CC BY
12МАТЕМАТИКА
Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 3 (40). 2021
УДК 530.145,
512.81 Б01: 10.34130/1992-2752_2021_3_21
КОГЕРЕНТНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ КУТРИТА Н. А. Громов, И. В. Костяков, В. В. Куратов
Рассматривается изменение во времени матрицы плотности трехуровневой квантовой системы с симметрией алгебры Ли вп(3), взаимодействующей с внешним полем таким образом, что сохраняется свойство когерентности. Коммутационные соотношения в алгебре наблюдаемых при этом также меняются и в пределе могут переходить в другую алгебру.
Ключевые слова: открытые квантовые системы, алгебра наблюдаемых, кутрит, когерентность, контракции алгебр Ли.
1. Введение
Динамика открытых квантовых систем, взаимодействующих с окружающей средой, при малом времени взаимодействия, когда можно пренебречь эффектами памяти (марковское приближение), описывается уравнением Линдблада [1-3]:
Р =
Н,р 7* V,рУ+ - -{У+Ук,р} = С(р). (1)
© Громов Н. А., Костяков И. В., Куратов В. В., 2021.
Первое слагаемое в правой части уравнения отвечает унитарной части динамики системы, генерируемой гамильтонианом Н, который в общем случае включает гамильтониан системы, а также содержит дополнительные слагаемые, относящиеся к взаимодействию с окружением.
Второе слагаемое описывает диссипативную часть динамики. Операторы V* обычно называют операторами Линдб-лада, а неотрицательные 7* играют роль скоростей релаксации для различных видов затухания открытой квантовой системы, С — супероператор Линдблада.
В картине Гейзенберга для наблюдаемых А уравнение Линдблада имеет вид
А = й
Н, А
+
+ Е7* (У+АУк - 2 №У*, А}) = С«(А).
Динамика переменных А(£) тогда имеет вид
(2)
А(г) = Л«(А) = еС"А(0), (3)
а изменение коммутационных соотношений во времени
[А<,А^ = (Л«)"1 [д«(Аг), Л«(Аг)] = С* (I) А*, (4)
представляет собой типичное преобразование коммутационных соотношений при контракции алгебр Ли [4-6].
Диссипативные процессы в открытых квантовых системах могут приводить к обнулению некоторых коммутаторов алгебры наблюдаемых, что интерпретируется как частичная потеря системой квантовых свойств, т.е. частичному переходу от квантового поведения к классическому. Появляющиеся
при этом коммутирующие наборы наблюдаемых интерпретируются как классические переменные, возникающие в результате диссипации.
С другой стороны, обнуление всех или некоторых коммутационных соотношений между генераторами исходной группы (алгебры) Ли происходит при контракциях групп (алгебр) Ли [4-6]. Таким образом, имеется естественная связь между диссипативными процессами в открытых квантовых системах и контракциями групп (алгебр) Ли, которая анализируется в работах [7-9].
В работах [10; 11] подробно изучена связь квантовых каналов кубита с контракциями алгебры йм(2). В нашей работе [12] рассмотрены предельные переходы алгебры Ли наблюдаемых йм(3) при полной декогеренции в процессе продольной и поперечной релаксации кутрита — трехуровневой системы с алгеброй симметрии йм(3).
Трехуровневые системы появляются во многих областях. Например, частица спина 1 в магнитном поле, нейтринные осцилляции, три выделенных уровня в атоме, в лазерной спектроскопии, квантовой электронике, КХД, в квантовых моделях фотосинтеза [13-16].
Одной из проблем при создании квантовых компьютеров является быстрая декогеренция квантовых состояний открытых систем [1-3], поэтому изучение процессов, сохраняющих когерентность представляет большой научный интерес.
В настоящей статье изучается сохранение когерентности, т. е. наличие ненулевых недиагональных элементов матрицы плотности кутрита в процессе эволюции, при взаимодействии с внешним полем и зависимость структурных констант алгебры Ли йм(3) наблюдаемых от времени и параметров взаимодействия кутрита с окружением.
2. Сохранение когерентности при взаимодействии с внешним полем
Рассмотрим уравнение Линдблада для матрицы плотности (1), которое описывает продольную и поперечную релаксацию кутрита и взаимодействие с внешним полем, задаваемое гамильтонианом Н/ = Не (|3)(1| + |1)(3|), й Е К:
р = £р = Но + Н/ ,р Н
+
+ Е 7к( V, рУ+ - 1 {У+Ук ,р})
к=1
1
+
+71^У13РУ+ - 2{У+У13,^ + +731 (У31РУ+1 - 2 {Уз+ Уз1,Р^ .
