CC BY
56
Компактирование нанопорошка меди в ударной волне
С.П. Киселев, В.П. Киселев
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия
Разработана методика расчета адиабаты нанопорошка меди, с помощью которой решена задача о компактировании в косой ударной волне медного нанопорошка, заключенного в металлический контейнер.
Copper nanopowder compaction in a shock wave
S.P. Kiselev and V.P. Kiselev
Institute of Theoretical and Applied Mechanics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia
We have developed a procedure for calculating the adiabat of copper nanopowder. The procedure is used to solve the problem on the compaction of copper nanopowder put into a metal container in an oblique shock wave.
1. Введение
Одним из методов получения наноструктурных материалов является компактирование нанопорошков в ударных волнах [1-3]. В настоящее время разработано несколько экспериментальных методов компактирования нанопорошков, использующих электромагнитную энергию и энергию взрывчатых веществ. Однако эти методики не имеют надежного теоретического обоснования. Это связано с тем, что существенную роль в компактировании играют процессы, протекающие в широком диапазоне масштабов — от нано- до макроуровня. Произвести учет всех масштабов в одном расчете практически невозможно, поэтому используются различные приближения. В работе [1] для описания сжатия нанопорошка оксида алюминия в ударной волне использовалась модель идеальной сжимаемой жидкости. Использованная в [1] адиабата сжатия нанопорошка построена по данным эксперимента [4], поэтому данная модель не является замкнутой. Кроме того, в рамках этого подхода [1, 4] невозможно определить атомную структуру получаемого компакта и его физико-механические свойства.
В данной работе расчеты выполнены на нано- и макроуровне. Адиабата нанопорошка определяется из численного расчета на наноуровне, который проводится методом молекулярной динамики [5]. Затем с помощью
полученной адиабаты и уравнений механики сплошных сред производится расчет нагружения нанопорошка на макроуровне.
2. Постановка задачи
Рассмотрим плоский слой плотноупакованного порошка меди. По поверхности слоя бежит детонационная волна, которая создает косую ударную волну, за которой происходит компактирование нанопорошка (рис. 1, а). Если выделить в нанопорошке некоторый малый объем (рис. 1, б), размер которого dx существенно меньше характерного размера оболочки L, то все наночастицы в нем будут деформироваться одинаковым образом. По этой причине достаточно рассчитать деформацию характерной наноячейки, которая показана на рис. 1, в. Будем считать, что наночастицы в ячейке имеют плотную кубическую упаковку (рис. 1, в), а центры наночастиц находятся в вершинах куба. Для определения адиабаты нанопорошка рассмотрим задачу о нагружении наноячейки сферическим «поршнем».
3. Нагружение наноячейки сферическим поршнем
Рассмотрим наноячейку (рис. 1, в), состоящую из восьми плотноупакованных наночастиц меди радиуса Rp, расположенных в вершинах куба с длиной ребра
© Киселев С.П., Киселев В.П., 2006
I. Для расчета деформации наноячейки под действием сферического поршня будем использовать метод молекулярной динамики [5]. Движение атомов меди описывается уравнениями Гамильтона [5]:
ёра1
дН 0ха1 дН
дхаі ’ & дРаі ’
(1)
н = К + 2 Кех(( хш) + и (хш),
а=1 N 3 р2.
к = 22р-,
а=11=1 2т
где ра1, ха1 — импульсы и координаты атомов; К — кинетическая энергия; т, N — масса и полное число атомов; V, Уех1 — потенциалы межатомного взаимодействия и внешнего воздействия; а — номер частицы; I — координаты. В качестве V выбран многочастичный потенциал Джонсона [6], рассчитанный методом погруженного атома:
N 1 N N
и = £ р (р а )+2 ХЕФ(^),
а=1 2 а=1Ь Ф а
N
(2)
Р а 2 / (гаЬ ),
Ь Ф а
/(г) = /е ехР(-Р(гДе -ОХ
Ф(г) = Ф е ехр(-у(г/ге - 1)),
F(Р) = -ЕС (1 - 1п х)х - 6феУ, х = (Р/Ре), У = (Р/Ре)У/в,
Ре = 12/е’ Ге = а/л/2,
где Р — электронная плотность; а — размер ГЦК-решетки; ге — равновесное расстояние между атомами. Нагружение наноячейки производилось сферическим поршнем, который моделировался внешним потенциа-
лом в виде отталкивающей части потенциала Леннар-да-Джонса [5]. Поршень действует на атомы, находящиеся в тонком слое вблизи поверхности поршня, с силой Раі, направленной к центру ячейки:
Р = —
а1
дК«(г )
дХаі ’
(3)
Vext(r) = А
\12
г - К,
■ = у1 (Х1а )2 + (Ха2)2 + (Х^)2 ,
где радиус поршня гу = гу (г) являлся заданной функцией времени t (рис. 1, в).
