CC BY
38
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лоба чев ского, 2008, № 6, с. 141-146
УДК 519.17
ГРАНИЧНЫЕ КЛАССЫ ДЛЯ ЗАДАЧ НА ГРАФАХ © 2008 г. Д.С. Малышев
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступилб в редбкцию 01.09.2008
Рассматривается понятие граничного класса, которое является полезным инструментом для анализа вычислительной сложности задач на графах. Исследуются два конкретных класса графов, и приводятся задачи, для которых эти классы являются граничными.
Ключевые словб: вычислительная сложность, граничный класс.
Введение
Данная работа является продолжением работы [1]. В этой работе исследовалась сложность различных задач на графах для наследственных классов графов, т.е. классов графов, замкнутых относительно изоморфизма и удаления вершин. Любой наследственный класс X определяется множеством своих запрещённых порождённых подграфов S, при этом принята запись X=Free(S). Если S является минимальным по включению, то пишем S=Forb(X). Если Forb(X) конечно, то класс X называется конечно определённым.
В работе [2] было введено понятие П-прос-того класса графов как наследственного класса с полиномиально разрешимой задачей П, а также понятие П-сложного класса как наследственного класса графов с КР-полной задачей П. В [1] понятие П-сложного класса было уточнено, и теперь под П-сложным классом понимается наследственный класс, не являющийся П-простым. Класс графов называется П-предельным, если он является пересечением убывающей последовательности П-сложных классов. Минимальный по включению П-предельный класс называется П-граничным. Следующее утверждение раскрывает значение понятия П-граничного класса и может быть доказано аналогично теореме 4 работы [3].
Теорема 1. Если Р Ф КР, то конечно определённый класс графов X является П-сложным тогда и только тогда, когда X содержит какой-нибудь П-граничный класс.
В [1] рассматривалась общая задача о наибольшем подграфе и были получены достаточные условия граничности некоторого конкретного класса для этой задачи. Интерес к исследованию случаев граничности этого класса под-
сказан результатами работы [2], из которых следует его граничность для 9 задач на графах. Речь идёт о классе Т - классе графов, у которых каждая компонента связности является деревом не более чем с 3 листьями. В [1] доказано, что если Р ^ КР, то Т является граничным для задачи о наибольшем планарном подграфе и для задачи о наибольшем двудольном подграфе. Утверждения данной работы и некоторые цитируемые результаты также справедливы при выполнении гипотезы Р ^ КР. В дальнейшем всегда предполагается выполнение этого условия, поэтому мы не будем его включать явно в формулировки соответствующих результатов.
В настоящей работе помимо класса Т рассматривается класс D - класс графов, каждая компонента связности которых либо является простым путём, либо получается установлением биекции между вершинами треугольника и тремя концевыми вершинами трёх путей с последующим отождествлением вершин из одной биективной пары. Интерес к классу D подсказан результатами работы [2], из которых следует граничность класса D для 4 задач на графах. В данной работе доказывается несколько условий граничности класса D и одно достаточное условие граничности классов Т и D. В работе также рассматривается общая задача о наибольшем порождённом подграфе и доказывается достаточное условие граничности D для этой задачи. Наконец, в работе приводятся некоторые новые случаи граничности классов Т и D.
Графом рёбер графа G (обозначение L(G)) называется граф, множество вершин которого соответствует рёбрам G, причём любые две вершины являются смежными тогда и только тогда, когда соответствующие им рёбра в G являются смежными. Рёберным графом G называется граф, изоморфный графу рёбер L(H) неко-
торого графа Н. Множество графов, изоморфных графам рёбер графов класса X, обозначается L(X).
kG обозначает граф, получаемый объединением k непересекающихся копий графа G, Т/ -дерево с тремя листьями, находящимися от вершины степени 3 на расстояниях і, /, k соответственно, Dг■>/>k=L(Гг■+lJ■+l>k+l), мост Bk - граф, получаемый соединением вершин степени 2 у двух копий графа К12 путём длины к, гбнтель Нк -граф рёбер графа Вк+1.