(5)
Базисные состояния кутрита задаются векторами |1) = (1,0,0)*, |2) = (0,1, 0)*, |3) = (0,0,1)*, операторы Линдблада равны
У1 = (Над (-1,1,1), У2 = (гад(1, -1,1), У3 = (гад(1,1, -1), Угк = |г)(к|,
г, к = 1, 2, 3, — скорости поперечной релаксации, ^^ — вероятности перехода с ]-го уровня на г-й, гамильтониан системы
Но = Ек=1 Ек |к)(к|.
Мы рассматриваем частный случай, при котором возможны только переходы между первым и третьим уровнями. Диагональный элемент р22 матрицы плотности в этом случае стационарен р22 = 0, р22(£) = р22(0), а уравнения для осталь-
ных элементов матрицы плотности разбиваются на отдельные блоки. Для Р11,Р33,Р13,Р31 система уравнений имеет вид
'Р11 = 713Р33 - 731Р11 + ¿«(Р13 " Р31), р33 = 731Р11 " 713Р33 " ¿5 (р13 - Р31), р13 = ¿5 (р11 " Р33) - «13Р13, ,р31 = ¿5 (р33 - Р11) - «13Р31,
(6)
где введены обозначения:
«12 = 2731 + 2(71 + 72) + ¿^12, «13 = 2 (713 + 731) + 2 (71 + 73) + ¿^13,
«23 = 1713 + 2(72 + 73) + ¿^23, й^у = Е - £г. (7)
1
2'
В дальнейшем будем пренебрегать мнимыми частями выражений «у или подразумевать, что работаем в картине взаимодействия. Вводя новые переменные у = р11 +р33, 2 = р11 -р33, х + ¿у = р13 и учитывая, что р31 = рЦ3, получаем, что система (6) распадается на два независимых уравнения у = 0 и х = -«13х с решениями у(£) = у(0) и х(£) = е-а1^х(0), а также систему уравнений для у и г:
^ = - (713 + 731) г - 4йу + (713 - 731) у(0), у = -«13У +
Здесь мы учли, что у(£) = у(0). Стационарное состояние для системы (8) находится приравниванием нулю правых частей
- (713 + 731) ^ - 4йу5 + (713 - 731) У(0) = 0, (9)
- «13у5 + ^ = 0
и оказывается равным
а13(713- 731) /пч 5
^ = -1-,-А , /I 2 У* = -^ (10)
«13(713 + 731) + 4й2 «13
В этом выражении разность 713 - 731 описывает скорость спонтанного излучения. Общее решение системы (8) имеет вид
г(*) = 20^* - С^ + г*,
(11)
У(*) = -13 + 725 + 731 О*13* - С5е15* + у*,
где
1 1 / 2
13 = -2 («13 + 713 + 731) + 2 V (а13 - 713 - 731) - 16й2,
1 1 / 2
15 = - 2 («13 + 713 + 731) - 2У(а13 - 713 - ^31) - 1652 (12)
есть корни характеристического уравнения (8)
12 + («13 + 713 + 731) 1 + «13 (713 + 731) + 4Й2 = 0, (13)
а О — константы, зависящие от начальных условий. Возвращаясь к элементам р11, р33, р13 матрицы плотности, находим их динамику:
Рп(*) = - Св е15* + 1 (г* + Ц0)),
Р33(^) = -С3е13* + Св е15* + 2 (Ц0) - г*),
Р13(^) = е-а13* С4+
+г (- 11 + 723 + 731 О*" - Све15* + ^) . (14) V 2Й «13 1
Отметим, что в пределе Ь ^ то мнимая часть рхз не равна нулю, что означает сохранение свойства когерентности кутрита в процессе эволюции.