Система обыкновенных уравнений (1) с потенциалами (2), (3) решалась численно по схеме Верлета [5]. Для ускорения расчетов вводился радиус обрезания гС и производилось разбиение расчетной области на кубические ячейки, для которых составлялись «связанные списки» [5]. В расчетах учитывалось взаимодействие только между атомами, которые находились на расстояниях гаЬ < гС, где
х\ -Х1)2 + (Ха2 -ХІ)2 + (х^ -ХЬ)2.
В этом случае при пресечении атомом границы сферы радиуса гС происходит скачок силы и энергии. Для его устранения, аналогично [5], введем модифицированный потенциал путем замены в (2) функций f(г), ф(г) на
/ ( Г ):
Ф (г) =
/ (г) - / (гс) - (г - Ж аг
0;
Ф(г) -Ф(гс) - (г - гс>
0.
ёФ
аг
г < г
, ' "V г с ,
Рис. 1. Физическая схема компактирования порошка за косой ударной волной: а — ударно-волновая картина в порошке; б — упаковка нанопорошка перед компактированием; в — нагружение наноячейки сферическим поршнем
Рис. 2. Расположение атомов наноячейки в плоскости х, 2 при ее сжатии поршнем со скоростью V0 = 37 м/с для трех моментов времени: г = 2.5 • 103 (а); 7.5 • 103 (б); 2.5 • 104 фс (в)
Решением уравнений являлись импульсы и координаты атомов, по которым находились средние напряжение ау [7] и температура Т [5]:
1 N
--Е
VeTi
paipaj + 1 е 17i „і + rs Е Fabxab
m 2 ьфa
Рис. 3. Функция радиального распределения атомной плотности для трех моментов времени: £= 2.5 • 103 (сплошная линия); 7.5 • 103 (штриховая линия); 2.5 • 104 фс (пунктирная линия)
ди
xab xa xb, Fab
dx'
ab
/ \ 1 N
Pai=mV ai > (V ai / = — EV ai > N a=1
(4)
T = -
2 N 3 mv' v' ■
___ ЕЕ m ai
3NkB a=1i=1 2
V'ai =Vai -(Vai).
где kB — постоянная Больцмана; F — объем, занимаемый атомами. Используя определение давления 1 3 ..
P = Е а 11, получим из (4) формулу для среднего
3 i=1 давления [5]:
1 N 3
P = nkBT + — ЕЕFX, (5)
3V a=1i=1
N
Fa = Е Faè,
Ьф a
где n = — концентрация атомов; Flla — сила, дей-
ствующая на атом со стороны остальных атомов. Вычисление объема V производилось путем разбиения расчетной области на кубические ячейки и суммированием в каждый момент времени объемов ячеек, в которые попадают атомы. Размер кубической ячейки выбирался равным равновесному расстоянию между атомами re. В этом случае рассчитанная плотность ненагру-женных частиц меди равна р s = Nm/V = 8.93 -103 кг/м3.
В расчетах перед нагружением наноячейка имела размер l = 2.4 нм, радиус наночастицы Rp = 0.5 нм, число атомов меди N = 630. Числовые параметры, входящие в потенциал (2), приведены в работе [6]: a = 5.09;
Рис. 4. Результаты расчета средних параметров при сжатии наноячейки поршнем со скоростью Vо = 37 м/с. Зависимость от времени следующих величин: среднего давления Р (а); температуры нанокластера Т(б); средней плотности р (в); истинной плотности р8 (г); вариации энергии (д). На рис. 4, д кривая 1 описывает изменение полной энергии АЕ = Е(г) - Е(г = 0); 2 — кинетической энергии К(г); 3 — потенциальной энергии
Аи= и (г) - и(г = 0)
в = 5.85; у = 8; /е = 0.3 эВ; ф е = 0.59 эВ; Ес = 3.54 эВ; а = 3.62 А; радиус обрезания был равен гс = 5.82 А.