Условия граничности классов Т и D
В работе [1] был доказан следующий критерий граничности.
Теорема 2. П-предельный клбсс Л является грбничным тогдб и только тогдб, когдб для любого С є Л существует тбкое конечное множество грбфов X с ForЬ(Л), что клбсс Free(Xи {О}) является П-простым.
В той же работе [1] для к > 1,р > 1,Ь > 3 рассматривался класс
и(к,р,Ь) = Free({Bi: 1 < і < Ь } и и {С{. 3 < і < Ь } и {К1,4,кТр,р,р}) и было доказано следующее утверждение.
Теорема 3. Клбсс Т является П-грбничным тогдб и только тогдб, когдб для любых к и р существует тбкое Ь, что клбсс и(к,р,Ь) является П-простым.
Вершина степени 3 называется внутренней, если не существует пути, соединяющего эту вершину с вершиной степени 1, в котором все промежуточные вершины имеют степень 2. Класс графов и(к) - множество графов, у которых степени всех вершин не превосходят 3, а расстояния между вершинами степени 3 и длины циклов не менее к. Класс V(k) - множество графов, у которых степени всех вершин не превосходят 3 и имеется не более чем к внутренних вершин. В [1] доказано следующее достаточное условие граничности класса Т.
Лемма 1. Если при любом к клбсс и(к) является П-сложным, б клбсс V(k) является П-простым, то клбсс Т является П-грбничным.
Легко проверить, что множество Forb(D) состоит из циклов длины не менее чем 4, всех гантелей и графов К13, К4, К4-е, L(B1). Для к > 1,р > 1, Ь > 4 через W(k,p,b) обозначим множество графов Free({Нi: 1 < і < Ь -1} и {Сі:
4 < і < Ь } и К4-, К4-е, ^ВіХ kDp,p,p})■
В применении к классу D теорема 2 даёт следующий критерий.
Теорема 4. Клбсс D является П-грбничным тогдб и только тогдб, когдб он является П-пре-
дельным и для любых нбтурбльных к и р нбй-дётся тбкое Ь, что клбсс W(k,p,Ь) является П-простым.
Доказательство. Допустим, класс D является П-граничным. Так как граф G=kDpppє D, то по теореме 2 для любых к и р существует такое конечное множество графов X с Forb(D), что класс Free(X и {kDp>p>p}) является П-простым. Пусть Ь - максимум длин гантелей и циклов, содержащихся в X (полагаем Ь=0, если X не содержит гантелей и циклов). Тогда W(k,p,b) с Free(X и {kDppp}) и класс W(k,p,b) будет являться П-простым.
Допустим, что для любых натуральных к и p найдется такое Ь, что класс W(k,p,Ь) является П-простым. Очевидно, что любой граф G є D при некоторых к и p является порождённым подграфом графа kDppp. Заметим также, что при любых к^,Ь для некоторого X сForb(D) имеет место равенство W(k,p,Ь) = Free(X и {kDpp,p,}). Таким образом, для любого С є D при некотором X с ForЬ (D) и некоторых к, p, Ь имеет место включение Free(X и {G}) с W(k,p,Ь).
Теорема доказана.
Лемма 2 [4]. Пусть G1 и G2 - связные грб-фы, причём грбфы L(G1) и L(G2) являются изоморфными. Тогдб грбфы G1 и G2 изоморфны всегдб, кроме случбя, когдб один из них К13, а другой К3.
Лемма 3. При любых к > 1^ > 1,Ь > 4 спрб-ведливо рбвенство W(k,p,Ь)=L(U(k,p+1,Ь)).
Доказательство. При любых і > 2,к > 1^ > 1 справедливы равенства L(Bi)=Hi-1, L(Ci+1)=Ci+1, L(kTp+lp+lp+l)=kDp>p>p. Ясно, что L(Kl>4)=K4, L(D0>0>1)=K4-e. Пусть G є L(U(k,p+1,Ь)), тогда из указанных равенств, предыдущей леммы и того, что граф К13 не является рёберным графом, следует, что Gє W(k,p,Ь). Таким образом, справедливо включение W(k,p,Ь) 3 L(U(k,p+1,Ь)). Покажем, что обратное включение также справедливо.