Система уравнений для матричных элементов р12 и р32
(15)
р12 = -«12р12 - 25р32, р32 = -¿5р12 - «23р32
имеет характеристическое уравнение
I2 + («12 + «23) 1 + «12«23 + 4й2 = 0 (16)
с корнями
¿1 = -2 ^«12 + «23 + («12 - «23)2 - ,
¿б = - 2 ^«12 + «23 - \/(«12 - «23)2 - 16$2^ . (17)
Вещественные значения корней /1 и ¿6 отрицательны, а это означает, что между уровнями 1 и 2, а также 2 и 3 происходит декогеренция. Общее решение системы (15) записывается в виде
Р12(Ь) = (С - ^е11* + -(/4 + «23)(Со + гСт)е^, (18)
—
Р32(Ь) = 1 (/3 + «12) (С - гС2)ем + (Сб + гСт)ем. (19) -
Поскольку недиагональные элементы матрицы плотности комплексны р^ € С, г = ], то и постоянные интегрирования тоже комплексны и мы разбиваем их на вещественную и мнимую части. Динамику для р21(Ь) и р23(Ь) получим, воспользовавшись равенствами р21(Ь) = р*2 (Ь), р23(Ь) = р32(Ь).
Таким образом, в картине Шредингера динамика матрицы плотности может быть представлена в виде
p(t) = Е Pij (t)|i><j |. (20)
Перенеся зависимость от времени с координат pj (t) на наблюдаемые, получим динамику в картине Гейзенберга (3). Прямой путь состоит в том, чтобы выписать уравнения Линдблада для наблюдаемых (2) и решить их. Однако можно поступить по-другому, перегруппировав слагаемые в (20) в виде
p(t) = C1e1'f(|1><2| + |2><1| - i(|2><3| - |3><2|)) + +C2el2f(i (|2><1| - |1><2|) + iii^2 (|2><3| + |3><2|)) + ....
h + «12 s
Обозначая множители при C через e^, имеем
8 1
P(t) = Е Ckek(t) + 2*Дз - УДБ + 12><21, (21)
где
2
¿=0
eo = I= |1><1| + |2><2| + |3><3|, eo(t) = 0,
ei(t) = e;itei, ei = Ai + b^Ar, 617 = ll + ^12,
s
e2(t) = el2te2, e2 = A2 + b^Ao, 610 = 617, I2 = I1,
л i и \ и l3 + Y13 + 731 e3(t) = e3 e3, e3 = A3 + ЬзбАБ, 635 =-2S-,
e4(t) = e/4te4, e4 = A4, l4 = -a13,
/ \ / t л 7 л 7 I5 + «13
e5(t) = e5 e5, e5 = A5 + ЬБЗА3, 653 = —2s—,
лл Ы л , г. л I. ¿б + а23
еб(Ь) = е 6 еб, еб = Аб + 6б2Л2, 6б2 =--,
-
е7(ь) = емет, ет = А7 + 671А1, 671 = -Ьб2, /7 = /б, е8(Ь) = е8, е8 = 11 ><11 - 2|2>(2| + |3)(3|,
/8 = 0, е 8 (Ь) = 0. (22)
Здесь А, - матрицы Гелл-Манна:
А1 = 11 ><21 + |2><1|, Л2 = г (12>< 11 - 11 ><21),
А3 = 11 >< 11 - |2><2|, А4 = |1><3| + |3><1|, А5 = г (|3><1|-|1><3|), Аб = |2><3| + |3><2|, А7 = г (12><31 - |3><2|), А8 = 1/^3(|1><1| + |2><2| - 2|3><3|). (23)
Так как мы рассматриваем только переходы между верхним и нижним уровнями, удобнее вместо А3 использовать другую образующую А3 = 11 >< 11 - |3><3|. Формулы (22) выведены для случая, когда все корни /^ вещественны и отрицательны.
В базисе е^ супероператоры Линдблада б в уравнении для наблюдаемых (2) имеют диагональный вид и уравнения (2), определяющие динамику е^, сводятся к простому виду е{ = = /¿е^, где вещественные значения /^ отрицательны, а динамическое отображение (3) описывается простыми формулами е^(Ь) = = = е1^. Отметим, что
все собственные значения отображения А^(Ь), равные е1^, лежат внутри единичного круга. Это квантовый аналог теоремы Фробениуса - Перрона [17].
