Количественная оценка скорости сходимости ряда Фурье по мультипликативной системе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-0100167) и гранта Президента РФ (проект НШ-2970.2008.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трынин А.Ю. Существование систем Чебышева с ограниченными константами Лебега интерполяционных процессов // Математика, Механика: Сб. науч. тр. 2008, Вып. 10. С. 79-81.

2. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Л.: Изд-во Ленинград. ун-та, 1977.

3. Карлик С., Стадден В. Чебышевекие системы и их применение в анализе и статистике. М,: Наука, 1976.

4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М,: Наука, 1974.

УДК 517.51

Р.Н. Фадеев

КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ ПО МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ СИСТЕМЕ

Пусть Р = [р^ С N так ч то 2 < ру < N для всех ] € Ми пусть Ъ^ = [0,1,... ,pj — 1}. Если т0 = 1 и тп = р1.. .рп при п € N то каждое число х € [0,1) имеет разложение

то

х = ^^ Xjт-1, Xj € Ъ, (1)

j=1

(при х = к/тп, 0 < к < тп, берем разложение с конечным числом Xj = 0). Если чиело к € Ъ+ представимо единственным образом в виде к = kjmj—1, ^ € Ъ^ то по определению хк(х) =

= ехр "Р^)) • Система [Хк(х)}ТО=0 ортопормировапа и полна

в Ь[0,1) Коэффициенты Фурье функции I(х) € Ь[0,1) и частичная сумма Фурье по этой системе задаются формулами

I-1 __п—1

1(п) = IШп№, п € Ъ+; Бп(1 )(х) = ^ I (к)Хк(х),п € N. Л к=0

Если х,у € [0,1) представлены в виде (1), то по оп редел ению х 0 у := г =

= ^°=1 zjт—\ х, € Ъ', Zj = х3 + у3 (modpj). Аналогично определяется

п—1

х 0 у. Пусть Оп(х) = Ху(х) — ядро Дирихле для данной системы,

у=0

тогда 5Ц/)(х) = / * £п(х) := /0 /(х 0 £)Лп(£) (И. Известно, что при к < шп функции Хк(х) постоянны на [г/шп, (г + 1)/шп), г = 0,..., шп — 1, а Бтп(¿) равно шп на [0,1/шп) и нулю на [1/шп, 1). Все эти факты можно найти в работе [1, §1.5].

Пусть osc(f, [a, b)) = sup |f (x) — f (y)|, а Л = {Xj}o=0 — положитель-

x,ye[a,b)

пая возрастающая последовательность, причем X0 = 1. По определению

j/ '"-n

F/p,A(f,/on) = sup I

j>n

i=0

osc(f, Ij) Xi

n G Z+, 1 < P < oo.

Лемма [2, гл. 4, §3]. Пусть п = ^ п3- ш3-—1; п3 Е Ж37 ^ = 1,...,й.

з=1

Тогда

п., — 1 1=0

Dn(t) = Dm,.! (t) ^ Xme_i (t) +

n.,_ 1 -1

ni —1

(t)Dm._2(t^ xm,-2(t) +...+xme_i(t)...xm2i(t)Dmo(t) xLa(t).

1=0

1=0

Теорема. Пусть п = ^ п3 ш3—1; п3 Е Ж37 ^ = 1,...,^п8 = 0 #х(£) =

3=1

= /(х) — /(х 0 ¿)7 1 < р < 1/р + 1/# = 1. Тогда

в-2 / т.,-1/ш^-1 \ «

|/(х) — ЗД)(х)| < п^^,/«?-1) + 2р5 £ ( £ А* | ^(^Л*).

fc=0 \ i=0

ms

Доказательство. Так как 5Ц/)(х) = / * (х), то /(х) — 5Ц/, х) = 1

/ Лп(£)#ж(£)(£. Поскольку #ж(0) = 0, следуя лемме, оценим сначала о

1 /ns —1 \

/ Dm,_i(t) К] xm,-i(t) gx(t)dt

n V 1=0 /

ms_ i

ns1

ms_ i

(t) gx(t)dt

1=0

<

ms— 1

< ms_ 1

ns1

У^ Xms-i (t)

l=0

|gx(t) — gx(0)|dt <

1

1

s-1

Пусть Jk =

< nsms-i J овс(дх,Ц )dt < nsFlp,x(gx, Iq ). 0

1 /nfc+i-l \

I Dmk(t) £ ximk(t) xmss_i(t)... xm+i(t)gx(t)dt о V 1=0 J

Так как функции \m. (x) при j < s — 1 постоянны на всех Ц 1 и

[0, m) = U I'i 1 j т0 обозначая значение Xms-2 (x)... Xmkt^ (x) на Is

s-i/mk — 1

rs-1

i=0

через Ai (\Ai\ = 1), получаем

Jk = mk

ms-1 / mk — 1 „ /Uk+i — 1

/ Ai' ^

E

i=0

E xmk (t) xmss-i (t)gx(t)dt

T-s-i

1=0

<

ms-i/mk — 1

< mknk+1 ^

i=0

xm\_, (t)gx(t)dt

IS

s-i

=: Mk.

Поскольку IS 1 = U j+iP и xms_i постоянна на всех Is, то, произведя

ps-1

j =о

j + iPs

замену переменной, имеем

ms-i/mk — 1 Ps —1 ,

E У V 1 Xms-

i=0 j=o / ips

ms-i/mk 1 /* Ps —1

E ¡У ^Xni-

i=0 is j=0

t 0 j ) gx (t 0 J dt

ms

ms

<

j)gJ j 0 tjdt

ms ms

Ps —1

Нетрудно видеть, что £ Xms-i (= X— exP f2n = 0, так как

j=0 s ^ms' j=0 V Ps /

ps 1

ns = 0. Введем величины r1 = £ (^ exp(2nijns /ps))+ и r2 =

j=0

ps 1

= XM^ exp(2nijns/ps))+. Рассуждая аналогично [3], находим, что j =о

ps 1 ^exp

j=0

' j gJ10 j

. Ps V ms,

< (Г1 + T2)osc(gx(t),IS—1),

m

откуда

1 ms_i/mfc-1

Mk < mknk+i(ri + Г2) — osc(gx(t), IS-1) <

ms i=0

i , . i

p

rs-......

2m n p ,ms-1/mk-1 \q ms-1/mk-1 , (g (t) J.s-1) xp

2mknk+1Ps I V"^ ? | I V"4 / 0SC(gx(t), J )

£ a? I I £

< —\ a? \ -— * 7 <

ms \ ' ) \ ^ V A,

s ¿=0 / \ ¿=0 v г

i

0 /ms-i/mk-1 \ q

< ^ I £ A? I FWfe(t),I?). (3)

ms \ ¿=0 У

Из (2) и (3) вытекает результат теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша. М,: Наука, 1987.

2. А гаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах, Баку: Элм, 1981.

3. Onneweer С. W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier series on groups.I // Michigan Math. J. 1971. Vol. 18, №2. P. 265-273.

УДК 517.984

А.Е. Федосеев

О СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ,

РАЗРЫВНЫМ НА ЛУЧАХ

В данной статье изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и в ряды по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, ядро которого терпит разрывы первого рода на лучах, выходящих из центра единичного квадрата.

Рассмотрим в пространстве Ь[0,1] интегральный оператор

Af = A(x,t)f(t) dt, x E [0,1], (1)

где ядро A(x, t) принимает постоянные значения: а1 при 0 < t < x < 2 а2 при 0 < x < t < 2 аз при 0 < x < 1 — t < 2, а4 при 0 < 1 — t < x < 2

2 1

1