Пусть G є W(k,p,Ь). Ясно, что степень каждой вершины этого графа не превосходит 3. Из теоремы 8.4 монографии [5] следует, что G является рёберным графом. Пусть G=L(H). Если G=K3, то Н=К13є и^^+^Ь). Если Є Ф К3, то из предыдущей леммы следует, что граф Н определяется единственным образом. Из указанных равенств и той же леммы 2 следует, что Нє и^^+^Ь). Поэтому справедливо включение W(k,p,Ь) с L(U(k,p+1,Ь)). Лемма доказана.
Лемма 4. Если для любого к клбсс L(U(k)) является П -сложным, б клбсс L(V(k) п п Free(C3,B1)) является П-простым, то клбсс D является П-грбничным.
Доказательство. Легко проверить, что при любом к класс графов L(U(k)) является наследственным. Так как L(U(1))зL(U(2))з ... и I L(U(k))=D, то класс D является П-пре-дельным. Для к > 1 и p > 1 положим b=2p+6 и покажем, что W(k,p,Ь) с L(V(k) п Free(C3,B1)). Рассмотрим произвольный С є W(k,p,Ь) и такой граф Нє U(k,p+1,Ь), что G=L(H). Ясно, что степень каждой вершины в графе Н не превосходит 3. Расстояние между любыми двумя вершинами степени 3 в графе Н не менее 2p+4, т.к. в противном случае образуется либо мост длины не более 2p+3, либо порождённый цикл длины не более 2p+6. Предположим, что Н содержит к внутренних вершин. Каждая из этих внутренних вершин принадлежит порождённому подграфу Т^^^^, причём из предыдущих рассуждений следует, что эти подграфы не имеют общих вершин и нет ребёр, соединяющих вершины из разных подграфов. Но тогда эти к подграфов образуют порождённый kтp+1p+1:p+1, поэтому граф G содержит порождённый kDf,f,p. Получаем противоречие. Таким образом, Нє V(k) пFree(C3,B1). Значит, для любых к иp при b=2p+6 класс W(k,p,Ь) является П-простым. Из теоремы 4 следует, что класс D является П-граничным. Лемма доказана.
Древесной декомпозицией графа G называется пара (Т, V), где Т- дерево и с каждой вершиной t этого дерева связано множество Wt с У^) так, что выполняются следующие условия:
1) у^= ил.
tєV(T )
2) Для каждого ребра (u,v) є Е^) существует некоторая вершина t дерева Т, что и и V принадлежат Wt.
3) Для каждой вершины и є У^) множество {їє У(Т): и є Л} образует связное поддерево в дереве Т.
Шириной древесной декомпозиции (Т, V) называется величина tw(T,W)= тах\Л(\— 1 и дре-
їєУ (Т)
весной шириной графа G называется величина тіп (^(ТЛ )), где минимум берётся по всевозможным древесным декомпозициям (Т, V) графа &
В [6] доказано следующее утверждение.
Лемма 5. Существует такое число і, что для любых графов G1є Т и G2 є D древесная ширина в классе графов Free(G1,G2) ограничена числом ї.
Пусть Deg(3) - класс всех графов со степенями вершин не более чем 3.
Лемма 6. Если класс Т (или D) является П-предельным и для любого і задача П полиноми-
ально разрешима для графов класса Deg(3), имеющих древесную ширину, не превосходящую
і, то класс Т (или D) является П-граничным.
Доказательство. Рассмотрим произвольный граф Gє Т. Графы К14 и С3 принадлежат множеству Forb(Т). В классе графов Free(G,K1,4,C3) степени вершин не превосходят 3 и древесная ширина ограничена числом і, поэтому класс Free(G,KЬ4,C3) является П-простым. Из теоремы 2 следует, что Т является П-граничным.
Рассмотрим произвольный граф Gє D. Графы К13, К4, К4-е, L(B1) принадлежат множеству Forb(D). В классе графов Free(G, К13, К4, К4-е, L(B1)) степени вершин не превосходят 3 и древесная ширина ограничена числом і, поэтому класс Free(G, К13, К4, К4-е, L(B1)) является П-простым. Из теоремы 2 следует, что D является П-граничным. Лемма доказана.