Обратные преобразования даются формулами
А + 1 617
А1 = а11е1 + а17е7, а11 = ---—-—, а17 =
1 + &17&71 ' 1 + &17&71 '
— 022^2 + 0-2767, 0-22 — an, 027 — — 0i7,
Г + 1 Ь35
Л3 — аззез + 0.3565, 033 — ^^—г~, 035 —
1 + &35&53 ' 1 + &35&53 '
Л4 — е4,
Л5 — 05363 + 05565, О55 — 033, 053 —
Ь
53
1 + Ь35Ь53' 1 Ь71
Лб — 066e6 + 0б2е2 , 066 — -——;—;—, 0ß2 —
1 + b7lbi7 1 + b7ibi7
Л7 — 07iei + 07767, 077 — 066, 071 — 062, (24)
Заметим, что при выключении взаимодействия, т. е. при s — 0, коэффициенты bj — 0 и наблюдаемые — Л^ (кроме 68).
Найдем коммутационные соотношения для наблюдаемых
fr, 62]t — С?2(ф3 + ^te + C^R fr, 63]t — С?3(^)62 + C^K fr, 64]t — Ci4(t^ + ^(t^, k, 65]t — Ci25(t)62 + Ci65(i)66,
fr, 66]t — + + Gi^R
fr, 67]t — С47(ф4, fr, 68]t — C^b + Ci28(t)62, [62, 63]t — C23(t)6i + С273(ф7, [62, 64]t — C24(Ф2 + C264(t)66,
[62, 65]^ — C25(t)6i + G^tR [62, 66]t — G^tR [62, 67]t — 037(^3 + 0257(ф5 + 087(^8, [63, 65]* — 6^5(^)64, [62, 68]t — G^t^i + ^(i^, [63, 64]t — 0334(^3 + G^tR [63, 66]t — G^t^i + 0376(t)67, [63, 67]t — 0326(Ф2 + 0367(t)66, [63, 68]t — [64, 68]t — fr, 68]t — 0, [64, 65]t — £45 (Ф3 + 645 (Ф5, [64, 66]t — + G^R [64, 67]t — G^(ф! + G^t^,
[65, 66]t — G^t^ + G^^, [65, 67]t — C57№2 + G^tR
[66, 67]t — 0637(t)63 + 0657(ф5 + 0687(t)65,
[ее, egjt = C618(t)ei + C678(t)e7,
[e7, e8]t = C28(i)e2 + C^K (25)
Структурные константы в коммутационных соотношениях даются выражениями:
C32W = г(азз (1 - b27) + 2617053)e(1l+l2-l3)t, C?2(i) = ^035 (1 - 627) + 2617055)e(1l+l2-l5)t, C?2(t) = i (1 + 627) e^-1^, C3(i) = i((617 - 635) 062 - (1 + 617635) 022) el3t, Ci63(t) = i((617 - 635) 066 - (1 + 617635) 026)e(l1+l3-l6)t, C14(t) = i (071 - 011) el4t, C74(t) = i (077 - 017) e(/l+l4-l7)t, Ci25(t) = -i((617 + 653) 022 + (1 - 617653) 062) el5t, C65(t) = -i((617 + 653) 026 + (1 - 617653) 066) e(1l+l5-l6)t, CUt) = i((617 + 662) 033 + (1 + 617662) 053)e(1l+l6-l3)t,
C86(t) = i (662 - 617) e(1l+1e)t, Ci56(t) = i((617 + 662) 035 + (1 + 617662) 055)e(1l+l6-l5)t,
C47(t) = -i (1 - 617671) e(1l+l7-l4)t,
Ci8 (t) = -3i (022 + 617062), C?8(t) = -3i (026 + 617066) e(l1-16)t, C3(t) = i ((635 - 616) 071 + (1 + 616635) 0U)el3t, C23(t) = i((635 - 616) 077 + (1 + 616635) 017) e(l2+l3-l7)t, C24(t) = i (062 + 616022) el3t, C264(t) = i (066 + 616026) e(l2+l4-l6)t,
C25(t) = i ((bl6 + b53) all + (1 - bl6b53) an)el5t,
C25(t) = i((bu + bu) al7 + (1 - bubn) a7^ e(l2+l5"l7)t,
C;46(t) = -i (1 - bl6b62)e(l2+l6"l4)t, C^t) = -i((b7l + bl6) a33 + (1 + b7lbl6) an) e^7"^,
C257(t) = -i((b7l + bn) an + (1 + bnbl6) a^) e(l2+l7"l5)t,
C287(t) = i((bn - b7l)e(l2+l7)t,
C^(t) = 3i (all + bl6a7l),
C278(t) = 3i (al7 + bl6a77)e(l2"l7)t,
C334(t) = 2i (an - b35a33)el4t, C354(t) = 2i (an - b^an) С(1з+14_15)', C7345(t) = -2i (1 - Ь^Ьц^1^15"1^,
Cl6(t) = i((1 - b35b62) a7l - (b62 + b35) an)+le"ll)t,