Перед нагружением наноячейки производилось ее «охлаждение» до температуры 0.014 К. «Охлаждение» производилось путем решения модифицированных уравнений (2), в первое уравнение добавлялась сила вязкого трения [8] РЧ1 = -£уаі, а поршень покоился. Нагружение наноячейки происходило в два этапа: на первом этапе поршень сжимался, а на втором этапе расширялся. Поршень сжимался с постоянным ускорением в течение времени 0 < ґ < ґ1. Как отмечалось выше, поршень моделировался потенциалом (3), в котором радиус поршня гу (ґ) определялся из уравнения:
гу (ґ) = гу° -У 0ґ2/(2ґ0).
Торможение и расширение поршня происходили на отрезке времени ґ1 < ґ < ґ2 с постоянным ускорением V 0Іґ3, поэтому
гу (ґ) = ^ (ґ1) + ^ (ґіУаґ + V 0(ґ - ґ1)2/(2ґ 3)'
Численные параметры в потенциале (3) были равны: А = 3 • 10-21 Дж, г0 = 2 А, гV0 = 1.8 нм, V 0 = 37 м/с, ґ0 = = 1.9-10-11с, ґ3 = 10-11с. При данных параметрах сжатия наноячейки скорость деформации имеет порядок
8 ~ V^(2Rp) ~ 4-1010с-1. Моменты времени ґ1, ґ2 в различных расчетах варьировались. В расчетах методом молекулярной динамики использовались следующие единицы [5]: 1 г; 1 А = 10-10 м; 1 фс = 10-15 с.
На рис. 2 показан вид сбоку на наноячейку из атомов меди при ее сжатии сферическим поршнем для трех моментов времени: 2.5-103 , 7.5 • 103, 2.5-104 фс. На рис. 3 для тех же моментов времени построены зависимости функции радиального распределения атомной плотности [9-11]:
*(г)= 1 ^
4пг 2 ш аг
от расстояния между атомами г, где гї^(г) — число атомов, находящихся в шаровом слое от г до г + dr. На рис. 4 приведены зависимости среднего давления Р(ґ), температуры Т(ґ), средней плотности р(ґ) = Nm| (V (ґ) + +4Vvoid(t)) и «истинной» плотности р8(ґ) = Nm|V(ґ) от времени Ї, где Vwoid — объем поры, находящейся в центре ячейки. (Появление коэффициента 4 перед объемом поры VY0Іd связано с тем, что в начальный момент времени на каждую границу наноячейки приходится половина объема поры ^У0іа. Как показывают приведенные ниже расчеты, во время затекания поры это
О г, А 10 5 0 -5 -10
-10 -5 0 5 10 х, А
о
-10 -5 0 5 10 х, А
о
-10 -5 0 5 10 х, А
Рис. 5. Расположение атомов наноячейки в плоскости х, 2 при ее
3
самопроизвольном сжатии для трех моментов времени: г = 1 • 10 (а); 2.5 • 103 (б); 5 • 103 фс (в)
соотношение приблизительно сохраняется, а форма ячейки остается близкой к кубической. После затекания поры наноячейка приобретает форму, близкую к сферической.) Из рис. 4 видно, что сначала происходят упругие колебания наноячейки, которые приводят к осцилляциям средних параметров. Из рис. 2, а следует, что при
63
упругих колебаниях в наночастицах меди сохраняется структура исходной кристаллической ГЦК-решетки. Соответствующая функция g(r) (рис. 3, а) состоит из острых пиков, отвечающих атомам в координационных сферах ГЦК-кристалла. Затем, при г > 5 -103 фс начинается затекание поры (рис. 2, б), которое приводит к выделению значительной тепловой энергии и разогреву наноячейки (рис. 4, б). Атомная структура наноячейки становится аморфной, что подтверждается видом функции g(r) (рис. 3, б), характерным для жидкости [11]. За счет теплового движения молекул давление, плотность и температура (рис. 4) начинают быстро осциллировать вблизи средних значений, которые медленно меняются при сжатии и расширении наноячейки. Температурные флуктуации приводят к отклонению пространственного распределения атомов от сферически симметричного (рис. 2, б). В результате пластического затекания поры происходит необратимый рост средней плотности и температуры, а «истинная» плотность р 8 при этом уменьшается, что связано с тепловым расширением материала.