Задача о наибольшем порождённом подграфе
Пусть X - некоторый класс графов. Подграф некоторого графа G, принадлежащий X, назовём X-подграфом, а подграф графа G с наибольшим количеством рёбер будем называть наибольшим X-подграфом. В уже упоминавшейся работе [1] рассматривалась задача о наибольшем X-подграфе (задача SUBGRAPH[X]), состоящая в определении по заданному графу G и числу к существования X-подграфа графа G, число рёбер которого не менее к. В данном разделе настоящей работы рассматривается задача о наибольшем порождённом X-подграфе.
Обозначим через пх^) количество вершин в наибольшем порождённом X-подграфе графа G. Если G не содержит ни одного X-подграфа, то положим пх^)=0. Задача о наибольшем порождённом X-подграфе, называемая в дальнейшем задачей ISUBGRAPH[X], состоит в том, чтобы по задаваемым графу G и числу к определить, выполняется ли неравенство пх^) > к.
Ребро в графе называется перешейком, если при его удалении увеличивается количество компонент связности. Операция добавления перешейка состоит в добавлении ребра, соединяющего вершины из разных компонент связности. Операция 5-подразбиения ребра состоит в замене этого ребра путём длины 5+1. Операция 5-слияния состоит в замене пути длины 5+1, в котором все промежуточные вершины имеют степень 2, одним ребром. Понятно, что операция 5-слияния является обратной к операции 5-подразбиения.
Лемма 7. Пусть X - наследственный класс грбфов, збмкнутый относительно доббвления изолированных вершин, добавления перешейков,
5-подразбиения и 5-слияния. Если граф G' получен из графа G 5-подразбиением некоторого ребра, то nx(G')= пх^)+5.
Доказательство. Предположим, что граф G' получен из G заменой ребра е=(а,Ь) путём Р длины 5+1. Пусть Н - наибольший порождённый X-подграф графа G. Построим порождённый подграф Н' графа G' следующим образом. Если е є Е(Н), то в граф Н' включаем весь путь Р, если е £ Н и а є У(Н) (или Ь є У(Н)), то в граф Н' включаем весь путь Р, кроме его концевой вершины Ь (или а), если а £ У(Н) и Ь £ У(Н), то в граф Н' включаем весь путь Р, кроме его концевых вершин. Граф Н' получается из Н либо 5-подразбиением, либо добавлением изолированных вершин и перешейков, поэтому Н' є X. Таким образом, nx(G') > пх^)+5.
Докажем выполнение обратного неравенства. Пусть Н' - наибольший X-подграф графа G'. Так как класс X замкнут относительно добавления изолированных вершин и перешейков, то Н' содержит либо все вершины пути Р, либо все, кроме одной, либо все, кроме концевых вершин пути Р. В первом случае заменяем Р одним ребром. Во втором и третьем случаях удаляем все промежуточные вершины пути Р, причём если а є У(Н') и Ь є У(Н'), то удаляем любую из этих двух вершин. Ясно, что получаемый граф Н принадлежит классу X, т.к. может быть получен из графа Н' либо 5-слиянием, либо удалениями вершин. Таким образом, пх^) > nx(G')-5.
Из обоих неравенств получаем, что nx(G')=nx(G)+5. Лемма доказана.
Операция присоединения треугольника в графе G состоит в добавлении к графу G вершины а и двух рёбер, соединяющих вершину а с двумя соседними вершинами Ь и с степени не более 2, которые не принадлежат ни одному треугольнику графа G.
Теорема 5. Пусть X - наследственный класс графов, замкнутый относительно присоединения треугольников, добавления изолированных вершин, добавления перешейков, 5-подразбиения ребер, не принадлежащих треугольникам, и 5-слияния при некотором 5. Если существует алгоритм проверки принадлежности графа классу X и класс L(U(2)) является ISUBGRAPH[X]-сложным, то класс D является ISUBGRAPH[X] -граничным.