C376(t) = i((1 - b35b62) a77 - (b62 + b35) a^)el^, C327(t) = i((b7l + b35) a22 - (1 - b35b7l) a6^e(lз+l7-l2)t, C367(t) = i((b7l + b35) a26 - (1 - bubn) an) C435(t) = 2i (an - bnan) С(14+15_1з)',
C455(t) = 2i (a35 - b53a55)el4t, C426(t) = -i (a22 - b62a62)e(l4+l6"l2)t, C46 (t) = -i (a26 - b62a66) el4t,
Cl7(t) = i (an - b7la7l)e(l4+l7"ll)t, C77(t) = i (al7 - bna77)el4t, Cl6(t) = i((b53 - b62) a7l - (1 + b53b62) an)e(l5+le"ll)t, C56(t) = i((b53 - b62) a77 - (1 + b53b62) a^) el5t,
Сб2Т(£) = г((6БЗ + 671) «62 + (1 - 653671) «22) е^7"^,
Св67(^) = г((653 + 671) аоб + (1 - 653671) а2б)е/5', О) = -г(а53 (6б2 + 671) + азз (1 + 662671)) е^7"^, = -1(055 (6б2 + 671) + «35 (1 + 662671^ е^7"^, Сб87(^) = г (1 - 662671), С618(г) = 3г («71 + 662А11) е(16С^) = 3г («77 + 662017), С8(*) = -3г («62 + 671Й22) е(/7-/2
Сте(^) = -3г (й66 + 671^26). (26)
Поведение коммутационных соотношений (25) при больших временах зависит от значений показателей ^ + /^ -в экспонентах. Для удобства анализа, выпишем, используя формулы (12),(17), выражения для корней в одном месте
/1 = /2 = -2 («12 + «23 + \!(«12 - «23)2 - 16^4 ,
1 1 / 2
/з = -2 («13 + 713 + 731) + 2 V («13 - 713 - 731) - 16в2,
/4 = -«13, /8 = 0,
1 1 / 2
/Б = -2 («13 + 713 + 731) - 2 V ("13 - 713 - 731) - 16в2,
/6 = /7 = - 2 (^«12 + «23 - V («12 - «23) - 16з2^ . (27)
Поведение вещественных частей скоростей релаксации /3, /4 и /5 в зависимости от величины в внешнего поля показано на рис. 1. Поведение /1 = /2 и /6 = /7 качественно такое же (рис. 2). Отметим, что при больших полях Ие /3 = Ие /5 и Ие /1 = Ие /2 = Ие /6 = Ие /7.
В работах [9; 11] было исследовано асимптотическое поведение алгебры наблюдаемых двухуровневой системы при наличии окружения и внешнего поля. Поскольку в этой работе мы учитываем только переходы между первым и третьим уровнями, для начала рассмотрим подалгебру наблюдаемых {e3,e4,e5} с коммутаторами
fr, ejt — £34(^3 + 0354(ф5, fr, 65]t — 0345(ф4,
[64, 65]* — G^t^ + 0455(t)65. (28)
Пусть Yi — 0. Тогда при выключенном поле (s — 0, b«k — 0), I3 — — (Yi3+Y3i), I4 — I5 — -ai3 — -2(Yi3+Y3i) эта подалгебра наблюдаемых характеризуется коммутационными соотношениями
fr, ejt — 2ie(l3+l4—15)4, [63,e^t — —2ie(l3+l5—l4)t64,
[64, e5]t — 2ie(l5+l4—l3)te3 (29)
и в начальный момент времени является алгеброй su(2), а в пределе t ^ то дает алгебру Гейзенберга:
[e3, e4]TO — 0, [e3,65]^ — 0, [e4,65]^ — 2ie3. (30)
При включении поля, как легко видно из поведения показателей /3д5 (см. рис.1 или соответствующие формулы для них), подалгебра (28) при больших временах становится абелевой.
Легко проверить, что если мы учтем еще дополнительные скорости поперечной релаксации (y« — 0), то результат не изменится — и в этом случае подалгебра наблюдаемых (e3,e4,e5) асимптотически будет стремиться к абелевой.
