О сходимости разложений по собственным функциям интегрального оператора с ядром, разрывным на лучах в данной статье изучается равносходимость разложений в тригонометрические р Текст научной статьи по специальности «Математика»

откуда

1 ms_i/mfc-1

Mk < mknk+i(ri + Г2) — 0SC(.9x(t),Is~l) <

ms i=0

i , . i

p

rs-......

2m n p ,ms-1/mk-1 \q ms-1/mk-1 , o ( (t) Ts-1) xp

2mknk+1ps I v-^ q 1 I v"4 osc(gx(t), Ti )

£ a? I I £

< —\ a? \ -— i 7 <

ms \ ' ) \ ^ V Ai

s i=0 / \ i=0 v i

1

0 /ms-i/mk-1 \ q

< ^ I £ A? I Flp,x(gx(t),l0k). (3)

m* \ i=0 )

Из (2) и (3) вытекает результат теоремы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Голубое Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша, М,: Наука, 1987,

2, А гаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А. И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нуль-мерных группах, Баку: Элм, 1981,

3, Onneweer С. W., Waterman D. Uniform convergence of Fourier series on groups,I // Michigan Math. J. 1971. Vol. 18, №2. P. 265-273.

УДК 517.984

А.Е. Федосеев

О СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ЯДРОМ,

РАЗРЫВНЫМ НА ЛУЧАХ

В данной статье изучается равносходимость разложений в тригонометрические ряды Фурье и в ряды по собственным и присоединенным функциям интегрального оператора, ядро которого терпит разрывы первого рода на лучах, выходящих из центра единичного квадрата.

Рассмотрим в пространстве Ь[0,1] интегральный оператор

Af = A(x, t)f (t) dt, x e [0,1], (1)

где ядро A(x, t) принимает постоянные значения: а1 при 0 < t < x < 2 а2 при 0 < x < t < 2 аз при 0 < x < 1 — t < 2, а4 при 0 < 1 — t < x < 2

2 1

1

а5 при 2 < х < t < 1, «6 при 1 < ^ < х < 1 «7 при 1 < 1 — ^ < х < 1, «8 при 2 < х < 1 — t < 1.

Оператор (1) является частным случаем интегрального оператора, рассмотренного в работе [1]. В данной статье для операторов вида (1) выделен класс операторов, для которых можно явно выписать условия, при которых имеет место равносходимость разложений в ряд по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.) оператора А и тригонометрических рядов Фурье, а также найдены условия обратимости оператора (1) и получены формулы для обратного оператора.

Следующая теорема дает вид обратного оператора.

Теорема 1. Оператор А—1 существует, тогда и только тогда, когда I = (а1 — а2)(а6 — а5) — (а7 — а8)(а4 — аз) = 0 и имеет вид

А 1у = 1 ((«6 — «б)у'(х) + (аз — а^у' (1 — х)) , х е А—1у = 1 ((а! — а2)у' (х) + (а8 — а7)у'(1 — х)) , х е

1 2.

1

-, 1 2'

где у(х) е Од-1 — множество, состоящее из абсолют,но непрерывных функций, удовлетворяющих условиям

1 + 1 (а2(аб — а5) + аз(а8 — а7)) у(0) + 1

аза! — а2а4

— а2(аб — а5) — аз(а8 — а7) у (11 — 1 (аза! — а2а4)у(1)

= 0,

1 (а8аб — а5а7)у(0) + 1 + 1 (а8(аз — а4) + а5(а! — а2) —

а8а6

+ а5а^ у (2 — 1 (а8(аз — а4) + а5(а! — а2^у(1)

= 0.

А

дится методом, основанным на свойствах и оценках резольвенты Фред-гольма Лд(А)/ = (I — АА)_1А/, где I — единичный оператор, А — спектральный параметр.