Интересно отметить, что среднее давление )) =
= 0 и полная энергия (рис. 4, д) Е = К + V = 0 равны нулю до момента г ~ 2 • 104 фс, хотя затекание поры закончилось значительно раньше, приблизительно к моменту времени г ~ 1 • 104 фс (рис. 4). Для объяснения этого эффекта рассмотрим задачу о поведении наноячейки без сферического «поршня». Оказалось, что если наноячейка была «холодной», то в течение всего времени расчета она упруго колебалась в окрестности равновесного значения. Если наноячейка «подогревалась» с помощью случайно направленной силы [12] до малой температуры порядка 3 К, то происходило самопроизвольное затекание поры под действием силы поверхностного натяжения за время А ~ 2 -103 фс (рис. 5). В этом случае температура и плотность возрастали, а давление осциллировало в окрестности нуля (рис. 6). Полная энергия оставалась равной нулю Е = 0, а кинетическая энергия К возрастала за счет уменьшения потенциальной энергии V (рис. 6, г). Отсюда следует, что наноячейка, показанная на рис. 1, в, является неустойчивой. Малое температурное возмущение приводит к затеканию поры и выделению значительного количества тепла. Пространственное распределение атомов в наноячейке после затекания поры существенно отличается от сферически симметричного. Одной из причин данного эффекта являются температурные флуктуации и отсутствие сферической симметрии в начальном распределении атомов. Другой причиной является наличие многочастичного взаимодействия между атомами, которое описывается первым членом в уравнении для потенциала межатомного взаимодействия (2). В результате минимальную энергию имеет кубическая пространственная конфигурация, которая значительно отличается от сферической.
р, г/см3 1 ■ мЛ И. 1\ к б
8.5 : №
8.0 \ /
7.5 ; а/
7.0
о ■01 ° о см о о о
у ■ Ю13, Дж 0.8 ] L 2 Ш
0.4
0.0 1
-0.4 V3
-0.8 - 1 1 1 !
0.0 0.2 0.4 1, 104фс
Рис. 6. Самопроизвольное сжатие наноячейки, начальная температура нанокластера Т0 = 3 К. Зависимость от времени следующих величин: температуры нанокластера Т (а); средней плотности р (б); среднего давления Р (в); вариации энергии (г). На рис. 4, г кривая 1 описывает изменение полной энергии АЕ = Е(^ - Е ^ = 0); кривая 2 — кинетической энергии К(0; кривая 3 — потенциальной энергии Аи=
= и (0 - щ = 0)
Оценим приращение температуры и характерное время затекания поры. В начальный момент времени полная площадь свободной поверхности наноячейки равна — 4п- 8 • (0.5)2 нм2, а после затекания поры 52 —
— 4п 1 нм2 Используя оценку для поверхностной энергии [13] аа — 0.5 Дж/м, найдем изменение поверхностной энергии наноячейки при затекании поры АЕа —
— аа(51 - 52) — 6.2 40-18 Дж. Из рис. 6, а найдем изменение температуры наноячейки АТ — 500 К и приращение тепловой энергии К = (3/2)ШВАТ - 6.5 -10-18 Дж. Отсюда следует, что нагрев наноячейки происходит за счет уменьшения поверхностной энергии К — АЕ а. Используя Пи-теорему, получим оценку характерного времени затекания поры та ~ ^32Д/2аа/р8 —10-12 с, которая хорошо согласуется с рассчитанным временем затекания поры Аг — 2 • 10-12 с.
Рассмотренный выше механизм затекания поры наблюдается также в случае сжатия наноячейки с помощью поршня. Малое возмущение, возникающее при движении поршня, приводит к затеканию поры под действием силы поверхностного натяжения за время Аг — 2 -103 фс. За это время поверхность наноячейки смещается на расстояние порядка 2 А, а поршень — на расстояние Агу — V 0 Аг/2 — 0.18 А. В результате происходит отрыв наноячейки от поршня, и среднее давление в ней остается равным нулю, пока в момент г — 2 • 104 фс поршень не догонит поверхность наноячейки. Если увеличить скорость сжатия «поршня» на порядок, то эффект отрыва наноячейки от поршня исчезает. На рис. 7, 8 показаны рассчитанные атомные конфигурации и средние параметры при сжатии наноячейки поршнем со скоростью V0 = 370 м/с. Видно, что наноячейка постоянно испытывает влияние сферического поршня и атомная конфигурация остается симметричной. Давление, плотность, температура и энергия наноячейки растут при сжатии поршня и уменьшаются при его расширении (рис. 8). На зависимости средних параметров от времени накладываются осцилляции с периодом 600 фс, которые связаны с распространением волн сжатия и разрежения в наноячейке с характерным временем т —
— Яр/ с — 500 фс, где с — 4 -103 м/с — объемная скорость звука в меди. Сжатие поршня приводит к росту полной, кинетической и потенциальной энергий (рис. 8, е). В момент времени г — 2.8 • 103 фс происходит фазовый переход, при котором выделяется тепло (увеличивается кинетическая энергия) за счет уменьшения потенциальной энергии. При этом исчезает дальний порядок и наноячейка переходит в жидкое состояние (рис. 8, а). До момента фазового перехода потенциальная энергия растет значительно быстрее, чем кинетическая энергия. Атомы в кристалле занимают состояния, которые определяются взаимодействием с движушимся поршнем. Однако эти состояния не являются энергетически выгодными, поэтому при температуре 1 800 К
г, А 10
пі/*#
5*;гС:
-10
1--------------1-----------1-----------г
-10 -5 0 5 10 х,
Рис. 7. Расположение атомов наноячейки в плоскости х, z при ее сжатии поршнем со скоростью V0 = 370 м/с для двух моментов времени: ґ = = 2.4 • 103 (до фазового перехода) (а); 2.8 • 104 фс (после фазового перехода) (б)
(рис. 8, в) происходит релаксация атомной системы и она переходит в более устойчивое состояние с меньшей потенциальной энергией.