Доказательство. Зафиксируем некоторое натуральное число к и рассмотрим произвольный граф Gє L(U(2)). Выполним 5к-подразбиение всех рёбер графа G, которые не принадлежат треугольникам, и получим некоторый граф Glє L(U(2+k5)). Из предыдущей леммы следует,
что nx(G')=nx(G)+k5m , где т* - количество ребер графа G, не принадлежащих его треугольникам. Поэтому при любом к задача ^иВ-GRAPH[X] в классе L(U(2)) полиномиально эквивалентна той же задаче в классе L(U(2+k5)). Таким образом, класс L(U(k)) является ^иВ-GRAPЩX]-сложным при любом натуральном к.
Покажем, что класс L(V(k) п Free(C3,B1)) является ISUBGRAPH[X]-простым при любом к. Пусть G є L(V(k) п Free(C3,B1)). Если есть вершина степени 1, то она обязательно принадлежит любому наибольшему порождённому X-подграфу графа G (ввиду замкнутости класса X относительно добавления изолированных вершин и перешейков). Если в G существует треугольник, одна из вершин которого имеет степень 2, то ввиду замкнутости класса X относительно присоединения треугольников, добавления изолированных вершин и перешейков такая вершина степени 2 принадлежит любому наибольшему порождённому X-подграфу графа G. Таким образом, можно считать, что в графе G любая вершина имеет степень 2 или 3, причём все вершины степени 3 являются внутренними. Можно также считать, что к графу G неприменима операция 5-слияния (т.к. по лемме 7 задача о наибольшем порождённом X-подграфе полиномиально сводима к таким графам). Значит, задача ISUBGRAPH[X] полиномиально сводится к той же задаче для графов из класса У(к,5) с L(V(k) п Free(C3,B1)), которые не имеют вершин степени 1, у которых все треугольники образуются внутренними вершинами и к которым неприменима операция 5-слияния. Легко проверить, что класс У(к,5) состоит из графов, являющихся рёберными графами графов, получаемых из кубических графов не более чем с к вершинами подразбиением каждого ребра не более чем 5 раз. Понятно, что количество вершин в любом графе из У(к,5) не превосходит (35 ^ 1)к , т е. при фиксированных к и 5
множество У(к,5) является конечным.
Следовательно, по лемме 4 класс D является граничным. Теорема доказана.
Лемма 8. Пусть Н є и(4), причём G=L(H). Тогда граф G является планарным тогда и только тогда, когда граф Н является планарным; граф G является совершенным тогда и только тогда, когда Н является двудольным.
Доказательство. Так как класс и(4) не содержит треугольников, то из леммы 2 следует, что граф Н є и(4) определяется единственным образом по графу G. Понятно, что степени вершин в графах G и Н не превосходят 3, поэтому оба графа не содержат подграфов, го-
меоморфных К5. Легко проверить, что рёберный граф графа K33 не является планарным (т.к. содержит порождённый подграф КЗЗ), поэтому рёберный граф любого графа, гомео-морфного K3 3, также не является планарным. Но тогда из леммы 2 следует, что если граф G является планарным, то граф H также является планарным. Обратное утверждение легко проверяется непосредственным построением плоской укладки графа G по плоской укладке графа H.
Известно, что класс совершенных графов совпадает с классом Free({C2k+1, N2k+1 , k>1}) [У]. Ясно, что граф G не содержит порождённых подграфов N2k+1 при k>1. Так как при любом i > 3 имеет место равенство L(Ci)=Ci, то из той же леммы 2 следует, что граф G является совершенным тогда и только тогда, когда граф H является двудольным. Лемма доказана.
Теорема 6. Для задачи о наибольшем порождённом планарном подграфе, задачи о наибольшем порождённом совершенном подграфе класс D является граничным.
Доказательство. Пусть Planar - класс планарных графов, Bipartite - класс двудольных графов, Perfect - класс совершенных графов. В работе [1] показано, что класс U(4) является SUBGRAPH[Planar]-сложным и SUB-
GRAPЩBipartite]-сложным. Понятно, что для любого графа H граф G=L(H) может быть построен из H за полиномиальное время. Обратно, граф H может быть построен из G за полиномиальное время [9].
