Р.М.Хуснутдинов, Р.М.Юльметьев, В.Ю.Шурыгин, Р.Н.Ильина
КОЛЛЕКТИВНАЯ ДИНАМИКА ЧАСТИЦ В ЖИДКОМ СВИНЦЕ: ТЕОРИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ
Выполнены теоретические и молекулярно-динамические исследования жидко-
о -3
го свинца при температуре Т = 623°К с числовой плотностью п = 0.03094 А с целью изучения структурных и динамических свойств. Вычисленные равновесные характеристики находятся в хорошем согласии с экспериментальными данными по неупругому рассеянию рентгеновских лучей. Для изучения коллективных свойств был вычислен динамический структурный фактор £(к,а). Теоретические расчеты для спектров £ (к ,ю) были выполнены с помощью формализма функции памяти Цванци-
га-Мори на основе идей Н.Боголюбова об иерархии времен релаксации и сокращенном описании статистических систем. Результаты теоретических расчетов для спектров £ (к ,ю) находятся в хорошем согласии с результатами компьютерного моделирования молекулярной динамики.
Введение. Компьютерное моделирование
Классический метод молекулярной динамики был изобретен в середине 50-х годов XX века Б.Олдером, Т.Уйнрайтом [1]. Сущность его заключается в расчете на компьютере траекторий, моделирующих конкретный физический объект - обычно отдельную крупную молекулу, жидкость или твердое тело. Специфика любой системы выражается в форме потенциалов и сил межчас-тичного взаимодействия. Поскольку эти потенциалы для реальных веществ либо неизвестны, либо определяются приближенно, то в методе молекулярной динамики имеют дело с более или менее точной моделью вещества. В современной статистической физике методы компьютерного моделирования нашли широкое применение в исследовании микроскопических свойств и процессов, которые осуществляются в конденсированных средах: газах, жидкостях, полимерах, стеклах и т.д. Этот полуэмпирический метод позволяет получить ценную информацию о микродинамике исследуемого объекта, которую трудно извлечь (а в некоторых случаях даже и невозможно) из экспериментов.
Детали компьютерного моделирования
В данной работе представлены результаты компьютерного моделирования молекулярной динамики жидкого свинца. Исследуемая система состоит из
О
N = 4000 частиц, расположенных в кубической ячейке (Ь = 50.565 А) с периодическими граничными условиями при температуре Т = 623° К (темпера-
О -3
тура плавления Тт = 600.65°К) с числовой плотностью п = 0.03094 А . Для численного интегрирования уравнений движений частиц был применен алгоритм Верлета с временным шагом 10-14 сек. Программой выполнено 15000
временных шагов для приведения системы в равновесное состояние и 60000 временных шагов для вычисления временных корреляционных функций.
Согласно [2], потенциал межчастичного взаимодействия, использованный в молекулярно-динамическом исследовании, был взят в следующем аналитическом виде:
К(г) = К1(г) + К2(г) + К3(г),
г) = О
ехр
(г - С] )~
г < с
У](т) = 0, г > С]
У2(т) = а
-- С2
ехр
(г - Ь2 )-
У2(г) = 0, г > Ь2,
У3( г) = %Со5(2 КРг).
Рис. 1. Потенциал межчастичного взаимодействия жидкого свинца [2]
Потенциал (1) представлен на рис. 1.
Для сокращения времени расчета мы пренебрегли взаимодействиями
частиц на расстояниях г > гс, где гс = 9 А - радиус усечения потенциала.
Результаты моделирования и сравнение с теоретическими расчетами
1. Статические свойства и структура жидкого свинца
Для исследования равновесных свойств жидкого свинца нами была вычислена функция радиального распределения двух частиц:
Здесь угловыми скобками (...) - обозначена операция усреднения по числу частиц, г (ї) - положение і -частицы в момент времени ї. График функции g (г) представлен на рис.2. С помощью преобразования Фурье радиальной функции распределения частиц g (г), мы вычислили статический структурный фактор £ (к). Зависимость статического структурного фактора £ (к) от волнового числа к представлена на рис.3. Здесь сплошная линия представляет результаты компьютерного моделирования молекулярной динамики; маркеры -экспериментальные данные по неупругому рассеянию рентгеновских лучей [3]. Из рисунка видно, что численные расчеты для статического структурного фактора хорошо согласуются с экспериментальными данными.
г (пт)
Рис. 2. Радиальная функция распределения частиц
Рис. 3. Статистический структурный фактор жидкого свинца
2. Динамические свойства жидкого свинца
Для исследования коллективных свойств жидкого свинца нами была вычислена когерентная функция рассеяния Г (к, ():
1 / N - N _ \
Г (к,') = К ) (0)
N \7=1 '=1 I
Графики функций Г (к, () для
волновых чисел к = 4.64 пш~1 и 6.80 пш~1 представлены на рис. 4.
Рассмотрим нормированную временную корреляционную функцию ф(к, ^ = Г (к, ^15 (к). Переходя из
временной области в частотную, с помощью Лаплас (Фурье) - преобразования когерентной функции рассеяния ф(к, () можно найти динамический структурный фактор 5 (к,т):
(3)
1(р8)
Рис. 4. Когерентная функция рассеяния
£ (к ,ш) = £ (к) Яе^(к, г = ш). п
(4)
Здесь символ Яе обозначает действительную часть, а
да
ф(к,г) = |в~2гф(к,?)& есть преобразование Лапласа.