Чтобы сделать наноячейку устойчивой к малым возмущениям, можно добавить в нанопорошок микрочас-
тицы, которые будут отбирать тепловые и механические возмущения у наночастиц. Например, в экспериментах [3] наночастицы помещали внутри частиц микронных размеров. В результате наночастицы остаются практически «холодными» при компактировании. Для
р, г/см3 \г_
р5, г/см3
у-1013, Дж \ё\
Рис. 8. Результаты расчета средних параметров при сжатии наноячейки поршнем со скоростью V0 = 370 м/с. Функция радиального распределения атомной плотности для двух моментов времени приведена на рис. 8, а: сплошная линия — до фазового перехода, t = 2.4 • 103 фс; штриховая линия— после фазового перехода, t = 2.8 • 104 фс. Зависимость от времени следующих величин: среднего давления Р (б); температуры нанокластера Т(в); средней плотности р (г); истинной плотности р8 (д); вариации энергии (г). На рис. 8, г сплошная кривая описывает изменение полной энергии АЕ = Е(^ - Е^ = 0); штриховая кривая — кинетической энергии К(^; пунктирная кривая — потенциальной энергии А и = и (0 - Щ = 0)
Р, ГПа 8
Т, К
- А а , б II
: / \ 12 :
: \ у \ 0.34 -
: Г \ 8 ~
: \ 4 ^ 1/1/1 :
: у Ч 0.35 -
т'Г'Т’Г, ■ , - 0 . . . . „ -
{^04фс 0 1 2 1, 104фс О 1
104 фс
10 х, А
г, А 10
5
О
-5
-10
-10 -5 0 5 10 х, А
Рис. 9. Результаты расчета средних параметров при сжатии «холодной» наноячейки поршнем со скоростью V0 = 37 м/с. Зависимость от времени следующих величин: среднего давления Р (а); температуры нанокластера Т (б); полной потенциальной энергии и (в). Изображение атомов наноячейки в плоскости х, 2 при ее сжатии в два момента времени: t = 1.6 • 104 (г), 2.8 • 104 фс (д)
моделирования данного режима рассмотрим задачу о компактировании в тех же условиях «холодной» наноячейки. Охлаждение наноячейки в расчетах достигалось путем добавления силы вязкого трения ^ =-^ш- в первое уравнение (2), где £ = 0.02. На рис. 9 показаны результаты расчета сжатия «холодной» наноячейки. Видно, что на зависимости ) исчезли температурные осцилляции и возник пик давления в момент времени г = 13 • 103 фс. Возникновение пика связано с началом затекания поры. До момента времени г = 13 • 103 фс происходит рост давления, обусловленный упругим сжатием «холодной» (рис. 9, б) наноячейки. После достижения давления Р = 6 ГПа (при г = 13 • 103 фс) начинается пластическое затекание поры (рис. 7, г), в результате чего происходит рост температуры (рис. 7, б) и уменьшение давления (рис. 7, а). При этом внутренняя потенциальная энергия и переходит в тепловую энергию К = (3/2)ШВТ (рис. 9, в), которая, в свою очередь, уменьшается за счет действия силы вязкого трения FV = -^ ш-. Затекание пор происходит до момента времени t = 22 • 103 фс при конечном давлении Р > 2 ГПа. После чего (при г > 22 • 103 фс) происходят сжатие и расширение сплошной наноячейки, атомная структура
которой является аморфной (рис. 9, д). Температура при этом остается малой, порядка 6 К, поэтому температурные осцилляции на кривой Р(^ отсутствуют. Отметим, что распределение атомов в пространстве при пластическом затекании поры для «холодной» наноячейки остается практически сферически симметричным (рис. 9, г, д).