Структурные константы алгебры наблюдаемых su(3) в рассматриваемом нами случае зависят от времени, параметров системы и величины внешнего поля. В пределе больших
времен некоторые коммутаторы могут зануляться. Возможны также случаи устремления их в бесконечность.
Аи,е ¡к
^Ие ¡и 8
¡4(8)
Ш
Рис. 1. Зависимость вещественных частей /3(в), /4(5), 1б(5) от величины внешнего поля в
¡6(5)
Рис. 2. Зависимость вещественных частей /1(5), /б(в) от величины внешнего поля в
Таким образом, в пространстве параметров системы 7^ и 7у и величины внешнего поля в есть области, где алгебра наблюдаемых ви(3) на больших временах в пределе может переходить в другую алгебру, а значит, некоторые пары наблюдаемых будут терять свои квантовые особенности и проявлять классическое поведение. При этом, однако, сохраняется возможность суперпозиции между верхним и нижним уровнями (когерентность), несмотря на взаимодействие с окружением.
5
Список литературы
1. Нильсен М. А., Чанг И. Л. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир, 2006. 824 с.
2. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Ижевск: РХД, 2008; 2011. Т. 1-2. 464+312 с.
3. Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. Теория открытых квантовых систем. М.; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», институт компьютерных исследований, 2010. 824 с.
4. Inonü E., Wigner E. P. On the contraction of groups and their representations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1953. Vol. 39. Pp. 510-524.
5. Saletan E. J. Contraction of Lie groups // J. Math. Phys. 1961. Vol. 2. Pp. 1-21.
6. Громов Н. А. Контракции классических и квантовых групп. М.: Физматлит, 2012. 318 с.
7. Ibort A., Man'ko V. I., Marmo G., Simoni A., Stornaiolo C., Ventriglia F. The quantum-to-classical transition: contraction of associative products // Physica Scripta. V. 91, N 4, 2016, 045201. ArXiv:1603.01108 [quant-ph].
8. Alipour S., Chrüsciñski D., Facchi P., Marmo G., Pascazio S, Rezakhani A.T. Dynamically algebra of observables in dissipative quantum systems // J. Phys. A: Math. Theor. 2017. Vol. 50. 065301.
9. Cruscinski D., Facchi P., Marmo G., Pascazio S.
The Observables of a Dissipative Quantum System // Open Systems & Information Dynamics. 2021. V. 19. No. 1. 1250001.
10. Громов Н. А., Костяков И. В., Куратов В. В. Диссипация кубита и контракции алгебр Ли // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2019. Вып. 4 (40). С. 5-12.
11. Громов Н. А., Костяков И. В., Куратов В. В. Когерентность в открытой квантовой системе // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2020. Вып. 4 (44). С. 30-33.
12. Костяков И. В., Куратов В. В., Громов Н. А. Эволюция кутрита и контракция алгебры Ли su(3) // Известия Коми НЦ УрО РАН. 2021. Вып. 4 (50).
13. Арефьева И. Я., Волович И. В., Козырев С. В.
Метод стохастического предела и интерференция в квантовых многочастичных системах // ТМФ. 2015. Т. 183. №3. С. 388-408.
14. Aref'eva I. Y., Volovich I. V. Holographic Photosynthesis. ArXiv: 1603.09107 [hep-th].
15. Ohya M., Volovich I. Mathematical Foundations of Quantum Information and Computation and Its Applications to Nano- and Bio-systems. Springer. 2011. 759 p.
16. Kozyrev S.V., Mironov A. A., Teretenkov A.E., Volovich I. V. Flows in nonequilibrium quantum systems and quantum photosynthesis, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 20:4. 2017. 1750021 // ArXiv: 1612.00213.
17. Chruscinski D., Kimura G., Kossakowski A., Shishido Y. On the universal constraints for relaxation rates for quantum dynamical semigroup // ArXiv:2011.10159 [quant-ph]. 9 p.
Summary
Gromov N. A., Kostyakov I. V., Kuratov V. V. Coherent evolution of qutrit.
We consider the time variation of the density matrix of a three-level quantum system with the symmetry of the Lie algebra su(3), interacting with an external field in such a way
38
Громов Н. А., KOCTHKOB H. B., KypaTOB B. B.
that the coherence property is preserved. The commutatation relations in the algebra of observables in this case also change and in the limit can pass to another algebra. Keywords: open quantum system, algebra of observables, qutrit, coherence, contraction of Lie algebras.