Из предыдущей леммы следует, что задача SUBGRAPH[Planar] в классе U(4) и задача ISUBGRAPH[Planar] в классе L(U(4)) являются полиномиально эквивалентными. Следовательно, класс L(U(2)) является ISUBGRAPH [Planar-сложным. Остальные условия теоремы
5 для задачи о наибольшем порождённом планарном подграфе также выполняются, если положить s=1.
Из леммы 8 следует, что задача SUB-GRAPH[Bipartite] в классе U(4) и задача ISUB-GRAPH[Perfect] в классе L(U(4)) являются полиномиально эквивалентными. Следовательно, класс L(U(2)) является ISUBGRAPH[Perfect]-сложным. Остальные условия теоремы 5 для задачи ISUBGRAPH[Perfect] также выполняются, если положить s=2. Теорема доказана.
Нетрудно привести пример бесконечного множества задач о наибольшем порождённом подграфе, для которых классы Т и D являются граничными одновременно. Пусть M - множество всех графов, гомеоморфных графу K13, а
N - множество графов, получаемых из графа К5 ^подразбиением каждого ребра. Рассмотрим задачу ISUBGRAPH[Free(Mи ^)]. Понятно, что при любом і в классе Deg(3) задачи ISUBGRAPH[Free(M и Щ и ЮиВ-
GRAPH[Planar] совпадают. Из результатов работы [1] и предыдущих двух теорем следует, что для любого к классы и(к) и L(U(k)) являются ISUBGRAPH[Planar]-сложными, поэтому при любом і классы Т и D являются ISUBGRAPH[Free(M и ^)]-предельными. В той же работе [1] и в предыдущей теореме показано, что классы Т и D являются ^иВ-GRAPH[Planar]-граничными. Тогда из теорем 3 и 4 следует, что при любом фиксированном і классы Т и D являются ^иВ-
GRAPH[Free(M и ^)]-граничными.
Новые случаи граничности классов Т и D
Независимым рёберным доминирующим множеством (EIDS) графа G=(VE) называется такое множество попарно не смежных рёбер Е' с Е, что любое ребро из множества Е-Е' инцидентно хотя бы одному ребру из Е'. EIDS графа G с наименьшим количеством рёбер называется наименьшим EIDS. Количество рёбер в наименьшем EIDS графа G будем обозначать eid5(G).
Задача о независимом ребёрном доминирующем множестве (EIDSP), названная в [9] задачей о минимальном по мощности максимальном паросочетании, состоит в том, чтобы по заданным графу G и числу к определить, выполняется ли неравенство eid5(G) > к.
Лемма 9. Пусть граф G' получен из графа G 3-подразбиением произвольного ребра, тогда eid5(G')=eid5(G)+1.
Пусть при 3-подразбиении ребра е=(а,Ь) в граф G были введенні три новые вершинні а1, с1, Ь1, где (а,а1)є E(G'), (а1,с1)є Е^'),
(с1,Ь1)є E(G'), (Ь1,Ь)є E(G'). Пусть М^) - некоторое минимальное EIDS графа G. Построим некоторое EIDS графа G'. Если еєM(G), то удаляем е из М^) и добавляем ребра (а,а1) и (Ь1,Ь). Если е£ М^), то в M(G) имеется ребро, инцидентное либо а, либо Ь, в первом случае к М^) добавляем ребро (с1,Ь1), во втором случае к М^) добавляем ребро (а1,с1). После выполнения операций получается некоторое EIDS графа G', состоящее из eid5(G)+1 ребер, отсюда eid5(Gr) < eid5(G)+1.
Докажем выполнение обратного неравенства. Пусть M(G') - минимальное EIDS графа G'. Построим некоторое EIDS графа G. Ясно, что в М^') обязательно содержится хотя бы одно из
рёбер (а,а1), (а1,с1), (с1,Ь1), (Ь1,Ь). Тогда возможны только следующие случаи:
1. Если (а,а1)є М^1) и (Ь1,Ь)є М^'), то удаляем из М^') ребра (а,а1) и (Ь1,Ь) и добавляем ребро е.