4. Нагружение нанопорошка в ударной волне
Используя рассчитанные зависимости параметров Р(^, Т(^, р(^), р8 (г) от времени (рис. 4), найдем уравнение состояния нанопорошка меди. Усредняя Р(^, Т(^, р(^, р8(г) по формуле:
1 г+А~
(/> = ^~ {Лг)^’
исключая время t и аппроксимируя полученные зависимости Р = Р(р), Т = Т(р), р 8 = р 8(р) отрезками прямых линий, получим уравнение состояния нанопорошка, показанное на рис. 10 сплошными линиями. Штриховыми линиями показано уравнение состояния медного микропорошка, полученное в рамках упрощенной модели пористого тела [14]. Видно, что основное отли-
Р, ГПа
, 0
6 /
/
//
3 //
П - _ _ -
и //
//
-3 //
7.0 7.5 8.0 8.5 р, г/см3
8.5 р, г/см3 7.0 7.5 8.0 8.5
г/см3
Рис. 10. Уравнение состояния порошка меди: Р = Р(р) (а), Т = Т(р) (б), р8 = р8(р) (в). Сплошная линия относится к нанопорошку, штриховая — к микропорошку
чие в уравнениях состояния связано с выделением тепла, происходящего за счет уменьшения поверхностной энергии при затекании пор в нанопорошке. На основе данных уравнений состояния (рис. 10) были решены задачи о компактировании нанопорошка и микропорошка в косой ударной волне.
Решение задач проводилось с помощью уравнений механики сплошных сред, описывающих движение пористого материала [14]:
Эр
дt
Р = Р 8 т2>
т1 + т2 = 1, дv ,•
Р1Т+У' ° >,
- + V i PV =
V'=£ • d d
— =------+ vi V і ,
dt dt i ‘
(6)
dES і—S
dt
:°ij Zij >
1
(V v j +V v i),
° а =~рЬу + ’
4 3 <-» ^
т1 = 3па п, г,] = 1, 2, 3,
где а, п — радиус и концентрация пор; т1 — объемная концентрация пор (пористость); т2 — объемная концентрация материала; р — средняя плотность; , ё^- —
осредненные тензоры напряжений и скорости деформации; VI — г-я компонента скорости; Е3 — удельная внутренняя энергия; Р — давление; 5 у — девиатор тензора напряжений. В качестве замыкающих соотношений для микропорошка использовалась упрощенная модель пористого упругопластического тела (уравнения
(2)-(10) из [14], в которых полагалось ¿у = 0). Если давление в микропорошке было меньше критического
P < - 7sln-°-3 s а-1
, а = 1/я
то пористость оставалась постоянной. Если выполнялось обратное неравенство, то происходило затекание пор, которое описывалось уравнением [15]:
P = - 7sln а
4 1 а
---------П ln---------,
а-1 3 а(а-1)
(7)
где п — вязкость материала; 78 — предел текучести. При затекании пор в микропорошке, за счет действия вязких и пластических напряжений, происходит диссипация энергии, которая приводит к повышению температуры [15]:
АТ = (Е + Е2)/Ск , (8)
4п г а2dt 3р 8 а(а-1)’
E1 =-
E 2 =
27.
3p s
+ (а о — а) ln
1 а0 / їм а о
а 0 ln-------------(а о — 1) ln
1
а
а — 1
а а — 1
где CV — теплоемкость; E1? E2 — средние величины диссипированной энергии при вязком и пластическом затекании пор соответственно. С помощью уравнений (6)-(8) решалась плоская задача о нагружении ударной волной (см. рис. 1, а) медного микропорошка с диаметром частиц d = 50 мкм.
Задача решалась численно по схеме второго порядка «крест» [16]. Результатом решения являются зависимости P(x, y, t), T(x, y, t), p(x, y, t), ps(x, y, t). Фиксируя в них точку (x, у) и исключая время t, можно найти адиабату микропорошка P = P(p) и функции T = T(p), ps = ps (p), показанные на рис. 10 штриховыми линиями.