References
1. Nielsen M. A., Chuang I. L. Kvantovye vychisleniya i kvantovaya informaciya [Quantum Computation and Quantum Information]. Moscow: Mir, 2006. 824 p.
2. Preskill J. Kvantovaya informaciya i kvantovye vychisleniya [Quantum Information and Computation]. Izhevsk: RHD, 2008; 2001. Vol 1-2. 464+312 p.
3. Breuer H.-P., Petruccione F. Teoriya otkrytykh kvantovykh sistem [The theory of open quantum systems]. Izhevsk: RHD, 2010. 824 p.
4. InonU E., Wigner E. P. On the contraction of groups and their representations. Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1953. Vol. 39. Pp. 510-524.
5. Saletan E. J. Contraction of Lie groups. J. Math. Phys. 1961. Vol. 2. Pp. 1-21.
6. Gromov N.A. Kontraktsii klassicheskikh i kvantovykh grupp [Contractions of classical and quantum groups]. Moscow: FIZMATLIT, 2012. 318 p.
7. Ibort A., Man'ko V. I., Marmo G. et al. The quantum-to-classical transition: contraction of associative products. Physica Scripta. 2016. Vol. 91. 045201. ArXiv:1603.01108 [quant-ph].
8. Alipour S., Chruscinski D., Facchi P. et al.
Dynamically algebra of observables in dissipative quantum systems. J. Phys. A: Math. Theor. 2017. Vol. 50. 065301.
9. Chruscinski D., Facchi P., Marmo G., Pascazio S.
The Observables of a Dissipative Quantum System. Open Systems & Information Dynamics. 2012. V. 19, No. 01, 1250001.
10. Gromov N. A., Kostyakov I. V., Kuratov V. V.
Dissipaciya qubita i kontraktsii algebr Lie [Qubit dissipation and contractions of Lie algebras]. Proc. of the Komi Sci. Centre, Ural Branch, RAS. 2019. No 4 (40). Pp. 7-14.
11. Gromov N. A., Kostyakov I. V., Kuratov V. V.
Kogerentnost v otkrytoy kvantovoy sisteme [Coherence in an open quantum system]. Proc. of the Komi Sci. Centre, Ural Branch, RAS. 2019. No 4(44). Pp. 30-33.
12. Gromov N. A., Kostyakov I. V., Kuratov V. V.
Evoluciya kutrita i kontrakciya algebr Li su(3) [Qutrit evolution and contraction of Lie algebra su(3)]. Proc. of the Komi Sci. Centre, Ural Branch, RAS. 2021. No 4(50).
13. Aref'eva I.Y., Volovich I.V., Kozyrev S. V. Metod stokhasticheskogo predela i interferentsiya v kvantovykh mnogochastichnykh sistemakh [Stochastic limit method and interference in quantum multiparticle systems]. TMF. 2015. Vol. 183. No. 3. Pp. 388-408.
14. Aref'eva I. Y., Volovich I. V. Holographic Photosynthesis. ArXiv: 1603.09107 [hep-th].
15. Ohya M., Volovich I. Mathematical Foundations of Quantum Information and Computation and Its Applications to Nano- and Bio-systems. Springer. 2011, 759 p.
16. Kozyrev S.V., Mironov A. A., Teretenkov A.E., Volovich I.V. Flows in nonequilibrium quantum systems and quantum photosynthesis, Infin. Dimens. Anal. Quantum Probab. Relat. Top., 20:4. 2017. 1750021. ArXiv: 1612.00213.
17. Chruscinski D., Kimura G., Kossakowski A., Shishido Y. On the universal constraints for relaxation rates for quantum dynamical semigroup. ArXiv:2011.10159 [quant-ph], 9 p.
Для цитирования: Громов Н. А., Костяков И. В., Куратов В. В. Когерентная эволюция кутрита // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2021. Вып. 3 (40). C. 21-40. DOI: 10.34130/1992-2752_2021_3_21
For citation: Gromov N. A., Kostyakov I. V., Kuratov V. V. Coherent evolution of qutrit.. Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2021, No. 3 (40), pp. 21-40. DOI: 10.34130/1992-2752_2021_3_21
ФМИ Коми НЦ УрО РАН
Поступила 1.10.2021