2а. Если (а,а1)є М^'), (с1,Ь1)є M(G') и М^) не содержит ребер, инцидентных вершине Ь, то удаляем из M(G') ребра (а,а1) и (с1,Ь1) и добавляем ребро е.
2б. Если (а,а1)є M(G'), (с1,Ь1)є M(G') и М^) содержит ребра, инцидентные вершине Ь, то во множестве инцидентных вершине а рёбер (кроме (а,а1)) находим ребро е , не инцидентное ни одному ребру из М^УКаа)}. Такое ребро существует, т.к. в противном случае множество М^') не является минимальным -из него можно удалить ребра (а,а1), (с1,Ь1) и добавить ребро (а1,с1). Удаляем из М^') ребра (а,а1), (с1,Ь1) и добавляем ребро е .
3. Если (а1,с1)є М^'), (Ь1,Ь)є M(G'), то этот случай симметричен случаям 2а и 2б.
4. Если среди ребер (а,а1), (а1,с1), (с1,Ь1), (Ь1,Ь) в M(G') входит только одно ребро, то удаляем это ребро из М^').
После выполнения операций получается некоторое EIDS графа G', состоящее из eid5(G)+1 ребер, отсюда eid5(G) < eid5(Gr)-1. Из обоих неравенств получаем, что eid5(G')=eid5(G)+1. Лемма доказана.
Задача о разбиении на клики (РСР) для данного графа G состоит в разбиении его множества вершин на минимально количество подмножеств, каждое из которых порождает в G клику.
Теорема 7. Класс Т является EIDSP-грб-ничным, а класс D является РСР -граничным.
Доказательство. Класс Deg(3) является EIDSP-сложным [9]. Из предыдущей леммы легко следует, что при любом натуральном к класс и(к) является EIDSP-сложным. Таким
образом, класс Т является EIDSP-предельным.
В доказательстве теоремы 11 работы [2] показано, что при любом натуральном k класс L(U(k)) является PCP-сложным. Отсюда следует, что класс D является PCP-предельным.
Для любого натурального t в классе графов с древесной шириной, не превосходящей t, EIDSP [10], PCP [10] полиномиально разрешимы. Отсюда и из леммы б следует EIDSP-граничность класса Т и PCP-граничность класса D.
Список литературы
1. Алексеев В.Е., Малышев Д.С. Критерий гра-ничности и его применения // Дискретный анализ и исследование операций (принято к публикации).
2. Alekseev V.E., Boliac R., Korobitsyn D.V., Lozin V.V. NP-hard graph problems and boundary classes of graphs // Theoretical Computer Science. 200У. V. 389. P. 219-23б.
3. Alekseev V.E. On easy and hard hereditary classes of graphs with respect to the independent set problem // Discrete Applied Mathematics. 2004. V. 132. P. 17-2б.
4. Whitney H. Congruent graphs and the connectivity of graphs // Amer. J. Math. 1932. V. 54. P. 150-1б8.
5. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1982.
6. Lozin V.V., Rautenbach D. Оп the band-, tree- and clique-width of graphs with bounded vertex degree // SIAM J. Discrete Math. 2004. V. 18. P. 195-20б.
У. Chudnovsky M., Robertson N., Seymour P., Thomas R. The strong perfect graph theorem // Annal. of Math. 200б. V. 1б4. P. 51-229.
8. Roussopoulos N. A max{m,n} algorithm for determining the graph H from its line graph G // Information Processing Letters. 19УЗ. V. 2. № 4. P. 108-112.
9. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.
10. Bodlaender H.L. Dynamic programming on graphs with bounded treewidth // LNCS. 1988. V. З1У. P. 105-118.
BOUNDARY CLASSES FOR GRAPH PROBLEMS
D.S. Malyshev
The notion of a boundary class is considered. This notion is a helpful tool to analyze the computational complexity of graph problems. Two particular graph classes are considered and some problems for which these classes are boundary are given.