Адиабата нанопорошка P = P(p) аппроксимирована двумя отрезками. Характерное время самопроизволь-
+
р, г/см3
Рис. 11. Результаты расчетов ударно-волнового компактирования медного нано- и микропорошка. На рис. а и б показаны изобары в нано- и микропорошке соответственно в момент времени t = 88 мкс. На рис. в-е приведены распределения давления Р(х), пористости т1 (х), средней плотности р(х) и температуры Т(х) для трех моментов времени: г1 = 44 мкс, г2 = 66 мкс, ¿3 = 88 мкс. Штриховые линии относятся к микропорошку, а сплошные — к нанопорошку
ного затекания пор составляет 2 • 10 фс, что на шесть порядков меньше характерного времени нарастания давления в нанопорошке. По этой причине при р < р8 затекание пор происходит при нулевом давлении. После затекания пор, р = р8, происходит резкий рост давления
с наклоном tg х = dP/dр. Разгрузка, при р = р8, происходит вдоль линии с тем же наклоном tg %.
Расчет компактирования нанопорошка производился с помощью системы уравнений (6), в которой не решали уравнение энергии и пренебрегали девиатором
напряжений 5 у = 0. Давление, температура и пористость найдены из уравнения состояния нанопорошка, которое было определено выше (рис. 10).
Выполнены расчеты нагружения плоского слоя микро-и нанопорошка длиной L = 30 см, толщиной h = 5 см одинаковым импульсом давления [14]:
р = рн(с1сн) ’
сн =У Б СУ +1),
х/2t + Б/4, Б2 < ХЬ < Б,
Б/2, хД < Б/2,
где D = 3.6 км/с; Рн = 2.9 ГПа; у = 3. На нижней границе слоя ставилось условие жесткой стенки, верхняя и боковые границы слоя являлись свободными. В расчетах принимались следующие характеристики меди: р ^=0 = = 6.96403 кг/м3; р8 = 8.9•Ю3 кг/м3; Y8 = 0.2 ГПа; К8 = 1.39 •Ю2 ГПа; п= 103 Па • с.
На рис. 11 приведены результаты расчетов ударноволновых процессов в слое нано- и микропорошка. На рис. 11, а, б показаны изобары в момент времени t = = 88 мкс в нано- и микропорошке. Видно, что волновая картина в обоих случаях совпадает. В порошке распространяется косая ударная волна, которая отражается от нижней границы слоя в виде косой ударной волны, а затем от верхней границы — волной разрежения. Амплитуда волн в нанопорошке в среднем больше, чем в микропорошке. Осцилляции давления за падающей ударной волной являются счетным эффектом, присущим схеме второго порядка типа «крест». Обычно они сглаживаются выбором искусственной вязкости [16]. Их усиление в нанопорошке связано с резким скачком наклона адиабаты tg х в нанопорошке при р = р8. Это подтверждается распределением давлений Р(х) в сечении у = 5 см, построенном для трех моментов времени: 44, 66, 88 мкс. В падающей ударной волне распределения давлений близки между собой, однако амплитуда отраженной ударной волны в нанопорошке существенно больше, чем в микропорошке (рис. 11, в). В обоих случаях произошло затекание пор за фронтом падающей ударной волны (рис. 11, г), а средняя плотность скомпактированного микропорошка больше, чем соответствующая плотность нанопорошка (рис. 11, д). Это связано с существенно более сильным нагревом при компактировании нанопорошка по сравнению с микропорошком (рис. 11, е).
5. Обсуждение результатов
В работе представлены результаты численного моделирования распространения ударной волны в нанопорошке. Моделирование проводилось в два этапа. На первом этапе решалась задача о компактировании наноячейки, происходящем при сжатии сферического «поршня», окружающего наноячейку. Наноячейка состояла из
восьми наночастиц меди, расположенных в вершинах куба. Из расчета, который проводился методом молекулярной динамики, определены зависимости давления, температуры и пористости наноячейки от средней плотности. Определенное таким образом уравнение состояния нанопорошка использовали на втором этапе для расчета компактирования плоского слоя нанопорошка под действием косой ударной волны.
Проведенные расчеты показали, что наноячейка меди является неустойчивой системой. Малые возмущения, создаваемые при движении «поршня», приводят к самопроизвольному затеканию пор и возникновению компакта под действием силы поверхностного натяжения. При этом выделяется значительная тепловая энергия, приводящая к нагреву компакта до температуры порядка 500 K. Вследствие затекания пор исходная кристаллическая структура наночастиц нарушается и скомпактированная наночастица имеет полностью аморфную структуру. Наноячейка становится устойчивой, если в процессе сжатия производится «охлаждение» наноячейки. При сжатии наноячейки с большой скоростью, порядка 370 м/с, определяющее влияние на структуру наноячейки оказывает поршень. В процессе сжатия возникает метастабильное состояние с сильно искаженной кристаллической решеткой. При достижении температурой критического значения 1 800 K происходит фазовый переход, при котором метастабильное состояние переходит в жидкое состояние с выделением значительного количества тепла.