0
С другой стороны, с помощью техники проекционных операторов и формализма функции памяти Цванцига-Мори можно получить следующее рекуррентное соотношение
Мп (к, г) = [ г + О П+1 (к )Мп+1(к, г)]'1, п = 0,1,2,... . (5)
Здесь Мп (к, X) - Лаплас-образ функции памяти п -го порядка Мп (к, () , в частном случае М0(к,х) = ф(к,х). Каждая функция памяти характеризует
да
свой релаксационный режим со временем релаксации тп = | Мп (к, ^. Вели-
0
Її (
чины &п(к) представляют собой главные релаксационные параметры п -го порядка и имеют размерность квадрата частоты. Первый частотный релаксационный параметр определяется уравнением
_п,,ч квТ к2
Цп(к) = ——, (6)
т Ь (к)
где кв - постоянная Больцмана, Т - температура, т - масса атома свинца, к - волновое число и Ь(к) статический структурный фактор или нулевой частотный момент Ь (к,®):
5(к) =| 5(к,о)Со. (7)
В общем случае нормированные частотные моменты динамического структурного фактора можно определить в виде:
да
| со2т5(к,о)Со
о(2т)(к) = ^да----------------------------------------, т = 1,2,3,... (8)
| 5(к,о)Со
—да
Отметим, что релаксационные параметры ^(к) связаны с четными частотными моментами, о(2т)(к) следующими соотношениями [4]:
□2(к) = а>(2)(к), п\(,к) = 0^ — Ю(2)(к), оз2(к) ="<6>(к)"<2>(к) — "<4>3(к), ..., (9)
1 о (к) ’ ^ о(4)(к )о(2)(к) — о(2)3(к) (9)
где
к„Т к2
ю(2)(к) = -
т 5(к) -(4,(к) = зп^- ■ —
-^2(к)5(к) + — Г(г)[1 — ос8(кг)]2и(г), соу ’(к) тУ
о(б)(к) = 15(квТ'"\ к4 + —квТк2 Г(г)У?и(г) + (10)
^ т ) т У ■'
+6—2у-кГdгg(г)V]U(г)8ш(кг) + 2|dгg(г)|^УУ,и(г)^ [1 — ео8(кг)] +
+ [—) Г СгСг 'gз (г, г') ( УУ; и (г)) (V 'V' и (г')).
Здесь индексом I обозначена продольная компонента, параллельная волновому вектору к, g3(r, г') - трехчастичная функция распределения. Выражения для частотных релаксационных параметров более высоких порядков имеют сложный вид и содержат многочастичные функции распределения.
Для замыкания рекуррентного соотношения (5) воспользуемся методом, предложенным в работе [5], который был недавно развит для описания спектров динамического структурного фактора жидких щелочных металлов [6-8]. Этот метод основывается на двух известных идеях Н.Н. Боголюбова: о сокращенном описании статистических систем и об иерархии времен релаксации. В соответствии с [6-8] предположим, что на четвертом релаксационном уровне осуществляется выравнивание временных масштабов функции памяти: т3(к) « т4(к) . Тогда для динамического структурного фактора можно получить следующее выражение [6]:
5(к,а) = Ц2(к)02(кР32(к)^4022(к)-а2 {ц4(к)Ц(к) +
2п
+а2 (-2Ц2 (к)Ц (к) + О4 (к)) х О4 (к) - О4 (к)Ц (к) + 2Ц2 (к)Ц (к)04(к) ■
-О2 (к )0 2 (к )О32 (к) + О4(к )О2(к) + с4 (Ц (к) - 2Ц2 (к )Ц (к) +
+202 (к )Ц (к) - 202 (к )О4 (к) + О2 (к )Ц (к)) + с6 (4 (к) - Ц (к))
На рис. 5 представлен спектр динамического структурного фактора 5(к,с) для значений волновых чисел к = 4.64 пт- и 6.80 пт-1 при температуре Т = 623К . Сплошная линия представляет результаты компьютерного моделирования молекулярной динамики, а штриховая линия - теоретические расчеты, выполненные по формуле (11). Как видно из рис. 5, теоретические кривые 5(к,с) хорошо воспроизводят данные компьютерного моделирования молекулярной динамики в жидком свинце.
(11)
Рис. 5. Динамический структурный фактор
Проведенный сравнительный анализ вычисленного статического структурного фактора с экспериментальными данными подтверждает соответствие
избранной модели потенциала межчастичного взаимодействия. На основе теоретико-функциональной техники проекционных операторов Цванцига-Мори нами представлен микроскопический подход, основанный на известных идеях Н.Н.Боголюбова об иерархии временных релаксационных масштабов и о сокращенном описании статистических систем. Результаты теоретических расчетов находятся в качественном и количественном согласии с результатами компьютерного моделирования молекулярной динамики. Настоящая работа поддержана грантом РФФИ №05-02-16639а.
Литература
[1] M.P. Allen, D.J. Tildesley // Computer Simulation of Liquids. Oxford, 1987.
[2] Dzugutov M., Larsson K.E., Ebbsjo I. // Phys. Rev. A.1988. Vol.38. P.3609.
[3] Olsson L.G., Dahlborg U. // Phys. Chem. Liq. 1982. Vol.11. P.225.
[4] Copley J.R.D. and Lovesey S.W. // Rep. Prog. Phys. 1975. Vol.38. P.461.
[5] Yulmetyev R.M. // Teor. Mat. Fiz. 1977. Vol.30. P.264.
[6] Yulmetyev R.M., Mokshin A.V., Hanggi P., and Shurygin V.Yu. // Phys. Rev.
2001. Vol.64. P.057101
[7] Yulmetyev R.M., Mokshin A.V., Hanggi P., and Shurygin V.Yu. // JETP Lett.
2002. Vol.76. P.147.
[8] Yulmetyev R.M., Mokshin A.V., Scopigno T., and Hanggi P. // J. Phys.: Condens. Matter. 2003. Vol.15. P.2235.