Требует дальнейших исследований задача определения максимальных К-подграфов, особенно для случаев К > 2. Представляет также интерес поиск прикладных задач, эффективно решаемых, если соответствующий граф является К-графом. Заметим также, что, как показывает пример прикладной задачи, в ряде случаев использование 3-подграфа эффективнее, чем использование 2-подграфа.

Действительно, при использовании 2-подграфа в каждом варианте делаются три элементарных шага. Поскольку вариантов 8, то требуется 24 элементарных шага. При использовании 3-подграфа число вариантов равно 2. Однако для каждого варианта требуются 7 элементарных шагов (по три шага для каждой компоненты и один шаг для обоих компонент). В целом получаем 14 элементарных шагов, что меньше 24.

Литература

1. Буркова, И.В. Метод сетевого программирования в задачах нелинейной оптимизации / И.В. Буркова // Автоматика и телемеханика. - 2009. - № 10. - С. 15-21.

2. Буркова, И.В. Метод сетевого программирования в задаче целочисленного линейного программирования /И.В. Буркова, А.Р. Кашенков // Теория активных систем - 2011. Труды международной научно-практической конференции. - М. : Институт проблем управления РАН, 2011. -С. 25-26.

Бурков Владимир Николаевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий лабораторией активных систем, Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва; vlab17@bk.ru.

Кашенков Александр Рудольфович, канд. техн. наук, доцент, Вологодский государственный университет, г. Вологда.

Кондратьев Виктор Дмитриевич, д-р техн. наук, профессор, Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), г. Москва.

Поступила в редакцию 18 сентября 2017 г

DOI: 10.14529/ctcr180102

THE PROBLEM OF THE MAXIMAL K-SUBGRAPH

V.N. Burkov1 *, A.R. Kashenkov2, V.D. Kondratiev3

1 V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russian Federation,

2 Vologda State University, Vologda, Russian Federation,

3 Moscow Automobile and Road Construction State Technical University (MADI), Moscow, Russian Federation

* vlab17@bk.ru

We introduce the notion of a K-subgraph as a subgraph, each component of which contains at most K vertices. The problem is to determine the maximal K-graph, that is, the K-graph with the maximum number of vertices. The solution of the problem for a tree is given. For the case K = 2 two heuristic algorithms are proposed. An example of the applied task of portfolio formation is given

taking into account the interdependence of projects, the algorithm for solving which includes the stage of determining the maximum K-subgraph.

Keywords: K-subgraph, tree, heuristic algorithms, interdependent projects.

References

1. Burkova I.V. [The Method of Network Programming in Problems of Nonlinear Optimization]. Automation and Telemechanics, 2009, no. 10, pp. 15-21. (in Russ.)

2. Burkova I.V. Kashenkov A.R. [The Method of Network Programming in the Problem of IntegerLinear Programming]. Teoriya aktivnykh sistem - 2011. Trudy mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii [The Theory of Active Systems - 2011. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference]. Moscow, Institute of Control Sciences, Russian Academy of Sciences, pp. 25-26. (in Russ.)

Received 18 September 2017

ОБРАЗЕЦ ЦИТИРОВАНИЯ

FOR CITATION

Бурков, В.Н. Задача о максимальном К-подграфе /

B.Н. Бурков, А.Р. Кашенков, В.Д. Кондратьев // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2018. - Т. 18, № 1. -

C. 17-27. DOI: 10.14529/йсг180102

Burkov V.N., Kashenkov A.R., Kondratiev V.D. The Problem of the Maximal K-Subgraph. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics, 2018, vol. 18, no. 1, pp. 17-27. (in Russ.) DOI: 10.14529/ctcr180102