После осреднения рассчитанной атомной конфигурации по пространству и по времени была получена адиабата нанопорошка, в которой давление равно нулю до момента затекания пор, после чего оно резко возрастает с увеличением средней плотности. Отметим, что рост адиабаты в нанопорошке происходит более интенсивно, по сравнению с адиабатой микропорошка.
Расчеты компактирования слоя нано- и микропорошка (при одинаковых условиях нагружения) за косой ударной волной показали, что приращение температуры в нанопорошке почти на два порядка больше чем в микропорошке. Давления за падающей ударной волной близки между собой, а за отраженной ударной волной давление в нанопорошке выше, чем в микропорошке. Этот эффект связан с более интенсивным ростом давления в нанопорошке.
Авторы выражают глубокую благодарность О.В. Бе-лаю за помощь, оказанную при составлении компьютерной программы, а также С.К. Годунову, А.В. Болесте, И.Ф. Головневу, А.А. Ефремову, В.И. Мали, А.Е. Уткину за обсуждение постановки задачи, промежуточных и окончательных результатов расчетов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 04-01-00894-а), интеграционного проекта СО
РАН № 106, заказного проекта Президиума СО РАН № 5, гранта Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ № НШ-9019.2006.1.
Литература
1. Иванов В.В., Паранин С.Н., Никонов A.B., Хрустов В.Р., Добров С.В. Принципы магнито-импульсного прессования длинномерных изделий из наноразмерных порошков керамик // Сборник научных трудов VI Всероссийской (международной) конференции «Физикохимия ультрадисперсных (нано-) систем». - М.: МИФИ, 2003. - С. 194-200.
2. Иванов В.В., Котов Ю.А., Вихрев АН., Носкова Н.И. Горячее дина-
мическое компактирование наноразмерных порошков оксидов алюминия и титана // ДАН. - 1997. - Т. 352. - № 6. - С. 759-761.
3. Дудина Д.В., Ломовский О.В., Корчагин М.А., Мали В.И. Реакции
в металлической матрице: синтез и свойства нанокомпозитов TiB2-Cu // Химия в интересах устойчивого развития. - 2004. -Т. 12. - № 3. - С. 319-325.
4. Ноздрин A.A., Иванов В.В. Динамические адиабаты мягкого импульсного сжатия наноразмерных керамических порошков // Сборник научных трудов IV Всероссийской конференции «Физико-химия ультрадисперсных систем». - М.: МИФИ, 1999. - С. 277280.
5. Allen M.P., Tildesley D.J. Computer Simulation of Liquids. - Oxford:
University Press, 1987. - 408 p.
6. Jonson R.A. Alloy models with the embedded-atom method // Phys. Rev. B. - 1989. - V. 39. - P. 12554-12559.
7. ЗубаревД.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. - М.:
Наука, 1971. - 416 с.
8. Головнева Е.И., Головнев И.Ф., Фомин В.М. Моделирование квази-
статических процессов в кристаллах методом молекулярной динамики // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 6. - С. 5-10.
9. Albano F., Falk M.L. Shear softening and structure in a simulated three-dimensional binary glass // J. Chem. Phys. - 2005. - V. 122. -No. 15. - 154508 (8 pages).
10.ДмитриевА.И. Молекулярно-динамическое исследование особенностей проявления согласованного коллективного движения атомов в нагруженном материале вблизи свободной поверхности // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 3. - С. 79-92.
11. Жданов Г.С., Хунджуа А.Г. Лекции по физике твердого тела. -М.: Изд-во МГУ, 1988. - 232 с.
12. Болеста А. В. Моделирование процессов на внутренних границах раздела в металлических наноструктурах // Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2002. - 136 с.
13. Дзидзигури Э.Л. Структурные особенности ультрадисперсных материалов // Сборник научных трудов VI Всероссийской (международной) конференции «Физикохимия ультрадисперсных (нано-) систем». - М.: МИФИ, 2003. - С. 296-300.
14. Киселев С.П., Киселев В.П. Об эффекте волнообразования при ударно-волновом компактировании порошков // ПМТФ. - 2006. -Т. 47. - № 1. - С. 119-130.
15. Киселев С.П., Руев Г.А., Трунев А.П. и др. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. - Новосибирск: Наука, 1992. - 260 с.
16. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений//Вычисли-тельные методы в гидродинамике. - М.: Мир, 1967. - С. 212264.
