CC BY
18
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-0100167) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трынин А.Ю. Существование систем Чебышева с ограниченными константами Лебега интерполяционных процессов // Математика, Механика: Сб. науч. тр. 2008, Вып. 10. С. 79-81.
2. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1977.
3. Карлик С., Стадден В. Чебышевекие системы и их применение в анализе и статистике. М,: Наука, 1976.
4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М,: Наука, 1974.
УДК 517.51
Р.Н. Фадеев
КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СИСТЕМЕ
Пусть Р = [р^ С N так ч то 2 < ру < N для всех ] € Ми пусть Ъ^ = [0,1,... ,pj — 1}. Если т0 = 1 и тп = р1.. .рп при п € N то каждое число х € [0,1) имеет разложение
то
х = ^^ Xjт-1, Xj € Ъ, (1)
j=1
(при х = к/тп, 0 < к < тп, берем разложение с конечным числом Xj = 0). Если чиело к € Ъ+ представимо единственным образом в виде к = kjmj—1, ^ € Ъ^ то по определению хк(х) =
= ехр "Р^)) • Система [Хк(х)}ТО=0 ортопормировапа и полна
в Ь[0,1) Коэффициенты Фурье функции I(х) € Ь[0,1) и частичная сумма Фурье по этой системе задаются формулами
I-1 __п—1
1(п) = IШп№, п € Ъ+; Бп(1 )(х) = ^ I (к)Хк(х),п € N. Л к=0
Если х,у € [0,1) представлены в виде (1), то по оп редел ению х 0 у := г =
= ^°=1 zjт—\ х, € Ъ', Zj = х3 + у3 (modpj). Аналогично определяется
п—1
х 0 у. Пусть Оп(х) = Ху(х) — ядро Дирихле для данной системы,
у=0
тогда 5Ц/)(х) = / * £п(х) := /0 /(х 0 £)Лп(£) (И. Известно, что при к < шп функции Хк(х) постоянны на [г/шп, (г + 1)/шп), г = 0,..., шп — 1, а Бтп(¿) равно шп на [0,1/шп) и нулю на [1/шп, 1). Все эти факты можно найти в работе [1, §1.5].
Пусть osc(f, [a, b)) = sup |f (x) — f (y)|, а Л = {Xj}o=0 — положитель-
x,ye[a,b)
пая возрастающая последовательность, причем X0 = 1. По определению
j/ '"-n
F/p,A(f,/on) = sup I
j>n
i=0
osc(f, Ij) Xi
n G Z+, 1 < P < oo.
Лемма [2, гл. 4, §3]. Пусть п = ^ п3- ш3-—1; п3 Е Ж37 ^ = 1,...,й.
з=1
Тогда
п., — 1 1=0
Dn(t) = Dm,.! (t) ^ Xme_i (t) +
n.,_ 1 -1
ni —1
(t)Dm._2(t^ xm,-2(t) +...+xme_i(t)...xm2i(t)Dmo(t) xLa(t).
1=0
1=0
Теорема. Пусть п = ^ п3 ш3—1; п3 Е Ж37 ^ = 1,...,^п8 = 0 #х(£) =
3=1
= /(х) — /(х 0 ¿)7 1 < р < 1/р + 1/# = 1. Тогда
в-2 / т.,-1/ш^-1 \ «
|/(х) — ЗД)(х)| < п^^,/«?-1) + 2р5 £ ( £ А* | ^(^Л*).
fc=0 \ i=0
ms
Доказательство. Так как 5Ц/)(х) = / * (х), то /(х) — 5Ц/, х) = 1
/ Лп(£)#ж(£)(£. Поскольку #ж(0) = 0, следуя лемме, оценим сначала о
1 /ns —1 \
/ Dm,_i(t) К] xm,-i(t) gx(t)dt
n V 1=0 /
ms_ i
ns1
ms_ i
(t) gx(t)dt
1=0
<
ms— 1
< ms_ 1
ns1
У^ Xms-i (t)
l=0
|gx(t) — gx(0)|dt <
1
1
s-1
Пусть Jk =
< nsms-i J овс(дх,Ц )dt < nsFlp,x(gx, Iq ). 0
1 /nfc+i-l \
I Dmk(t) £ ximk(t) xmss_i(t)... xm+i(t)gx(t)dt о V 1=0 J
Так как функции \m. (x) при j < s — 1 постоянны на всех Ц 1 и
[0, m) = U I'i 1 j т0 обозначая значение Xms-2 (x)... Xmkt^ (x) на Is
s-i/mk — 1
rs-1
i=0
через Ai (\Ai\ = 1), получаем
Jk = mk
ms-1 / mk — 1 „ /Uk+i — 1
/ Ai' ^
E
i=0
E xmk (t) xmss-i (t)gx(t)dt
T-s-i
1=0
<
ms-i/mk — 1
< mknk+1 ^
i=0
xm\_, (t)gx(t)dt
IS
s-i
=: Mk.
Поскольку IS 1 = U j+iP и xms_i постоянна на всех Is, то, произведя
ps-1
j =о
j + iPs
замену переменной, имеем
ms-i/mk — 1 Ps —1 ,
E У V 1 Xms-
i=0 j=o / ips
ms-i/mk 1 /* Ps —1
E ¡У ^Xni-
i=0 is j=0
t 0 j ) gx (t 0 J dt
ms
ms
<
j)gJ j 0 tjdt
ms ms
Ps —1
Нетрудно видеть, что £ Xms-i (= X— exP f2n = 0, так как
j=0 s ^ms' j=0 V Ps /
ps 1
ns = 0. Введем величины r1 = £ (^ exp(2nijns /ps))+ и r2 =
j=0
ps 1
= XM^ exp(2nijns/ps))+. Рассуждая аналогично [3], находим, что j =о
ps 1 ^exp
j=0
' j gJ10 j
. Ps V ms,
< (Г1 + T2)osc(gx(t),IS—1),
m
откуда
1 ms_i/mfc-1
Mk < mknk+i(ri + Г2) — osc(gx(t), IS-1) <
ms i=0
i , . i
p
rs-......
2m n p ,ms-1/mk-1 \q ms-1/mk-1 , (g (t) J.s-1) xp
2mknk+1Ps I V"^ ? | I V"4 / 0SC(gx(t), J )
£ a? I I £
< —\ a? \ -— * 7 <
ms \ ' ) \ ^ V A,
s ¿=0 / \ ¿=0 v г
i
0 /ms-i/mk-1 \ q
< ^ I £ A? I FWfe(t),I?). (3)
ms \ ¿=0 У
Из (2) и (3) вытекает результат теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М,: Наука, 1987.
2. А гаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах, Баку: Элм, 1981.
3. Onneweer С. W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier series on groups.I // Michigan Math. J. 1971. Vol. 18, №2. P. 265-273.
УДК 517.984
А.Е. Федосеев
О СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ,
РАЗРЫВНЫМ НА ЛУЧАХ
В данной статье изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и в ряды по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, ядро которого терпит разрывы первого рода на лучах, выходящих из центра единичного квадрата.
Рассмотрим в пространстве Ь[0,1] интегральный оператор
Af = A(x,t)f(t) dt, x E [0,1], (1)
где ядро A(x, t) принимает постоянные значения: а1 при 0 < t < x < 2 а2 при 0 < x < t < 2 аз при 0 < x < 1 — t < 2, а4 при 0 < 1 — t < x < 2
2 1
1