Введем краевую задачу

г>'(х) = АЛг»(х) + Рт(х), х е

Ро г>(0) + 2) = 0,

0-2

(2)

(3)

т т

где ^(х) = (^1(х),^2(х),^з(х),^4(х^ , /(1 — х)) , В = (йу)4^=1,

«11 = —йзз = а1 — а^ й14 = —йз2 = а4 — аз,

й22 = —«44 = аб — а^ й2з = —«41 = а7 — а8, «у = «у = 0, г = 1-4 3 = 2-3 т(х) = (/(х)- / (1 + х) - / (1 — х),

Ро = (<Э01 - * = (¿2 , «2 = —М, 0, = Е + М,

М = 1 Г а2(аб — а5) + аз(а8 — а7) аз а1 — а2а4 N

/ \ а8аб — а5а7 а8(аз — а4) + а5(а1 — а2)у ,

Е

Теорема 2. Если -и(х) является решением краевой задачи (2), (3); а соответствующая однородная краевая, задача имеет только нулевое решение, то ЯА(А) существеет и ЯА(А)/ = ^1(х) при х е [0, 2]> Ял(А)/ = ^2 (х — 2) пРи х е [1, 1].

Рассмотрим класс операторов, для которых

аз = а4, а7 = а8, а2 = а5 = 0. (4)

Пусть выполняются следующие условия:

а1а6 = 0, а1 = ±а6. (5)

В этом случае существует неособая матрица Г диагонализирующая В, то есть Г—1ВГ = В1 = diag(^1,^2,^3,^4), г = 1,4 — собственные значения матрицы В. Тогда краевая задача (2), (3) перейдет в

к'(х) = АВ1^(х) + т1(х), и (к) = РоГк(0) + 2) = 0,

где к = Г"^, т1(х) = Г_1Вш(х).

Обозначим У(х, А) = diag (вА^1Х,..., вА^4х), Д(А) = и (У(х, А)),

Ss = {А е С : |А — Ат| > 6 > 0, Ат- нули Д(А),

|А — г^| > 6,3 = 1,4,к е ж}.

На основе результатов работы [1] получается

Теорема 3 (равносходимости). Если выполняются условия (4), (5), а также аза8 = 0 и аза8 = а6а17 то для любой функции, /(х) е Р[0,1]

имеют место соотношения

Нш

Г—7>00

2 1

& (/,х) - V Ъз 1 | (т1з ,х) л ^ з

з=1

[е,1 -е]

= 0,

Нш

г

& (/,х) - ^ 723 " \ ( т1з , 3=3 ш3 ^

3 ,Х 2

[ 1]

г<?е £ € (0,1)7 £г(/, х) — частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора А для тех характеристических чисел \к, для которых \Хк\ < г; ^кз ~

ча-

компоненты матрицы Г Г 1БГ = = Ла... ,ш4); аг(/, х)

стичная сумма ряда, Фурье по системе |ег4пкж} на отрезке [0, 2]; при

г

таких к € Ъ7 что \к\ < —; тц — компоненты т1(х).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Хромов А. П. Интегральные операторы е ядрами, разрывными на ломаных линиях // Мат. еб. 2006. Т. 197, №11. С. 115-142.

УДК 519.53, 519.713

Е.В. Хворосту хина

ОБ ЭПИМОРФИЗМАХ ГИПЕРГРАФИЧЕСКИХ

АВТОМАТОВ

В настоящей статье рассматриваются так называемые гиперграфические автоматы без выходных сигналов, т.е. автоматы, у которых множества состояний наделены дополнительной алгебраической структурой гиперграфа. Это достаточно широкий и весьма важный класс автоматов, так как многообразие таких алгебраических систем охватывает, в частности, автоматы, у которых множества состояний являются плоскостями (например, проективными или аффинными).

Напомним [1], что гиперграфом называется система вида Н = (X, Ь), где X - непустое множество и Ь - семейство произвольных подмножеств X. Элементы множества X называются вершинами, а элементы множества Ь называются ребрами гиперграфа. Вершины гиперграфа, принадлежащие некоторому его ребру, называются смежными. Гиперграф Н = (X, Ь) называется эффективным, если любая его вершина принадлежит некоторому его ребру.

Пусть р - произвольное натуральное число. Гиперграф Н будем называть гиперграфом с р-определимыми ребрами, если в каждом ребре этого